ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 30 คณิตศาสตร์แสนสนุก: กฎของเกาส์ ปัญหาในการใช้กฎของเกาส์

โปรดช่วย!! คำนวณจำนวนเงิน ตัวเลขธรรมชาติจาก 1+2+3+4+...+97+98+99+100. และได้คำตอบที่ดีที่สุด

ตอบกลับจาก Alexander Heinonen[คุรุ]
นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีชื่อเสียง คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ค.ศ. 1777-1855) ได้รับการขนานนามจากคนรุ่นราวคราวเดียวกันว่าเป็น "ราชาแห่งคณิตศาสตร์"
แม้แต่ในวัยเด็ก เขายังแสดงความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่ไม่ธรรมดาอีกด้วย เมื่ออายุได้สามขวบ เกาส์ได้แก้ไขบัญชีของบิดาแล้ว
พวกเขาบอกว่าใน โรงเรียนประถมศึกษาโดยที่เกาส์ (อายุ 6 ขวบ) ศึกษาอยู่ ครูจึงได้เรียนในชั้นเรียนเป็นระยะเวลานาน งานอิสระมอบหมายงานให้นักเรียนคำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100 Gauss ตัวน้อยตอบคำถามเกือบจะในทันทีซึ่งทำให้ทุกคนประหลาดใจอย่างไม่น่าเชื่อและเหนือสิ่งอื่นใดคือครู
เรามาลองแก้ปัญหาด้วยวาจาในการหาผลรวมของตัวเลขข้างต้นกัน ก่อนอื่น ลองหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10: 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10
เกาส์ค้นพบว่า 1 + 10 = 11 และ 2 + 9 = 11 เป็นต้น เขาพิจารณาว่าเมื่อบวกจำนวนธรรมชาติจาก 1 ถึง 10 จะได้ 5 คู่ดังกล่าว และ 5 คูณ 11 เท่ากับ 55
เกาส์เห็นว่าการบวกเลขทั้งอนุกรมควรทำเป็นคู่ และเขาได้สร้างอัลกอริทึมสำหรับการบวกเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 อย่างรวดเร็ว
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. จำเป็นต้องนับจำนวนคู่ของตัวเลขตามลำดับตั้งแต่ 1 ถึง 100 เราได้ 50 คู่
2. เพิ่มตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายของลำดับทั้งหมด ในกรณีของเรา คือ 1 กับ 100 เราได้ 101
3. คูณจำนวนคู่ของตัวเลขตามลำดับด้วยจำนวนที่ได้รับในขั้นตอนที่ 2 เราได้ 5050.
ดังนั้น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 คือ 5050
สูตรง่ายๆ: ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง n = n * (n+1) : 2 แทนที่จะเป็น n ให้แทนที่ตัวเลขสุดท้ายแล้วคำนวณ
ตรวจสอบออก! มันได้ผล!

ตอบกลับจาก ยานย่า เฟอร์ติโควา[มือใหม่]
5050

ตอบกลับจาก มิคาอิล เมดเวเดฟ[คล่องแคล่ว]
5050

ตอบกลับจาก พาเวล โซโลเมนนิคอฟ[มือใหม่]
5050

ตอบกลับจาก อเลฟติน่า บาชโควา[มือใหม่]
5050

ตอบกลับจาก • ติโคมิรอฟ[คล่องแคล่ว]
5050

ตอบกลับจาก มาเรีย ดูโบรวินา[มือใหม่]
5050

ตอบกลับจาก ยาวิล บาดิรอฟ[มือใหม่]
5050

ตอบกลับจาก มิทรี[คล่องแคล่ว]
5050

ตอบกลับจาก เยฟเกนีย์ ซายาปอฟ[คล่องแคล่ว]
5050

ตอบกลับจาก 2 คำตอบ[คุรุ]

ซีรีส์ "คณิตศาสตร์เพื่อความบันเทิง" จัดทำขึ้นสำหรับเด็กที่สนใจคณิตศาสตร์และผู้ปกครองที่อุทิศเวลาเพื่อพัฒนาการของลูก ๆ "ให้" ปัญหาและปริศนาที่น่าสนใจและสนุกสนานแก่พวกเขา

บทความแรกในชุดนี้เกี่ยวข้องกับกฎของเกาส์

ประวัติเล็กน้อย

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อดัง Carl Friedrich Gauss (1777-1855) แตกต่างจากเพื่อนสมัยเด็ก แม้ว่าเขาจะมาจากครอบครัวที่ยากจน แต่เขาเรียนรู้ที่จะอ่าน เขียน และนับเลขได้ค่อนข้างเร็ว ในชีวประวัติของเขายังมีการกล่าวถึงด้วยซ้ำว่าเมื่ออายุ 4-5 ขวบ เขาสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดในการคำนวณที่ไม่ถูกต้องของพ่อได้เพียงแค่เฝ้าดูเขา

การค้นพบครั้งแรกของเขาเกิดขึ้นเมื่ออายุ 6 ขวบระหว่างเรียนวิชาคณิตศาสตร์ ครูจำเป็นต้องทำให้เด็กหลงใหลมาเป็นเวลานานและเขาเสนอปัญหาดังต่อไปนี้:

หาผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100

Young Gauss ทำงานนี้เสร็จเร็วมาก โดยพบรูปแบบที่น่าสนใจที่แพร่หลายและยังคงใช้ในการคำนวณทางจิตมาจนถึงทุกวันนี้

ลองแก้ปัญหานี้ด้วยวาจา แต่ก่อนอื่น เรามาเอาตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 10 กันก่อน:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

ดูจำนวนนี้ให้ดีแล้วลองเดาว่าเกาส์มองเห็นสิ่งผิดปกติอะไร ในการตอบ คุณต้องมีความเข้าใจองค์ประกอบของตัวเลขเป็นอย่างดี

เกาส์จัดกลุ่มตัวเลขดังนี้

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

ดังนั้นคาร์ลตัวน้อยจึงได้รับตัวเลข 5 คู่ซึ่งแต่ละคู่รวมกันได้มากถึง 11 จากนั้นในการคำนวณผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 10 คุณต้องมี

ลองกลับไปสู่ปัญหาเดิม เกาส์สังเกตว่าก่อนที่จะบวก จำเป็นต้องจัดกลุ่มตัวเลขเป็นคู่ๆ จึงคิดค้นอัลกอริทึมที่ให้คุณบวกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 ได้อย่างรวดเร็ว:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

ค้นหาจำนวนคู่ในชุดของจำนวนธรรมชาติ ในกรณีนี้มี 50 รายการ

เรามาสรุปตัวเลขตัวแรกและตัวสุดท้ายของซีรีย์นี้กัน ในตัวอย่างของเรา ค่าเหล่านี้คือ 1 และ 100 เราได้ 101

เราคูณผลรวมผลลัพธ์ของเทอมแรกและเทอมสุดท้ายของอนุกรมด้วยจำนวนคู่ของอนุกรมนี้ เราได้ 101 * 50 = 5050

ดังนั้น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 คือ 5050

ปัญหาในการใช้กฎของเกาส์

และตอนนี้เราขอนำเสนอปัญหาความสนใจของคุณ โดยการใช้กฎของเกาส์ในระดับหนึ่งหรืออย่างอื่น นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 4 ค่อนข้างสามารถเข้าใจและแก้ไขปัญหาเหล่านี้ได้

คุณสามารถให้โอกาสเด็กให้เหตุผลกับตัวเองเพื่อที่เขาจะได้ "ประดิษฐ์" กฎนี้ขึ้นมาเอง หรือจะแยกออกมารวมกันแล้วดูว่าเขาจะนำไปใช้ได้อย่างไร ในบรรดาปัญหาด้านล่างนี้ มีตัวอย่างที่คุณต้องเข้าใจวิธีแก้ไขกฎของเกาส์เพื่อนำไปใช้กับลำดับที่กำหนด

ไม่ว่าในกรณีใดเพื่อให้เด็กสามารถคำนวณสิ่งนี้ได้จำเป็นต้องมีความเข้าใจอัลกอริทึมแบบเกาส์เซียนนั่นคือความสามารถในการแบ่งออกเป็นคู่และนับได้อย่างถูกต้อง

สำคัญ!ถ้าท่องจำสูตรไม่เข้าใจก็จะถูกลืมอย่างรวดเร็ว

ปัญหาที่ 1

ค้นหาผลรวมของตัวเลข:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

สารละลาย.

ขั้นแรกคุณสามารถให้โอกาสเด็กแก้ตัวอย่างแรกด้วยตนเองและเสนอให้หาวิธีที่จะทำสิ่งนี้ได้อย่างง่ายดายในใจของเขา จากนั้น วิเคราะห์ตัวอย่างนี้กับเด็กและแสดงให้เห็นว่าเกาส์ทำอย่างไร เพื่อความชัดเจน วิธีที่ดีที่สุดคือเขียนเป็นชุดและเชื่อมโยงคู่ตัวเลขด้วยเส้นที่รวมกันเป็นตัวเลขเดียวกัน สิ่งสำคัญคือเด็กต้องเข้าใจว่าคู่เกิดขึ้นได้อย่างไร - เราใช้ตัวเลขที่เหลือน้อยที่สุดและใหญ่ที่สุดโดยที่จำนวนตัวเลขในชุดเป็นเลขคู่

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

งาน2

มี 9 ตุ้มน้ำหนัก ได้แก่ 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. เป็นไปได้ไหมที่จะจัดตุ้มน้ำหนักเหล่านี้ออกเป็นสามกองโดยมีน้ำหนักเท่ากัน?

สารละลาย.

จากการใช้กฎของเกาส์ เราจะหาผลรวมของน้ำหนักทั้งหมดได้:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (ก.)

หมายความว่าถ้าเราจัดกลุ่มตุ้มน้ำหนักให้แต่ละกองมีน้ำหนักรวม 15 กรัม ปัญหาก็จะหมดไป

หนึ่งในตัวเลือก:

• 9ก., 6ก
• 8ก., 7ก
• 5ก., 4ก., 3ก., 2ก., 1ก

อื่น ตัวเลือกที่เป็นไปได้ค้นหาด้วยตัวคุณเองกับลูกของคุณ

ดึงความสนใจของบุตรหลานของคุณไปที่ความจริงที่ว่าเมื่อแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันจะเป็นการดีกว่าที่จะเริ่มจัดกลุ่มด้วยน้ำหนัก (ตัวเลขที่มากขึ้น) เสมอ

ปัญหา 3

เป็นไปได้ไหมที่จะแบ่งหน้าปัดนาฬิกาออกเป็นสองส่วนด้วยเส้นตรงเพื่อให้ผลรวมของตัวเลขในแต่ละส่วนเท่ากัน?

สารละลาย.

เริ่มต้นด้วยการใช้กฎของเกาส์กับชุดตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: หาผลรวมและดูว่าหารด้วย 2 ลงตัวหรือไม่:

จึงสามารถแบ่งได้ ตอนนี้เรามาดูวิธีการกัน

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องลากเส้นบนหน้าปัดเพื่อให้ 3 คู่ตกอยู่ในครึ่งหนึ่งและอีก 3 คู่ตกอยู่ในอีกคู่หนึ่ง

คำตอบ: เส้นจะผ่านระหว่างหมายเลข 3 ถึง 4 และระหว่างหมายเลข 9 ถึง 10

งาน4

เป็นไปได้ไหมที่จะวาดเส้นตรงสองเส้นบนหน้าปัดนาฬิกาเพื่อให้ผลรวมของตัวเลขในแต่ละส่วนเท่ากัน?

สารละลาย.

เริ่มต้นด้วยการใช้กฎของเกาส์กับชุดตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: หาผลรวมและดูว่าหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 หารด้วย 3 ลงตัวโดยไม่มีเศษ ซึ่งหมายความว่าสามารถหารได้ ตอนนี้เรามาดูวิธีการกัน

ตามกฎของเกาส์ เราจะได้ตัวเลข 6 คู่ ซึ่งแต่ละคู่รวมกันได้ 13:

1 และ 12, 2 และ 11, 3 และ 10, 4 และ 9, 5 และ 8, 6 และ 7

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องวาดเส้นบนหน้าปัดเพื่อให้แต่ละส่วนมี 2 คู่

คำตอบ: บรรทัดแรกจะผ่านระหว่างหมายเลข 2 ถึง 3 และระหว่างหมายเลข 10 ถึง 11 บรรทัดที่สองอยู่ระหว่างตัวเลข 4 ถึง 5 และระหว่าง 8 ถึง 9

ปัญหาที่ 5

ฝูงนกกำลังบิน มีนกอยู่ตัวหนึ่ง (ผู้นำ) ข้างหน้า ข้างหลังสองตัว แล้วก็สาม สี่ ฯลฯ ในฝูงมีนกกี่ตัวถ้า แถวสุดท้ายมี 20 อันมั้ย?

สารละลาย.

เราพบว่าเราต้องบวกตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 20 และในการคำนวณผลรวมดังกล่าว เราสามารถใช้กฎของเกาส์ได้:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

ปัญหาที่ 6

จะวางกระต่าย 45 ตัวใน 9 กรงได้อย่างไร เพื่อให้ทุกกรงมีจำนวนกระต่ายต่างกัน?

สารละลาย.

หากเด็กตัดสินใจและเข้าใจตัวอย่างจากภารกิจที่ 1 ด้วยความเข้าใจแล้ว เขาก็จะจำได้ทันทีว่า 45 คือผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 9 ดังนั้นเราจึงปลูกกระต่ายดังนี้:

• เซลล์แรก - 1,
• วินาที - 2
• สาม - 3
• ที่แปด - 8
• เก้า - 9

แต่หากเด็กไม่สามารถเข้าใจได้ทันที ให้พยายามทำให้เขาคิดว่าปัญหาดังกล่าวสามารถแก้ไขได้ด้วยกำลังอันดุร้าย และควรเริ่มต้นด้วยจำนวนขั้นต่ำ

ปัญหาที่ 7

คำนวณผลรวมโดยใช้เทคนิคเกาส์เซียน:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

สารละลาย.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

ปัญหาที่ 8

มีชุดตุ้มน้ำหนัก 12 ชิ้น ได้แก่ 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. ตุ้มน้ำหนัก 4 ชิ้นถูกถอดออกจากชุด ซึ่งมีมวลรวมเท่ากับหนึ่งในสามของมวลรวมของตุ้มน้ำหนักทั้งชุด เป็นไปได้หรือไม่ที่จะวางตุ้มน้ำหนักที่เหลือบนตาชั่งสองตาชั่ง แต่ละตาชั่งมี 4 ชิ้นเพื่อให้มันสมดุล?

สารละลาย.

เราใช้กฎของเกาส์เพื่อค้นหามวลรวมของตุ้มน้ำหนัก:

1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (ก.)

เราคำนวณมวลของตุ้มน้ำหนักที่ถอดออก:

ดังนั้น น้ำหนักที่เหลือ (ซึ่งมีมวลรวม 78-26 = 52 กรัม) จะต้องวางไว้ที่ 26 กรัมในแต่ละตาชั่งเพื่อให้อยู่ในภาวะสมดุล

เราไม่ทราบว่าตุ้มน้ำหนักใดถูกลบออก ดังนั้นเราจึงต้องพิจารณาตัวเลือกที่เป็นไปได้ทั้งหมด

เมื่อใช้กฎของเกาส์ คุณสามารถแบ่งตุ้มน้ำหนักออกเป็น 6 คู่ โดยมีน้ำหนักเท่ากัน (คู่ละ 13 กรัม)

1g และ 12g, 2g และ 11g, 3g และ 10, 4g และ 9g, 5g และ 8g, 6g และ 7g

แล้ว ตัวเลือกที่ดีที่สุดเมื่อถอดออก 4 ตุ้มน้ำหนักจะลบสองคู่จากด้านบน ในกรณีนี้ เราจะเหลือ 4 คู่: 2 คู่ในสเกลหนึ่งและ 2 คู่ในอีกคู่

สถานการณ์กรณีที่เลวร้ายที่สุดคือเมื่อตุ้มน้ำหนักที่ถอดออก 4 อันแตกเป็น 4 คู่ เราจะเหลือคู่ที่ไม่ขาดตอน 2 คู่ ซึ่งมีน้ำหนักรวม 26 กรัม ซึ่งหมายความว่าเราวางไว้บนกระทะใบเดียว และวางน้ำหนักที่เหลือไว้บนกระทะอีกใบของเครื่องชั่งได้ และจะมีน้ำหนัก 26 กรัมเช่นกัน

ขอให้โชคดีในการพัฒนาลูกๆ ของคุณ

เนื้อหา:

จำนวนเต็มคือตัวเลขที่ไม่มีเศษส่วนหรือทศนิยม หากปัญหาจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงค่า N ที่กำหนด คุณไม่จำเป็นต้องบวกด้วยตนเอง ให้ใช้สูตร (N(N+1))/2 โดยที่ N คือ จำนวนมากที่สุดแถว.

ขั้นตอน

1. 1 กำหนดจำนวนเต็มที่ใหญ่ที่สุด (N)ด้วยการรวมจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึงจำนวน N ที่กำหนด คุณต้องกำหนดค่าของ N (N ไม่สามารถเป็นทศนิยมหรือเศษส่วนหรือจำนวนลบได้)
   • ตัวอย่าง. ค้นหาผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100 ในกรณีนี้ N=100 เนื่องจากเป็นตัวเลขที่ใหญ่ที่สุด (และสุดท้าย) ในชุดตัวเลขที่คุณได้รับ
2. 2 คูณ N ด้วย (N +1) และหารผลลัพธ์ด้วย 2เมื่อคุณระบุค่าจำนวนเต็ม N แล้ว ให้แทนค่าลงในสูตร (N(N+1))/2 แล้วคุณจะพบผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง N
   • ตัวอย่าง. แทน N=100 แล้วได้ (100(100+1))/2
3. 3 เขียนคำตอบของคุณคำตอบสุดท้ายคือผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง N ที่ระบุ
   • ตัวอย่าง.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • ผลรวมของจำนวนเต็มทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100 คือ 5050
4. 4 ที่มาของสูตร (N(N+1))/2ลองดูตัวอย่างข้างต้นอีกครั้ง แบ่งแถว 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 ออกเป็นสองแถวในใจ - แถวแรกจาก 1 ถึง 50 และแถวที่สองจาก 51 ถึง 100 หากคุณเพิ่มตัวเลขแรก (1) ของแถวแรก แถวและหมายเลขสุดท้าย (100 ) ของแถวที่สอง คุณจะได้ 101 คุณยังจะได้ 101 ถ้าคุณบวก 2 กับ 99, 3 กับ 98, 4 และ 97 และอื่นๆ หากแต่ละหมายเลขในกลุ่มแรกถูกบวกด้วยหมายเลขของกลุ่มที่สองที่สอดคล้องกันในที่สุดเราจะได้ 50 หมายเลขซึ่งแต่ละหมายเลขจะเท่ากับ 101 ดังนั้น 50 * 101 = 5050 คือผลรวมของตัวเลขจาก 1 ถึง 100 โปรดทราบว่า 50 = 100/2 และ 101 = 100 + 1 อันที่จริง นี่เป็นจริงสำหรับผลรวมของจำนวนเต็มบวกใดๆ การสรุปสามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอนโดยมีตัวเลขสองแถว และตัวเลขที่ตรงกัน ในแต่ละแถวสามารถบวกกันและผลลัพธ์ของการบวกจะเหมือนกัน
   • เราสามารถพูดได้ว่าผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง N เท่ากับ (N/2)(N+1) การแสดงสูตรนี้อย่างง่ายคือสูตร (N(N+1))/2

คำนวณผลรวมของตัวเลขระหว่างตัวเลขสองตัวโดยใช้ผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง N

1. 1 กำหนดตัวเลือกการรวม (รวมหรือไม่ก็ได้)บ่อยครั้งมีปัญหา แทนที่จะค้นหาผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึงจำนวน N ที่ระบุ พวกเขาจะถูกขอให้ค้นหาผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ N 1 ถึง N 2 โดยที่ N 2 > N 1 และตัวเลขทั้งสอง > 1 การคำนวณดังกล่าว ผลรวมค่อนข้างง่าย แต่ก่อนอื่น ก่อนที่จะเริ่มการคำนวณ คุณต้องพิจารณาว่าตัวเลขที่ระบุใน N 1 และ N 2 รวมอยู่ในผลรวมสุดท้ายหรือไม่
2. 2 หากต้องการค้นหาผลรวมของจำนวนเต็มระหว่างตัวเลขสองตัว N 1 และ N 2 ให้แยกหาผลรวมไม่เกิน N 1 แยกหาผลรวมไม่เกิน N 2 แล้วลบออกจากกัน (ลบผลรวมไม่เกินค่า N ที่น้อยกว่าจาก ผลรวมจนถึงค่า N ที่มากขึ้น)
   • ตัวอย่าง. มาหาผลรวม ("รวม") ของจำนวนเต็มตั้งแต่ N 1 = 75 ถึง N 2 = 100 หรืออีกนัยหนึ่ง เราต้องหา 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100 ในการแก้ปัญหา เรา จะต้องค้นหาผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง N 1 -1 แล้วลบออกจากผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง N 2 (โปรดจำไว้ว่า: เมื่อรวมทั้งหมดเราจะลบ 1 จาก N 1):
     • (ยังไม่มีข้อความ 2 (ยังไม่มีข้อความ 2 + 1))/2 - ((ยังไม่มีข้อความ 1 -1)((ยังไม่มีข้อความ 1 -1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 - 2775 = 2275 ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 75 ถึง 100 (“รวม”) คือ 2275
   • ทีนี้ลองหาผลรวมของตัวเลขโดยไม่ต้องรวมตัวเลขที่ให้มาด้วย (หรืออีกนัยหนึ่งคือเราต้องหา 76 + 77 + ... + 99) ในกรณีนี้เราลบ 1 จาก N 2:
     • ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 = 2100 ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 75 ถึง 100 (ไม่รวมตัวเลขเหล่านี้) คือ 2100
3. 3 เข้าใจกระบวนการ.คิดว่าผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 เป็น 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 และผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 75 เป็น 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. ผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 75 ถึง 100 (“รวม”) คือการคำนวณ: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100 ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 75 และผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 เท่ากับจำนวน 75 แต่ผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 หลังจากหมายเลข 75 ยังคงดำเนินต่อไป: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100 ดังนั้นโดยการลบผลรวมของตัวเลขจาก 1 ถึง 75 จากผลรวมของตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง 100 เรา "แยก" ผลรวมของจำนวนเต็มตั้งแต่ 75 ถึง 100
   • หากเราบวกกันแบบรวม เราต้องใช้ผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 74 แทนผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 75 เพื่อรวมหมายเลข 75 ไว้ในผลรวมสุดท้าย
   • ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราบวกโดยไม่ใส่ตัวเลขที่กำหนด เราต้องใช้ผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 99 แทนผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 100 เพื่อแยกตัวเลข 100 ออกจากผลรวมสุดท้าย เราสามารถใช้ผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 75 ได้ เพราะการลบออกจากผลรวมตั้งแต่ 1 ถึง 99 จะกำจัดเลข 75 ออกจากผลรวมสุดท้าย

• ผลลัพธ์ของการคำนวณผลรวมจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ เนื่องจาก N หรือ N +1 เป็นจำนวนคู่ที่หารด้วย 2 ลงตัวโดยไม่มีเศษ
• จำนวนเงิน = จำนวนเงิน – จำนวนเงิน
• กล่าวอีกนัยหนึ่ง: ผลรวม = n(n+1)/2

คำเตือน

• แม้ว่าการขยายวิธีนี้ไปยังจำนวนลบได้ไม่ยากนัก แต่บทความนี้จะพิจารณาเฉพาะจำนวนเต็มบวกใดๆ โดยที่ N มากกว่าหรือเท่ากับ 1