ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร กราฟ บันทึกลอการิทึมฐานคืออะไร

ช่วงของค่าที่ยอมรับได้ (APV) ของลอการิทึม

ตอนนี้เรามาพูดถึงข้อจำกัด (ODZ - area ค่าที่ยอมรับได้ตัวแปร)

เราจำได้ว่ายกตัวอย่าง รากที่สองไม่สามารถนำมาจากจำนวนลบได้ หรือถ้าเรามีเศษส่วน ตัวส่วนก็ไม่สามารถเป็นได้ เท่ากับศูนย์- ลอการิทึมมีข้อจำกัดที่คล้ายกัน:

นั่นคือทั้งอาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์ แต่ฐานยังไม่สามารถเท่ากันได้

ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?

เริ่มจากสิ่งง่ายๆ: สมมติว่า ตัวอย่างเช่น ไม่มีตัวเลขอยู่ เนื่องจากไม่ว่าเราจะเพิ่มพลังอะไรก็ตาม ตัวเลขนั้นก็จะออกมาเสมอ ยิ่งกว่านั้นมันไม่มีอยู่สำหรับใครเลย แต่ในขณะเดียวกันก็สามารถเท่ากับอะไรก็ได้ (ด้วยเหตุผลเดียวกัน - เท่ากับระดับใดก็ได้) ดังนั้นวัตถุนั้นจึงไม่น่าสนใจ และมันก็แค่ถูกโยนออกจากวิชาคณิตศาสตร์ไป

เรามีปัญหาที่คล้ายกันในกรณีนี้: ในกรณีใด ๆ ระดับบวก- เป็นเช่นนั้น แต่ไม่สามารถยกให้เป็นลบได้เลย เนื่องจากจะทำให้หารด้วยศูนย์ (ขอเตือนไว้ก่อน)

เมื่อเราประสบปัญหาในการยกกำลังเศษส่วน (ซึ่งแสดงเป็นราก: . ตัวอย่างเช่น (นั่นคือ) แต่ไม่มีอยู่จริง

ดังนั้นจึงเป็นการง่ายกว่าที่จะทิ้งเหตุผลเชิงลบมากกว่าไปยุ่งกับเหตุผลเหล่านั้น

เนื่องจากฐาน a ของเราต้องเป็นค่าบวกเท่านั้น ไม่ว่าเราจะยกมันให้ยกกำลังอะไร เราก็จะได้จำนวนบวกเสมอ ดังนั้นข้อโต้แย้งจะต้องเป็นบวก ตัวอย่างเช่น ไม่มีอยู่ เนื่องจากมันจะไม่เป็นจำนวนลบในระดับใดๆ (หรือแม้แต่ศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีอยู่ด้วย)

ในปัญหาเกี่ยวกับลอการิทึม สิ่งแรกที่คุณต้องทำคือจด ODZ ฉันขอยกตัวอย่าง:

มาแก้สมการกัน.

มาจำคำจำกัดความกัน: ลอการิทึมคือกำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง และตามเงื่อนไข องศานี้จะเท่ากับ: .

เราได้สมการกำลังสองปกติ: ลองแก้มันโดยใช้ทฤษฎีบทของเวียต้า: ผลรวมของรากเท่ากันกับผลคูณ หยิบง่ายนี่คือตัวเลขและ

แต่ถ้าคุณเขียนตัวเลขทั้งสองนี้ลงในคำตอบทันที คุณจะได้ 0 คะแนนสำหรับโจทย์นี้ ทำไม ลองคิดดูว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราแทนรากเหล่านี้ลงในสมการตั้งต้น?

สิ่งนี้ไม่ถูกต้องอย่างชัดเจน เนื่องจากฐานไม่สามารถเป็นลบได้ นั่นคือรูทคือ "บุคคลที่สาม"

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดที่ไม่พึงประสงค์ คุณต้องจด ODZ ก่อนที่จะเริ่มแก้สมการ:

จากนั้นเมื่อได้รับรากแล้วเราก็ทิ้งรากทันทีและเขียนคำตอบที่ถูกต้อง

ตัวอย่างที่ 1(ลองแก้ด้วยตัวเอง) :

ค้นหารากของสมการ หากมีรากหลายอัน ให้ระบุรากที่เล็กที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย:

ก่อนอื่น มาเขียน ODZ กันก่อน:

ทีนี้มาจำไว้ว่าลอการิทึมคืออะไร: คุณต้องยกกำลังเท่าใดจึงจะยกฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง? ถึงวินาที. นั่นคือ:

ดูเหมือนว่ารากที่เล็กกว่าจะเท่ากัน แต่นี่ไม่เป็นเช่นนั้น: ตาม ODZ รากนั้นไม่เกี่ยวข้องนั่นคือมันไม่ใช่รากของสมการนี้เลย ดังนั้น สมการจึงมีรากเพียงรากเดียว:

คำตอบ: .

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ให้เราจำคำจำกัดความของลอการิทึมในรูปแบบทั่วไป:

ลองแทนลอการิทึมลงในความเท่าเทียมกันที่สอง:

ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน- แม้ว่าโดยพื้นฐานแล้วนี่คือความเท่าเทียมกัน - แค่เขียนแตกต่างออกไป คำจำกัดความของลอการิทึม:

นี่คือพลังที่คุณต้องยกระดับเพื่อให้ได้มา

ตัวอย่างเช่น:

แก้ตัวอย่างต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย:

ให้เราจำกฎจากส่วนนี้: นั่นคือเมื่อยกกำลังเป็นยกกำลัง เลขชี้กำลังจะถูกคูณ ลองใช้มันดู:

ตัวอย่างที่ 3

พิสูจน์ว่า.

สารละลาย:

คุณสมบัติของลอการิทึม

น่าเสียดายที่งานไม่ง่ายเสมอไป - บ่อยครั้งที่คุณต้องทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นก่อนนำไปเป็นรูปแบบปกติและจากนั้นจึงจะสามารถคำนวณค่าได้ วิธีนี้จะง่ายที่สุดหากคุณรู้ คุณสมบัติของลอการิทึม- เรามาเรียนรู้คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมกันดีกว่า ฉันจะพิสูจน์แต่ละข้อเพราะกฎใด ๆ จะจำง่ายกว่าถ้าคุณรู้ว่ามันมาจากไหน

ต้องจำคุณสมบัติเหล่านี้ทั้งหมด หากไม่มี คุณสมบัติเหล่านี้ ปัญหาส่วนใหญ่เกี่ยวกับลอการิทึมก็ไม่สามารถแก้ไขได้

และตอนนี้เกี่ยวกับคุณสมบัติทั้งหมดของลอการิทึมโดยละเอียด

คุณสมบัติ 1:

การพิสูจน์:

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

เรามี: ฯลฯ

คุณสมบัติ 2: ผลรวมของลอการิทึม

ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเท่ากันจะเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: .

การพิสูจน์:

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

ตัวอย่าง:ค้นหาความหมายของสำนวน: .

สารละลาย: .

สูตรที่คุณเพิ่งเรียนรู้จะช่วยลดผลรวมของลอการิทึม ไม่ใช่ผลต่าง ดังนั้นลอการิทึมเหล่านี้จึงไม่สามารถรวมกันได้ทันที แต่คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ - "แยก" ลอการิทึมแรกออกเป็นสองส่วน: และนี่คือการทำให้เข้าใจง่ายตามสัญญา:
.
เหตุใดจึงจำเป็น? ตัวอย่างเช่น: มันเท่ากับอะไร?

ตอนนี้ก็ชัดเจนว่า

ตอนนี้ ทำให้ง่ายขึ้นด้วยตัวคุณเอง:

งาน:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 3: ผลต่างของลอการิทึม:

การพิสูจน์:

ทุกอย่างเหมือนกับในจุดที่ 2 ทุกประการ:

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น เรามี:

ตัวอย่างจากย่อหน้าก่อนหน้านี้กลายเป็นเรื่องง่ายยิ่งขึ้น:

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น: . คุณช่วยคิดวิธีแก้ปัญหาด้วยตัวเองได้ไหม?

ควรสังเกตว่าเราไม่มีสูตรเดียวเกี่ยวกับลอการิทึมกำลังสอง นี่เป็นสิ่งที่คล้ายกับสำนวน - ไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ในทันที

ดังนั้น ลองพักจากสูตรเกี่ยวกับลอการิทึมแล้วลองคิดดูว่าเราใช้สูตรใดในวิชาคณิตศาสตร์บ่อยที่สุด? ตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7!

นี้ - . คุณต้องทำความคุ้นเคยกับความจริงที่ว่าพวกมันมีอยู่ทุกหนทุกแห่ง! เกิดขึ้นในปัญหาเลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และไม่ลงตัว ดังนั้นจึงต้องจดจำไว้

หากคุณดูสองคำแรกอย่างใกล้ชิด จะเห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้ ความแตกต่างของกำลังสอง:

คำตอบเพื่อตรวจสอบ:

ลดความซับซ้อนด้วยตัวคุณเอง

ตัวอย่าง

คำตอบ

คุณสมบัติ 4: นำเลขชี้กำลังออกจากอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม:

การพิสูจน์:และที่นี่ เรายังใช้คำจำกัดความของลอการิทึมด้วย: เอาล่ะ เรามี: ฯลฯ

กฎนี้สามารถเข้าใจได้ด้วยวิธีนี้:

นั่นคือระดับของการโต้แย้งถูกย้ายไปข้างหน้าลอการิทึมเป็นค่าสัมประสิทธิ์

ตัวอย่าง:ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย: .

ตัดสินใจด้วยตัวเอง:

ตัวอย่าง:

คำตอบ:

คุณสมบัติ 5: หาเลขชี้กำลังจากฐานของลอการิทึม:

การพิสูจน์:ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

เรามี: ฯลฯ
ข้อควรจำ: จาก บริเวณระดับแสดงเป็น ตรงกันข้ามจำนวนไม่เหมือนกรณีก่อน!

คุณสมบัติ 6: การลบเลขชี้กำลังออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

หรือถ้าองศาเท่ากัน: .

คุณสมบัติ 7: การเปลี่ยนไปสู่ฐานใหม่:

การพิสูจน์:ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น

เรามี: ฯลฯ

คุณสมบัติ 8: สลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม:

การพิสูจน์:นี้ กรณีพิเศษสูตร 7: ถ้าเราแทน เราจะได้: , ฯลฯ

ลองดูตัวอย่างเพิ่มเติมบางส่วน

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาความหมายของสำนวน

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 2 - ผลรวมของลอการิทึมที่มีฐานเดียวกันเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย:

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมหมายเลข 3 และหมายเลข 4:

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย:

ลองใช้คุณสมบัติหมายเลข 7 - ไปยังฐาน 2:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย:

คุณชอบบทความนี้อย่างไร?

หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณได้อ่านบทความทั้งหมดแล้ว

และมันก็เจ๋ง!

ตอนนี้บอกเราว่าคุณชอบบทความนี้อย่างไร?

คุณได้เรียนรู้วิธีแก้ลอการิทึมแล้วหรือยัง? ถ้าไม่ ปัญหาคืออะไร?

เขียนถึงเราในความคิดเห็นด้านล่าง

และใช่ ขอให้โชคดีในการสอบ

ในการสอบ Unified State และการสอบ Unified State และในชีวิตโดยทั่วไป

ลอการิทึมก็เหมือนกับตัวเลขอื่นๆ ที่สามารถบวก ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดาเสียทีเดียว จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติหลัก.

คุณจำเป็นต้องรู้กฎเหล่านี้อย่างแน่นอน - ไม่ใช่ปัญหาลอการิทึมร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียวที่ไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีกฎเหล่านี้ นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - คุณสามารถเรียนรู้ทุกสิ่งได้ภายในวันเดียว มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย- จากนั้นจึงสามารถบวกและลบได้ และ:

1. บันทึก ก x+ บันทึก ก ย=บันทึก ก (x · ย);
2. บันทึก ก x- บันทึก ก ย=บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมเท่ากับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ และผลต่างเท่ากับลอการิทึมของผลหาร โปรดทราบ: จุดสำคัญที่นี่ - บริเวณที่เหมือนกัน- หากเหตุผลแตกต่าง กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

ล็อก 6 4 + ล็อก 6 9

เนื่องจากลอการิทึมมีฐานเท่ากัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเท่ากัน เราใช้สูตรผลต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5

ฐานก็เหมือนกัน ดังนั้นเราจึงได้:
บันทึก 3 135 - บันทึก 3 5 = บันทึก 3 (135: 5) = บันทึก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้คำนวณแยกกัน แต่หลังจากการแปลงจะได้ตัวเลขปกติโดยสมบูรณ์ หลายคนถูกสร้างขึ้นจากข้อเท็จจริงนี้ การทดสอบ- ใช่ สำนวนที่เหมือนการทดสอบมีการนำเสนออย่างจริงจังทุกประการ (บางครั้งแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ) ในการสอบ Unified State

แยกเลขชี้กำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้เรามาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมเป็นกำลัง? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

จะเห็นได้ง่ายว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่ยังไงก็ดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีมันจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอนว่ากฎทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลหากสังเกต ODZ ของลอการิทึม: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0. และอีกอย่างหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวา แต่ยังในทางกลับกันอีกด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขก่อนที่ลอการิทึมจะลงชื่อเข้าใช้ลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่จำเป็นบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6 .

กำจัดระดับของการโต้แย้งโดยใช้สูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนประกอบด้วยลอการิทึม ฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. เรามี:

[คำบรรยายภาพ]

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องมีการชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงที่สุด วินาทีสุดท้ายเราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น เรานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่อยู่ตรงนั้นในรูปแบบของกำลังและนำเลขชี้กำลังออกมา - เราได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: log 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตแล้วทั้งสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งเป็นสิ่งที่ทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

การเปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นย้ำเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้เฉพาะกับฐานเดียวกันเท่านั้น จะทำอย่างไรถ้าเหตุผลต่างกัน? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าพวกมันไม่ใช่เลขยกกำลังที่เท่ากัน?

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้รากฐานใหม่มาช่วยเหลือ ให้เรากำหนดพวกมันในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้บันทึกลอการิทึม ก x- แล้วสำหรับเลขอะไรก็ตาม คเช่นนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

[คำบรรยายภาพ]

โดยเฉพาะถ้าเราใส่ ค = xเราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

จากสูตรที่สองเป็นไปตามว่าสามารถสลับฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมได้ แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" เช่น ลอการิทึมจะปรากฏในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป มีความเป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการเท่านั้น

แต่มีปัญหาที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายฐานรากใหม่ ลองดูสองสามสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองมีกำลังที่แน่นอน มาดูตัวบ่งชี้กันดีกว่า: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลอง "ย้อนกลับ" ลอการิทึมที่สอง:

[คำบรรยายภาพ]

เนื่องจากผลคูณไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อจัดเรียงปัจจัยใหม่ เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น จากนั้นจึงจัดการกับลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแรกคือกำลังที่แน่นอน มาเขียนสิ่งนี้และกำจัดตัวบ่งชี้:

[คำบรรยายภาพ]

ตอนนี้ กำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยการย้ายไปยังฐานใหม่:

[คำบรรยายภาพ]

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหา จำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้สูตรต่อไปนี้จะช่วยเรา:

ในกรณีแรกคือหมายเลข nกลายเป็นเครื่องบ่งชี้ระดับการยืนหยัดในการโต้แย้ง ตัวเลข nสามารถเป็นอะไรก็ได้อย่างแน่นอน เพราะมันเป็นแค่ค่าลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความจริงๆ นั่นคือสิ่งที่เรียกว่า: ข้อมูลประจำตัวลอการิทึมพื้นฐาน

ที่จริงแล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นจำนวนนั้น ขยกกำลังนี้ให้ตัวเลข ก- ถูกต้อง: คุณได้หมายเลขเดียวกันนี้ ก- อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง หลายๆ คนอาจติดอยู่กับเรื่องนี้

เช่นเดียวกับสูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นวิธีแก้ปัญหาเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาความหมายของสำนวน:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าบันทึก 25 64 = บันทึก 5 8 - แค่เอากำลังสองจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม เมื่อคำนึงถึงกฎในการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

ถ้าใครไม่รู้ นี่คืองานจริงจากการสอบ Unified State :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้สองตัวตนที่แทบจะเรียกได้ว่าเป็นคุณสมบัติไม่ได้ - แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม สิ่งเหล่านี้มักเกิดปัญหาอยู่เสมอ และน่าประหลาดใจที่ยังสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อีกด้วย

1. บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ทุกครั้ง: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เท่ากับหนึ่ง
2. บันทึก ก 1 = 0 คือศูนย์ลอการิทึม ฐาน กสามารถเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์มีอย่างใดอย่างหนึ่ง ลอการิทึมจะเท่ากับศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความ

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนการนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารสรุปตอนต้นบทเรียน พิมพ์ออกมา และแก้ไขปัญหา

“สูตรการคูณแบบย่อ” - เมื่อคูณพหุนามสองตัว แต่ละเทอมของพหุนามตัวแรกจะถูกคูณด้วยแต่ละเทอมของพหุนามตัวที่สอง จากนั้นจึงบวกผลคูณเข้าด้วยกัน สูตรคูณแบบย่อ เมื่อบวกและลบพหุนาม จะใช้กฎสำหรับวงเล็บเปิด monomials คือผลคูณของตัวเลข ตัวแปร และพลังธรรมชาติของพวกมัน

“ การแก้ระบบสมการ” - วิธีกราฟิก (อัลกอริทึม) สมการคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป สมการและคุณสมบัติของมัน วิธีการกำหนด (อัลกอริทึม) ระบบสมการและการแก้โจทย์ของมัน การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีเปรียบเทียบ สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัว การแก้ปัญหาระบบโดยใช้วิธีการบวก

“การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน” - ช่วง การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์ มีการพิจารณาตัวอย่างของการแก้ระบบอสมการเชิงเส้น การแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกัน ในการแก้ระบบอสมการเชิงเส้น ก็เพียงพอที่จะแก้อสมการแต่ละอสมการที่อยู่ในระบบและค้นหาจุดตัดของเซตของคำตอบ เขียนอสมการที่มีชุดคำตอบเป็นช่วงๆ

“ความไม่เท่าเทียมกันที่เป็นแบบอย่าง” - สัญลักษณ์ของความไม่เท่าเทียมกัน แก้ความไม่เท่าเทียมกัน การแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย การแก้อสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล คุณควรพิจารณาอะไรเมื่อแก้ไขอสมการเอ็กซ์โปเนนเชียล การแก้อสมการเลขชี้กำลังอย่างง่าย อสมการที่มีเลขยกกำลังที่ไม่ทราบชื่อเรียกว่าอสมการเลขชี้กำลัง

“ความสัมพันธ์ของจำนวน” - สัดส่วนคืออะไร? ตัวเลข m และ n ที่ถูกเรียกในสัดส่วน a: m = n: b คืออะไร? ผลหารของตัวเลขสองตัวเรียกว่าอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว การตลาดลาน. ในสัดส่วนที่ถูกต้อง ผลคูณของเทอมสุดขั้วจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลางและในทางกลับกัน ทัศนคติคืออะไร? สัดส่วน อัตราส่วนสามารถแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ได้

"จำแนกสมการกำลังสอง" - ทฤษฎีบทของเวียตนาม สมการกำลังสอง เลือกปฏิบัติ สมการใดเรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์? สมการหนึ่งจะมีรากได้กี่รากถ้าการแบ่งแยกเป็นศูนย์? การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ สมการหนึ่งจะมีรากได้กี่รากหากการแบ่งแยกของสมการนั้นเป็นจำนวนลบ?

มีการนำเสนอทั้งหมด 14 หัวข้อ

ดังนั้นเราจึงมีพลังของทั้งสอง หากคุณนำตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณจะต้องยกสองขึ้นเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่น หากต้องการได้ 16 คุณต้องยกสองยกกำลังสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกสองยกกำลังหก ดังที่เห็นได้จากตาราง

และตอนนี้ จริงๆ แล้ว นิยามของลอการิทึม:

ลอการิทึมฐานของ x คือกำลังที่ต้องยก a ขึ้นจึงจะได้ x

สัญลักษณ์: log a x = b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือค่าลอการิทึมที่แท้จริง

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เพราะ 2 3 = 8) ด้วยความสำเร็จเดียวกัน บันทึก 2 64 = 6 เนื่องจาก 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขจากฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม เรามาเพิ่มบรรทัดใหม่ให้กับตารางของเรา:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
บันทึก 2 2 = 1	บันทึก 2 4 = 2	บันทึก 2 8 = 3	บันทึก 2 16 = 4	บันทึก 2 32 = 5	บันทึก 2 64 = 6

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ทุกลอการิทึมจะคำนวณได้ง่ายนัก ตัวอย่างเช่น ลองค้นหาบันทึก 2 5 ตัวเลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะกำหนดว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ไหนสักแห่งในช่วงเวลา เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขที่อยู่หลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้ไม่จำกัด และจะไม่มีวันซ้ำกัน หากลอการิทึมกลายเป็นแบบไม่ลงตัว ก็ควรปล่อยไว้อย่างนั้นดีกว่า: log 2 5, log 3 8, log 5 100

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าอะไรเป็นพื้นฐานและข้อโต้แย้งอยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ เพียงแค่ดูภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือกำลังซึ่งจะต้องสร้างฐานเพื่อให้ได้ข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลังขึ้น - ในภาพเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้แก่นักเรียนในบทเรียนแรก - และไม่มีความสับสนเกิดขึ้น

เราเข้าใจคำจำกัดความแล้ว - สิ่งที่เหลืออยู่คือการเรียนรู้วิธีนับลอการิทึม เช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" อันดับแรก เราสังเกตว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามคำจำกัดความนี้:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ซึ่งคำจำกัดความของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากฐานหนึ่ง เนื่องจากระดับหนึ่งถึงระดับใดยังคงเป็นหนึ่ง ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า “คนๆ หนึ่งจะต้องเพิ่มพลังอะไรเพื่อให้ได้สอง” จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญาขนาดนั้น!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงของค่าที่ยอมรับได้(ODZ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นลบ: log 2 0.5 = −1 เพราะ 0.5 = 2 −1

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาเฉพาะนิพจน์ตัวเลขที่ไม่จำเป็นต้องรู้ VA ของลอการิทึม ผู้เขียนงานได้คำนึงถึงข้อจำกัดทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อสมการลอการิทึมและอสมการเข้ามามีบทบาท ข้อกำหนด DL จะกลายเป็นข้อบังคับ ท้ายที่สุดแล้ว พื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมากซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

ทีนี้ลองมาพิจารณากัน โครงการทั่วไปการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. เขียนฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นกำลังโดยมีฐานขั้นต่ำที่เป็นไปได้มากกว่า 1 ระหว่างทางควรกำจัดทศนิยมออกไปจะดีกว่า
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์หมายเลข b จะเป็นคำตอบ

แค่นั้นแหละ! หากลอการิทึมกลายเป็นจำนวนตรรกยะ สิ่งนี้จะมองเห็นได้ในขั้นตอนแรก ข้อกำหนดที่ว่าฐานต้องมากกว่าหนึ่งมีความสำคัญมาก ซึ่งจะช่วยลดโอกาสที่จะเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นอย่างมาก เช่นเดียวกับ ทศนิยม: หากคุณแปลงเป็นปกติทันที จะมีข้อผิดพลาดน้อยลงมาก

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 5 25

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังของห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. เราได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 4 64

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. เราได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองนึกภาพฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. มาสร้างและแก้สมการกัน:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. เราได้รับคำตอบ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: บันทึก 7 14

1. ลองนึกภาพฐานและข้อโต้แย้งเป็นกำลังของเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่สามารถแสดงเป็นกำลังของ 7 ได้ เนื่องจาก 7 1< 14 < 7 2 ;
2. จากย่อหน้าก่อนหน้า ตามมาว่าไม่นับลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่มีการเปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็ก ๆ เกี่ยวกับตัวอย่างสุดท้าย คุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขนั้นไม่ใช่กำลังที่แน่นอนของอีกจำนวนหนึ่ง? ง่ายมาก - แค่แยกตัวประกอบเป็นปัจจัยเฉพาะ และหากไม่สามารถรวบรวมตัวประกอบดังกล่าวเป็นกำลังที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันได้ จำนวนเดิมก็ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าตัวเลขนั้นเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอนหรือไม่: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - องศาที่แน่นอน เพราะ มีตัวคูณเพียงตัวเดียวเท่านั้น
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอน เนื่องจากมีปัจจัยสองประการ: 3 และ 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 · 5 - ไม่ใช่กำลังที่แน่นอนอีกครั้ง
14 = 7 · 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดสังเกตด้วยว่าจำนวนเฉพาะนั้นมักจะเป็นกำลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและสัญลักษณ์พิเศษ

ลอการิทึมฐานสิบของ x คือลอการิทึมของฐาน 10 เช่น ยกกำลังที่ต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x.

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - ฯลฯ

จากนี้ไปเมื่อมีวลีเช่น “Find lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับสัญกรณ์นี้ คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
บันทึก x = บันทึก 10 x

ทุกอย่างที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับลอการิทึมฐานสิบเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีการกำหนดของตัวเอง ในบางแง่ มันสำคัญกว่าทศนิยมด้วยซ้ำ เรากำลังพูดถึงลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมของฐาน e เช่น เลขยกกำลังที่ต้องยกกำลัง e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: ตัวเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและจดบันทึกไว้ได้ ฉันจะให้เฉพาะตัวเลขแรกเท่านั้น:
อี = 2.718281828459...

เราจะไม่ลงรายละเอียดว่าหมายเลขนี้คืออะไรและเหตุใดจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก อี x

ดังนั้น ln e = 1; ใน อี 2 = 2; ใน อี 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนตรรกยะใดๆ จะเป็นจำนวนตรรกยะ ยกเว้น อย่างหนึ่ง: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นใช้ได้