การแก้ปัญหาระบบลำดับที่สอง ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองโดยวิธีลากรองจ์ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้วิธีแครเมอร์
ระบบดิฟเฟอเรนเชียลสมการเรียกว่าระบบของรูปแบบ
โดยที่ x คืออาร์กิวเมนต์อิสระ
y ฉัน - ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับ ,
ใช่ ฉัน | x=x0 =y i0 - เงื่อนไขเริ่มต้น
ฟังก์ชั่นยี่(x) เมื่อทดแทน ระบบสมการจะกลายเป็นอัตลักษณ์ที่เรียกว่า การแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์.
วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง เรียกว่าสมการของรูป
เรียกว่าฟังก์ชัน y(x) เมื่อแทนที่สมการจนกลายเป็นเอกลักษณ์แล้ว การแก้สมการเชิงอนุพันธ์.
การหาคำตอบเฉพาะของสมการ (2) เป็นตัวเลข ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด นั่นคือ ปัญหาคอชีได้รับการแก้ไขแล้ว
สำหรับคำตอบเชิงตัวเลข สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองจะถูกแปลงเป็นระบบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งสองตัวและลดลงเป็น มุมมองเครื่อง (3). เมื่อต้องการทำเช่นนี้ มีการแนะนำฟังก์ชันใหม่ที่ไม่รู้จัก ทางด้านซ้ายของแต่ละสมการของระบบ เหลือเพียงอนุพันธ์แรกของฟังก์ชันที่ไม่รู้จักเท่านั้น และไม่ควรมีอนุพันธ์ทางด้านขวา
 .
| (3) |
ฟังก์ชัน f 2 (x, y 1 , y) ได้รับการแนะนำอย่างเป็นทางการในระบบ (3) เพื่อให้วิธีการที่จะแสดงด้านล่างสามารถใช้เพื่อแก้ระบบตามอำเภอใจของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้ ให้เราพิจารณาวิธีการเชิงตัวเลขหลายวิธีในการแก้ระบบ (3) การพึ่งพาที่คำนวณได้สำหรับขั้นตอนการรวม i+1 มีดังต่อไปนี้ ในการแก้ระบบสมการ n สูตรการคำนวณมีให้ไว้ข้างต้น ในการแก้ระบบสมการสองสมการ จะสะดวกในการเขียนสูตรการคำนวณโดยไม่มีดัชนีสองเท่าในรูปแบบต่อไปนี้:
- วิธีออยเลอร์.
y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i , y 1,i , y i)
y i+1 =y i +hf 2 (x i, y 1,i, y i)
- วิธีรุ่งเง-คุตตะลำดับที่สี่.
y 1,i+1 =y 1,i +(ม. 1 +2ม. 2 +2ม. 3 +ม. 4)/6,
ใช่ ฉัน+1 =y ฉัน +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,
ม. 1 =hf 1 (x ผม , y 1,i , y ผม)
k 1 =hf 2 (x ผม , y 1,i , y ผม)
ม. 2 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y +k 1 /2),
k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y +k 1 /2),
ม. 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y +k 2 /2),
k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y +k 2 /2),
ม. 4 =hf 1 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3)
k 4 =hf 2 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3)
โดยที่ h คือขั้นตอนการบูรณาการ เงื่อนไขเริ่มต้นระหว่างการรวมตัวเลขจะถูกนำมาพิจารณาที่ขั้นตอนเป็นศูนย์: i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0
ทดสอบการมอบหมายงานทดสอบ
การสั่นที่มีอิสระระดับหนึ่ง
เป้า.ศึกษาวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองและระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
ออกกำลังกาย.ค้นหาเชิงตัวเลขและเชิงวิเคราะห์:
- กฎการเคลื่อนที่ของจุดวัตถุบนสปริง x(t)
- กฎการเปลี่ยนแปลงของกระแส I(t) ในวงจรออสซิลเลเตอร์ (วงจร RLC) สำหรับแบบวิธีที่ระบุในตารางที่ 1 และ 2 สร้างกราฟของฟังก์ชันที่จำเป็น
ตัวเลือกสำหรับงาน
ตารางโหมด
ตัวเลือกงานและหมายเลขโหมด:
- การเคลื่อนไหวของจุด
- RLC - วงจร
ให้เราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับขั้นตอนในการเขียนสมการเชิงอนุพันธ์และนำมาเป็นรูปแบบเครื่องจักรเพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุบนสปริงและวงจร RLC
- ชื่อ วัตถุประสงค์ของงานและงาน
- คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ อัลกอริธึม (สตรอแกรม) และข้อความของโปรแกรม
- กราฟหกกราฟของการพึ่งพา (สามค่าที่แน่นอนและค่าประมาณสามค่า) x(t) หรือ I(t) ข้อสรุปเกี่ยวกับงาน
สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นลำดับที่สอง
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองมีรูปแบบ
คำนิยาม.ผลเฉลยทั่วไปของสมการอันดับสองคือฟังก์ชันที่เป็นคำตอบของสมการนี้ไม่ว่าค่าใดๆ ก็ตาม
คำนิยาม.สมการเอกพันธ์เชิงเส้นของลำดับที่สองเรียกว่าสมการ หากค่าสัมประสิทธิ์คงที่นั่นคือ ไม่ขึ้นอยู่กับ สมการนี้เรียกว่าสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่และเขียนได้ดังนี้: .
เราจะเรียกสมการนี้ว่าสมการแบบไม่เอกพันธ์เชิงเส้น
คำนิยาม.สมการที่ได้มาจากสมการเอกพันธ์เชิงเส้นโดยการแทนที่ฟังก์ชันด้วยหนึ่ง และด้วยกำลังที่สอดคล้องกัน เรียกว่าสมการคุณลักษณะ
เป็นที่ทราบกันดีว่าสมการกำลังสองมีวิธีการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับการเลือกปฏิบัติ: เช่น ถ้า แล้วราก และ เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน ถ้าอย่างนั้น. ถ้าเช่น จากนั้นจะเป็นจำนวนจินตภาพ และรากและจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน ในกรณีนี้เราตกลงที่จะแสดงถึง
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ
สารละลาย.การแบ่งแยกของสมการกำลังสองนี้จึงเป็น
เราจะแสดงวิธีการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงเส้นอันดับสองที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้รูปแบบของรากของสมการคุณลักษณะ
ถ้า เป็นรากที่แท้จริงของสมการคุณลักษณะ แล้ว
หากรากของสมการคุณลักษณะเท่ากันนั่นคือ จากนั้นหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์โดยใช้สูตร หรือ
ถ้าสมการคุณลักษณะมีรากที่ซับซ้อนแล้ว
ตัวอย่างที่ 5หาคำตอบทั่วไปของสมการ
สารละลาย.มาสร้างสมการลักษณะเฉพาะสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์นี้กันดีกว่า: รากของมันถูกต้องและแตกต่าง ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาทั่วไปคือ
ระบบพื้นฐานของการแก้สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น ในส่วนนี้ เราจะพิสูจน์ว่าพื้นฐานของสเปซเชิงเส้นของคำตอบบางส่วนของสมการเอกพันธ์สามารถเป็นเซตใดก็ได้ n
โซลูชันที่เป็นอิสระเชิงเส้น
Def. 14.5.5.1. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา. ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น n
-ลำดับที่ 2 คือระบบอิสระเชิงเส้นใดๆ ย
1 (x
), ย
2 (x
), …, ใช่
(x
) ของเขา n
โซลูชั่นส่วนตัว
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.1 เรื่องโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น- วิธีแก้ปัญหาทั่วไป ย
(x
) ของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นคือผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชันจากระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการนี้:
ย
(x
) = ค
1 ย
1 (x
) + ค
2 ย
2 (x
) + …+ ซี นี เอ็น
(x
).
เอกสาร- อนุญาต ย
1 (x
), ย
2 (x
), …, ใช่
(x
) เป็นระบบพื้นฐานของการแก้สมการอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น จึงต้องพิสูจน์ว่าวิธีแก้ข้อใดข้อหนึ่งโดยเฉพาะ ย
อะไร ( x
) ของสมการนี้มีอยู่ในสูตร ย
(x
) = ค
1 ย
1 (x
) + ค
2 ย
2 (x
) + …+ ซี นี เอ็น
(x
) สำหรับค่าคงที่ชุดหนึ่ง ค
1 , ค
2 , …, ซีเอ็น
- ลองหาจุดใดก็ได้ คำนวณตัวเลข ณ จุดนี้แล้วหาค่าคงที่ ค
1 , ค
2 , …, ซีเอ็น
เป็นการแก้ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นแบบไม่เป็นเนื้อเดียวกัน
วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวมีอยู่และไม่ซ้ำกัน เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ของระบบนี้เท่ากับ พิจารณาผลรวมเชิงเส้น ย
(x
) = ค
1 ย
1 (x
) + ค
2 ย
2 (x
) + …+ ซี นี เอ็น
(x
) ฟังก์ชั่นจากระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาด้วยค่าคงที่เหล่านี้ ค
1 , ค
2 , …, ซีเอ็น
และเปรียบเทียบกับฟังก์ชัน ย
อะไร ( x
- ฟังก์ชั่น ย
(x
) และ ย
อะไร ( x
) เป็นไปตามสมการเดียวกันและเงื่อนไขเริ่มต้นเดียวกันที่จุด x
0 ดังนั้น เนื่องจากความเป็นเอกลักษณ์ของวิธีแก้ปัญหา Cauchy จึงตรงกัน: ย
อะไร ( x
) = ค
1 ย
1 (x
) + ค
2 ย
2 (x
) + … + ซี นี เอ็น
(x
- ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
จากทฤษฎีบทนี้เป็นไปตามว่ามิติของปริภูมิเชิงเส้นของคำตอบบางส่วนของสมการเอกพันธ์ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องไม่เกิน n
- ยังคงต้องพิสูจน์ว่ามิตินี้ไม่น้อยกว่า n
.
ทฤษฎีบท 14.5.5.1.2 ว่าด้วยการมีอยู่ของระบบพื้นฐานของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้น สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธ์เชิงเส้นใดๆ n
ลำดับที่มีค่าสัมประสิทธิ์ต่อเนื่องมีระบบการแก้ปัญหาพื้นฐานเช่น ระบบจาก n
โซลูชั่นอิสระเชิงเส้น
เอกสาร- ลองหาปัจจัยที่เป็นตัวเลขใดๆ กัน n
-ลำดับที่ ไม่เท่ากับศูนย์
การรักษาความเป็นส่วนตัวของคุณเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเรา ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้พัฒนานโยบายความเป็นส่วนตัวที่อธิบายถึงวิธีที่เราใช้และจัดเก็บข้อมูลของคุณ โปรดตรวจสอบหลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวของเราและแจ้งให้เราทราบหากคุณมีคำถามใดๆ
การรวบรวมและการใช้ข้อมูลส่วนบุคคล
ข้อมูลส่วนบุคคลหมายถึงข้อมูลที่สามารถใช้เพื่อระบุหรือติดต่อบุคคลใดบุคคลหนึ่งโดยเฉพาะ
คุณอาจถูกขอให้ให้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณได้ตลอดเวลาเมื่อคุณติดต่อเรา
ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของประเภทของข้อมูลส่วนบุคคลที่เราอาจรวบรวมและวิธีที่เราอาจใช้ข้อมูลดังกล่าว
เราเก็บรวบรวมข้อมูลส่วนบุคคลอะไรบ้าง:
- เมื่อคุณส่งใบสมัครบนเว็บไซต์ เราอาจรวบรวมข้อมูลต่าง ๆ รวมถึงชื่อ หมายเลขโทรศัพท์ ที่อยู่อีเมลของคุณ ฯลฯ
เราใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณอย่างไร:
- ข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมช่วยให้เราสามารถติดต่อคุณเพื่อแจ้งข้อเสนอ โปรโมชั่น และกิจกรรมอื่น ๆ และกิจกรรมที่กำลังจะเกิดขึ้นได้ไม่ซ้ำใคร
- ในบางครั้ง เราอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลของคุณเพื่อส่งประกาศและการสื่อสารที่สำคัญ
- เรายังอาจใช้ข้อมูลส่วนบุคคลเพื่อวัตถุประสงค์ภายใน เช่น การดำเนินการตรวจสอบ การวิเคราะห์ข้อมูล และการวิจัยต่างๆ เพื่อปรับปรุงบริการที่เรามีให้และให้คำแนะนำเกี่ยวกับบริการของเราแก่คุณ
- หากคุณเข้าร่วมการจับรางวัล การประกวด หรือการส่งเสริมการขายที่คล้ายกัน เราอาจใช้ข้อมูลที่คุณให้ไว้เพื่อจัดการโปรแกรมดังกล่าว
การเปิดเผยข้อมูลแก่บุคคลที่สาม
เราไม่เปิดเผยข้อมูลที่ได้รับจากคุณต่อบุคคลที่สาม
ข้อยกเว้น:
- หากจำเป็น - ตามกฎหมาย ขั้นตอนการพิจารณาคดี ในการดำเนินการทางกฎหมาย และ/หรือตามคำขอสาธารณะหรือคำขอจากหน่วยงานของรัฐในอาณาเขตของสหพันธรัฐรัสเซีย - ให้เปิดเผยข้อมูลส่วนบุคคลของคุณ เรายังอาจเปิดเผยข้อมูลเกี่ยวกับคุณหากเราพิจารณาว่าการเปิดเผยดังกล่าวมีความจำเป็นหรือเหมาะสมเพื่อความปลอดภัย การบังคับใช้กฎหมาย หรือวัตถุประสงค์ที่สำคัญสาธารณะอื่น ๆ
- ในกรณีของการปรับโครงสร้างองค์กร การควบรวมกิจการ หรือการขาย เราอาจถ่ายโอนข้อมูลส่วนบุคคลที่เรารวบรวมไปยังบุคคลที่สามที่รับช่วงต่อที่เกี่ยวข้อง
การคุ้มครองข้อมูลส่วนบุคคล
เราใช้ความระมัดระวัง - รวมถึงด้านการบริหาร ด้านเทคนิค และทางกายภาพ - เพื่อปกป้องข้อมูลส่วนบุคคลของคุณจากการสูญหาย การโจรกรรม และการใช้งานในทางที่ผิด รวมถึงการเข้าถึง การเปิดเผย การเปลี่ยนแปลง และการทำลายโดยไม่ได้รับอนุญาต
การเคารพความเป็นส่วนตัวของคุณในระดับบริษัท
เพื่อให้มั่นใจว่าข้อมูลส่วนบุคคลของคุณปลอดภัย เราจะสื่อสารมาตรฐานความเป็นส่วนตัวและความปลอดภัยให้กับพนักงานของเราและบังคับใช้หลักปฏิบัติด้านความเป็นส่วนตัวอย่างเคร่งครัด
คำนิยาม. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สอง
(*)
; 
; 
สามกรณีต่อไปนี้เป็นไปได้ในทางทฤษฎี
1. ถ้า แล้วระบบ (*) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เรียกว่าสูตรของ Cramer: , .
2. ถ้า , a (จากนั้น และ ) ระบบ (*) ไม่มีทางแก้ไข
3. ถ้า และ (จากนั้น และ ) แล้วระบบ (*) จะมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด (กล่าวคือ แต่ละคำตอบของสมการหนึ่งของระบบก็เป็นคำตอบของสมการอื่นด้วย)
ความคิดเห็น- ดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์หลักของระบบ (*) ระบบสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรของแครมเมอร์ภายใต้เงื่อนไขเท่านั้น มิฉะนั้น คุณจะต้องใช้วิธีอื่น เช่น วิธีเกาส์เซียน
ปัจจัยกำหนดลำดับที่สาม การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวที่มีตัวแปรสามตัวโดยใช้สูตรของแครเมอร์
คำนิยาม. ปัจจัยกำหนดลำดับที่สามเป็นตัวเลขที่เขียนและคำนวณได้ดังนี้
ขอให้เราได้รับระบบสมการของรูปแบบ 
(*)
ให้เราแนะนำปัจจัยกำหนดต่อไปนี้มาพิจารณา:
– ปัจจัยกำหนดหลักของระบบ (*);
; 
; 
.
เมื่อทำการแก้ไขระบบจะเกิดกรณีดังต่อไปนี้
1. ถ้า แล้วระบบ (*) มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะที่สามารถพบได้โดยใช้สูตรที่เรียกว่าสูตรของแครมเมอร์: 
.
2. ถ้า แสดงว่าระบบ (1) ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีของแครมเมอร์
หมายเหตุ 1.ในกรณีที่ระบบอาจไม่มีคำตอบหรือมีจำนวนคำตอบไม่สิ้นสุด หากต้องการศึกษารายละเอียดเพิ่มเติมและค้นหาระบบการแก้ปัญหาทั่วไป คุณสามารถใช้วิธี Gaussian เช่น
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามตัวในตัวแปรสามตัว
วิธีเกาส์
เรามาดูแก่นแท้ของวิธีเกาส์โดยใช้ตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงกัน
ตัวอย่าง.แก้ระบบสมการ: 
(*)
ย้ายตรง.ระบบนี้ถูกลดขนาดให้อยู่ในรูปสามเหลี่ยมทีละขั้นตอนโดยใช้วิธีการบวกพีชคณิต
ในระยะแรก เราแยกเงื่อนไขที่มีตัวแปรออกจากสมการที่สองและสามของระบบ ควรใช้สมการเดียวกันในทั้งสองกรณี (เราจะใช้สมการแรก)
เราได้รับ:
 |  |
เราเขียนสมการแรกของระบบใหม่โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง และแทนที่สมการที่สองและสามด้วยสมการผลลัพธ์
ระบบจะอยู่ในรูปแบบ: 
ในขั้นที่สอง เราจะแยกคำที่มีตัวแปรออกจากสมการที่สามของระบบ ลองใช้สมการที่สองสำหรับอันนี้
เราเขียนสมการสองตัวแรกของระบบใหม่โดยไม่เปลี่ยนแปลง และแทนที่สมการที่สามด้วยสมการผลลัพธ์
เราได้รับระบบสามเหลี่ยม: 
ย้อนกลับย้ายเราค้นหาสิ่งแปลกปลอมตามลำดับ โดยเริ่มจากสมการที่สาม
จากสมการที่สามของระบบ เราพบค่าของตัวแปร: .
เราได้รับค่าที่พบลงในสมการที่สองของระบบ ซึ่งเราค้นหาค่าของตัวแปร: 
.
เราได้รับแทนค่าที่พบและลงในสมการแรกของระบบ ซึ่งเราค้นหาค่าของตัวแปร: 
.
คำตอบ: .
22. การแก้อสมการเชิงเส้น
| ตัวอย่าง | |
| 1. ถ้าอย่างนั้น . | |
| 2. ถ้าอย่างนั้น . | |
| 3. ถ้า , , แล้ว . | |
| 4. ถ้า แสดงว่าอสมการไม่มีทางแก้ได้ | ความไม่เท่าเทียมกันไม่มีวิธีแก้ปัญหา |
23. การแก้อสมการเชิงเส้น
| เมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน อาจมีกรณีต่อไปนี้: | ตัวอย่าง |
| 1. ถ้าอย่างนั้น . | |
| 2. ถ้าอย่างนั้น . | |
| 3. ถ้า แสดงว่าอสมการไม่มีทางแก้ได้ | ความไม่เท่าเทียมกันไม่มีวิธีแก้ปัญหา |
| 4. ถ้า , , แล้ว . |
24. การแก้ระบบอสมการเชิงเส้นด้วยตัวแปรเดียว
ระบบความไม่เท่าเทียมกัน– นี่คือความไม่เท่าเทียมกันตั้งแต่สองอย่างขึ้นไปที่ต้องการหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป
การแก้ปัญหาระบบความไม่เท่าเทียมกันคือคำตอบทั่วไปของอสมการทั้งหมดในระบบ
มีหลายกรณีที่เป็นไปได้ทางทฤษฎีแม้แต่กับระบบที่มีความไม่เท่าเทียมกันสองแบบ ดังนั้น ลองพิจารณากรณีหลักๆ ของระบบที่มีความไม่เท่าเทียมกันแบบธรรมดาสองแบบกัน
ตัวอย่างที่ 1- แก้ระบบอสมการ:
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 2- แก้ระบบอสมการ:
ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 3.
แก้ระบบอสมการ:
ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก
คำตอบ: .
ตัวอย่างที่ 4แก้ระบบอสมการ:
ให้เราแสดงวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก
คำตอบ:ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหา
25. การแก้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ , ,
สมการกำลังสองเรียกว่าสมการของรูป 
, และ.
สมการกำลังสองเรียกว่า ไม่สมบูรณ์ถ้ามีอย่างน้อยหนึ่งค่าสัมประสิทธิ์หรือเท่ากับศูนย์
สมการที่ไม่สมบูรณ์แต่ละสมการสามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรทั่วไป แต่การใช้วิธีส่วนตัวจะสะดวกกว่า
กรณีที่ 1
ด้านซ้ายสามารถแยกตัวประกอบได้: เป็นที่ทราบกันดีว่าผลคูณจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับศูนย์ เราได้รับ: หรือ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขนั้น
บทสรุป:สมการจะมีรากจริงสองตัวเสมอ
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ
สารละลาย: หรือ , .
กรณีที่ 2ถ้า แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ
แล้ว . เพราะว่าแล้ว.
ถ้า สมการนี้ไม่มีรากที่แท้จริง (ตั้งแต่ )
ถ้า แล้วสมการจะมีรากจำนวนจริงสองตัว
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ
สารละลาย- เนื่องจาก , ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีรากที่แท้จริง
ตัวอย่างที่ 3แก้สมการ
สารละลาย: .
กรณีที่ 3ถ้า และ แล้วสมการจะอยู่ในรูปแบบ
เนื่องจาก , แล้ว , หรือ , ดังนั้นสมการจึงมี สองเท่ากันราก
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการ
สารละลาย: .
26. การแก้สมการกำลังสองลดลง 
สมการกำลังสองที่ลดลงคือสมการกำลังสอง 
ซึ่งมีสัมประสิทธิ์นำคือ .
หากต้องการค้นหาราก ให้เลือกกำลังสองที่สมบูรณ์พร้อมตัวแปร x- เราได้รับ:
.
จำนวนนี้เรียกว่าการแบ่งแยกสมการกำลังสองลดลง จำนวนรากที่แท้จริงของสมการขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของการแบ่งแยก
ถ้า แล้วสมการนั้นไม่มีรากที่แท้จริง เนื่องจาก
ถ้าอย่างนั้น 
, 
,
นั่นคือสมการนี้มีรากจริงสองอัน 
และ 
.
ความคิดเห็นสูตร 
จะสะดวกเป็นพิเศษหากค่าสัมประสิทธิ์ p เป็นเลขคู่
ตัวอย่าง.แก้สมการ 
.
สารละลาย.ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาเพราะฉะนั้น 
.
แล้ว 
, 
.
คำตอบ: , .
27. สูตรเวียตต้าสำหรับสมการกำลังสองรีดิวซ์
ที่ให้มานั้นมีรากที่แท้จริงสองอันและ .
แล้ว ,
ดังนั้นทฤษฎีบทจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว ซึ่งเรียกว่าทฤษฎีบทของเวียตตา
ทฤษฎีบท. ถ้า และ เป็นรากของสมการกำลังสองลดรูป แล้วความเท่าเทียมกัน , .
ความเท่าเทียมกันเหล่านี้เรียกว่าสูตรของเวียตตา
ความคิดเห็นสูตรของเวียตต้าก็ใช้ได้เช่นกันหากเป็นสมการ มีรากสังยุคที่ซับซ้อน
ตัวอย่าง.ย่อหน้าก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าสมการ มีราก , . แล้ว , .
ตั้งแต่นั้นมา , .
28. การแก้สมการกำลังสอง 
เนื่องจากตามคำนิยามของสมการกำลังสอง ทั้งสองข้างของสมการจึงสามารถหารด้วย a ได้ เราได้สมการกำลังสองลดลง 
ซึ่งในนั้น . จากนั้นสามารถหารากของมันได้โดยใช้สูตร .
เราได้รับ:
จำนวนนี้เรียกว่าการแบ่งแยกสมการกำลังสอง (และการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง) การแบ่งแยกจะแสดงจำนวนรากจริงของสมการที่กำหนด
ถ้า แล้วสมการ มี สองจำนวนจริงที่ไม่เท่ากันราก 
และ 
().
ถ้า แล้วสมการ มี สองจำนวนจริงที่เท่ากันราก
ถ้า แล้วสมการ ไม่มีรากที่แท้จริง
ความคิดเห็นในกรณีนี้ สมการมีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองราก
และ 
.
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ 
.
สารละลาย.ตั้งแต่ , (แล้ว), , แล้วก็
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา 
.
แล้ว 
, 
.
คำตอบ: , .
ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 
.
สารละลาย.ตั้งแต่ , , , จากนั้น .
เนื่องจาก สมการนี้ไม่มีรากที่แท้จริง
29. การแก้อสมการกำลังสอง
, 
, 
, 
ด้วยการแยกแยะเชิงบวก
การลดลงสู่ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นสองตัว
การแยกแยะของตรีโกณมิติกำลังสองคือตัวเลข
รากของตรีโกณมิติกำลังสองคือรากของสมการ .
และ และ (หมายถึง )
จากนั้นสามารถแยกย่อยเป็นปัจจัยเชิงเส้นได้: .
เนื่องจาก จากนั้น เราก็สามารถหารด้วยทั้งสองด้านของอสมการแต่ละตัวที่กำลังพิจารณาได้ (ถ้า เครื่องหมายอสมการ (นั่นคือ เครื่องหมาย > หรือ<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: 
, 
, 
, 
- ให้เราพิจารณาวิธีแก้ปัญหาของอสมการเหล่านี้
1) ผลคูณของปัจจัยทั้งสองจะเป็นค่าบวก ถ้าปัจจัยทั้งสองเป็นบวกหรือทั้งสองปัจจัยเป็นลบ ดังนั้น 
, ถ้า หรือ .
คำตอบของทั้งสองระบบคือคำตอบของอสมการกำลังสองนี้
เพราะ , แล้ว (จากนั้น)
ตั้งแต่นั้นมา (จากนั้น)
คำตอบ:ความไม่เท่าเทียมกัน
มีชุดโซลูชั่นที่สามารถเขียนได้ในรูปหรือหรือในรูป
3) ผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเป็นลบ ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นบวกและอีกตัวเป็นลบ นั่นเป็นเหตุผล , ถ้า หรือ .
ตั้งแต่นั้นมา.
ระบบอสมการนี้ไม่มีทางแก้ได้ เนื่องจากจำนวน x ไม่สามารถน้อยกว่าค่าที่น้อยกว่าของตัวเลขสองตัวและมากกว่าค่าที่ใหญ่กว่าพร้อมกันได้
คำตอบ:ความไม่เท่าเทียมกัน
2) ในทำนองเดียวกัน เราพบว่าความไม่เท่าเทียมกัน มีชุดโซลูชั่นที่สามารถเขียนได้ในรูปหรือในรูปก็ได้
ตัวอย่าง.แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน 
.
สารละลาย. ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งก็คือรากของสมการกัน 
: ,
, 
.
เมื่อขยายด้านซ้ายของอสมการนี้ตามสูตร เราจะได้อสมการนั้น 
.
เนื่องจาก จากนั้นหารทั้งสองข้างของอสมการสุดท้ายด้วย 3 เราจะได้อสมการที่เท่ากัน 
.
ผลคูณของตัวประกอบสองตัวจะเป็นลบ ถ้าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งเป็นบวกและอีกตัวเป็นลบ ดังนั้น คำตอบของอสมการสุดท้ายคือคำตอบของระบบอสมการแต่ละระบบ ถ้า หรือ แล้วหรือ
วิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกของระบบจะแสดงไว้ในรูปภาพ (สำหรับระบบแรก รูปภาพจะอยู่ทางด้านซ้าย และสำหรับระบบที่สองทางด้านขวา) จะเห็นได้ว่าระบบที่ 2 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาของอสมการนี้จึงเป็นเพียงคำตอบของระบบที่ 1 เท่านั้น
คำตอบ:
30. การแก้อสมการกำลังสอง
, , ,
โดยใช้กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
ความคิดเห็นเราสามารถสรุปได้ว่าในอสมการเหล่านี้ทั้งหมด มิฉะนั้น เมื่อคูณอสมการทั้งสองข้างแล้วเปลี่ยนเครื่องหมายของอสมการไปตรงกันข้าม เราก็จะได้อสมการประเภทใดประเภทหนึ่งจากสี่ประเภทที่ระบุ ซึ่งเทียบเท่ากับประเภทนี้
แล้วกราฟของฟังก์ชัน 
จะมีพาราโบลาซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น ตำแหน่งของพาราโบลานี้สัมพันธ์กับแกน x ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง มีความเป็นไปได้ 3 กรณี
ข้าว. 1 รูป 2 รูป 3
กรณีที่ 1ถ้า แล้วกำลังสองของตรีโกณมิติจะมีรากจำนวนจริงสองตัว และ , และ .
จากนั้นพาราโบลาจะตัดแกนแอบซิสซาที่จุดที่มีแอบซิสซา และ สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่เข้มงวด 
และ 
ตัวเลขและแสดงเป็นวงกลมเปิด (ดังรูปที่ 1) สำหรับความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวด 
และ ตัวเลขจะแสดงด้วยวงกลมที่เต็มไป ในกรณีนี้: และไม่มีรากที่แท้จริง จากนั้นพาราโบลาจะไม่มีจุดร่วมกับแกน x (ดูรูปที่ 3) ในกรณีนี้: x แบ่งแกน x ออกเป็น 3 ช่วง (ดูรูปที่ 1) และ
ในทฤษฎีระบบสมการเชิงเส้นและในประเด็นอื่นๆ การใช้แนวคิดเรื่องดีเทอร์มิแนนต์หรือดีเทอร์มิแนนต์จะสะดวกกว่า
ลองพิจารณาตัวเลขสี่ตัวใดๆ ที่เขียนในรูปแบบของตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัส (เมทริกซ์) สองตัวในแถว และสองคอลัมน์ในคอลัมน์ ดีเทอร์มิแนนต์หรือดีเทอร์มิแนนต์ที่ประกอบด้วยตัวเลขในตารางนี้ คือตัวเลขที่แสดงดังนี้
ดีเทอร์มิแนนต์ดังกล่าวเรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สอง เนื่องจากมีการนำตารางสองแถวและสองคอลัมน์มาคอมไพล์ ตัวเลขที่ประกอบเป็นดีเทอร์มิแนนต์เรียกว่าองค์ประกอบของมัน และพวกเขากล่าวว่าองค์ประกอบต่างๆ ทำให้เกิดเส้นทแยงมุมหลักของดีเทอร์มิแนนต์ และองค์ประกอบต่างๆ ประกอบเป็นเส้นทแยงมุมรอง จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับผลต่างของผลคูณของคู่ขององค์ประกอบที่อยู่บนเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง
ตัวอย่างที่ 1 คำนวณปัจจัยกำหนดลำดับที่สองต่อไปนี้:
วิธีแก้ปัญหา ก) ตามนิยามที่เรามี
การใช้ดีเทอร์มิแนนต์ ความเท่าเทียมกัน (66.6), (66.7) และ (66.8) สามารถเขียนใหม่ได้โดยการสลับส่วนต่างๆ ดังต่อไปนี้:
โปรดทราบว่าปัจจัยกำหนดนั้นค่อนข้างจะเรียบเรียงจากค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (66.2)
แท้จริงแล้ว ดีเทอร์มิแนนต์ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในระบบนี้ เรียกว่าปัจจัยหลักของระบบ (66.2) ลองเรียกพวกมันว่าปัจจัยกำหนดสิ่งที่ไม่รู้จัก x และ y ตามลำดับ เราสามารถกำหนดกฎต่อไปนี้สำหรับองค์ประกอบของพวกเขา: ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของค่าไม่ทราบค่าแต่ละตัวจะได้มาจากค่าปัจจัยหลักหากคอลัมน์ค่าสัมประสิทธิ์ของค่าไม่ทราบค่าในนั้นถูกแทนที่ด้วยคอลัมน์ของคำศัพท์อิสระ (นำมาจากด้านขวามือของ สมการของระบบ)
ตัวอย่างที่ 2 แก้ระบบ (66.12) โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์
สารละลาย. เราเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดหลักของระบบนี้:
ตอนนี้เราแทนที่คอลัมน์ของสัมประสิทธิ์สำหรับ x (คอลัมน์แรก) ด้วยเงื่อนไขอิสระ เราได้ดีเทอร์มิแนนต์สำหรับ x:
ในลักษณะเดียวกับที่เราพบ
จากที่นี่เราได้รับโดยใช้สูตร (66.11)
เรามาถึงวิธีแก้ปัญหาที่เรารู้อยู่แล้ว (1, -1)
ให้เราศึกษาระบบสมการเชิงเส้น (66.2) เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้เรากลับไปที่ความเท่าเทียมกัน (66.9) และ (66.10) และแยกแยะระหว่างสองกรณี:
ให้ตามที่ระบุไว้แล้ว สูตร (66.11) มอบโซลูชันเฉพาะให้กับระบบ (66.2) ดังนั้น หากปัจจัยกำหนดหลักของระบบแตกต่างจากศูนย์ ระบบก็จะมีคำตอบเฉพาะซึ่งกำหนดโดยสูตร (66.11) ระบบดังกล่าวเรียกว่าแน่นอน
2) ปล่อยให้ตอนนี้ เราจะแยกความแตกต่างออกเป็นสองกรณี ขึ้นอยู่กับค่านิยม
ก) ปัจจัยกำหนดอย่างน้อยหนึ่งตัวแตกต่างจากศูนย์ ดังนั้นระบบ (66.2) จึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา แท้จริงแล้ว ยกตัวอย่าง เช่น . ความเท่าเทียมกัน (66.9) ไม่สามารถเป็นที่พอใจสำหรับค่าใดๆ เนื่องจากความเท่าเทียมกันนี้ได้มาจากระบบ (66.2) ดังนั้นระบบจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา ระบบดังกล่าวเรียกว่าไม่สอดคล้องกัน
b) ดีเทอร์มิแนนต์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์ ความเท่าเทียมกัน (66.9) และ (66.10) มีความพึงพอใจเหมือนกัน และไม่สามารถใช้ศึกษาระบบ (66.2) ได้
ขอให้เราพิสูจน์ว่าหากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในระบบอย่างน้อยหนึ่งค่า (66.2) แตกต่างจากศูนย์ ระบบจะมีคำตอบจำนวนอนันต์ หากต้องการดูสิ่งนี้ สมมติว่า เช่น ว่า จากความสัมพันธ์
และจากการบันทึกสมการที่สองของระบบ (66.2) แทนการแสดงออกของสัมประสิทธิ์ลงไป
เราจะพบว่ามันแตกต่างจากสมการแรกด้วยปัจจัยเท่านั้น กล่าวคือ โดยพื้นฐานแล้วมันเกิดขึ้นพร้อมกัน (เทียบเท่ากับมัน) ระบบ (66.2) ถูกลดเหลือเพียงสมการแรกและกำหนดจำนวนคำตอบที่ไม่สิ้นสุด (ระบบดังกล่าวเรียกว่าไม่แน่นอน) โดยหลักการแล้ว กรณีที่รุนแรงเช่นนี้ก็เป็นไปได้เช่นกัน เช่น ความเท่าเทียมกันของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดสำหรับค่าที่ไม่รู้จักถึงศูนย์ (ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้เมื่อศึกษาระบบที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร) ระบบดังกล่าว
ปัจจัยกำหนดทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ อย่างไรก็ตาม มันไม่สอดคล้องกันสำหรับ หรือ
เรามาสรุปผลการศึกษาระบบสมการเชิงเส้น (66.2) กัน ระบบดังกล่าวมีสามประเภท:
1) ถ้า ระบบถูกกำหนดและมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ (66.11)
2) ถ้า แต่แล้วระบบไม่สอดคล้องกันและไม่มีทางแก้ไข
3) หากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบอย่างน้อยหนึ่งค่าแตกต่างจากศูนย์) ระบบจะไม่แน่นอนและมีคำตอบจำนวนอนันต์ (ลดลงเหลือหนึ่งสมการ)
ดีเทอร์มิแนนต์มีค่าเท่ากับศูนย์
หมายถึงสัดส่วนขององค์ประกอบในเส้นของมัน (และในทางกลับกัน):
ด้วยเหตุนี้ คุณลักษณะที่แยกแยะระบบเชิงเส้นประเภทต่างๆ (แน่นอน ไม่แน่นอน ไม่สอดคล้องกัน) สามารถกำหนดได้ในแง่ของสัดส่วนระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของระบบ (โดยไม่ต้องใช้ปัจจัยกำหนด)
เงื่อนไขจึงถูกแทนที่ด้วยข้อกำหนดของสัดส่วน (ไม่ใช่สัดส่วน) ของสัมประสิทธิ์สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ:
ในกรณีนี้ ไม่เพียงแต่ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งแปลกปลอมจะกลายเป็นสัดส่วนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเงื่อนไขอิสระด้วย:
(สัดส่วนเหล่านี้ได้มาจาก (67.6)) ตัวอย่างเช่น หาก DO จากนั้นจาก (66.6) เราจะเห็นว่าเงื่อนไขอิสระไม่สัดส่วนกับสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบ ดังนั้น:
1) หากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบไม่เป็นสัดส่วน:
แล้วระบบก็แน่นอน
2) หากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักเป็นสัดส่วน แต่เงื่อนไขอิสระไม่สมส่วนกับสิ่งเหล่านั้น:
แล้วระบบไม่สอดคล้องกัน
3) หากค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบและเงื่อนไขอิสระเป็นสัดส่วน:
แล้วระบบก็ไม่แน่นอน
การศึกษาระบบสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวช่วยให้สามารถตีความทางเรขาคณิตได้ง่าย สมการเชิงเส้นใดๆ ในแบบฟอร์ม (38.4) กำหนดเส้นตรงบนระนาบพิกัด สมการของระบบ (66.2) จึงสามารถตีความได้ว่าเป็นสมการของเส้นตรงสองเส้นบนระนาบ และปัญหาในการแก้ระบบคือปัญหาการหาจุดตัดกันของเส้นเหล่านี้
เป็นที่ชัดเจนว่าเป็นไปได้สามกรณี: 1) เส้นทั้งสองนี้ตัดกัน (รูปที่ 61, a); กรณีนี้สอดคล้องกับระบบบางอย่าง 2) เส้นตรงทั้งสองนี้ขนานกัน (รูปที่ 61, b) กรณีนี้สอดคล้องกับระบบที่เข้ากันไม่ได้
3) เส้นตรงเหล่านี้ตรงกัน (รูปที่ 61, c) กรณีนี้สอดคล้องกับระบบที่ไม่แน่นอน: แต่ละจุดของเส้น "ให้สองครั้ง" จะเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบ
ตัวอย่างที่ 3 สำรวจระบบเชิงเส้น:
วิธีแก้ปัญหา ก) มาเขียนและคำนวณปัจจัยกำหนดหลักของระบบนี้กัน
