ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส จุดจำกัดของเส้นหมายเลขลำดับ การพิสูจน์การทดสอบไวเออร์สตราส และเกณฑ์คอชี ทฤษฎีบทจุดจำกัดโบลซาโน-คอชี

คำจำกัดความ v.7 จุด x € R บนเส้นจำนวนเรียกว่าจุดจำกัดของลำดับ (xn) หากสำหรับย่านใกล้เคียง U (x) และจำนวนธรรมชาติใด ๆ N เป็นไปได้ที่จะค้นหาองค์ประกอบ xn ที่เป็นของย่านใกล้เคียงนี้ด้วยตัวเลขที่มากกว่า แอลจีเช่น x 6 R - จุดจำกัดถ้า กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุด x จะเป็นจุดจำกัดสำหรับ (xn) ถ้าย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุดใดมีองค์ประกอบของลำดับนี้ซึ่งมีตัวเลขจำนวนมากตามอำเภอใจ แม้ว่าอาจจะไม่ใช่ทุกองค์ประกอบที่มีตัวเลข n > N ดังนั้น ข้อความต่อไปนี้จึงค่อนข้างชัดเจน . คำชี้แจง b.b. ถ้า lim(xn) = 6 6 R แล้ว b เป็นจุดจำกัดจุดเดียวของลำดับ (xn) แท้จริงแล้ว โดยอาศัยคำจำกัดความ 6.3 ของขีดจำกัดของลำดับ องค์ประกอบทั้งหมดของมันซึ่งเริ่มต้นจากจำนวนหนึ่ง จะตกอยู่ในบริเวณใกล้เคียงเล็กๆ ของจุดที่ 6 โดยพลการ ดังนั้น องค์ประกอบที่มีจำนวนมากโดยพลการจะไม่สามารถตกอยู่ในบริเวณใกล้เคียงของจุดอื่นใดได้ . ด้วยเหตุนี้ เงื่อนไขของคำจำกัดความ 6.7 จึงเป็นที่พอใจสำหรับจุด 6 จุดเดียวเท่านั้น อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกจุดจำกัด (บางครั้งเรียกว่าจุดควบแน่นบางๆ) ของลำดับจะเป็นขีดจำกัด ดังนั้น ลำดับ (b.b) ไม่มีขีดจำกัด (ดูตัวอย่าง 6.5) แต่มีจุดจำกัดสองจุด x = 1 และ x = - 1 ลำดับ ((-1)pp) มีจุดไม่จำกัดสองจุด +oo และ - พร้อมด้วยส่วนขยาย เส้นจำนวน ซึ่งสหภาพจะแสดงด้วยสัญลักษณ์เดียว oo นั่นคือเหตุผลที่เราสามารถสรุปได้ว่าจุดขีดจำกัดอนันต์ตรงกัน และจุดอนันต์ oo ตาม (6.29) คือขีดจำกัดของลำดับนี้ 7 จุดจำกัด สำหรับแต่ละ n จะมีองค์ประกอบที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียง U (6, 1/n) ของจุด b ของรัศมี 1/n ลำดับต่อมาประกอบด้วยจุด ijtj, ...1 ..., โดยที่ zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N มีขีดจำกัดที่จุดที่ 6 อันที่จริง สำหรับ e > 0 ตามอำเภอใจ เราสามารถเลือก N ได้ เช่นนั้น จากนั้น องค์ประกอบทั้งหมดของลำดับต่อมา เริ่มต้นด้วยหมายเลข km จะตกอยู่ใน ^-พื้นที่ใกล้เคียง U(6, e) ของจุดที่ 6 ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข 6.3 ของคำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับ ทฤษฎีบทสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน จุดจำกัดของเส้นหมายเลขลำดับ การพิสูจน์การทดสอบ Weierstrass และเกณฑ์ Cauchy ทฤษฎีบท 8.10 หากลำดับบางลำดับมีลำดับถัดไปที่มีขีดจำกัด 6 แล้ว b คือจุดจำกัดของลำดับนี้ ชุดอนันต์ องค์ประกอบของลำดับ เนื่องจากไม่เช่นนั้นทั้งเซกเมนต์ [a, b] ก็จะมีจำนวนจำกัด ซึ่งเป็นไปไม่ได้ กำหนดให้ ] เป็นครึ่งหนึ่งของเซกเมนต์ [a, 6] ที่มีเซตของสมาชิกลำดับอนันต์ (zn) (หรือถ้าทั้งสองซีกเป็นเช่นนั้น ก็จะมีซีกใดซีกหนึ่งก็ได้) ในทำนองเดียวกันจากส่วนที่ประกอบด้วยองค์ประกอบของลำดับจำนวนอนันต์ ฯลฯ ดำเนินกระบวนการนี้ต่อไป เราจะสร้างระบบของส่วนที่ซ้อนกันด้วย bn - an = (6- a)/2P ตามหลักการของส่วนที่ซ้อนกัน มีจุด x ที่เป็นของส่วนเหล่านี้ทั้งหมด จุดนี้จะเป็นจุดจำกัดสำหรับลำดับ (xn) - อันที่จริงสำหรับ e-neighborhood ใด ๆ U(x, e) = (xx + e) ​​\point x มีเซ็กเมนต์ C U(x, e) (มัน ก็เพียงพอแล้วที่จะเลือก n จากอสมการ ( ซึ่งมีเซตองค์ประกอบที่ไม่มีที่สิ้นสุดของลำดับ (sn) ตามคำจำกัดความ 6.7 x เป็นจุดจำกัดของลำดับนี้ จากนั้นตามทฤษฎีบท 6.9 จะมีลำดับต่อมามาบรรจบกัน จุด x วิธีการให้เหตุผลที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ (บางครั้งเรียกว่าบทแทรกโบลซาโน-เวเยอร์ -สแตรส) และเกี่ยวข้องกับการแบ่งส่วนตามลำดับของส่วนที่พิจารณาเป็นครึ่งหนึ่ง เรียกว่าวิธีโบลซาโน ช่วยให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ซับซ้อนง่ายขึ้นอย่างมาก ประการแรก เราจะพิสูจน์ประโยค 6.1 (การทดสอบ Weierstrass) สำหรับการบรรจบกันของลำดับเสียงเดียวที่มีขอบเขต) ให้เราถือว่าลำดับ (n) ไม่ลดลง จากนั้นเซตของค่าของมันจะถูกผูกไว้ด้านบน และตามทฤษฎีบท 2.1 มีจุดสูงสุดซึ่งเราแสดงด้วย sup(xn) เป็น R เนื่องจากคุณสมบัติของจุดสูงสุด (ดู 2.7) จุดจำกัดของลำดับคือตัวเลข บรรทัด หลักฐานการทดสอบ Weierstrass และเกณฑ์ Cauchy ตามคำจำกัดความ 6.1 สำหรับลำดับที่ไม่ลดลงที่เรามี หรือ จากนั้น > Ny และคำนึงถึง (6.34) เราได้รับซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความ 6.3 ของขีดจำกัดของลำดับ เช่น 31im(sn) และ lim(xn) = 66R ถ้าลำดับ (xn) ไม่เพิ่มขึ้น แสดงว่าแนวทางการพิสูจน์คล้ายกัน ตอนนี้เรามาดูการพิสูจน์ความเพียงพอของเกณฑ์ Kochia สำหรับการลู่เข้าของลำดับกัน (ดูข้อความที่ 6.3) เนื่องจากความจำเป็นของเงื่อนไขเกณฑ์ตามมาจากทฤษฎีบท 6.7 ให้ลำดับ (jn) เป็นลำดับพื้นฐาน ตามคำจำกัดความ 6.4 เมื่อกำหนด € > 0 ขึ้นมา เราสามารถหาตัวเลข N ในลักษณะที่ m^N และ n^N บอกเป็นนัยได้ จากนั้น เมื่อรับ m - N สำหรับ Vn > N เราจะได้ € £ เนื่องจากลำดับที่พิจารณามีจำนวนสมาชิกจำกัดโดยมีจำนวนไม่เกิน N จึงตามมาจาก (6.35) ที่ลำดับพื้นฐานมีขอบเขต (สำหรับการเปรียบเทียบ ดู การพิสูจน์ทฤษฎีบท 6.2 เรื่องขอบเขตของลำดับลู่เข้า ) สำหรับชุดของค่าของลำดับที่มีขอบเขต จะมีขอบเขต infimum และ supremum (ดูทฤษฎีบท 2.1) สำหรับชุดของค่าองค์ประกอบสำหรับ n > N เราแสดงว่าใบหน้าเหล่านี้ an = inf xn และ bjy = sup xn ตามลำดับ เมื่อ N เพิ่มขึ้น ค่า infimum ที่แน่นอนจะไม่ลดลง และค่า supremum ที่แน่นอนจะไม่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ - ฉันจะได้รับระบบปรับอากาศหรือไม่? เซ็กเมนต์ ตามหลักการของเซ็กเมนต์ที่ซ้อนกันจะมีจุดร่วมที่เป็นของเซ็กเมนต์ทั้งหมด ลองแทนมันด้วย b ดังนั้น ที่ จากการเปรียบเทียบ (6.36) และ (6.37) ในที่สุดเราก็จะได้ซึ่งสอดคล้องกับคำจำกัดความ 6.3 ของขีดจำกัดของลำดับ กล่าวคือ 31im(x„) และ lim(sn) = 6 6 R. Bolzano เริ่มศึกษาลำดับพื้นฐาน แต่เขาไม่มีทฤษฎีจำนวนจริงที่เข้มงวด ดังนั้นเขาจึงไม่สามารถพิสูจน์การบรรจบกันของลำดับพื้นฐานได้ คอชีทำสิ่งนี้ โดยคำนึงถึงหลักการของเซ็กเมนต์ที่ซ้อนกัน ซึ่งคันทอร์ได้ยืนยันในภายหลัง ไม่เพียงแต่เป็นเกณฑ์สำหรับการบรรจบกันของลำดับที่กำหนดชื่อ Cauchy เท่านั้น แต่ลำดับพื้นฐานมักเรียกว่าลำดับ Cauchy และหลักการของส่วนที่ซ้อนกันก็ตั้งชื่อตามคันทอร์

แบ่งส่วน [ ก 0 ,ข 0 ] ครึ่งหนึ่งออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน ผลลัพธ์อย่างน้อยหนึ่งส่วนมีจำนวนเงื่อนไขของลำดับไม่สิ้นสุด เรามาแสดงว่า [ ก 1 ,ข 1 ] .

ในขั้นตอนถัดไป เราจะทำซ้ำขั้นตอนด้วยส่วน [ ก 1 ,ข 1 ]: แบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน และเลือกส่วนที่มีจำนวนเงื่อนไขของลำดับไม่สิ้นสุด เรามาแสดงว่า [ ก 2 ,ข 2 ] .

ดำเนินกระบวนการต่อไปเราได้รับลำดับของส่วนที่ซ้อนกัน

โดยแต่ละอันที่ตามมาคือครึ่งหนึ่งของอันก่อนหน้า และมีเงื่อนไขของลำดับจำนวนอนันต์ ( x เค } .

ความยาวของเซ็กเมนต์มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์:

โดยอาศัยหลักการ Cauchy-Cantor ของส่วนที่ซ้อนกัน มีจุดเดียว ξ ที่เป็นของทุกส่วน:

โดยการก่อสร้างในแต่ละส่วน [ก ม ,ข ม ] มีเงื่อนไขของลำดับจำนวนอนันต์ มาเลือกกันตามลำดับ

ขณะสังเกตสภาวะการเพิ่มจำนวน:

จากนั้นลำดับต่อมามาบรรจบกันที่จุด ξ สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าระยะทางจากถึง ξ ไม่เกินความยาวของส่วนที่มีพวกมัน [ก ม ,ข ม ] , ที่ไหน

การขยายไปถึงกรณีของช่องว่างในมิติใดๆ

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราสสามารถสรุปได้ง่ายในกรณีของปริภูมิในมิติใดๆ

ให้ลำดับของจุดในอวกาศได้รับ:

(ดัชนีล่างคือหมายเลขสมาชิกลำดับ ดัชนีบนคือหมายเลขพิกัด) หากลำดับของจุดในอวกาศมีจำกัด ดังนั้นแต่ละลำดับตัวเลขของพิกัด:

ยังจำกัด ( - หมายเลขพิกัด)

โดยอาศัยทฤษฎีบทโบลซาโน-เวียร์สตราสเวอร์ชันมิติเดียวจากลำดับ ( x เค) เราสามารถเลือกลำดับถัดไปของจุดที่มีพิกัดแรกเป็นลำดับลู่เข้าหากัน จากลำดับผลลัพธ์ เราจะเลือกลำดับย่อยที่มาบรรจบกันตามพิกัดที่สองอีกครั้ง ในกรณีนี้ การบรรจบกันตามพิกัดแรกจะยังคงอยู่ เนื่องจากทุกลำดับที่ตามมาของลำดับการบรรจบกันก็มาบรรจบกันเช่นกัน และอื่นๆ

หลังจาก nเราได้ลำดับขั้นตอนที่แน่นอน

ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องของ และมาบรรจบกันตามแต่ละพิกัด ตามมาว่าลำดับต่อมานี้มาบรรจบกัน

เรื่องราว

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส (สำหรับกรณีนี้) n= 1) ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเช็ก โบลซาโน ในปี 1817 ในงานของโบลซาโน มันทำหน้าที่เป็นบทแทรกในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่ากลางของฟังก์ชันต่อเนื่อง ซึ่งปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชี. อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เหล่านี้และผลลัพธ์อื่นๆ ซึ่งพิสูจน์โดยโบลซาโนมานานก่อน Cauchy และ Weierstrass ก็ไม่มีใครสังเกตเห็น

เพียงครึ่งศตวรรษต่อมา ไวเออร์ชตราส ซึ่งเป็นอิสระจากโบลซาโน ได้ค้นพบและพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้อีกครั้ง เดิมเรียกว่าทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสส์ ก่อนที่ผลงานของโบลซาโนจะเป็นที่รู้จักและยอมรับ

ปัจจุบันทฤษฎีบทนี้มีชื่อว่าโบลซาโนและไวเออร์ชตราส ทฤษฎีบทนี้มักเรียกว่า บทแทรกของโบลซาโน-ไวเออร์สตราสส์และบางครั้ง บทแทรกจุดจำกัด.

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราสและแนวคิดเรื่องความกะทัดรัด

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราสระบุดังต่อไปนี้ คุณสมบัติที่น่าสนใจเซตขอบเขต: ลำดับของจุดใดๆ มมีลำดับการมาบรรจบกัน

เมื่อพิสูจน์ข้อเสนอต่างๆ ในการวิเคราะห์ พวกเขามักจะหันไปใช้เทคนิคต่อไปนี้: พวกเขากำหนดลำดับของประเด็นที่มีบางส่วน คุณสมบัติที่ต้องการแล้วลำดับต่อมาก็ถูกแยกออกจากมัน ซึ่งมีมันอยู่ด้วย แต่มาบรรจบกันแล้ว ตัวอย่างเช่น นี่คือวิธีที่ทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสได้รับการพิสูจน์ว่าฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งถูกจำกัดขอบเขตและรับค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุด

ประสิทธิผลของเทคนิคดังกล่าวโดยทั่วไป ตลอดจนความปรารถนาที่จะขยายทฤษฎีบทของไวเออร์ชตราสส์ไปสู่ปริภูมิเมตริกตามอำเภอใจ ทำให้มอริซ เฟรเชต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสแนะนำแนวคิดนี้ในปี 1906 ความกะทัดรัด- คุณสมบัติของเซตที่มีขอบเขตใน ที่กำหนดโดยทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราส กล่าวโดยนัยคือ จุดของเซตนั้นตั้งอยู่ค่อนข้าง "ใกล้" หรือ "กระทัดรัด": เมื่อทำตามขั้นตอนจำนวนอนันต์ตลอดเซตนี้ เราจะ เข้าใกล้จุดใดจุดหนึ่งในอวกาศได้มากเท่าที่เราต้องการ

Frechet แนะนำคำจำกัดความต่อไปนี้: set มเรียกว่า กะทัดรัด, หรือ กะทัดรัดถ้าทุกลำดับของจุดมีลำดับต่อมามาบรรจบกันที่จุดใดจุดหนึ่งของเซตนี้ สันนิษฐานว่าเมื่อเข้าฉาก มตัวชี้วัดถูกกำหนดไว้นั่นคือมันคือ

จำได้ว่าเราเรียกย่านใกล้เคียงของจุดหนึ่งว่าช่วงที่มีจุดนี้ -ย่านใกล้เคียงของจุด x - ช่วงเวลา

คำจำกัดความ 4 จุดหนึ่งเรียกว่าจุดจำกัดของเซต ถ้าย่านใกล้เคียงใดๆ ของจุดนี้ประกอบด้วยเซตย่อยที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเซต X

เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความจริงที่ว่าในบริเวณใกล้เคียงของจุดใดๆ มีจุดของเซต X อย่างน้อยหนึ่งจุดที่ไม่ตรงกัน (ตรวจสอบ!)

ลองยกตัวอย่างบางส่วน

ถ้าจุดลิมิตของ X เป็นเพียงจุดเท่านั้น

ในช่วงเวลาหนึ่ง แต่ละจุดของเซ็กเมนต์คือจุดจำกัด และในกรณีนี้จะไม่มีจุดจำกัดอื่นๆ

สำหรับเซตของจำนวนตรรกยะ แต่ละจุด E เป็นจุดจำกัด เพราะดังที่เราทราบ ในช่วงของจำนวนจริงก็จะมีจำนวนตรรกยะด้วย

เลมมา (โบลซาโน่-ไวเออร์สตราสเซอ) ชุดจำนวนจำกัดอนันต์ทุกชุดมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด

ให้ X เป็นเซตย่อยที่กำหนดของ E จากคำจำกัดความของขอบเขตของเซต X จะตามมาว่า X มีอยู่ในเซกเมนต์หนึ่ง ให้เราแสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งจุดของเซ็กเมนต์ I คือจุดจำกัดของ X

หากไม่เป็นเช่นนั้น แต่ละจุดก็จะมีย่านใกล้เคียงที่ไม่มีจุดของเซต X เลย หรือมีจำนวนจำกัดตรงนั้น เซตของย่านใกล้เคียงที่สร้างขึ้นสำหรับแต่ละจุดจะครอบคลุมส่วนที่ 1 ด้วยระยะห่าง ซึ่งเมื่อใช้บทแทรกในการครอบคลุมที่มีขอบเขตจำกัด เราสามารถแยกระบบที่มีขอบเขตจำกัดของช่วงเวลาที่ครอบคลุมส่วนที่ 1 ได้ แต่เนื่องจากระบบเดียวกันนี้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดทั้งหมด เซต X อย่างไรก็ตาม ในแต่ละช่วงจะมีจุดของเซต X เพียงจำนวนจำกัด ซึ่งหมายความว่าในเซต X ก็มีจำนวนจุด X ที่จำกัดเช่นกัน กล่าวคือ X เป็นเซตจำกัด ความขัดแย้งที่เกิดขึ้นทำให้การพิสูจน์สมบูรณ์

คำจำกัดความ 1.จุด x ของเส้นอนันต์เรียกว่าจุดลิมิตของลำดับ (x n) ถ้าในบริเวณ e-neighborhood ใดๆ ของจุดนี้ มีองค์ประกอบของลำดับจำนวนอนันต์ (x n)

เลมมา 1.ถ้า x เป็นจุดจำกัดของลำดับ (x k ) จากนั้นจากลำดับนี้ เราสามารถเลือกลำดับย่อย (x n k ) มาบรรจบกันเป็นตัวเลข x

ความคิดเห็นข้อความตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน หากจากลำดับ (x k) สามารถเลือกลำดับถัดไปมาบรรจบกับตัวเลข x ได้ ดังนั้นตัวเลข x คือจุดจำกัดของลำดับ (x k) แท้จริงแล้ว ในพื้นที่ใกล้เคียง e ใดๆ ของจุด x มีองค์ประกอบของลำดับต่อมามากมายอย่างไม่สิ้นสุด และด้วยเหตุนี้ลำดับนั้นเอง (x k )

จากบทแทรก 1 เราจะให้คำจำกัดความอีกประการหนึ่งของจุดจำกัดของลำดับได้ ซึ่งเทียบเท่ากับคำจำกัดความ 1

คำจำกัดความ 2จุด x ของเส้นอนันต์เรียกว่าจุดจำกัดของลำดับ (x k ) หากจากลำดับนี้ คุณสามารถเลือกลำดับย่อยที่มาบรรจบกับ x ได้

เล็มมา 2.ทุกลำดับมาบรรจบกันจะมีจุดจำกัดเพียงจุดเดียว ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับขีดจำกัดของลำดับนั้น

ความคิดเห็นหากลำดับมาบรรจบกัน เมื่อถึงบทแทรก 2 จะมีจุดจำกัดเพียงจุดเดียว อย่างไรก็ตาม ถ้า (xn) ไม่ลู่เข้า ก็อาจมีจุดจำกัดได้หลายจุด (และโดยทั่วไปแล้ว จะมีจุดจำกัดหลายจุดไม่จำกัด) ตัวอย่างเช่น ให้เราแสดงว่า (1+(-1) n ) มีจุดจำกัดสองจุด

อันที่จริง (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... มีจุดจำกัดสองจุดคือ 0 และ 2 เพราะ ลำดับย่อย (0)=0,0,0,... และ (2)=2,2,2,... ของลำดับนี้มีตัวเลข 0 และ 2 เป็นขีดจำกัด ตามลำดับ ลำดับนี้ไม่มีจุดจำกัดอื่นๆ อันที่จริง ให้ x เป็นจุดใดๆ บนแกนจำนวนที่ไม่ใช่จุด 0 และ 2 ให้เราหา e >0 ดังนั้น

เล็กจน e - ย่านใกล้เคียงของจุด 0, x และ 2 ไม่ตัดกัน e-ย่านใกล้เคียงของจุด 0 และ 2 มีองค์ประกอบทั้งหมดของลำดับ ดังนั้น e-ย่านใกล้เคียงของจุด x จึงมีองค์ประกอบไม่สิ้นสุด (1+(-1) n) ดังนั้นจึงไม่ใช่จุดจำกัดของลำดับนี้

ทฤษฎีบท.ทุกลำดับที่มีขอบเขตจะมีจุดจำกัดอย่างน้อยหนึ่งจุด

ความคิดเห็นไม่มีจำนวน x เกิน เป็นจุดจำกัดของลำดับ (x n) เช่น - จุดจำกัดที่ใหญ่ที่สุดของลำดับ (x n)

ให้ x เป็นจำนวนใดๆ ที่มากกว่า ให้เราเลือก e>0 เล็กขนาดนั้น

และ x 1 О(x) ทางด้านขวาของ x 1 มีองค์ประกอบของลำดับจำนวนจำกัด (x n) หรือไม่มีเลย นั่นคือ x ไม่ใช่จุดจำกัดของลำดับ (x n )

คำนิยาม.จุดจำกัดที่ใหญ่ที่สุดของลำดับ (x n) เรียกว่าขีดจำกัดบนของลำดับและเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ตามมาจากหมายเหตุที่ว่าลำดับที่มีขอบเขตทุกอันมีขีดจำกัดบน

ในทำนองเดียวกัน แนวคิดเรื่องขีดจำกัดล่างถูกนำมาใช้ (เป็นจุดจำกัดที่เล็กที่สุดของลำดับ (x n))

ดังนั้นเราจึงได้พิสูจน์ข้อความต่อไปนี้แล้ว ทุกลำดับขอบเขตมีขีดจำกัดบนและล่าง

ให้เรากำหนดทฤษฎีบทต่อไปนี้โดยไม่ต้องพิสูจน์

ทฤษฎีบท.เพื่อให้ลำดับ (x n) มาบรรจบกัน จำเป็นและเพียงพอที่ลำดับ (x n) จะบรรจบกัน และขีดจำกัดบนและล่างตรงกัน

ผลลัพธ์ในส่วนนี้นำไปสู่ทฤษฎีบทหลักของโบลซาโน-ไวเออร์ชตราสดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตราสจากลำดับที่มีขอบเขตใดๆ เราสามารถแยกลำดับย่อยที่มาบรรจบกันได้

การพิสูจน์.เนื่องจากลำดับ (x n) มีขอบเขตจำกัด จึงมีจุดจำกัด x อย่างน้อยหนึ่งจุด จากนั้นจากลำดับนี้ เราสามารถเลือกลำดับย่อยที่มาบรรจบกันที่จุด x (ต่อจากคำจำกัดความ 2 ของจุดจำกัด)

ความคิดเห็นจากลำดับที่มีขอบเขตใดๆ เราสามารถแยกลำดับการลู่เข้าแบบโมโนโทนิกได้