แนวคิดเรื่องเศษส่วนพีชคณิต แนวคิดพื้นฐาน ความหมายและตัวอย่างเศษส่วนพีชคณิต

ในมาตรา 42 ว่ากันว่าหากการหารพหุนามไม่สามารถดำเนินการได้อย่างสมบูรณ์ ผลหารจะถูกเขียนในรูปแบบของนิพจน์เศษส่วน โดยเงินปันผลเป็นตัวเศษและตัวหารเป็นตัวส่วน

ตัวอย่างของนิพจน์เศษส่วน:

ตัวเศษและส่วนของนิพจน์เศษส่วนสามารถเป็นนิพจน์เศษส่วนได้ ตัวอย่างเช่น

จากนิพจน์พีชคณิตแบบเศษส่วน คุณมักจะต้องจัดการกับนิพจน์ที่มีตัวเศษและส่วนเป็นพหุนาม (โดยเฉพาะ monomials) แต่ละนิพจน์ดังกล่าวเรียกว่าเศษส่วนพีชคณิต

คำนิยาม. นิพจน์พีชคณิตที่เป็นเศษส่วนซึ่งมีทั้งเศษและส่วนเป็นพหุนามเรียกว่าเศษส่วนพีชคณิต

เช่นเดียวกับเลขคณิตทั้งตัวเศษและตัวส่วน เศษส่วนพีชคณิตเรียกว่าสมาชิกของเศษส่วน.

ในอนาคต เมื่อศึกษาการดำเนินการเกี่ยวกับเศษส่วนพีชคณิตแล้ว เราจะสามารถแปลงนิพจน์เศษส่วนใดๆ ให้เป็นเศษส่วนพีชคณิตได้โดยใช้การแปลงที่เหมือนกัน

ตัวอย่างเศษส่วนพีชคณิต:

โปรดทราบว่านิพจน์ทั้งหมดซึ่งก็คือพหุนามสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะเขียนนิพจน์นี้ในตัวเศษและ 1 ในตัวส่วน ตัวอย่างเช่น

2. ค่าตัวอักษรที่ยอมรับได้

ตัวอักษรที่รวมอยู่ในตัวเศษเท่านั้นที่สามารถใช้กับค่าใดก็ได้ (เว้นแต่จะมีการแนะนำข้อ จำกัด เพิ่มเติมตามเงื่อนไขของปัญหา)

สำหรับตัวอักษรที่รวมอยู่ในตัวส่วนจะใช้ได้เฉพาะค่าที่ไม่เปลี่ยนตัวส่วนเป็นศูนย์เท่านั้น ดังนั้น ในอนาคตเราจะคิดเสมอว่าตัวส่วนของเศษส่วนพีชคณิตไม่ใช่ตัวส่วนของ เท่ากับศูนย์.

บทเรียนนี้ครอบคลุมแนวคิดเรื่องเศษส่วนพีชคณิต ผู้คนพบเศษส่วนด้วยวิธีที่ง่ายที่สุด สถานการณ์ชีวิต: เมื่อจำเป็นต้องแบ่งวัตถุออกเป็นหลายส่วน เช่น ตัดเค้กเป็นสิบคนเท่าๆ กัน แน่นอนว่าทุกคนจะได้รับเค้กชิ้นหนึ่ง ในกรณีนี้ เรากำลังเผชิญกับแนวคิดเรื่องเศษส่วนตัวเลข แต่สถานการณ์ก็เป็นไปได้เมื่อวัตถุถูกแบ่งออกเป็นส่วนที่ไม่ทราบจำนวน เช่น ด้วย x ในกรณีนี้ แนวคิดเรื่องนิพจน์เศษส่วนเกิดขึ้น คุณคุ้นเคยกับนิพจน์ทั้งหมดแล้ว (ไม่มีการแบ่งออกเป็นนิพจน์พร้อมตัวแปร) และคุณสมบัติของนิพจน์ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ต่อไปเราจะมาดูแนวคิดเรื่องเศษส่วนตรรกยะกัน ค่าที่ยอมรับได้ตัวแปร

นิพจน์เหตุผลแบ่งออกเป็น นิพจน์จำนวนเต็มและเศษส่วน.

คำนิยาม.เศษส่วนที่เป็นตรรกยะคือนิพจน์เศษส่วนของรูปแบบ โดยที่ พหุนาม - ตัวเศษ, - ตัวส่วน.

ตัวอย่างการแสดงออกที่มีเหตุผล:- นิพจน์เศษส่วน - สำนวนทั้งหมด ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์แรก ตัวเศษคือ และตัวส่วนคือ

ความหมาย เศษส่วนพีชคณิตเหมือนใครๆ การแสดงออกทางพีชคณิตขึ้นอยู่กับค่าตัวเลขของตัวแปรที่รวมอยู่ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตัวอย่างแรก ค่าของเศษส่วนขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปร และ และในตัวอย่างที่สองขึ้นอยู่กับค่าของตัวแปรเท่านั้น

พิจารณางานทั่วไปประการแรก: การคำนวณค่า เศษส่วนตรรกยะสำหรับค่าต่าง ๆ ของตัวแปรที่รวมอยู่ในนั้น

ตัวอย่างที่ 1คำนวณค่าของเศษส่วนสำหรับ a) , b) , c)

สารละลาย.เรามาแทนที่ค่าของตัวแปรเป็นเศษส่วนที่ระบุ: ก) , ข) , ค) - ไม่มีอยู่ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

คำตอบ:ก) 3; ข) 1; ค) ไม่มีอยู่จริง

อย่างที่เราเห็นมีสองอย่าง งานทั่วไปสำหรับเศษส่วนใดๆ: 1) การคำนวณเศษส่วน 2) การค้นหา ค่าที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องตัวแปรตัวอักษร

คำนิยาม.ค่าตัวแปรที่ถูกต้อง- ค่าของตัวแปรที่นิพจน์สมเหตุสมผล เรียกว่าชุดของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร โอดีซหรือ ขอบเขตของคำจำกัดความ.

ค่าของตัวแปรตามตัวอักษรอาจไม่ถูกต้องหากตัวส่วนของเศษส่วนที่ค่าเหล่านี้เป็นศูนย์ ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ค่าของตัวแปรนั้นถูกต้อง เนื่องจากสามารถคำนวณเศษส่วนได้

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย.เพื่อให้นิพจน์นี้สมเหตุสมผล ตัวส่วนของเศษส่วนไม่เท่ากับศูนย์มีความจำเป็นและเพียงพอ ดังนั้นเฉพาะค่าของตัวแปรเหล่านั้นเท่านั้นที่จะไม่ถูกต้องซึ่งตัวส่วนเท่ากับศูนย์ ตัวส่วนของเศษส่วนคือ ดังนั้นเราจึงแก้สมการเชิงเส้น:

ดังนั้น เมื่อพิจารณาจากค่าของตัวแปรแล้ว เศษส่วนจึงไม่มีความหมาย

คำตอบ: -5.

จากคำตอบของตัวอย่าง กฎสำหรับการค้นหาค่าที่ไม่ถูกต้องของตัวแปรมีดังนี้ - ตัวส่วนของเศษส่วนเท่ากับศูนย์และพบรากของสมการที่เกี่ยวข้อง

ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันหลายตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 3กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร .

สารละลาย..

คำตอบ..

ตัวอย่างที่ 4กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร

สารละลาย..

มีสูตรอื่นของปัญหานี้ - ค้นหา ขอบเขตของคำจำกัดความหรือ ช่วงของค่านิพจน์ที่ยอมรับได้ (APV)- ซึ่งหมายถึงการค้นหาค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของตัวแปร ในตัวอย่างของเรา ค่าเหล่านี้คือค่าทั้งหมดยกเว้น สะดวกในการพรรณนาโดเมนของคำจำกัดความบนแกนจำนวน

ในการทำเช่นนี้เราจะตัดจุดนั้นออกตามที่ระบุในรูป:

ข้าว. 1

ดังนั้น, โดเมนคำจำกัดความเศษส่วนจะมีตัวเลขทั้งหมดยกเว้น 3

คำตอบ..

ตัวอย่างที่ 5กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร

สารละลาย..

ให้เราพรรณนาวิธีแก้ปัญหาผลลัพธ์บนแกนตัวเลข:

ข้าว. 2

คำตอบ..

ตัวอย่างที่ 6

สารละลาย.- เราได้รับความเท่าเทียมกันของตัวแปรสองตัว เราจะยกตัวอย่างเชิงตัวเลข: หรือ ฯลฯ

ให้เราอธิบายวิธีแก้ปัญหานี้บนกราฟในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน:

ข้าว. 3. กราฟของฟังก์ชัน

พิกัดของจุดใดๆ ที่วางอยู่บนกราฟนี้ไม่รวมอยู่ในช่วงของค่าเศษส่วนที่ยอมรับได้

คำตอบ..

ในตัวอย่างที่กล่าวถึง เราพบสถานการณ์ที่มีการหารด้วยศูนย์ ตอนนี้ให้พิจารณากรณีที่สถานการณ์ที่น่าสนใจยิ่งขึ้นเกิดขึ้นกับการแบ่งประเภท

ตัวอย่างที่ 7กำหนดว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลที่ค่าของตัวแปร

สารละลาย..

ปรากฎว่าเศษส่วนไม่สมเหตุสมผลเลย แต่ใครๆ ก็สามารถแย้งได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้นเพราะ: .

อาจดูเหมือนว่าหากนิพจน์สุดท้ายเท่ากับ 8 ที่ ดังนั้นนิพจน์ดั้งเดิมก็สามารถคำนวณได้เช่นกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่ อย่างไรก็ตาม ถ้าเราแทนที่มันลงในนิพจน์ดั้งเดิม เราจะได้ว่ามันไม่มีเหตุผล

คำตอบ..

เพื่อทำความเข้าใจตัวอย่างนี้โดยละเอียดยิ่งขึ้น เรามาแก้ปัญหาต่อไปนี้: เศษส่วนที่ระบุมีค่าเท่ากับศูนย์ที่ค่าใด

เมื่อนักเรียนเข้าโรงเรียนมัธยม คณิตศาสตร์จะแบ่งออกเป็นสองวิชา: พีชคณิตและเรขาคณิต มีแนวคิดมากขึ้นเรื่อยๆ งานต่างๆ ก็ยากขึ้นเรื่อยๆ บางคนมีปัญหาในการเข้าใจเศษส่วน พลาดบทเรียนแรกในหัวข้อนี้และ voila เศษส่วน? คำถามที่จะทรมานตลอดชีวิตในโรงเรียนของฉัน

แนวคิดเรื่องเศษส่วนพีชคณิต

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ ภายใต้ เศษส่วนพีชคณิตหมายถึงนิพจน์ P/Q โดยที่ P เป็นตัวเศษ และ Q เป็นตัวส่วน ตัวเลข นิพจน์ตัวเลข หรือนิพจน์ตัวเลข-ตัวอักษรสามารถซ่อนอยู่ใต้รายการตัวอักษรได้

ก่อนจะสงสัยว่าจะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร คุณต้องเข้าใจก่อนว่านิพจน์ดังกล่าวเป็นส่วนหนึ่งของเศษส่วนทั้งหมด

ตามกฎแล้ว จำนวนเต็มคือ 1 ตัวเลขในตัวส่วนจะแสดงจำนวนหน่วยที่แบ่งออกเป็น ต้องใช้ตัวเศษเพื่อดูว่ามีองค์ประกอบจำนวนเท่าใด แถบเศษส่วนสอดคล้องกับเครื่องหมายหาร ได้รับอนุญาตให้เขียนนิพจน์เศษส่วนเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ "ส่วน" ในกรณีนี้ ตัวเศษคือเงินปันผล ตัวส่วนคือตัวหาร

กฎพื้นฐานของเศษส่วนร่วม

เมื่อนักเรียนศึกษาหัวข้อนี้ที่โรงเรียน พวกเขาจะได้รับตัวอย่างเพื่อเสริมกำลัง ในการแก้ปัญหาอย่างถูกต้องและค้นหาวิธีต่างๆ ในสถานการณ์ที่ซับซ้อน คุณต้องใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน

จะเป็นดังนี้: ถ้าคุณคูณทั้งเศษและส่วนด้วยตัวเลขหรือนิพจน์เดียวกัน (นอกเหนือจากศูนย์) ค่าก็จะได้ เศษส่วนทั่วไปจะไม่เปลี่ยนแปลง กรณีพิเศษของกฎข้อนี้คือการหารทั้งสองข้างของนิพจน์ด้วยจำนวนหรือพหุนามเดียวกัน การแปลงดังกล่าวเรียกว่าความเท่าเทียมกันที่เหมือนกัน

ด้านล่างนี้เราจะมาดูวิธีการแก้การบวกและการลบเศษส่วนพีชคณิต การคูณ การหาร และลดเศษส่วน

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับเศษส่วน

มาดูวิธีการแก้ สมบัติหลักของเศษส่วนพีชคณิต และวิธีนำไปใช้ในทางปฏิบัติกัน หากคุณต้องการคูณเศษส่วนสองส่วน เพิ่ม หารกัน หรือลบ คุณต้องปฏิบัติตามกฎเสมอ

ดังนั้น ในการดำเนินการบวกและการลบ จะต้องพบปัจจัยเพิ่มเติมเพื่อนำนิพจน์มาเป็นตัวส่วนร่วม ถ้าให้เศษส่วนเป็นสำนวน Q ในตอนแรก ก็ไม่ต้องใส่ย่อหน้านี้ เมื่อหาตัวส่วนร่วมแล้ว คุณจะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร? คุณต้องบวกหรือลบตัวเศษ แต่! ต้องจำไว้ว่าหากมีเครื่องหมาย “-” หน้าเศษส่วน เครื่องหมายในตัวเศษทั้งหมดจะกลับกัน บางครั้งคุณไม่ควรทำการทดแทนหรือการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ใดๆ เปลี่ยนเครื่องหมายหน้าเศษส่วนก็เพียงพอแล้ว

แนวคิดนี้มักใช้เป็น การลดเศษส่วน- ซึ่งหมายความว่า: หากตัวเศษและส่วนถูกหารด้วยนิพจน์ที่แตกต่างจากนิพจน์เดียว (เหมือนกันทั้งสองส่วน) ก็จะได้เศษส่วนใหม่ เงินปันผลและตัวหารน้อยกว่าเมื่อก่อน แต่เนื่องจากกฎพื้นฐานของเศษส่วน จึงยังคงเท่ากับตัวอย่างเดิม

วัตถุประสงค์ของการดำเนินการนี้คือเพื่อให้ได้นิพจน์ที่ลดไม่ได้ใหม่ คุณสามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยการลดตัวเศษและส่วนด้วยตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด อัลกอริธึมการดำเนินการประกอบด้วยสองจุด:

1. การหา gcd สำหรับเศษส่วนทั้งสองข้าง
2. การหารทั้งเศษและส่วนด้วยนิพจน์ที่พบและรับเศษส่วนที่ลดไม่ได้เท่ากับเศษส่วนก่อนหน้า

ด้านล่างนี้เป็นตารางที่แสดงสูตร เพื่อความสะดวกคุณสามารถพิมพ์ออกมาและพกพาติดตัวไปในสมุดบันทึกได้ อย่างไรก็ตาม เพื่อว่าในอนาคตเมื่อแก้แบบทดสอบหรือสอบจะไม่มีปัญหาในการแก้เศษส่วนพีชคณิตสูตรเหล่านี้จะต้องเรียนรู้ด้วยใจ

ตัวอย่างมากมายพร้อมวิธีแก้ปัญหา

จากมุมมองทางทฤษฎี จะพิจารณาคำถามว่าจะแก้เศษส่วนพีชคณิตได้อย่างไร ตัวอย่างที่ให้ไว้ในบทความจะช่วยให้คุณเข้าใจเนื้อหาได้ดีขึ้น

1. แปลงเศษส่วนแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

2. แปลงเศษส่วนแล้วนำมาเป็นตัวส่วนร่วม

หลังจากศึกษาภาคทฤษฎีและพิจารณาภาคปฏิบัติแล้ว ก็ไม่ต้องมีคำถามอีกต่อไป