ธีมของสัดส่วน ทำอย่างไรให้ได้สัดส่วน? เด็กนักเรียนและผู้ใหญ่ทุกคนจะเข้าใจ สองอัตราส่วนที่เท่ากันทำให้เกิดสัดส่วน
ความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วนเรียกว่าสัดส่วน
ก :b =ค :d- นี่คือสัดส่วน อ่าน: กสิ่งนี้ใช้กับ ข, ยังไง คหมายถึง ง- ตัวเลข กและ งเรียกว่า สุดขีดเงื่อนไขสัดส่วนและตัวเลข ขและ ค – เฉลี่ยสมาชิกของสัดส่วน
ตัวอย่างสัดส่วน: 1 2 : 3 = 16 : 4 . นี่คือความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วน: 12:3= 4 และ 16:4= 4 . พวกเขาอ่านว่า: สิบสองเป็นสาม และสิบหกเป็นสี่ โดยที่ 12 และ 4 เป็นพจน์สุดโต่งของสัดส่วน และ 3 และ 16 เป็นพจน์ตรงกลางของสัดส่วน
คุณสมบัติหลักของสัดส่วน
ผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วนจะเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง
เพื่อเป็นสัดส่วน ก :b =ค :dหรือ ก /ข =ค /งคุณสมบัติหลักเขียนดังนี้: ก·d =ข·ค .
สำหรับสัดส่วนของเรา 12 : 3 = 16 : 4 คุณสมบัติหลักจะเขียนได้ดังนี้ 12 4 = 3·16 - ปรากฎว่า ความเท่าเทียมกันอย่างแท้จริง: 48=48.
ในการหาค่าสุดโต่งที่ไม่ทราบของสัดส่วน คุณต้องหารผลคูณของเทอมกลางของสัดส่วนด้วยเทอมค่าสุดโต่งที่ทราบ
ตัวอย่าง.
1) x: 20 = 2: 5- เรามี เอ็กซ์และ 5 เป็นเงื่อนไขสุดโต่งของสัดส่วน และ 20 และ 2 - เฉลี่ย.
สารละลาย.
x = (20 2):5— คุณต้องคูณเงื่อนไขเฉลี่ย ( 20 และ 2 ) และหารผลลัพธ์ด้วยพจน์สุดขั้วที่ทราบ (ตัวเลข 5 );
x = 40:5- ผลคูณของเงื่อนไขเฉลี่ย ( 40 ) หารด้วยพจน์สุดขั้วที่ทราบ ( 5 );
x = 8.เราได้รับระยะสุดโต่งที่ต้องการของสัดส่วน
สะดวกกว่าในการเขียนการค้นหาคำที่ไม่รู้จักของสัดส่วนโดยใช้เศษส่วนสามัญ นี่คือวิธีการเขียนตัวอย่างที่เราพิจารณา:
ระยะสุดโต่งที่ต้องการของสัดส่วน ( เอ็กซ์) จะเท่ากับผลคูณของเทอมเฉลี่ย ( 20 และ 2 ) หารด้วยพจน์สุดโต่งที่ทราบ ( 5 ).
เราลดเศษส่วนลง 5 (หารด้วย 5 เอ็กซ์.
ตัวอย่างเพิ่มเติมของการค้นหาระยะสุดขั้วที่ไม่รู้จักของสัดส่วน
ในการหาค่ากลางที่ไม่ทราบของสัดส่วน คุณต้องหารผลคูณของค่าสุดโต่งของสัดส่วนด้วยเทอมกลางที่ทราบ
ตัวอย่าง.หาค่ากลางที่ไม่ทราบของสัดส่วน
5) 9: x = 3: 14.ตัวเลข 3 - ระยะกลางที่ทราบของสัดส่วนที่กำหนด, จำนวน 9 และ 14 - เงื่อนไขสัดส่วนที่รุนแรง
สารละลาย.
x = (9 14):3 —คูณเงื่อนไขสุดขั้วของสัดส่วนแล้วหารผลลัพธ์ด้วยระยะกลางที่ทราบของสัดส่วน
x= 136:3;
x=42.
วิธีแก้ไขสำหรับตัวอย่างนี้สามารถเขียนแตกต่างออกไปได้:
ระยะเวลาเฉลี่ยของสัดส่วนที่ต้องการ ( เอ็กซ์) จะเท่ากับผลคูณของพจน์สุดขั้ว ( 9
และ 14
) หารด้วยพจน์เฉลี่ยที่ทราบ ( 3
).
เราลดเศษส่วนลง 3 (หารด้วย 3 ทั้งตัวเศษและส่วนของเศษส่วน) การหาค่า เอ็กซ์.
หากลืมวิธีย่อ เศษส่วนทั่วไปแล้วทำซ้ำหัวข้อ: " "
ตัวอย่างเพิ่มเติมของการค้นหาระยะกลางที่ไม่รู้จักของสัดส่วน
อัตราส่วนของตัวเลขสองตัว
คำจำกัดความ 1
อัตราส่วนของตัวเลขสองตัวเป็นส่วนตัวของพวกเขา
ตัวอย่างที่ 1
อัตราส่วนของ $18$ ถึง $3$ สามารถเขียนได้เป็น:
$18\div 3=\frac(18)(3)=6$.
อัตราส่วนของ $5$ ถึง $15$ สามารถเขียนได้เป็น:
$5\div 15=\frac(5)(15)=\frac(1)(3)$
โดยการใช้ อัตราส่วนของตัวเลขสองตัวสามารถแสดงได้:
- จำนวนหนึ่งเกินจำนวนอื่นกี่ครั้ง
- ส่วนใดที่ตัวเลขหนึ่งแสดงถึงอีกจำนวนหนึ่ง
เมื่อเขียนอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว จำนวนที่ใช้เปรียบเทียบจะถูกเขียนลงในตัวส่วนของเศษส่วน
ส่วนใหญ่แล้วตัวเลขดังกล่าวจะอยู่หลังคำว่า “compared to...” หรือคำบุพบท “to...”
จำคุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วนแล้วนำไปใช้กับอัตราส่วน:
หมายเหตุ 1
เมื่อเราคูณหรือหารทั้งสองเทอมของอัตราส่วนด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ เราจะได้อัตราส่วนที่เท่ากับอัตราส่วนเดิม
ลองดูตัวอย่างที่แสดงให้เห็นการใช้แนวคิดเรื่องอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว
ตัวอย่างที่ 2
ปริมาณฝนในเดือนก่อนหน้าคือ $195$ mm และในเดือนปัจจุบัน - $780$ mm ปริมาณฝนในเดือนปัจจุบันเพิ่มขึ้นกี่ครั้งเมื่อเทียบกับเดือนก่อนหน้า
สารละลาย.
ลองเปรียบเทียบปริมาณฝนในเดือนปัจจุบันกับปริมาณฝนในเดือนก่อนหน้า:
$\frac(780)(195)=\frac(780\div 5)(195\div 5)=\frac(156\div 3)(39\div 3)=\frac(52)(13)=4 $.
คำตอบ: ปริมาณฝนในเดือนปัจจุบันคือ $4$ มากกว่าในเดือนก่อนหน้า
ตัวอย่างที่ 3
ค้นหาว่าจำนวน $1 \frac(1)(2)$ มีอยู่ในจำนวน $13 \frac(1)(2)$ กี่ครั้ง
สารละลาย.
$13 \frac(1)(2)\div 1 \frac(1)(2)=\frac(27)(2)\div \frac(3)(2)=\frac(27)(2) \cdot \frac(2)(3)=\frac(27)(3)=$9
คำตอบ: $9$ เท่า
แนวคิดเรื่องสัดส่วน
คำจำกัดความ 2
สัดส่วนความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสองเรียกว่า:
$a\div b=c\div d$
$\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$.
ตัวอย่างที่ 4
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac(8)(2)=\frac(36)(9)$, $\frac(10)(40)=\frac(9)(36)$, $\frac(15)(75)= \frac(1)(5)$.
ในสัดส่วน $\frac(a)(b)=\frac(c)(d)$ (หรือ $a:b = c\div d$) จะมีการเรียกตัวเลข a และ d สมาชิกสุดขั้วสัดส่วนและตัวเลข $b$ และ $c$ คือ สมาชิกระดับกลางสัดส่วน
สัดส่วนที่ถูกต้องสามารถแปลงได้ดังนี้:
หมายเหตุ 2
ผลคูณของเงื่อนไขที่รุนแรง สัดส่วนที่ถูกต้องเท่ากับผลคูณของพจน์กลาง:
$a \cdot d=b \cdot c$
คำกล่าวนี้คือ คุณสมบัติหลักของสัดส่วน.
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน:
หมายเหตุ 3
ถ้าผลคูณของเทอมสุดโต่งของสัดส่วนเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง สัดส่วนนั้นก็จะถูกต้อง
หมายเหตุ 4
ถ้าคำกลางหรือคำสุดโต่งถูกจัดเรียงใหม่ในสัดส่วนที่ถูกต้อง สัดส่วนผลลัพธ์ก็จะถูกต้องเช่นกัน
ตัวอย่างที่ 5
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac(2)(8)=\frac(9)(36)$, $\frac(40)(10)=\frac(36)(9)$, $\frac(75)(15)= \frac(5)(1)$.
การใช้คุณสมบัตินี้ทำให้ง่ายต่อการค้นหาคำที่ไม่รู้จักจากสัดส่วน หากทราบอีกสามคำที่เหลือ:
$a=\frac(b \cdot c)(d)$; $b=\frac(a \cdot d)(c)$; $c=\frac(a \cdot d)(b)$; $d=\frac(b \cdot c)(a)$.
ตัวอย่างที่ 6
$\frac(6)(ก)=\frac(16)(8)$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac(48)(16)$;
ตัวอย่างที่ 7
$\frac(a)(21)=\frac(8)(24)$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac(168)(24)$;
คนสวน $3$ – ต้นไม้ $108$;
ชาวสวน $x$ - ต้นไม้ $252$
มาสร้างสัดส่วนกัน:
$\frac(3)(x)=\frac(108)(252)$.
ลองใช้กฎในการค้นหาคำที่ไม่ทราบของสัดส่วน:
$b=\frac(a \cdot d)(c)$;
$x=\frac(3 \cdot 252)(108)$;
$x=\frac(252)(36)$;
คำตอบ: ชาวสวนจะใช้เงิน 7 ดอลลาร์ในการตัดต้นไม้ 252 ดอลลาร์
ส่วนใหญ่แล้วคุณสมบัติของสัดส่วนจะใช้ในทางปฏิบัติในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในกรณีที่จำเป็นต้องคำนวณค่าของสมาชิกที่ไม่รู้จักของสัดส่วนหากทราบค่าของสมาชิกอีกสามคน
โวรอนโซวา กาลินา นิโคลาเยฟนา
สถาบันการศึกษาของรัฐเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Starokarmyzhskaya"
สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ป.6
“ความสัมพันธ์และสัดส่วน”
เป้า:
สร้างแนวคิดเรื่องสัดส่วนและความสัมพันธ์
ตอกย้ำแนวคิดใหม่
พัฒนาทักษะการนับ
พัฒนาความรู้สึกกลมกลืนและสวยงาม
อุปกรณ์:
โปสเตอร์พร้อมบันทึกประกอบ
การแสดงภาพ (ภาพวาด)
กระดาษ กรรไกร ไม้บรรทัด
ประเภทบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่
ความคืบหน้าของบทเรียน
1.การเรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ (คุณสามารถใช้สไลด์เกี่ยวกับคำจำกัดความและงาน บันทึกความสัมพันธ์และสัดส่วนได้)
ตัวอย่างบนกระดาน: 7:2 1:8 
ครู: อ่านข้อความบนกระดาน
นักเรียน: ผลหารของตัวเลข 7 และ 2; 1 และ 8; สี่ในเจ็ด; ห้าในสาม; อัตราส่วนของตัวเลข 4 และ 7 อัตราส่วนของตัวเลข 5 และ 3
ครู: คุณใช้แนวคิดใหม่ของ "ความสัมพันธ์" บางคนอาจคุ้นเคยแล้ว บางคนเจอมันขณะอ่านสารานุกรมและแหล่งข้อมูลอื่น ๆ เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ ลองมาดูแนวคิดนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น
คำจำกัดความ: อัตราส่วนของตัวเลขคือผลหารของตัวเลขสองตัวที่ไม่เท่ากัน
0 คือความสัมพันธ์ a≠0, b≠0 โดยที่ a และ b เป็นเงื่อนไขของความสัมพันธ์
อัตราส่วนจะแสดงจำนวนครั้งที่ตัวเลขตัวแรกมากกว่าตัวที่สอง หรือเศษส่วนที่ตัวเลขตัวแรกเป็นของตัวที่สอง
ตามพจนานุกรมของ Ozhegov - ความสัมพันธ์ 1 การเชื่อมโยงกันของปริมาณวัตถุการกระทำที่แตกต่างกัน 2. ผลหารที่ได้จากการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งรวมทั้งบันทึกการกระทำที่เกี่ยวข้อง (บันทึกแนวคิดลงในกระดาษแยกแผ่นแล้วแขวนไว้บนกระดาน)
หากค่าของสองปริมาณแสดงโดยหน่วยการวัดเดียวกันอัตราส่วนของพวกมันก็จะเรียกว่าอัตราส่วนของปริมาณเหล่านี้ (อัตราส่วนของความยาวอัตราส่วนของมวล ฯลฯ ) ผลหารของสองปริมาณเรียกว่าอัตราส่วนของ ปริมาณ 
อัตราส่วนของปริมาณของชื่อหนึ่งคือตัวเลข ปริมาณดังกล่าวเรียกว่าเป็นเนื้อเดียวกัน อัตราส่วนของปริมาณของชื่อที่แตกต่างกันคือปริมาณใหม่ ตัวอย่าง: S /t =v, m /v =ρ
ครู: มาจดวันที่หัวข้อบทเรียน "อัตราส่วนและสัดส่วน" และคำจำกัดความของอัตราส่วนลงในสมุดบันทึกกันดีกว่า
2. การรวมแนวคิดเรื่อง “ทัศนคติ”
1) “G” (พูดให้ถูกต้อง) - หน้า 121, หมายเลข 706 - นักเรียนแต่ละคนอ่านความสัมพันธ์อย่างเงียบๆ จากนั้นก็ออกเสียงออกมาหนึ่งคน
2).เลขที่ 706 (หน้า 121) ใช้คำว่า “ความสัมพันธ์” อ่านข้อความและตั้งชื่อสมาชิกของความสัมพันธ์
3) งานสร้างสรรค์สำหรับนักเรียน: สร้างความสัมพันธ์หนึ่งเดียวสำหรับทุกคนแล้วตั้งชื่อให้พวกเขาตามลำดับ
ครู: ก่อนหน้านี้แนวคิดเรื่อง "ทัศนคติ" เป็นอย่างไร
3. ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ เมื่อแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติต่าง ๆ มักจำเป็นต้องเปรียบเทียบปริมาณที่เป็นเนื้อเดียวกันและคำนวณอัตราส่วน เป็นเวลานานแล้วที่เข้าใจตัวเลขว่าเป็นจำนวนธรรมชาติเท่านั้น (ชุดของหน่วย) ที่ได้รับจากการนับ อัตราส่วนที่เกิดจากการหารตัวเลขหนึ่งด้วยอีกจำนวนหนึ่งไม่ถือเป็นตัวเลข คำจำกัดความใหม่ของตัวเลขถูกกำหนดครั้งแรกโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ ไอแซก นิวตัน (1643-1727) ใน “เลขคณิตทั่วไป” เขาเขียนว่า “ตามจำนวนแล้ว เราไม่ค่อยเข้าใจว่าชุดของหน่วยเป็นความสัมพันธ์เชิงนามธรรมของปริมาณบางจำนวนกับปริมาณอีกจำนวนหนึ่งที่เป็นชนิดเดียวกัน ซึ่งเราใช้เป็นหน่วย” ตั้งแต่นั้นมาเชื่อกันว่าอัตราส่วนของปริมาณของชื่อหนึ่งคือตัวเลข
4. เรียนรู้เนื้อหาใหม่ๆ ต่อไป
ครู: พิจารณาความสัมพันธ์คู่ต่อไปนี้
20:4 และ 1/3:1/15 6:3 และ 18:9 1,2:4 และ 3:10 (เขียนบนกระดาน)
คุณจะพูดอะไรเกี่ยวกับความสัมพันธ์นี้ได้บ้าง? (คำถามที่เป็นปัญหาสำหรับชั้นเรียน)
นักเรียน: หากคุณหาอัตราส่วนได้ คุณจะได้คำตอบที่เหมือนกันทั้งด้านขวาและด้านซ้าย และคุณสามารถใส่เครื่องหมายเท่ากับระหว่างอัตราส่วนเหล่านั้นได้
ครู: ความสัมพันธ์เป็นคู่มีความเท่าเทียมกัน
คำจำกัดความ: ความเท่าเทียมกันของสองอัตราส่วนเรียกว่าสัดส่วน
ในรูปแบบตัวอักษรเขียนสัดส่วนดังนี้:
ก: b = ค: d หรือ 
โดยที่ a, b, c, d เป็นเทอมของสัดส่วนที่ไม่เท่ากับ 0
a, d – สมาชิกสุดโต่ง; c, d – เงื่อนไขกลาง
การอ่านสัดส่วนที่ถูกต้อง (อัตราส่วนที่เขียนไว้ด้านบน)
ตามพจนานุกรมของ Ozhegov: สัดส่วน - 1) ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสอง 2) อัตราส่วนที่แน่นอนของส่วนต่างๆ ต่อกัน สัดส่วน (ในบางส่วนของอาคาร)
หากต้องการจำคำจำกัดความของสัดส่วน คุณสามารถเรียนรู้จาก quatrain ต่อไปนี้:
ใครจะลองกับงาน
เขาจะไม่พลาดวิธีแก้ปัญหา
และเรียกว่าสัดส่วน
ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสอง
5.ข้อมูลประวัติเกี่ยวกับ “สัดส่วน”
ในสมัยโบราณ หลักคำสอนเรื่องสัดส่วนได้รับการยกย่องอย่างสูงจากชาวพีทาโกรัส ด้วยสัดส่วนที่เชื่อมโยงความคิดเกี่ยวกับความเป็นระเบียบและความงามในธรรมชาติ เกี่ยวกับคอร์ดพยัญชนะในดนตรี และความกลมกลืนในจักรวาล เล่ม 7 ของ Euclid's Elements (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) กำหนดทฤษฎีความสัมพันธ์และสัดส่วน สัญกรณ์สัดส่วนสมัยใหม่มีลักษณะดังนี้: a: b = c: d หรือ - ในเวลานั้น Euclid ได้รับสัดส่วนที่ได้รับ (a≠b, c≠d):
ค: ก = ง: ค (ก + ค) : ค = (ค + ง) :d ก: (ก – ค) = ค: (ค – ง)
ก: ค = ค: ง (ก – ค) : ค = (ค – ง) : ง
วิธีการบันทึกสัดส่วนที่เรารู้จักไม่ปรากฏในทันที ย้อนกลับไปในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส R. Descartes (1596-1650) ได้เขียนสัดส่วนไว้
7: 12 = 84: 144 ดังนั้น /7/12/84/144/
สัญกรณ์สมัยใหม่เกี่ยวกับสัดส่วนโดยใช้เครื่องหมายการหารและความเท่าเทียมกันถูกนำมาใช้โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Leibniz (1646 - 1716) ในปี 1693
ในตอนแรกมีเพียงสัดส่วนที่ประกอบขึ้นจาก ตัวเลขธรรมชาติ- ในศตวรรษที่ 4 พ.ศ Eudoxus นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณให้คำจำกัดความของสัดส่วนซึ่งประกอบด้วยปริมาณในธรรมชาติใดๆ ก็ตาม นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณโดยใช้สัดส่วน 1) แก้ปัญหาที่ได้รับการแก้ไขในปัจจุบันโดยใช้สมการ 2) ทำการแปลงพีชคณิตโดยย้ายจากสัดส่วนหนึ่งไปอีกสัดส่วนหนึ่ง ส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์และสัดส่วนเรียกว่าดนตรีโดยชาวกรีก ทำไมชื่อแปลกๆ อย่างนี้ล่ะ? ความจริงก็คือชาวกรีกยังสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ของดนตรีด้วย พวกเขารู้ดีว่า ยิ่งยืดสายยาว เสียงก็จะยิ่ง “หนาขึ้น” เท่านั้น พวกเขารู้ว่าสายสั้นทำให้เกิดเสียงสูง แต่ทุกคน เครื่องดนตรีไม่ใช่หนึ่ง แต่มีหลายสาย เพื่อให้สายทั้งหมดมีเสียง "สอดคล้องกัน" เมื่อเล่นและฟังสบายหู ความยาวของส่วนที่ทำให้เกิดเสียงจะต้องอยู่ในอัตราส่วนที่แน่นอน ดังนั้นการศึกษาความสัมพันธ์และเศษส่วนจึงเริ่มเรียกว่าดนตรี
สัดส่วนเป็นเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้ในการแสดงวัตถุให้ถูกต้องและสวยงาม เราเห็นสิ่งนี้ในงานศิลปะ สถาปัตยกรรม และพบได้ในธรรมชาติ
ภาพวาดเกี่ยวกับความเป็นสัดส่วนในธรรมชาติและศิลปะ สถาปัตยกรรม สัดส่วนในธรรมชาติ ศิลปะ สถาปัตยกรรมหมายถึงการรักษาความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างขนาดของแต่ละส่วนของต้นไม้ ประติมากรรม อาคาร และเป็นเงื่อนไขที่ขาดไม่ได้สำหรับการพรรณนาวัตถุที่ถูกต้องและสวยงาม
งานสร้างสรรค์สำหรับนักเรียน ตัดสี่เหลี่ยมจากกระดาษที่มีด้าน 10 ซม. และ 16 ซม. ตัดเป็นสี่เหลี่ยมโดยให้ด้านยาว 10 ซม. จะเกิดอะไรขึ้นกับสี่เหลี่ยมนั่นคือ กับความสัมพันธ์ของทั้งสองฝ่าย? จากนั้นตัดสี่เหลี่ยมอีกครั้งโดยให้ด้าน 6 ซม. จากสี่เหลี่ยมนี้ จะเกิดอะไรขึ้นในกรณีนี้กับด้านข้างของสี่เหลี่ยม?
นักศึกษา: ในกรณีแรกและกรณีที่สอง สี่เหลี่ยมผืนผ้าจะยังคงอยู่ โดยด้านหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกด้านประมาณ 1.6 เท่า
ครู: กระบวนการนี้สามารถดำเนินการต่อไปได้ สี่เหลี่ยมที่ด้านข้างมีอัตราส่วนประมาณ 1.6:1 สังเกตมานานแล้ว ดูภาพวิหารพาร์เธนอนในกรุงเอเธนส์ (ภาคผนวก 1)
แม้ว่าปัจจุบันนี้จะเป็นอาคารที่สวยที่สุดแห่งหนึ่งในโลกก็ตาม วัดนี้สร้างขึ้นในสมัยรุ่งเรืองของคณิตศาสตร์กรีกโบราณ และความสวยงามนั้นเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด หากเราอธิบายรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใกล้กับส่วนหน้าของวิหารพาร์เธนอน (ภาคผนวก 2) ปรากฎว่าความยาวของมันมากกว่าความกว้างประมาณ 1.6 เท่า สี่เหลี่ยมนี้เรียกว่าสี่เหลี่ยมสีทอง ว่ากันว่าด้านข้างเป็นอัตราส่วนทองคำ
แนวคิดเรื่อง “อัตราส่วนทองคำ”
อัตราส่วนทองคำหรือการแบ่งของพระเจ้า – การแบ่งส่วนทั้งหมดออกเป็นสองส่วนที่ไม่เท่ากัน โดยส่วนที่ใหญ่กว่าสัมพันธ์กับส่วนรวม เนื่องจากส่วนที่เล็กกว่าจะสัมพันธ์กับส่วนที่ใหญ่กว่า ตัวเลข 1.6 เท่านั้นโดยประมาณ (มีความแม่นยำ 0.1) แทนค่าของอัตราส่วนทองคำ
ตัวอย่างที่ 1หากแบ่งส่วนออกเป็นสองส่วนเพื่อให้ส่วนที่เล็กกว่ามีความยาว X และส่วนที่ใหญ่กว่ามีความยาว Y ดังนั้นในกรณีของอัตราส่วนทองคำ Y: (X+Y) = X:Y
ป 
ตัวอย่างที่ 2ในดาวห้าแฉกปกติ เส้นทั้งห้าเส้นที่ประกอบเป็นตัวเลขนี้จะแบ่งอีกเส้นหนึ่งตามอัตราส่วนทองคำ
ตัวอย่างที่ 3ในภาพเปลือกหอย จุด C แบ่งส่วน AB โดยประมาณด้วยอัตราส่วนทองคำ เอซี: SV = เอสวี: AB
ตัวอย่างที่ 4 ประติมากรรมอันโด่งดังของ Apollo Belvedere หากความสูงของรูปร่างที่ได้สัดส่วนดีเยี่ยมแบ่งออกเป็นอัตราส่วนสุดขีดและอัตราส่วนเฉลี่ย เส้นแบ่งจะอยู่ที่ความสูงของเอว รูปร่างของผู้ชายก็ตอบสนองสัดส่วนนี้ได้เป็นอย่างดี
ตัวอย่างที่ 5 แต่ละส่วนของร่างกาย (ศีรษะ แขน มือ) สามารถแบ่งออกเป็นส่วนต่างๆ ตามธรรมชาติได้ตามกฎของอัตราส่วนทองคำ
ตัวอย่างที่ 6 การจัดเรียงใบบนลำต้นทั่วไปของพืช ระหว่างใบไม้ทุกๆ สองคู่ (A และ C) ใบที่สามจะอยู่ที่อัตราส่วนทองคำ (จุด B)
สรุป: สามารถยกตัวอย่างที่คล้ายกันได้มากมาย ทั้งรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรูปทรงสี่เหลี่ยมที่ยาวเกินไปนั้นดูน่าเกลียดสำหรับเราพอๆ กัน ทั้งคู่ละเมิดสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำอย่างร้ายแรง สิ่งเดียวกันนี้สามารถสังเกตได้ในหลายกรณีเมื่อรูปร่างสี่เหลี่ยมของวัตถุไม่ได้ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติและสามารถปฏิบัติตามข้อกำหนดด้านรสชาติได้อย่างอิสระ ทรงสี่เหลี่ยมหนังสือ กระเป๋าสตางค์ สมุดบันทึก การ์ดรูปถ่าย กรอบรูป - ตรงตามสัดส่วนของการแบ่งทองคำอย่างแม่นยำไม่มากก็น้อย แม้แต่โต๊ะ ตู้ ลิ้นชัก หน้าต่าง ประตูก็ไม่มีข้อยกเว้น การตรวจสอบนี้ทำได้ง่ายโดยใช้ค่าเฉลี่ยของการวัดต่างๆ
6. การรวมแนวคิดเรื่อง “สัดส่วน”
วอร์มอัพ: ฉันมีสี่เหลี่ยม 3 อันอยู่ในมือ สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เท่ากัน แต่หนึ่งในนั้นมีขนาด 5x8 อันไหนน่าดู (คำตอบ: ชาวกรีกโบราณเชื่อว่าสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นอัตราส่วน 5x8 (ด้านที่เป็น "อัตราส่วนทองคำ") จะมีรูปร่างที่น่าดูที่สุด
นึกถึงนิยามของสัดส่วนอีกครั้ง
งานสร้างสรรค์สำหรับนักเรียน: 1). สร้างสัดส่วนง่ายๆ สำหรับทุกคนและออกเสียงทีละคน 2). เลขที่ 744 ตามตำราเรียน
3). การแก้ปัญหา:
A) ตัวตลกสร้างสัดส่วนดังต่อไปนี้:
1)3: 6 = 2: 4
2) 4: 6 = 2: 3 สัดส่วนทั้งหมดถูกต้องหรือไม่? ทำไม
3) 3: 6 = 4: 2
4) 6: 2 = 4: 6
5) 6: 2 = 4: 6
6) 6: 4 = 3: 2
7) 6: 3 = 4: 2
8) 8: 4 = 2: 3
B) ทำไมความเท่าเทียมกัน 1) 1: 2 = 3: 6 และ 1.2: 0.3 = 32: 8 สัดส่วน?
2) 4.2:2 = 22:10 ไม่เป็นสัดส่วนเหรอ?
7. การบ้านเลขที่ 735, 752 เรียนรู้คำจำกัดความพร้อมตัวอย่างวัตถุที่มีรูปร่างคล้ายสี่เหลี่ยมสีทอง
8. การแก้ตัวอย่าง
№744,745, 752, 760
9. งานสร้างสรรค์ อัตราส่วนทองคำก็พบได้ใน พฤกษา- ในแต่ละโต๊ะจะมีภาพวาดก้านพืช สร้างสัดส่วนทองคำ ทำการวัดที่จำเป็น และคำนวณค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วน
10. สรุปบทเรียน
ก) สรุปงานที่เสร็จสมบูรณ์
B).คำตอบสำหรับคำถาม.
1. อัตราส่วน สัดส่วน คืออะไร?
2. ตัวเลขตามอัตราส่วนและสัดส่วนเรียกว่าอะไร?
3. อัตราส่วนของตัวเลข 2 ตัวแสดงอะไร?
C) เขียนบทกวีในหัวข้อที่ศึกษาโดยใช้วิธีการพัฒนา การคิดอย่างมีวิจารณญาณ- เทคนิค Sinkwine - "กลอนเปล่ากลอนไม่คล้องจอง" นำเสนอทุกสิ่งที่ศึกษาในบทเรียนใน 6-7 บรรทัด (1 บรรทัด - หัวข้อ 1 คำนาม; 2 บรรทัด - คำจำกัดความ 2 คำคุณศัพท์ 3 บรรทัด - การกระทำ 3 คำกริยา บรรทัดที่ 4 – การเชื่อมโยง คำนาม 4 คำ บรรทัดที่ 5 – คำกริยา 3 คำ; บรรทัดที่ 6 – คำจำกัดความ คำคุณศัพท์ 2 คำ ใครได้อะไร สำรวจนักเรียนแต่ละคน
คุณสามารถเสนอตัวเลือกนี้ได้:
ความสัมพันธ์
เท่าเทียมกันเป็นเนื้อเดียวกัน
แบ่ง แปลง เปรียบเทียบ
ความเสมอภาค ความกลมกลืน สัดส่วน อัตราส่วน
สัดส่วนสมาชิก
การประเมินผลงานของนักเรียนแต่ละคน คะแนนสำหรับบทเรียน
บทสรุปบทเรียน: ความรู้ที่ได้รับในบทเรียนวันนี้จะช่วยคุณแก้ปัญหาทุกประเภทที่เกี่ยวข้องกับเปอร์เซ็นต์โดยใช้สัดส่วน ต่อมาจะใช้สัดส่วนในการแก้ปัญหาเคมี ฟิสิกส์ และเรขาคณิต
วรรณกรรม:
หนังสือเรียนแก้ไขโดย N. Ya. Vilenkin - คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6
หนังสือเรียนแก้ไขโดย S. M. Nikolsky - คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6
พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่
I.F. Sharygin “Visual Geometry” ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 หน้า 99-101
ภาคผนวก 1
ภาคผนวก 2
การแก้ปัญหาส่วนใหญ่ในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลายต้องอาศัยความรู้เรื่องการกำหนดสัดส่วน ทักษะง่ายๆ นี้จะช่วยให้คุณไม่เพียงแต่ทำแบบฝึกหัดที่ซับซ้อนจากตำราเรียนเท่านั้น แต่ยังเจาะลึกถึงแก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ทางคณิตศาสตร์อีกด้วย ทำอย่างไรให้ได้สัดส่วน? ลองคิดดูตอนนี้
ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือปัญหาที่ทราบพารามิเตอร์สามตัว และจำเป็นต้องค้นหาพารามิเตอร์ตัวที่สี่ แน่นอนว่าสัดส่วนนั้นแตกต่างกัน แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องหาตัวเลขโดยใช้เปอร์เซ็นต์ ตัวอย่างเช่น เด็กชายมีแอปเปิ้ลทั้งหมดสิบผล เขามอบส่วนที่สี่ให้กับแม่ของเขา เด็กชายเหลือแอปเปิ้ลกี่ลูก? นี่เป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดที่จะช่วยให้คุณสร้างสัดส่วนได้ สิ่งสำคัญคือการทำเช่นนี้ ในตอนแรกมีแอปเปิ้ลสิบผล ปล่อยให้มันเป็น 100% เราทำเครื่องหมายแอปเปิ้ลของเขาทั้งหมด เขาให้หนึ่งในสี่ 1/4=25/100. ซึ่งหมายความว่าเขาได้ออกไปแล้ว: 100% (เดิมที) - 25% (เขาให้) = 75% ตัวเลขนี้แสดงเปอร์เซ็นต์ของจำนวนผลไม้ที่เหลืออยู่ เทียบกับจำนวนที่มีในตอนแรก ตอนนี้เรามีตัวเลขสามตัวซึ่งเราสามารถแก้สัดส่วนได้แล้ว 10 แอปเปิ้ล - 100% เอ็กซ์แอปเปิ้ล - 75% โดยที่ x คือจำนวนผลไม้ที่ต้องการ ทำอย่างไรให้ได้สัดส่วน? คุณต้องเข้าใจว่ามันคืออะไร ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะเช่นนี้ วางเครื่องหมายเท่ากับเพื่อความเข้าใจของคุณ
10 แอปเปิ้ล = 100%;
x แอปเปิ้ล = 75%
ปรากฎว่า 10/x = 100%/75 นี่คือคุณสมบัติหลักของสัดส่วน ท้ายที่สุดแล้ว ยิ่ง x ยิ่งมาก เปอร์เซ็นต์ของตัวเลขนี้ก็จะยิ่งมากขึ้นจากเดิม เราแก้สัดส่วนนี้แล้วพบว่า x = 7.5 แอปเปิ้ล เราไม่รู้ว่าทำไมเด็กชายถึงตัดสินใจแจกจำนวนเต็ม ตอนนี้คุณรู้วิธีสร้างสัดส่วนแล้ว สิ่งสำคัญคือการหาความสัมพันธ์สองแบบซึ่งหนึ่งในนั้นมีความสัมพันธ์ที่ไม่รู้จัก
การแก้สัดส่วนมักต้องใช้การคูณอย่างง่ายแล้วหาร โรงเรียนไม่ได้อธิบายให้เด็กฟังว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น แม้ว่าสิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าความสัมพันธ์ตามสัดส่วนนั้นเป็นคลาสสิกทางคณิตศาสตร์ แต่เป็นแก่นแท้ของวิทยาศาสตร์ ในการแก้สัดส่วน คุณต้องสามารถจัดการกับเศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น คุณมักจะต้องแปลงเปอร์เซ็นต์เป็นเศษส่วน นั่นคือการบันทึก 95% จะไม่ทำงาน และถ้าคุณเขียน 95/100 ทันที คุณสามารถลดลงได้มากโดยไม่ต้องเริ่มการคำนวณหลัก เป็นเรื่องที่ควรบอกทันทีว่าหากสัดส่วนของคุณกลายเป็นสิ่งที่ไม่ทราบสองตัวก็ไม่สามารถแก้ไขได้ ไม่มีศาสตราจารย์จะช่วยคุณที่นี่ และงานของคุณน่าจะมีอัลกอริธึมที่ซับซ้อนกว่าสำหรับการดำเนินการที่ถูกต้อง
ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งที่ไม่มีเปอร์เซ็นต์ ผู้ขับขี่รถยนต์ซื้อน้ำมันเบนซิน 5 ลิตรในราคา 150 รูเบิล เขาคิดว่าเขาจะจ่ายค่าน้ำมัน 30 ลิตรเท่าไร เพื่อแก้ปัญหานี้ ลองเขียนแทนด้วย x จำนวนเงินที่ต้องการ คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้ด้วยตัวเองแล้วตรวจสอบคำตอบ หากคุณยังไม่เข้าใจวิธีสร้างสัดส่วนลองดูสิ น้ำมันเบนซิน 5 ลิตรคือ 150 รูเบิล ดังตัวอย่างแรกเราเขียนไว้ 5l - 150r ทีนี้ลองหาเลขตัวที่สามกัน แน่นอนว่านี่คือ 30 ลิตร ยอมรับว่าคู่ 30 l - x rubles เหมาะสมในสถานการณ์นี้ มาดูภาษาคณิตศาสตร์กันดีกว่า
5 ลิตร - 150 รูเบิล;
30 ลิตร - x รูเบิล;
มาแก้สัดส่วนนี้กัน:
x = 900 รูเบิล
ดังนั้นเราจึงตัดสินใจ ในงานของคุณอย่าลืมตรวจสอบความเพียงพอของคำตอบ มันเกิดขึ้นว่าด้วยการตัดสินใจที่ผิดพลาด รถยนต์ต่างๆ ก็มีความเร็วที่ไม่สมจริงถึง 5,000 กิโลเมตรต่อชั่วโมง เป็นต้น ตอนนี้คุณรู้วิธีสร้างสัดส่วนแล้ว คุณยังสามารถแก้ปัญหาได้ อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อนเกี่ยวกับเรื่องนี้
สัดส่วน – ความเท่าเทียมกันของความสัมพันธ์ทั้งสองนั่นคือ ความเท่าเทียมกันของรูปแบบ ก:ข = ค:ง หรือในความหมายอื่น ความเท่าเทียมกัน
ถ้า ก : ข = ค : ง, ที่ กและ งเรียกว่า สุดขีด, ก ขและ ค - เฉลี่ยสมาชิก สัดส่วน
ไม่มีทางหนีจาก "สัดส่วน" ได้ งานหลายอย่างไม่สามารถทำได้หากไม่มีมัน มีทางเดียวเท่านั้นที่จะจัดการกับความสัมพันธ์นี้และใช้สัดส่วนเป็นตัวช่วยชีวิต
ก่อนที่เราจะเริ่มพิจารณาปัญหาเรื่องสัดส่วน สิ่งสำคัญคือต้องจำกฎพื้นฐานของสัดส่วนก่อน:
เป็นสัดส่วน
ผลคูณของเทอมสุดขั้วเท่ากับผลคูณของเทอมกลาง
หากไม่ทราบปริมาณในสัดส่วน ก็จะหาได้ง่ายตามกฎนี้
ตัวอย่างเช่น,
นั่นคือค่าสัดส่วนที่ไม่รู้จัก - ค่าของเศษส่วน ในตัวส่วน
ซึ่งเป็นตัวเลขที่อยู่ตรงข้ามกับปริมาณที่ไม่ทราบ
, ในตัวเศษ – ผลคูณของเงื่อนไขที่เหลือของสัดส่วน
(ไม่ว่าปริมาณที่ไม่ทราบนี้จะอยู่ที่ใด) 
ภารกิจที่ 1
จากเมล็ดฝ้าย 21 กก. ได้น้ำมัน 5.1 กก. เมล็ดฝ้าย 7 กิโลกรัม จะได้น้ำมันเท่าไหร่?
สารละลาย:
เราเข้าใจว่าการลดน้ำหนักของเมล็ดพืชตามปัจจัยบางประการทำให้น้ำหนักของน้ำมันที่ได้ลดลงตามปริมาณที่เท่ากัน นั่นคือปริมาณมีความสัมพันธ์กันโดยตรง
มากรอกตารางกัน: 
ปริมาณที่ไม่รู้จักคือค่าของเศษส่วนในตัวส่วนซึ่ง - 21 - ค่าตรงข้ามกับค่าที่ไม่รู้จักในตารางในตัวเศษ - ผลคูณของสมาชิกที่เหลือของตารางสัดส่วน
ดังนั้นเราจึงพบว่าเมล็ดพืช 7 กิโลกรัมจะให้น้ำมัน 1.7 กิโลกรัม
ถึง ขวา เมื่อกรอกตาราง สิ่งสำคัญคือต้องจำกฎ:
ชื่อที่เหมือนกันจะต้องเขียนไว้ด้านล่างกัน เราเขียนเปอร์เซ็นต์เป็นเปอร์เซ็นต์ กิโลกรัมเป็นกิโลกรัม ฯลฯ
ภารกิจที่ 2
แปลงเป็นเรเดียน
สารละลาย:
เรารู้ว่า. มากรอกตารางกัน:
คำตอบ:
ภารกิจที่ 3
วงกลมปรากฏบนกระดาษตาหมากรุก พื้นที่ของวงกลมจะเป็นเท่าใดหากพื้นที่ของเซกเตอร์แรเงาคือ 27?
สารละลาย:
จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าเซกเตอร์ที่ไม่มีการแรเงานั้นสอดคล้องกับมุมใน (เช่น เนื่องจากด้านข้างของเซกเตอร์นั้นประกอบขึ้นด้วยเส้นแบ่งครึ่งของมุมฉากสองมุมที่อยู่ติดกัน) และเนื่องจากวงกลมทั้งหมดคือ เซกเตอร์สีเทาจึงคิดเป็น
มาทำตารางกันเถอะ:
พื้นที่ของวงกลมมาจากไหน?
คำตอบ:
ภารกิจที่ 4หลังจากที่ไถไปแล้ว 82% ของทุ่งทั้งหมดแล้ว ยังมีพื้นที่เหลือให้ไถอีก 9 เฮกตาร์ พื้นที่ทั้งหมดเป็นเท่าใด?
สารละลาย:
พื้นที่ทั้งหมดเป็น 100% และเนื่องจากมีการไถ 82% ดังนั้น 100%-82%=18% ของพื้นที่จึงยังคงต้องไถ
กรอกตาราง: 
จากที่เราได้รับว่าสนามทั้งหมดคือ (ฮ่า)
คำตอบ:
และภารกิจต่อไปคือการซุ่มโจมตี
ภารกิจที่ 5
รถไฟโดยสารแล่นครอบคลุมระยะทางระหว่างสองเมืองด้วยความเร็ว 80 กม./ชม. ใน 3 ชั่วโมง รถไฟบรรทุกสินค้าจะใช้เวลากี่ชั่วโมงเพื่อครอบคลุมระยะทางเท่ากันที่ความเร็ว 60? กม./ชม?
สารละลาย:
หากคุณแก้ไขปัญหานี้เหมือนกับปัญหาก่อนหน้า คุณจะได้รับสิ่งต่อไปนี้:
เวลาที่รถไฟบรรทุกสินค้าใช้เดินทางในระยะทางเดียวกับรถไฟโดยสารคือชั่วโมง นั่นคือปรากฎว่าการเดินด้วยความเร็วต่ำกว่าเขาครอบคลุม (ในเวลาเดียวกัน) ระยะทางได้เร็วกว่ารถไฟที่มีความเร็วสูงกว่า
ข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลคืออะไร?
จนถึงตอนนี้เราได้พิจารณาปัญหาเกี่ยวกับปริมาณแล้ว เป็นสัดส่วนโดยตรงต่อกัน นั่นคือ ความสูงมีค่าเท่ากันหลายครั้งก็ให้ ความสูงปริมาณที่สองที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเท่ากัน (แน่นอนว่าลดลงเช่นเดียวกัน) และที่นี่เรามีสถานการณ์ที่แตกต่างออกไป: ความเร็วของรถไฟโดยสาร มากกว่าความเร็วของรถไฟบรรทุกสินค้านั้นสูงกว่าหลายเท่า แต่รถไฟโดยสารต้องใช้เวลาในการครอบคลุมระยะทางเท่ากัน เล็กกว่าหลายครั้งเหมือนรถไฟบรรทุกสินค้า นั่นก็คือการเห็นคุณค่าซึ่งกันและกัน สัดส่วนผกผัน .
รูปแบบที่เราใช้จนถึงตอนนี้จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในกรณีนี้
สารละลาย:
เราให้เหตุผลดังนี้:
รถไฟโดยสารขบวนหนึ่งเดินทางเป็นเวลา 3 ชั่วโมงด้วยความเร็ว 80 กม./ชม. จึงเดินทางได้ 1 กม. ซึ่งหมายความว่ารถไฟบรรทุกสินค้าจะครอบคลุมระยะทางเท่ากันภายในหนึ่งชั่วโมง
นั่นคือถ้าเราสร้างสัดส่วน เราควรสลับเซลล์ของคอลัมน์ทางขวาก่อน จะได้รับ:h.
คำตอบ: .
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม โปรดใช้ความระมัดระวังในการวาดสัดส่วน ขั้นแรก ให้พิจารณาว่าคุณกำลังเผชิญกับการพึ่งพาแบบใด - ทางตรงหรือทางผกผัน
