แฟกทอเรียลของจำนวน 1 ทำไมแฟกทอเรียลของ 0 ถึงเท่ากับ 1? แฟกทอเรียลคืออะไรและจะแก้ได้อย่างไร

แฟกทอเรียลคืออะไรและจะแก้ได้อย่างไร

แฟกทอเรียลของตัวเลข n ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน n ตามด้วยเครื่องหมายอัศเจรีย์! สำนวนนี้ออกเสียงด้วยเสียงว่า "n factorial" แฟกทอเรียลเป็นผลจากการคูณลำดับของลำดับ ตัวเลขธรรมชาติจาก 1 ถึงหมายเลขที่ต้องการ n ตัวอย่างเช่น 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 720 แฟกทอเรียลของจำนวน n เขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน n! และออกเสียงแบบเอนแฟคทอเรียล แสดงถึงการคูณตามลำดับ (ผลคูณ) ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึงจำนวน n ตัวอย่างเช่น: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5=720

แฟกทอเรียลมีความหมายทางคณิตศาสตร์ก็ต่อเมื่อตัวเลขนั้นเป็นจำนวนเต็มและเป็นค่าบวก (ธรรมชาติ) ความหมายนี้ตามมาจากคำจำกัดความของแฟกทอเรียล เพราะว่า จำนวนธรรมชาติทั้งหมดไม่เป็นลบและเป็นจำนวนเต็ม ค่าแฟกทอเรียลคือผลลัพธ์ของการคูณลำดับจากหนึ่งถึงจำนวน n สามารถดูได้ในตารางแฟกทอเรียล ตารางดังกล่าวเป็นไปได้เนื่องจากค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มใดๆ ทราบล่วงหน้า และพูดง่ายๆ ก็คือค่าตาราง

ตามคำจำกัดความ 0! = 1 นั่นคือ ถ้ามีแฟคทอเรียลเป็นศูนย์ เราจะไม่คูณสิ่งใดๆ เลย และผลลัพธ์จะเป็นจำนวนธรรมชาติตัวแรกที่มีอยู่ ซึ่งก็คือ 1

การเติบโตของฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถแสดงบนกราฟได้ นี่จะเป็นส่วนโค้งคล้ายกับฟังก์ชัน x-squared ซึ่งจะมีแนวโน้มสูงขึ้นอย่างรวดเร็ว

แฟกทอเรียลเป็นฟังก์ชันที่เติบโตอย่างรวดเร็ว มันจะขยายตามกราฟเร็วกว่าฟังก์ชันพหุนามในทุกระดับและแม้แต่ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง แฟกทอเรียลจะโตเร็วกว่าพหุนามทุกระดับและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (แต่ในเวลาเดียวกันก็ช้ากว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองเท่า) ด้วยเหตุนี้การคำนวณแฟกทอเรียลด้วยตนเองจึงเป็นเรื่องยาก เนื่องจากผลลัพธ์อาจเป็นตัวเลขที่สูงมาก เพื่อหลีกเลี่ยงการคำนวณแฟกทอเรียลด้วยตนเอง คุณสามารถใช้เครื่องคำนวณแฟกทอเรียล ซึ่งคุณจะได้คำตอบอย่างรวดเร็ว แฟกทอเรียลใช้ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีจำนวน และเชิงผสมผสาน ซึ่งมีความหมายทางคณิตศาสตร์ที่ดีซึ่งสัมพันธ์กับจำนวนของการรวมวัตถุ (ตัวเลข) แบบไม่เรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เครื่องคิดเลขแฟกทอเรียลออนไลน์ฟรี

โปรแกรมแก้ปัญหาฟรีของเราช่วยให้คุณคำนวณแฟกทอเรียลออนไลน์ของความซับซ้อนใดๆ ได้ภายในเวลาไม่กี่วินาที สิ่งที่คุณต้องทำก็แค่ป้อนข้อมูลของคุณลงในเครื่องคิดเลข คุณสามารถดูวิธีแก้สมการได้จากเว็บไซต์ของเรา และหากคุณยังมีคำถาม คุณสามารถถามพวกเขาได้ในกลุ่ม VKontakte ของเรา

เชิงผสม - นี่คือสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาหลากหลายตามชื่อ ชุด หรือ การรวมกัน วัตถุใด ๆ (องค์ประกอบ) - ตัวเลข วัตถุ ตัวอักษรในคำ ฯลฯ ส่วนที่น่าสนใจมาก) แต่ด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่งที่ยากที่จะเข้าใจ ทำไม เนื่องจากมักจะมีคำศัพท์และการกำหนดที่ยากต่อการรับรู้ทางสายตา หากอักขระเป็น 10, 2, 3/4 และเลขคู่หรือบันทึก 2 5 มีความชัดเจนสำหรับเราเช่น เราสามารถ "รู้สึก" พวกเขาได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งโดยมีการกำหนดเช่น 15!,ป 9 . ปัญหาเริ่มต้นขึ้น นอกจากนี้ในหนังสือเรียนส่วนใหญ่หัวข้อนี้นำเสนอค่อนข้างแห้งและเข้าใจยาก หวัง, วัสดุนี้อย่างน้อยก็จะช่วยแก้ปัญหาเหล่านี้ได้เล็กน้อยแล้วคุณจะชอบการผสมผสาน)

เราแต่ละคนเผชิญกับปัญหาที่ผสมผสานกันทุกวัน เมื่อเราตัดสินใจในตอนเช้าว่าจะแต่งตัวอย่างไรเราก็ รวมกันเสื้อผ้าบางประเภท เมื่อเราเตรียมสลัด เราก็ผสมส่วนผสมเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ขึ้นอยู่กับว่าผลิตภัณฑ์ชนิดใดที่เลือก - อร่อยหรือไม่มีรส จริงอยู่ ปัญหาเรื่องรสนิยมไม่ได้ถูกจัดการด้วยคณิตศาสตร์อีกต่อไป แต่ด้วยการทำอาหาร แต่ยังคงอยู่) เมื่อเราเล่น "คำ" โดยสร้างคำเล็ก ๆ จากคำยาว ๆ เราจะรวมตัวอักษรเข้าด้วยกัน เมื่อเราเปิดรหัสล็อคหรือกดหมายเลขโทรศัพท์เราจะรวมตัวเลขเข้าด้วยกัน) ครูใหญ่ของโรงเรียนจะจัดทำตารางเรียนโดยรวมวิชาต่างๆ ทีมฟุตบอลในการแข่งขันชิงแชมป์โลกหรือยุโรปจะถูกแบ่งออกเป็นกลุ่มโดยรวมตัวกัน และอื่นๆ)

ผู้คนแก้ไขปัญหาการรวมกันในสมัยโบราณ (เวทย์มนตร์สี่เหลี่ยม หมากรุก) และความมั่งคั่งที่แท้จริงของการรวมกันเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 6-7 ในช่วงที่มีการใช้การพนันอย่างแพร่หลาย (ไพ่ ลูกเต๋า) เมื่อผู้เล่นต้องคิดผ่านการเคลื่อนไหวต่างๆ และด้วยเหตุนี้ ตัดสินใจจริงๆ ด้วย ปัญหาเชิงผสม.) นอกจากคณิตศาสตร์เชิงผสมแล้ว คณิตศาสตร์อีกสาขาหนึ่งก็เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน - ทฤษฎีความน่าจะเป็น - ทั้งสองส่วนนี้เป็นญาติที่ใกล้ชิดมากและสอดคล้องกัน) และเมื่อศึกษาทฤษฎีความน่าจะเป็น เราจะพบปัญหาเชิงร่วมมากกว่าหนึ่งครั้ง

และเราจะเริ่มการศึกษาวิชาเชิงผสมผสานด้วยแนวคิดหลักที่สำคัญเช่น แฟกทอเรียล .

แฟกทอเรียลคืออะไร?

คำว่า “แฟคทอเรียล” เป็นคำที่สวยงาม แต่ก็ทำให้หลายคนหวาดกลัวและสับสน แต่เปล่าประโยชน์ ในบทนี้ เราจะเข้าใจและทำงานได้ดีกับแนวคิดง่ายๆ นี้) คำนี้มาจากภาษาละติน "factorialis" ซึ่งแปลว่า "การคูณ" และด้วยเหตุผลที่ดี: การคำนวณแฟกทอเรียลใดๆ จะขึ้นอยู่กับค่าสามัญ การคูณ.)) แล้วอะไรคือแฟคทอเรียล

เอามาบ้าง จำนวนธรรมชาติ n - เป็นไปตามอำเภอใจโดยสิ้นเชิง: เราต้องการ 2 เราต้องการ 10 อะไรก็ได้ ตราบใดที่มันเป็นเรื่องธรรมชาติ) ดังนั้น แฟกทอเรียลของจำนวนธรรมชาติ n คือผลคูณของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจาก รวม 1 ถึง n- มันถูกกำหนดเช่นนี้: มะ! นั่นคือ

เพื่อไม่ให้บรรยายถึงงานที่ยาวนานนี้ทุกครั้ง เราจึงเขียนข้อความสั้นๆ ขึ้นมา :) มันอ่านแปลกๆ นิดหน่อย: “en factorial” (และไม่ใช่ในทางกลับกัน “factorial en” อย่างที่คิด)

นั่นคือทั้งหมด! ตัวอย่างเช่น,

คุณเข้าใจแนวคิดนี้ไหม?)) เยี่ยมมาก! จากนั้นเราจะพิจารณาตัวอย่าง:

คำตอบ (ไม่เป็นระเบียบ): 30; 0.1; 144; 6; 720; 2; 5040.

ทุกอย่างได้ผลหรือไม่? มหัศจรรย์! เรารู้วิธีคำนวณแฟคทอเรียลและแก้ตัวอย่างง่ายๆ ด้วยพวกมันแล้ว เดินหน้าต่อไป -

คุณสมบัติของแฟกทอเรียล

ลองพิจารณานิพจน์ 0 ซึ่งไม่ชัดเจนนักจากมุมมองของการหาแฟกทอเรียล ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์จึงตกลงกันว่า

ใช่ ใช่! นี่คือสมการที่น่าสนใจ ทั้งจากหนึ่งและจากศูนย์แฟกทอเรียลก็เหมือนกัน - หนึ่ง)) สำหรับตอนนี้ เรามาดูความเท่าเทียมกันนี้เป็นหลักคำสอน แต่เหตุใดจึงเป็นเช่นนั้น เราจะอธิบายให้ชัดเจนในภายหลังพร้อมตัวอย่าง))

สองรายการต่อไปนี้มีคุณสมบัติคล้ายกันมาก:

สามารถพิสูจน์ได้ในระดับเบื้องต้น โดยตรงในความหมายของแฟกทอเรียล)

สูตรทั้งสองนี้ช่วยให้คำนวณแฟกทอเรียลของจำนวนธรรมชาติปัจจุบันผ่านแฟกทอเรียลได้อย่างง่ายดาย ก่อนหน้าตัวเลข หรืออันถัดไปจนถึงอันปัจจุบัน) สูตรทางคณิตศาสตร์ดังกล่าวเรียกว่า กำเริบ.

ประการที่สอง ด้วยความช่วยเหลือของสูตรเหล่านี้ คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณนิพจน์ที่ซับซ้อนด้วยแฟกทอเรียลได้ แบบนี้.

คำนวณ:

เราจะดำเนินการอย่างไร? คูณจำนวนธรรมชาติทั้งหมดอย่างสม่ำเสมอตั้งแต่ 1 ถึง 1999 และตั้งแต่ 1 ถึง 2000? งานนี้คุณจะต้องอึ้ง! แต่คุณสมบัติของตัวอย่างได้รับการแก้ไขอย่างแท้จริงในบรรทัดเดียว:

หรือเช่นนี้:

หรืองานดังกล่าว ลดความซับซ้อน:

อีกครั้งที่เราทำงานโดยตรงกับคุณสมบัติ:

เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีแฟกทอเรียลและมาจากไหน? ทำไมพวกเขาถึงต้องการ?นี่เป็นคำถามเชิงปรัชญา ในทางคณิตศาสตร์ ไม่มีอะไรเกิดขึ้นเพียงเพื่อความงามเท่านั้น)) อันที่จริง แฟกทอเรียลมีการประยุกต์ได้มากมาย นี่คือทฤษฎีทวินาม ความน่าจะเป็น และอนุกรมของนิวตัน และสูตรของเทย์เลอร์ และแม้แต่ตัวเลขที่มีชื่อเสียงจ ซึ่งเป็นผลรวมอนันต์ที่น่าสนใจ:

ยิ่งคุณถามมากเท่าไรn , เหล่านั้น จำนวนที่มากขึ้นเงื่อนไขในผลรวมและยิ่งผลรวมนี้เข้าใกล้ตัวเลขมากขึ้นเท่านั้นจ - และใน ขีด จำกัดเมื่อมันเท่ากับจำนวนที่แน่นอนจ - :) แต่เราจะพูดถึงตัวเลขที่น่าทึ่งนี้ในหัวข้อที่เหมาะสม ตรงนี้เรามีแฟคทอเรียลและเชิงรวม)

พวกเขามาจากไหน? พวกมันมาจากวิชาเชิงผสม จากการศึกษาเซตขององค์ประกอบ) เซตที่ง่ายที่สุดคือ การจัดเรียงใหม่โดยไม่ซ้ำกัน- เริ่มต้นด้วยมัน -

การจัดเรียงใหม่โดยไม่ซ้ำกัน

ขอให้เรามีสองคน หลากหลายวัตถุ. หรือ องค์ประกอบ- ใดๆ อย่างแน่นอน แอปเปิ้ลสองลูก (แดงและเขียว) ลูกอมสองลูก (ช็อคโกแลตและคาราเมล) หนังสือสองเล่ม ตัวเลขสองตัว ตัวอักษรสองตัว อะไรก็ได้ ถ้าเพียงแต่พวกเขาเป็น หลากหลาย.) มาเรียกพวกเขากันดีกว่าก และบี ตามลำดับ

คุณสามารถทำอะไรกับพวกเขาได้บ้าง? ถ้าเป็นลูกอมก็กินได้แน่นอน)) เราจะอดทนและกินมันในตอนนี้ จัดเรียงตามลำดับที่แตกต่างกัน.

แต่ละสถานที่ดังกล่าวเรียกว่า การจัดเรียงใหม่โดยไม่ซ้ำกัน- ทำไม "ไม่ทำซ้ำ"? เพราะองค์ประกอบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการเรียงสับเปลี่ยนคือ แตกต่าง- เพื่อความเรียบง่าย เราได้ตัดสินใจเรื่องนี้แล้ว ยังมีอีกมาก การเรียงสับเปลี่ยนด้วยการทำซ้ำโดยที่องค์ประกอบบางอย่างอาจจะเหมือนกัน แต่การเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวซับซ้อนกว่าเล็กน้อย เพิ่มเติมเกี่ยวกับพวกเขาในภายหลัง)

ดังนั้น หากพิจารณาองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองรายการ ก็จะมีทางเลือกดังต่อไปนี้:

เอบี , บี ก .

มีเพียงสองทางเลือกเท่านั้นนั่นคือ การเรียงสับเปลี่ยนสองครั้ง เบาบาง.)

ตอนนี้เรามาเพิ่มองค์ประกอบอีกหนึ่งรายการให้กับชุดของเราค - ในกรณีนี้จะมีการเรียงสับเปลี่ยนหกแบบ:

เอบีซี , เอซีบี , บ.บ , บี.ซี.เอ. , แท็กซี่ , C.B.A. .

เราจะสร้างการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบทั้งสี่ดังนี้ ก่อนอื่น เรามาใส่องค์ประกอบกันก่อนก - ในขณะเดียวกันก็เหลือ สามองค์ประกอบต่างๆ สามารถจัดเรียงใหม่ได้ อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้ว หกวิธี:

ซึ่งหมายความว่าจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนกับองค์ประกอบแรกก เท่ากับ 6

แต่เรื่องราวเดียวกันจะเกิดขึ้นถ้าเราใส่ไว้ก่อน ใดๆของธาตุทั้งสี่นี้ พวกเขามีสิทธิเท่าเทียมกันและแต่ละคนสมควรที่จะอยู่ในอันดับที่หนึ่ง) ซึ่งหมายความว่าจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดขององค์ประกอบทั้งสี่จะเท่ากับ พวกเขาอยู่ที่นี่:

ดังนั้นเพื่อสรุป: การเรียงสับเปลี่ยนจาก n องค์ประกอบเรียกว่าอะไรก็ได้ สั่งชุดเหล่านี้ nองค์ประกอบ

คำว่า "สั่งซื้อ" เป็นกุญแจสำคัญที่นี่: การเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งจะแตกต่างกันเท่านั้น ลำดับขององค์ประกอบและองค์ประกอบต่างๆ ในชุดยังคงเหมือนเดิม

ยังคงเป็นเพียงการค้นหาว่าการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวมาจากจำนวนเท่าใด ใดๆ จำนวนองค์ประกอบ: เราไม่ใช่พวกมาโซคิสต์ที่ต้องเขียนออกมาทุกครั้ง ทั้งหมดตัวเลือกต่าง ๆ และนับพวกเขา :) สำหรับ 4 องค์ประกอบเราได้รับการเรียงสับเปลี่ยน 24 ครั้งซึ่งถือว่าค่อนข้างมากสำหรับการรับรู้ทางสายตา เกิดอะไรขึ้นถ้ามี 10 องค์ประกอบ? หรือ 100? คงจะดีไม่น้อยที่จะสร้างสูตรที่จะนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบจำนวนเท่าใดก็ได้ในการถลาลงเพียงครั้งเดียว และมีสูตรดังกล่าว! ตอนนี้เราจะหามันมา) แต่ก่อนอื่น เรามากำหนดสิ่งหนึ่งที่สำคัญมากในการรวมกันทั้งหมดก่อน กฎเสริม, เรียกว่า กฎผลิตภัณฑ์ .

กฎผลิตภัณฑ์: หากรวมอยู่ในชุด n ตัวเลือกต่างๆเลือกองค์ประกอบแรกและสำหรับแต่ละองค์ประกอบจะมีม ตัวเลือกต่างๆ สำหรับการเลือกองค์ประกอบที่สอง จากนั้นจึงรวมเป็น n·m คู่ที่แตกต่างกันขององค์ประกอบเหล่านี้

และตอนนี้ขอมีชุดของn องค์ประกอบต่างๆ

ที่ไหนแน่นอน . เราจำเป็นต้องนับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ทั้งหมดขององค์ประกอบของเซตนี้ เราให้เหตุผลในลักษณะเดียวกันทุกประการ)) คุณสามารถใส่สิ่งเหล่านี้ไว้เป็นอันดับแรกได้n องค์ประกอบ นี่หมายความว่า จำนวนวิธีในการเลือกองค์ประกอบแรกคือ n .

ทีนี้ลองจินตนาการว่าเราเลือกองค์ประกอบแรกแล้ว (n อย่างที่เราจำได้) มีองค์ประกอบที่ไม่ได้เลือกเหลืออยู่ในชุดกี่รายการ ขวา,n-1 - :) ซึ่งหมายความว่าสามารถเลือกองค์ประกอบที่สองได้เท่านั้นn-1 วิธี ที่สาม -n-2 วิธี (เนื่องจากเลือก 2 องค์ประกอบแล้ว) และอื่นๆ องค์ประกอบที่ kคุณสามารถเลือกได้n-(k-1) วิธีสุดท้าย - ในสองวิธีและ องค์ประกอบสุดท้าย- ในทางเดียวเท่านั้นเนื่องจากองค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดได้ถูกเลือกแล้วไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง -

ทีนี้มาสร้างสูตรกันดีกว่า

ดังนั้น จำนวนวิธีในการเลือกองค์ประกอบแรกจากเซตคือn - บน ทั้งหมดของเหล่านี้n วิธีตามn-1 วิธีเลือกอันที่สอง ซึ่งหมายความว่าจำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกองค์ประกอบที่ 1 และ 2 ตาม กฎผลิตภัณฑ์จะเท่ากันn(n-1) - ยิ่งไปกว่านั้น แต่ละคนก็คำนึงถึงด้วยn-2 วิธีเลือกองค์ประกอบที่สาม วิธี, สามสามารถเลือกองค์ประกอบได้แล้วn(n-1)(n-2) วิธี และอื่นๆ:

4 องค์ประกอบ - วิธี

k องค์ประกอบในรูปแบบต่างๆ

n องค์ประกอบในรูปแบบต่างๆ

วิธี, nองค์ประกอบสามารถเลือกได้ (หรือในกรณีของเรา) ในรูปแบบต่างๆ

จำนวนวิธีดังกล่าวมีดังต่อไปนี้:พี - อ่านว่า: “pe จาก en” จากภาษาฝรั่งเศส” ปการแปรเปลี่ยน - การจัดเรียงใหม่" เมื่อแปลเป็นภาษารัสเซียแปลว่า: "การเรียงสับเปลี่ยนจาก n องค์ประกอบ".

วิธี,

ทีนี้มาดูการแสดงออกกันยืนอยู่ทางด้านขวาของสูตร ไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? แล้วถ้าคุณเขียนใหม่จากขวาไปซ้าย แบบนี้?

แน่นอน! แฟกทอเรียลด้วยตนเอง :) ตอนนี้คุณสามารถเขียนสั้น ๆ ได้แล้ว:

วิธี, ตัวเลข ทุกคนการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้จาก n องค์ประกอบที่แตกต่างกันมีความเท่าเทียมกัน มะ! .

นี่คือความหมายเชิงปฏิบัติหลักของแฟกทอเรียล))

ตอนนี้เราสามารถตอบคำถามมากมายที่เกี่ยวข้องกับการรวมกันและการเรียงสับเปลี่ยนได้อย่างง่ายดาย)

หนังสือ 7 เล่มสามารถวางบนชั้นวางได้กี่วิธี?

ป 7 = 7! = 1 2·3·4·5·6·7 = 5040 วิธี)

คุณสามารถจัดตารางเวลา (สำหรับหนึ่งวัน) จาก 6 วิชาที่แตกต่างกันได้กี่วิธี?

ป6 = 6! = 1 2·3·4·5·6 = 720 วิธี

1 คอลัมน์สามารถจัดเรียงคน 12 คนได้กี่วิธี?

ไม่มีคำถาม! พ 12 = 12! = 1 2·3·...·12 = 479001600 วิธี -

เยี่ยมมากใช่มั้ย?

มีปัญหาเรื่องตลกที่โด่งดังอย่างหนึ่งในหัวข้อการเรียงสับเปลี่ยน:

วันหนึ่ง เพื่อน 8 คนเข้าไปในร้านอาหารแห่งหนึ่งซึ่งมีโต๊ะกลมขนาดใหญ่อยู่ และโต้เถียงกันเป็นเวลานานว่าควรจะนั่งรอบโต๊ะนี้อย่างไรดีที่สุด พวกเขาโต้เถียงกันจนในที่สุดเจ้าของร้านอาหารก็เสนอข้อตกลงให้พวกเขา: “ทะเลาะกันทำไม? ยังไงก็ไม่มีใครหิวอยู่แล้ว :) ก่อนอื่นให้นั่งลงก่อน! จำการจัดที่นั่งวันนี้ให้ดี แล้วพรุ่งนี้มานั่งแยกกัน วันรุ่งขึ้นมานั่งใหม่ในรูปแบบใหม่! และอื่นๆ... ทันทีที่คุณตรวจดูตัวเลือกที่นั่งที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว และถึงเวลาที่จะนั่งลงอีกครั้งเหมือนที่คุณทำในวันนี้ ยังไงก็ตาม ฉันสัญญาว่าจะเลี้ยงคุณในร้านอาหารของฉันฟรี!” ใครจะชนะ – เจ้าของหรือผู้มาเยือน? -

เอาล่ะมานับจำนวนทุกคนกันดีกว่า ตัวเลือกที่เป็นไปได้การจัดที่นั่ง ในกรณีของเรา นี่คือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนขององค์ประกอบ 8 รายการ:

ป 8 = 8! - 40320 วิธี

ขอให้เรามี 365 วันในหนึ่งปี (เราจะไม่คำนึงถึงวันอธิกสุรทินเพื่อความง่าย) ซึ่งหมายความว่าแม้จะคำนึงถึงสมมติฐานนี้แล้วก็ยังต้องใช้เวลาหลายปีในการลองทุกอย่าง วิธีที่เป็นไปได้การลงจอดจะเป็น:

กว่า 110 ปี! นั่นคือแม้ว่าแม่ของพวกเขาจะนำฮีโร่ในรถเข็นเด็กของเราไปที่ร้านอาหารตรงจากโรงพยาบาลคลอดบุตร พวกเขาจะสามารถรับอาหารกลางวันฟรีได้เฉพาะเมื่ออายุเกินร้อยปีเท่านั้น ถ้าทั้งแปดรอดมาถึงยุคนั้นได้แน่นอน))

เนื่องจากแฟกทอเรียลเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วมาก! ดูด้วยตัวคุณเอง:

โดยวิธีการที่เท่าเทียมกันและ1! = 1 - นี่คือวิธีการ: จากเซตว่าง (0 องค์ประกอบ) เราสามารถสร้างได้เท่านั้น หนึ่งการเรียงสับเปลี่ยน - เซตว่าง :) เช่นเดียวกับจากชุดที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวเราก็สร้างได้เพียงเท่านั้น หนึ่งการเรียงสับเปลี่ยน - องค์ประกอบนี้เอง

ทุกอย่างชัดเจนกับการจัดเรียงใหม่หรือไม่? เยี่ยมมาก งั้นเรามาทำงานกันดีกว่า)

ภารกิจที่ 1

คำนวณ:

ก)ป 3 ข)ป5

ใน)หน้า 9:หน้า 8 ช)P2000:P1999

ภารกิจที่ 2

จริงหรือเปล่า

ภารกิจที่ 3

สามารถสร้างตัวเลขสี่หลักที่แตกต่างกันได้กี่จำนวน?

ก) จากหมายเลข 1, 2, 3, 4

b) จากตัวเลข 0, 5, 6, 7?

คำแนะนำสำหรับจุด b): ตัวเลขต้องไม่ขึ้นต้นด้วยเลข 0!

ภารกิจที่ 4

เรียกว่าคำและวลีที่มีการจัดเรียงตัวอักษรใหม่ แอนนาแกรม- คำว่า "ด้านตรงข้ามมุมฉาก" สามารถสร้างแอนนาแกรมได้กี่อัน?

ภารกิจที่ 5

สามารถสร้างตัวเลขห้าหลักที่หารด้วย 4 ลงตัวได้กี่ตัวโดยการสลับตัวเลขในหมายเลข 61135?

คำแนะนำ: จำแบบทดสอบการหารด้วย 4 ลงตัว (ตามเลขสองตัวสุดท้าย)!

คำตอบที่ไม่เป็นระเบียบ: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.

ทุกอย่างได้ผล! ยินดีด้วย! จบระดับ 1 แล้ว เรามาต่อตอนต่อไปกันดีกว่า เรียกว่า " ตำแหน่งที่ไม่มีการทำซ้ำ"

แฟกทอเรียล

แฟกทอเรียล – นี่คือชื่อของฟังก์ชันที่มักพบในทางปฏิบัติ ซึ่งกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ชื่อของฟังก์ชันมาจากคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ภาษาอังกฤษ ปัจจัย- "ตัวคูณ" มันถูกกำหนดไว้ มะ!- เครื่องหมายแฟกทอเรียล " ! "ได้รับการแนะนำในปี 1808 ในตำราภาษาฝรั่งเศส Chr. ครัมป์.

สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก nการทำงาน มะ!เท่ากับผลคูณของจำนวนเต็มทั้งหมดจาก 1 ถึง n.

ตัวอย่างเช่น:

4! = 1*2*3*4 = 24.

เพื่อความสะดวกเราถือว่าตามคำจำกัดความ 0! = 1 - เจ. วาลลิสเขียนไว้ในปี 1656 ใน “เลขคณิตของอนันต์” ว่าตามคำจำกัดความแล้ว แฟคทอเรียล 0 จะต้องเท่ากับ 1

การทำงาน มะ!เติบโตเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ nเร็วมาก ดังนั้น,

(n+1)! = (น + 1) น! = (n + 1) n (n – 1)!

(1) เจ. นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษสเตอร์ลิง ในปี 1970 เสนอความสะดวกสบายมากสูตร

สำหรับการคำนวณฟังก์ชัน n!: ที่ไหน = จ

2.7182... คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์เมื่อใช้สูตรนี้มีน้อยมากและลดลงอย่างรวดเร็วเมื่อจำนวน n เพิ่มขึ้น

มาดูวิธีการแก้นิพจน์ที่มีแฟกทอเรียลโดยใช้ตัวอย่างกันตัวอย่างที่ 1 .

- (น! + 1)! = (น! + 1) น!ตัวอย่างที่ 2 10! 8!

- คำนวณสารละลาย.

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

ลองใช้สูตร (1):ตัวอย่างที่ 3 (n + 3)! = 90 - แก้สมการ

- คำนวณ(n+1)!

ตามสูตร (1) ที่เรามี

= (n + 3)(n + 2) = 90 + 3)! = (n + 3)((น n+2)(n+1)!

(n+1)! (n+1)!

เมื่อเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์เราจะได้สมการกำลังสอง + หมายเลข 2

5n - 84 = 0 ซึ่งมีรากคือตัวเลข n = 7 และ n = -12 อย่างไรก็ตาม แฟกทอเรียลถูกกำหนดไว้สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบเท่านั้น กล่าวคือ สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด n ≥ 0 ดังนั้น จำนวน n = -12 จึงไม่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา ดังนั้น n = 7ตัวอย่างที่ 4 หาจำนวนธรรมชาติอย่างน้อยหนึ่งสามเท่าเอ็กซ์, ย

- คำนวณและ z ซึ่งความเท่าเทียมกัน x! = ย! z!.

จากคำจำกัดความของแฟกทอเรียลของจำนวนธรรมชาติ n จะได้ดังนี้

(n+1)! = (น + 1) น! ให้เราใส่ n + 1 = y ในความเท่าเทียมกันนี้! = x, ที่ไหนที่

เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

ตอนนี้เราเห็นว่าสามารถระบุตัวเลขสามเท่าที่ต้องการในแบบฟอร์มได้

โดยที่ y เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

ตัวอย่างที่ 5กำหนดจำนวนศูนย์ที่ลงท้ายด้วยเครื่องหมายทศนิยมของหมายเลข 32!

- คำนวณถ้าเป็นเครื่องหมายทศนิยมของตัวเลข ร= 32! สิ้นสุด เคศูนย์แล้วตามด้วยตัวเลข รสามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้

พ = ถาม 10,000

หมายเลขอยู่ที่ไหน ถาม หารด้วย 10 ไม่ลงตัว ซึ่งหมายความว่าการสลายตัวของตัวเลข ถามตัวประกอบเฉพาะไม่มีทั้ง 2 และ 5

ดังนั้นเพื่อตอบคำถามที่ถูกตั้งให้ลองพิจารณาว่าผลคูณ 1 2 3 4 ... 30 31 32 รวมตัวเลข 2 และ 5 ด้วยเลขชี้กำลังใด ถ้าตัวเลข เค- ตัวบ่งชี้ที่เล็กที่สุดที่พบ จากนั้นหมายเลข P จะสิ้นสุด เคศูนย์

ดังนั้น ลองมาดูกันว่าตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 32 หารด้วย 2 ลงตัวเป็นจำนวนกี่จำนวน แน่นอนว่าตัวเลขคือ 32/2 = 16 จากนั้นเราจะพิจารณาว่าตัวเลข 16 ตัวที่พบหารด้วย 4 ลงตัวเป็นจำนวนเท่าใด แล้ว - มีกี่ตัวที่หารด้วย 8 ลงตัว ฯลฯ ด้วยเหตุนี้เราจึงได้ตัวเลขธรรมชาติสามสิบสองตัวแรก ตัวเลข 16 ตัวหารด้วย 2 ลงตัว

โดยที่ 32/4 = 8 จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว, โดย 32/8 = 4 จำนวนหารด้วย 8 ลงตัว, โดย 32/16 = 2 จำนวนหารด้วย 16 ลงตัว และสุดท้ายคือ 32/32 = 1 เป็น หารด้วย 32 ลงตัว. หมายเลขหนึ่ง เป็นที่ชัดเจนว่าผลรวมของปริมาณที่ได้รับ:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

เท่ากับเลขชี้กำลังซึ่งรวมเลข 2 ไว้ใน 32!.

ในทำนองเดียวกัน ลองกำหนดจำนวนตัวเลขในจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 32 ที่หารด้วย 5 ลงตัว และจากจำนวนที่พบด้วย 10 หาร 32 ด้วย 5

เราได้ 32/5 = 6.4 ดังนั้น ในบรรดาจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 32

มีตัวเลข 6 ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว หนึ่งในนั้นหารด้วย 25 ลงตัว

หมายเลขตั้งแต่ 32/25 = 1.28. ส่งผลให้เลข 5 รวมอยู่ในเลข 32 ด้วย! โดยมีตัวบ่งชี้เท่ากับผลรวม 6+1 = 7

จากผลลัพธ์ที่ได้เป็นไปตามนั้น 32!= 2 31 5 7 ที,หมายเลขอยู่ที่ไหน ตหารด้วย 2 หรือ 5 ลงตัวไม่ได้ ดังนั้น ตัวเลขคือ 32! มีตัวคูณ

10 7 และลงท้ายด้วยศูนย์ 7 ตัว

ดังนั้น ในนามธรรมนี้ แนวคิดของแฟกทอเรียลจึงถูกกำหนดไว้

ได้สูตรของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เจ. สเตอร์ลิง สำหรับการคำนวณฟังก์ชัน n โดยประมาณ!

เมื่อแปลงนิพจน์ที่มีแฟกทอเรียล การใช้ความเท่าเทียมกันจะเป็นประโยชน์

(n+1)! = (น + 1) น! = (n + 1) n (n – 1)!

มีการกล่าวถึงวิธีการแก้ปัญหาด้วยแฟกทอเรียลโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

แฟกทอเรียลใช้ในสูตรต่างๆ เชิงผสม,อยู่ในอันดับ ฯลฯ

เช่น จำนวนวิธีในการสร้าง nเด็กนักเรียนในหนึ่งบรรทัดเท่ากับ มะ!.

หมายเลข เอ็น! เท่ากับจำนวนวิธีที่จะจัดเรียงหนังสือ n เล่มบนชั้นหนังสือได้ หรืออย่างเช่น เลข 5! เท่ากับจำนวนวิธีที่คนห้าคนสามารถนั่งบนม้านั่งตัวเดียวได้ หรือเช่นหมายเลข 27! เท่ากับจำนวนวิธีที่นักเรียนในชั้นเรียนจำนวน 27 คนของเราสามารถเข้าแถวในชั้นเรียนพลศึกษาได้

วรรณกรรม.

Ryazanovsky A.R. , Zaitsev E.A.

คณิตศาสตร์. เกรด 5-11: สื่อเพิ่มเติมสำหรับบทเรียนคณิตศาสตร์ –อ.: อีสตาร์ด, 2544.- (ห้องสมุดครู).

พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์

อ.ป.สวิน.-ม.: การสอน, 2528

คณิตศาสตร์. คู่มือนักเรียนโรงเรียน. / คอมพ์ จี.เอ็ม. Yakusheva.- M.: นักปรัชญา. สังคม "สโลวา", 2539

ข้อความค้นหาช่วยเตือนว่าทำไมตัวเลขยกกำลัง 0 จึงเป็นหนึ่ง ซึ่งเป็นข้อความค้นหาที่ฉันแก้ไขในบทความก่อนหน้านี้ ยิ่งกว่านั้น ฉันขอยืนยันในสิ่งที่ฉันมั่นใจก่อนหน้านี้ในการอธิบายข้อเท็จจริงที่ชัดเจน ยอมรับอย่างไร้ยางอาย แต่อธิบายไม่ได้ - ความสัมพันธ์ไม่ได้เป็นไปตามอำเภอใจ

มีสามวิธีในการพิจารณาว่าเหตุใดตัวประกอบศูนย์จึงเท่ากับหนึ่ง

1! = 1 * 1 = 1

2! = 1 * 2 = 2

3! = 1 * 2 * 3 = 6

4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

เทมเพลตที่สมบูรณ์

ถ้า (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4

(P-3) * (n-2) * (N-1)

ตามตรรกะแล้ว n! = 1 * 2 * 3 * 4

(P-3) * (p-2) * (p-1) * หน้า

หรือนะ! = น * (น-1)! - (ฉัน)

4! / 4 = 3!

3! / 3 = 2!

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

หากคุณมองดูเส้นทางเหล่านี้อย่างใกล้ชิด ภาพก็จะเผยตัวออกมาเอง เรามายุติมันจนกว่ามันจะจัดการเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง:

หรือ 0! = 1

1! = 1 * (1-1)!

1 = 1 * 0!

เราสามารถได้ผลลัพธ์นี้โดยเพียงแค่เสียบ 1 สำหรับ "n" ใน (i) เพื่อรับ:

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

0! / 0 =

อย่างไรก็ตาม คำอธิบายนี้ไม่ได้บอกว่าเหตุใดแฟคทอเรียลของจำนวนลบจึงไม่มีอยู่จริง ลองดูรูปแบบของเราอีกครั้งเพื่อดูว่าทำไม

ฉันยอมรับว่าวิธีการเหล่านี้ค่อนข้างน่าสงสัย ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่มีเล่ห์เหลี่ยมและบอกเป็นนัยในการกำหนดแฟกทอเรียลของศูนย์ เหมือนทะเลาะกันเรื่องฟาง อย่างไรก็ตาม เราสามารถหาคำอธิบายได้ในสาขาที่การดำรงอยู่ทั้งหมดขึ้นอยู่กับการคำนวณแฟกทอเรียล - เชิงผสม

ข้อตกลง

ดังนั้นเมื่อค่าของ "n" เป็นศูนย์ คำถามจะเปลี่ยนว่าอะไรเป็น วิธีต่างๆการจัดระเบียบของวัตถุเป็นศูนย์? แน่นอนหนึ่ง! มีการเรียงสับเปลี่ยนเพียงวิธีเดียวหรือวิธีเดียวที่จะจัดการอะไรไม่ได้เลย เพราะไม่มีอะไรต้องจัดเรียง อะไร? พูดตามตรง มันเป็นของสาขาปรัชญา แม้ว่าจะเป็นหนึ่งในแนวคิดที่น่ารังเกียจหรือผิดที่นักศึกษาใหม่ไว้วางใจหลังจากอ่านคำพูดของ Nietzsche บน Pinterest

ลองดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับวัตถุทางกายภาพ เนื่องจากอาจช่วยปรับปรุงความเข้าใจได้ แฟกทอเรียลยังเป็นศูนย์กลางของการรวมคอมพิวเตอร์ ซึ่งเป็นกระบวนการที่กำหนดกลไกด้วย แต่ลำดับของสิ่งต่าง ๆ นั้นไม่สำคัญเท่ากับการเรียงสับเปลี่ยน ความแตกต่างระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนและการรวมกันคือความแตกต่างระหว่างการล็อคแบบรวมและชามผลไม้ก้อน กุญแจแบบรหัสมักเรียกผิดๆ ว่า " ล็อคแบบรวม" เมื่อจริง ๆ แล้วเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน เนื่องจาก 123 และ 321 ไม่สามารถปลดล็อคได้

สูตรทั่วไปในการกำหนดจำนวนเส้นทางของวัตถุ "k" สามารถจัดเรียงในตำแหน่ง "n" ได้:

ในขณะที่กำหนดจำนวนวิธีในการเลือกหรือรวมวัตถุ "k" จากวัตถุ "n":

สิ่งนี้ช่วยให้เราสามารถกำหนดจำนวนวิธีที่สามารถเลือกลูกบอลสองลูกจากถุงที่มีลูกบอลห้าลูกได้ สีที่ต่างกัน- เนื่องจากลำดับของลูกบอลที่เลือกไม่สำคัญ เราจึงใช้สูตรที่สองในการคำนวณชุดค่าผสมที่น่าดึงดูด

แล้วถ้าค่าของ "n" และ "k" เท่ากันทุกประการล่ะ? ลองแทนที่ค่าเหล่านี้แล้วค้นหา โปรดทราบว่าแฟกทอเรียลของศูนย์จะได้มาจากตัวส่วน

แต่เราจะเข้าใจการคำนวณทางคณิตศาสตร์นี้ด้วยสายตาได้อย่างไรจากมุมมองของตัวอย่างของเรา? การคำนวณเป็นวิธีแก้ปัญหาสำหรับคำถามที่ถามว่า มีวิธีเลือกลูกบอล 3 ลูกจากถุงที่มีเพียง 3 ลูกได้หลายวิธีแตกต่างกันอย่างไร แน่นอน! การเลือกพวกมันตามลำดับจะไม่มีผล! สมการการคำนวณที่มีหนึ่งและศูนย์แฟคทอเรียลกลายเป็น *กลองม้วน*

แฟกทอเรียล

ตัวอย่างเช่น:

4! = 1*2*3*4 = 24.

การทำงาน มะ!เติบโตเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ nเร็วมาก ดังนั้น,

(n+1)! = (น + 1) น! = (n + 1) n (n – 1)!

สำหรับการคำนวณฟังก์ชัน n!: ที่ไหน = จ

2.7182... คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

มาดูวิธีการแก้นิพจน์ที่มีแฟกทอเรียลโดยใช้ตัวอย่างกันตัวอย่างที่ 1 .

- (น! + 1)! = (น! + 1) น!ตัวอย่างที่ 2 10! 8!

- คำนวณสารละลาย.

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

ลองใช้สูตร (1):ตัวอย่างที่ 3 (n + 3)! = 90 - แก้สมการ

- คำนวณ(n+1)!

ตามสูตร (1) ที่เรามี

= (n + 3)(n + 2) = 90 + 3)! = (n + 3)((น n+2)(n+1)!

(n+1)! (n+1)!

เมื่อเปิดวงเล็บในผลิตภัณฑ์เราจะได้สมการกำลังสอง + หมายเลข 2

- คำนวณและ z ซึ่งความเท่าเทียมกัน x! = ย! z!.

จากคำจำกัดความของแฟกทอเรียลของจำนวนธรรมชาติ n จะได้ดังนี้

(n+1)! = (น + 1) น! ให้เราใส่ n + 1 = y ในความเท่าเทียมกันนี้! = x, ที่ไหนที่

เป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้

ตอนนี้เราเห็นว่าสามารถระบุตัวเลขสามเท่าที่ต้องการในแบบฟอร์มได้

โดยที่ y เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1

ตัวอย่างเช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง

พ = ถาม 10,000

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

เท่ากับเลขชี้กำลังซึ่งรวมเลข 2 ไว้ใน 32!.

เราได้ 32/5 = 6.4 ดังนั้น ในบรรดาจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 32

มีตัวเลข 6 ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัว หนึ่งในนั้นหารด้วย 25 ลงตัว

10 7 และลงท้ายด้วยศูนย์ 7 ตัว

ดังนั้น ในนามธรรมนี้ แนวคิดของแฟกทอเรียลจึงถูกกำหนดไว้

เมื่อแปลงนิพจน์ที่มีแฟกทอเรียล การใช้ความเท่าเทียมกันจะเป็นประโยชน์

(n+1)! = (น + 1) น! = (n + 1) n (n – 1)!

มีการกล่าวถึงวิธีการแก้ปัญหาด้วยแฟกทอเรียลโดยละเอียดโดยใช้ตัวอย่าง

แฟกทอเรียลใช้ในสูตรต่างๆ เชิงผสม,อยู่ในอันดับ ฯลฯ

เช่น จำนวนวิธีในการสร้าง nเด็กนักเรียนในหนึ่งบรรทัดเท่ากับ มะ!.

วรรณกรรม.

Ryazanovsky A.R. , Zaitsev E.A.

พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ / คอมพ์

อ.ป.สวิน.-ม.: การสอน, 2528