ตัวหารและตัวคูณ ตัวหารและผลคูณ จำนวนธรรมชาติที่เป็นทวีคูณของ 15

สัญญาณของการหารตัวเลขการรู้ 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 และตัวเลขอื่น ๆ มีประโยชน์เพื่อแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับสัญกรณ์ดิจิทัลของตัวเลขอย่างรวดเร็ว แทนที่จะหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่ง ก็เพียงพอที่จะตรวจสอบเครื่องหมายจำนวนหนึ่งโดยพิจารณาจากที่คุณสามารถระบุได้อย่างชัดเจนว่าตัวเลขหนึ่งหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งหรือไม่ (ไม่ว่าจะเป็นหลายตัว) หรือไม่

สัญญาณพื้นฐานของการแบ่งแยก

ให้กันเถอะ สัญญาณพื้นฐานของการหารตัวเลข:

• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “2”ตัวเลขหารด้วย 2 ถ้าตัวเลขเป็นเลขคู่ (หลักสุดท้ายคือ 0, 2, 4, 6 หรือ 8)
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 1256 เป็นผลคูณของ 2 เนื่องจากลงท้ายด้วย 6 แต่ตัวเลข 49603 ไม่สามารถหารด้วย 2 ลงตัวได้เนื่องจากลงท้ายด้วย 3
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “3”ตัวเลขหารด้วย 3 ได้ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 3 ลงตัว
  ตัวอย่าง: หมายเลข 4761 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 18 และหารด้วย 3 ลงตัว และหมายเลข 143 ไม่ใช่จำนวนทวีคูณของ 3 เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 8 และหารด้วยไม่ลงตัว 3.
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “4”ตัวเลขหารด้วย 4 ได้ถ้าตัวเลขสองตัวสุดท้ายของตัวเลขเป็นศูนย์หรือตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสองตัวสุดท้ายหารด้วย 4
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 2344 เป็นผลคูณของ 4 เนื่องจาก 44/4 = 11 และตัวเลข 3951 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 51 หารด้วย 4 ไม่ลงตัว
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “5”ตัวเลขหารด้วย 5 ได้ถ้าหลักสุดท้ายของตัวเลขคือ 0 หรือ 5
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 5830 หารด้วย 5 ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 0 แต่ตัวเลข 4921 หารด้วย 5 ไม่ได้เพราะลงท้ายด้วย 1
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “6”ตัวเลขหารด้วย 6 ถ้าหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 3504 เป็นผลคูณของ 6 เนื่องจากลงท้ายด้วย 4 (หารด้วย 2 ลงตัว) และผลรวมของตัวเลขคือ 12 และหารด้วย 3 ลงตัว (หารด้วย 3 ลงตัว) และจำนวน 5432 นั้นหารด้วย 6 ลงตัวไม่ครบ แม้ว่าจำนวนจะลงท้ายด้วย 2 ก็ตาม (สังเกตเกณฑ์การหารด้วย 2 ลงตัว) อย่างไรก็ตาม ผลรวมของหลักจะเท่ากับ 14 และหารด้วย 3 ไม่ลงตัว
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “8”ตัวเลขหารด้วย 8 ได้ถ้าตัวเลขสามหลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นศูนย์หรือตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขสามหลักสุดท้ายของตัวเลขหารด้วย 8
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 93112 หารด้วย 8 ลงตัว เนื่องจากตัวเลข 112/8 = 14 และตัวเลข 9212 ไม่ใช่จำนวนทวีคูณของ 8 เนื่องจาก 212 หารด้วย 8 ไม่ลงตัว
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “9”ตัวเลขหารด้วย 9 ได้ถ้าผลรวมของตัวเลขหารด้วย 9 ลงตัว
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 2916 เป็นผลคูณของ 9 เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 18 และหารด้วย 9 ลงตัว และตัวเลข 831 หารด้วย 9 ไม่ลงตัว เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 12 และมันคือ หารด้วย 9 ลงตัวไม่ได้.
• ทดสอบการหารตัวเลขด้วย “10” ลงตัวตัวเลขหารด้วย 10 หากลงท้ายด้วย 0
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 39590 หารด้วย 10 ลงตัวเพราะลงท้ายด้วย 0 และตัวเลข 5964 หารด้วย 10 ลงตัวไม่ได้เพราะไม่ได้ลงท้ายด้วย 0
• ทดสอบการหารตัวเลขด้วย “11” ลงตัวตัวเลขจะหารด้วย 11 ลงตัว ถ้าผลรวมของหลักในตำแหน่งคี่เท่ากับผลรวมของหลักในตำแหน่งคู่ หรือผลรวมต้องต่างกัน 11
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 3762 หารด้วย 11 ลงตัว เนื่องจาก 3 + 6 = 7 + 2 = 9 แต่ตัวเลข 2374 หารด้วย 11 ไม่ลงตัว เนื่องจาก 2 + 7 = 9 และ 3 + 4 = 7
• การทดสอบการหารจำนวนด้วย “25”ตัวเลขหารด้วย 25 หากลงท้ายด้วย 00, 25, 50 หรือ 75
  ตัวอย่าง: ตัวเลข 4950 เป็นผลคูณของ 25 เนื่องจากลงท้ายด้วย 50 และ 4935 หารด้วย 25 ไม่ลงตัวเนื่องจากลงท้ายด้วย 35

สัญญาณของการหารด้วยจำนวนประกอบลงตัว

หากต้องการทราบว่าจำนวนที่กำหนดหารด้วยจำนวนประกอบลงตัวหรือไม่ คุณต้องแยกตัวประกอบก่อน หมายเลขประกอบบน ปัจจัยโคไพรม์ซึ่งทราบสัญญาณของการแบ่งแยกแล้ว ตัวเลขโคไพรม์คือตัวเลขที่ไม่มีตัวประกอบร่วมกันนอกจาก 1 ตัวอย่างเช่น ตัวเลขหารด้วย 15 ลงตัว หากหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว

ลองดูตัวอย่างอื่นของตัวหารประกอบ: ตัวเลขจะหารด้วย 18 ลงตัวหากหารด้วย 2 และ 9 ในกรณีนี้ คุณไม่สามารถแยกตัวประกอบ 18 เป็น 3 และ 6 ได้ เนื่องจากพวกมันไม่ใช่จำนวนเฉพาะเนื่องจากพวกมันมีตัวร่วมร่วมกัน ตัวหาร 3 มาตรวจสอบกันโดยใช้ตัวอย่างกัน

จำนวน 456 หารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากผลรวมของหลักคือ 15 และหารด้วย 6 ลงตัว เนื่องจากหารด้วย 3 และ 2 ลงตัว แต่ถ้าคุณหาร 456 ด้วย 18 ด้วยตนเอง คุณจะได้เศษ หากสำหรับเลข 456 เราตรวจสอบเครื่องหมายหารด้วย 2 และ 9 ลงตัว เราจะเห็นได้ทันทีว่าหารด้วย 2 ลงตัว แต่หารด้วย 9 ลงตัวไม่ได้ เนื่องจากผลรวมของตัวเลขคือ 15 และหารด้วย 9 ไม่ลงตัว 9.

คำว่า "หลายหลาก" หมายถึงสาขาคณิตศาสตร์ จากมุมมองของวิทยาศาสตร์นี้ หมายถึงจำนวนครั้งที่จำนวนหนึ่งเป็นส่วนหนึ่งของอีกจำนวนหนึ่ง

แนวคิดเรื่องความหลากหลาย

เมื่ออธิบายข้างต้นให้ง่ายขึ้น เราสามารถพูดได้ว่าการคูณของจำนวนหนึ่งที่สัมพันธ์กับอีกจำนวนหนึ่งจะแสดงจำนวนครั้งที่จำนวนแรกมากกว่าจำนวนที่สอง ดังนั้น ความจริงที่ว่าจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนทวีคูณของอีกจำนวนหนึ่ง จริงๆ แล้วจำนวนที่มากกว่าสามารถหารด้วยจำนวนที่น้อยกว่าได้โดยไม่เหลือเศษ ตัวอย่างเช่น ผลคูณของ 3 คือ 6

ความเข้าใจคำว่า "หลายหลาก" นี้ก่อให้เกิดผลที่ตามมาที่สำคัญหลายประการ อย่างแรกคือตัวเลขใดๆ สามารถมีจำนวนทวีคูณได้ไม่จำกัด นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าในความเป็นจริงเพื่อให้ได้จำนวนอื่นที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนหนึ่งจำเป็นต้องคูณจำนวนแรกด้วยค่าจำนวนเต็มบวกใด ๆ ซึ่งในทางกลับกันก็มีค่าอนันต์ ตัวเลข. ตัวอย่างเช่น ผลคูณของตัวเลข 3 คือตัวเลข 6, 9, 12, 15 และอื่นๆ ซึ่งได้จากการคูณตัวเลข 3 ด้วยจำนวนเต็มบวกใดๆ

คุณสมบัติที่สำคัญประการที่สองเกี่ยวข้องกับการกำหนดจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนที่ต้องการ ดังนั้น ผลคูณที่น้อยที่สุดของจำนวนใดๆ ก็คือจำนวนนั้นนั่นเอง นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าผลลัพธ์จำนวนเต็มที่น้อยที่สุดของการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งก็คือหนึ่ง และการหารตัวเลขด้วยตัวมันเองที่ให้ผลลัพธ์นี้ ดังนั้นจำนวนที่เป็นจำนวนทวีคูณของจำนวนที่พิจารณาต้องไม่น้อยกว่าจำนวนนี้เอง ตัวอย่างเช่น สำหรับเลข 3 ตัวคูณที่น้อยที่สุดคือ 3 ในกรณีนี้ ให้กำหนด จำนวนมากที่สุดที่เป็นพหุคูณของอันที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นแทบจะเป็นไปไม่ได้เลย

ตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 10

จำนวนที่เป็นทวีคูณของ 10 จะมีคุณสมบัติทั้งหมดตามรายการด้านบน เช่นเดียวกับตัวคูณอื่นๆ ดังนั้น จากคุณสมบัติที่แสดงไว้ จะตามมาว่าจำนวนที่น้อยที่สุดที่เป็นจำนวนเท่าของ 10 ก็คือเลข 10 นั่นเอง ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากหมายเลข 10 นั้นเป็นเลขสองหลัก เราจึงสามารถสรุปได้ว่าเฉพาะตัวเลขที่ประกอบด้วยตัวเลขอย่างน้อยสองหลักเท่านั้นที่สามารถเป็น หลายเท่าของ 10

เพื่อให้ได้ตัวเลขอื่นๆ ที่เป็นทวีคูณของ 10 คุณต้องคูณตัวเลข 10 ด้วยจำนวนเต็มบวกใดๆ ดังนั้น รายการตัวเลขที่เป็นทวีคูณของ 10 จะประกอบด้วยตัวเลข 20, 30, 40, 50 และอื่นๆ โปรดทราบว่าตัวเลขทั้งหมดที่ได้รับจะต้องหารด้วย 10 โดยไม่มีเศษ อย่างไรก็ตาม ไม่สามารถระบุจำนวนที่มากที่สุดที่เป็นจำนวนทวีคูณของ 10 ได้ เช่นเดียวกับในกรณีของตัวเลขอื่นๆ

นอกจากนี้ โปรดทราบว่ามีวิธีง่ายๆ ที่ใช้งานได้จริงในการพิจารณาว่าตัวเลขใดจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนทวีคูณของ 10 หรือไม่ โดยการค้นหาว่าหลักสุดท้ายคือเท่าใด ดังนั้น ถ้ามันเท่ากับ 0 ตัวเลขดังกล่าวจะเป็นผลคูณของ 10 กล่าวคือ สามารถหารด้วย 10 โดยไม่มีเศษเหลือได้ มิฉะนั้น ตัวเลขดังกล่าวจะไม่เป็นผลคูณของ 10

หัวข้อ “เลขหลายตัว” ศึกษาในชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 เป้าหมายคือการพัฒนาทักษะการคำนวณทางคณิตศาสตร์ทั้งการเขียนและการพูด ในบทเรียนนี้ จะมีการแนะนำแนวคิดใหม่ๆ เช่น "จำนวนหลายจำนวน" และ "ตัวหาร" เทคนิคการค้นหาตัวหารและจำนวนทวีคูณของจำนวนธรรมชาติ และความสามารถในการค้นหา LCM ในรูปแบบต่างๆ

หัวข้อนี้มีความสำคัญมาก ความรู้นี้สามารถนำไปใช้เมื่อแก้ตัวอย่างด้วยเศษส่วน ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาตัวส่วนร่วมด้วยการคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ผลคูณของ A คือจำนวนเต็มที่หารด้วย A ลงตัวโดยไม่มีเศษ

จำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีจำนวนทวีคูณเป็นอนันต์ ก็ถือว่ามีขนาดเล็กที่สุด ตัวคูณต้องไม่น้อยกว่าตัวเลขนั้นเอง

คุณต้องพิสูจน์ว่าเลข 125 เป็นผลคูณของเลข 5 เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหารตัวเลขแรกด้วยวินาที ถ้า 125 หารด้วย 5 ลงตัวโดยไม่มีเศษ คำตอบคือ ใช่

วิธีนี้ใช้ได้กับจำนวนน้อย

มีกรณีพิเศษเมื่อคำนวณ LOC

1. หากคุณต้องการค้นหาผลคูณร่วมของตัวเลข 2 ตัว (เช่น 80 และ 20) โดยที่หนึ่งในนั้น (80) หารด้วยอีกจำนวนหนึ่งลงตัว (20) แล้ว จำนวนนี้ (80) จะเป็นจำนวนน้อยที่สุดของจำนวนเหล่านี้ ตัวเลขสองตัว

ล.ซม.(80, 20) = 80.

2. ถ้าสองตัวไม่มีตัวหารร่วม เราก็บอกได้ว่า LCM เป็นผลคูณของตัวเลขสองตัวนี้

ล.ซม.(6, 7) = 42.

ลองดูตัวอย่างสุดท้าย 6 และ 7 เทียบกับ 42 เป็นตัวหาร พวกเขาหารผลคูณของจำนวนโดยไม่มีเศษ

ในตัวอย่างนี้ 6 และ 7 เป็นตัวประกอบที่จับคู่กัน ผลคูณของพวกเขามีค่าเท่ากับจำนวนทวีคูณมากที่สุด (42)

จำนวนเต็มเรียกว่าจำนวนเฉพาะหากหารด้วยตัวมันเองหรือ 1 ลงตัวเท่านั้น (3:1=3; 3:3=1) ส่วนที่เหลือเรียกว่าคอมโพสิต

อีกตัวอย่างหนึ่งเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่า 9 เป็นตัวหารของ 42 หรือไม่

42:9=4 (เหลือ 6)

คำตอบ: 9 ไม่ใช่ตัวหารของ 42 เพราะคำตอบนั้นมีเศษอยู่

ตัวหารแตกต่างจากตัวคูณตรงที่ตัวหารคือตัวเลขที่ใช้หารจำนวนธรรมชาติ และตัวพหุคูณนั้นหารด้วยจำนวนนี้ลงตัว

ตัวหารร่วมมากของตัวเลข กและ ขคูณด้วยตัวคูณน้อยที่สุดจะได้ผลลัพธ์ของตัวเลขนั้นเอง กและ ข.

กล่าวคือ: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b

ผลคูณร่วมของจำนวนเชิงซ้อนมีดังต่อไปนี้

เช่น ค้นหา LCM สำหรับ 168, 180, 3024

เราแยกตัวประกอบตัวเลขเหล่านี้เป็นตัวประกอบเฉพาะและเขียนเป็นผลคูณของกำลัง:

168=2³x3¹x7¹

2⁴х3³х5¹х7¹=15120

ลทบ.(168, 180, 3024) = 15120.