Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf. Aký je základný logaritmus Log
Rozsah prijateľných hodnôt (APV) logaritmu
Teraz hovorme o obmedzeniach (ODZ - oblasť prijateľné hodnoty premenné).
Pamätáme si, že napríklad druhú odmocninu nemožno brať zo záporných čísel; alebo ak máme zlomok, potom menovateľ nemôže byť rovná nule. Logaritmy majú podobné obmedzenia:
To znamená, že argument aj základ musia byť väčšie ako nula, ale základ sa ešte nemôže rovnať.
prečo je to tak?
Začnime jednoduchou vecou: povedzme si to. Potom napríklad číslo neexistuje, pretože bez ohľadu na to, na akú silu zdvihneme, vždy to dopadne. Navyše pre nikoho neexistuje. Ale zároveň sa môže rovnať čomukoľvek (z rovnakého dôvodu - rovná sa ľubovoľnému stupňu). Preto objekt nie je zaujímavý a jednoducho ho vyhodili z matematiky.
Podobný problém máme aj v prípade: v akomkoľvek pozitívny stupeň- to je, ale vôbec sa to nedá zvýšiť na zápor, pretože to bude mať za následok delenie nulou (pripomínam vám to).
Keď stojíme pred problémom povýšenia na zlomkovú mocninu (ktorá je reprezentovaná ako koreň: . Napríklad (teda), ale neexistuje.
Preto je jednoduchšie negatívne dôvody zahodiť, ako sa s nimi babrať.
No, keďže naša základňa a môže byť iba kladná, potom bez ohľadu na to, na akú silu ju pozdvihneme, vždy dostaneme striktne kladné číslo. Takže argument musí byť kladný. Napríklad neexistuje, pretože v žiadnom prípade nebude záporné číslo (alebo dokonca nula, preto tiež neexistuje).
Pri problémoch s logaritmami musíte najskôr zapísať ODZ. Uvediem príklad:
Poďme vyriešiť rovnicu.
Pripomeňme si definíciu: logaritmus je moc, na ktorú musí byť základ povýšený, aby sa získal argument. A podľa podmienky sa tento stupeň rovná: .
Dostaneme obvyklú kvadratickú rovnicu: . Riešime to pomocou Vietovej vety: súčet koreňov sa rovná a súčin. Jednoduché vyzdvihnutie, to sú čísla a.
Ale ak hneď vezmete a napíšete obe tieto čísla do odpovede, môžete za úlohu získať 0 bodov. prečo? Zamyslime sa nad tým, čo sa stane, ak tieto korene dosadíme do počiatočnej rovnice?
Toto je zjavne nesprávne, pretože základ nemôže byť záporný, to znamená, že koreň je „tretia strana“.
Aby ste sa vyhli takýmto nepríjemným nástrahám, musíte si ODZ zapísať ešte pred začatím riešenia rovnice:
Potom, keď dostaneme korene a, koreň okamžite zahodíme a napíšeme správnu odpoveď.
Príklad 1(skús to vyriešiť sám) :
Nájdite koreň rovnice. Ak existuje niekoľko koreňov, uveďte v odpovedi najmenší z nich.
Riešenie:
Najprv napíšme ODZ:
Teraz si spomeňme, čo je logaritmus: na akú moc potrebujete zvýšiť základ, aby ste dostali argument? Do druhého. To je:
Zdalo by sa, že menší koreň sa rovná. Ale nie je to tak: podľa ODZ je koreň cudzí, to znamená, že vôbec nie je koreňom tejto rovnice. Rovnica má teda iba jeden koreň: .
odpoveď: .
Základná logaritmická identita
Pripomeňme si definíciu logaritmu vo všeobecnej forme:
Dosaďte logaritmus do druhej rovnosti:
Táto rovnosť sa nazýva základná logaritmická identita. Aj keď v podstate ide o rovnosť - len inak napísané definícia logaritmu:
Toto je sila, ku ktorej sa musíte pozdvihnúť, aby ste sa dostali.
Napríklad:
Vyriešte nasledujúce príklady:
Príklad 2
Nájdite význam výrazu.
Riešenie:
Pripomeňme si pravidlo z časti:, teda pri umocnení mocniny sa exponenty násobia. Aplikujme to:
Príklad 3
Dokáž to.
Riešenie:
Vlastnosti logaritmov
Bohužiaľ, úlohy nie sú vždy také jednoduché - často musíte najprv zjednodušiť výraz, uviesť ho do obvyklej podoby a až potom bude možné vypočítať hodnotu. To je najjednoduchšie, ak viete vlastnosti logaritmov. Poďme sa teda naučiť základné vlastnosti logaritmov. Dokážu každé z nich, pretože každé pravidlo je ľahšie zapamätateľné, ak viete, odkiaľ pochádza.
Všetky tieto vlastnosti si treba pamätať bez nich, väčšina problémov s logaritmami sa nedá vyriešiť.
A teraz podrobnejšie o všetkých vlastnostiach logaritmov.
Vlastnosť 1:
dôkaz:
Nech je to potom.
Máme: atď.
Vlastnosť 2: Súčet logaritmov
Súčet logaritmov s rovnakými základmi sa rovná logaritmu súčinu: .
dôkaz:
Nech je to potom. Nech je to potom.
Príklad: Nájdite význam výrazu: .
Riešenie: .
Vzorec, ktorý ste sa práve naučili, pomáha zjednodušiť súčet logaritmov, nie rozdiel, takže tieto logaritmy nemožno hneď kombinovať. Môžete však urobiť opak - „rozdeliť“ prvý logaritmus na dva: A tu je sľúbené zjednodušenie:
.
Prečo je to potrebné? No napríklad: čomu sa to rovná?
Teraz je to už zrejmé.
Teraz zjednodušte si to sami:
Úlohy:
Odpovede:
Vlastnosť 3: Rozdiel v logaritmoch:
dôkaz:
Všetko je úplne rovnaké ako v bode 2:
Nech je to potom.
Nech je to potom. Máme:
Príklad z predchádzajúceho odseku je teraz ešte jednoduchší:
Zložitejší príklad: . Viete prísť na to, ako to vyriešiť sami?
Tu je potrebné poznamenať, že nemáme jediný vzorec o logaritmoch na druhú. Je to niečo podobné výrazu – nedá sa to hneď zjednodušiť.
Poďme si preto oddýchnuť od vzorcov o logaritmoch a zamyslime sa nad tým, aké vzorce používame v matematike najčastejšie? Od siedmej triedy!
Toto - . Treba si zvyknúť na to, že sú všade! Vyskytujú sa v exponenciálnych, trigonometrických a iracionálnych problémoch. Preto si ich treba pamätať.
Ak sa pozorne pozriete na prvé dva pojmy, je jasné, že toto rozdiel štvorcov:
Odpoveď na kontrolu:
Zjednodušte si to sami.
Príklady
Odpovede.
Vlastnosť 4: Vyňatie exponentu z argumentu logaritmu:
dôkaz: A tu tiež používame definíciu logaritmu: nech teda. Máme: atď.
Toto pravidlo možno chápať takto:
To znamená, že stupeň argumentu je posunutý pred logaritmus ako koeficient.
Príklad: Nájdite význam výrazu.
Riešenie: .
Rozhodnite sa sami:
Príklady:
Odpovede:
Vlastnosť 5: Vezmeme exponent zo základne logaritmu:
dôkaz: Nech je to potom.
Máme: atď.
Pamätajte: od dôvodov stupeň je vyjadrený ako opakčíslo, na rozdiel od predchádzajúceho prípadu!
Vlastnosť 6: Odstránenie exponentu zo základu a argumentu logaritmu:
Alebo ak sú stupne rovnaké: .
Vlastnosť 7: Prechod na novú základňu:
dôkaz: Nech je to potom.
Máme: atď.
Vlastnosť 8: Vymeňte základ a argument logaritmu:
dôkaz: Toto špeciálny prípad vzorce 7: ak dosadíme, dostaneme: atď.
Pozrime sa na niekoľko ďalších príkladov.
Príklad 4.
Nájdite význam výrazu.
Používame vlastnosť logaritmov č. 2 - súčet logaritmov s rovnakým základom sa rovná logaritmu súčinu:
Príklad 5.
Nájdite význam výrazu.
Riešenie:
Používame vlastnosť logaritmov č. 3 a č. 4:
Príklad 6.
Nájdite význam výrazu.
Riešenie:
Využime vlastnosť č. 7 - prejdite na základ 2:
Príklad 7.
Nájdite význam výrazu.
Riešenie:
Ako sa vám páči článok?
Ak čítate tieto riadky, tak ste si prečítali celý článok.
A to je super!
Teraz nám povedzte, ako sa vám článok páči?
Naučili ste sa riešiť logaritmy? Ak nie, v čom je problém?
Napíšte nám do komentárov nižšie.
A áno, veľa šťastia pri skúškach.
Na Jednotnú štátnu skúšku a Jednotnú štátnu skúšku a v živote vôbec
Logaritmy, ako všetky čísla, sa dajú sčítať, odčítať a transformovať všetkými spôsobmi. Ale keďže logaritmy nie sú úplne obyčajné čísla, existujú pravidlá, ktoré sa nazývajú hlavné vlastnosti.
Tieto pravidlá určite musíte poznať – bez nich sa nedá vyriešiť ani jeden vážny logaritmický problém. Navyše je ich veľmi málo – všetko sa dá naučiť za jeden deň. Tak poďme na to.
Sčítanie a odčítanie logaritmov
Zvážte dva logaritmy s rovnakými základňami: log a X a log a r. Potom ich možno sčítať a odčítať a:
- log a X+ denník a r=log a (X · r);
- log a X− denník a r=log a (X : r).
Súčet logaritmov sa teda rovná logaritmu súčinu a rozdiel sa rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: kľúčový moment Tu - rovnaké dôvody. Ak sú dôvody iné, tieto pravidlá nefungujú!
Tieto vzorce vám pomôžu vypočítať logaritmický výraz, aj keď sa neberú do úvahy jeho jednotlivé časti (pozri lekciu „Čo je logaritmus“). Pozrite sa na príklady a uvidíte:
Denník 6 4 + denník 6 9.
Keďže logaritmy majú rovnaké základy, použijeme súčtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.
Základy sú rovnaké, používame rozdielový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.
Základy sú opäť rovnaké, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Ako vidíte, pôvodné výrazy sa skladajú zo „zlých“ logaritmov, ktoré nie sú vypočítané samostatne. Ale po transformáciách sa získajú úplne normálne čísla. Mnohé sú postavené na tejto skutočnosti testovacie papiere. Áno, na Jednotnej štátnej skúške sa so všetkou vážnosťou (niekedy prakticky bez zmien) ponúkajú výrazy podobné testom.
Extrahovanie exponentu z logaritmu
Teraz si úlohu trochu skomplikujeme. Čo ak je základom alebo argumentom logaritmu mocnina? Potom môže byť exponent tohto stupňa vyňatý zo znamienka logaritmu podľa nasledujúcich pravidiel:
Je ľahké vidieť, že posledné pravidlo nasleduje prvé dve. Je však lepšie si to zapamätať - v niektorých prípadoch to výrazne zníži množstvo výpočtov.
Všetky tieto pravidlá majú samozrejme zmysel, ak sa dodrží ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, X> 0. A ešte niečo: naučte sa aplikovať všetky vzorce nielen zľava doprava, ale aj naopak, t.j. Čísla pred znamienkom logaritmu môžete zadať do samotného logaritmu. To je to, čo sa najčastejšie vyžaduje.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 7 49 6 .
Zbavme sa stupňa v argumente pomocou prvého vzorca:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Úloha. Nájdite význam výrazu:
[Popis k obrázku]
Všimnite si, že menovateľ obsahuje logaritmus, ktorého základom a argumentom sú presné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Máme:
[Popis k obrázku] Myslím, že posledný príklad si vyžaduje určité objasnenie. Kam zmizli logaritmy? Až do samého posledná chvíľa pracujeme len s menovateľom. Uviedli sme základ a argument tam stojaceho logaritmu vo forme mocničiek a vyňali sme exponenty - dostali sme „trojposchodový“ zlomok.
Teraz sa pozrime na hlavný zlomok. Čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké číslo: log 2 7. Keďže log 2 7 ≠ 0, zlomok môžeme zmenšiť - 2/4 zostanú v menovateli. Podľa pravidiel aritmetiky môžu byť štyri prenesené do čitateľa, čo sa aj stalo. Výsledkom bola odpoveď: 2.
Prechod na nový základ
Keď už hovoríme o pravidlách sčítania a odčítania logaritmov, osobitne som zdôraznil, že fungujú iba s rovnakými základmi. Čo ak sú dôvody iné? Čo ak to nie sú presné mocniny rovnakého čísla?
Na pomoc prichádzajú vzorce pre prechod na nový základ. Sformulujme ich vo forme vety:
Nech je daný logaritmus logaritmu a X. Potom pre ľubovoľné číslo c také že c> 0 a c≠ 1, platí rovnosť:
[Popis k obrázku]
Najmä ak dáme c = X, dostaneme:
[Popis k obrázku]
Z druhého vzorca vyplýva, že základ a argument logaritmu možno zameniť, ale v tomto prípade je celý výraz „prevrátený“, t.j. logaritmus sa objaví v menovateli.
Tieto vzorce sa zriedka nachádzajú v bežných číselných výrazoch. Ich vhodnosť je možné vyhodnotiť len pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc.
Sú však problémy, ktoré sa nedajú vyriešiť vôbec inak ako presťahovaním sa do novej nadácie. Pozrime sa na pár z nich:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.
Všimnite si, že argumenty oboch logaritmov obsahujú presné mocniny. Vyberme ukazovatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;
Teraz „otočme“ druhý logaritmus:
[Popis k obrázku]Keďže sa súčin pri preskupovaní faktorov nemení, pokojne sme vynásobili štyri a dva a potom sme sa zaoberali logaritmami.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.
Základom a argumentom prvého logaritmu sú presné mocniny. Poďme si to zapísať a zbaviť sa indikátorov:
[Popis k obrázku]Teraz sa zbavme desiatkového logaritmu prechodom na nový základ:
[Popis k obrázku]Základná logaritmická identita
V procese riešenia je často potrebné reprezentovať číslo ako logaritmus k danému základu. V tomto prípade nám pomôžu nasledujúce vzorce:
V prvom prípade číslo n sa stáva indikátorom stupňa stojaceho v argumente. číslo n môže byť úplne čokoľvek, pretože je to len logaritmická hodnota.
Druhý vzorec je vlastne parafrázovaná definícia. To je to, čo sa nazýva: základná logaritmická identita.
V skutočnosti, čo sa stane, ak číslo b zvýšiť na takú silu, že počet b tejto mocnine dáva číslo a? Správne: dostanete rovnaké číslo a. Ešte raz si pozorne prečítajte tento odsek – veľa ľudí sa na ňom zasekne.
Rovnako ako vzorce na prechod na novú základňu, základná logaritmická identita je niekedy jediným možným riešením.
Úloha. Nájdite význam výrazu:
[Popis k obrázku]
Všimnite si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoducho vzal druhú mocninu zo základu a argumentu logaritmu. Ak vezmeme do úvahy pravidlá pre násobenie právomocí s rovnakým základom, dostaneme:
[Popis k obrázku]Ak niekto nevie, toto bola skutočná úloha z Jednotnej štátnej skúšky :)
Logaritmická jednotka a logaritmická nula
Na záver uvediem dve identity, ktoré možno len ťažko nazvať vlastnosťami – sú skôr dôsledkom definície logaritmu. Neustále sa objavujú v problémoch a prekvapivo robia problémy aj „pokročilým“ žiakom.
- log a a= 1 je logaritmická jednotka. Pamätajte si raz a navždy: logaritmus na akúkoľvek základňu a z tohto základu sa rovná jednej.
- log a 1 = 0 je logaritmická nula. Základňa a môže byť čokoľvek, ale ak argument obsahuje jednotku, logaritmus sa rovná nule! Pretože a 0 = 1 je priamym dôsledkom definície.
To sú všetky vlastnosti. Určite si ich nacvičte v praxi! Stiahnite si cheat sheet na začiatku lekcie, vytlačte si ho a vyriešte problémy.
„Skrátené vzorce násobenia“ - Pri násobení dvoch polynómov sa každý člen prvého polynómu vynásobí každým členom druhého mnohočlenu a súčin sa sčíta. Skrátené vzorce násobenia. Pri pridávaní a odčítaní polynómov sa používajú pravidlá otvárania zátvoriek. Monomiály sú produkty čísel, premenných a ich prirodzených síl.
„Riešenie sústavy rovníc“ - Grafická metóda (algoritmus). Rovnica je rovnosť obsahujúca jednu alebo viac premenných. Rovnica a jej vlastnosti. Metóda determinantov (algoritmus). Sústava rovníc a jej riešenie. Riešenie systému porovnávacou metódou. Lineárna rovnica s dvoma premennými. Riešenie sústavy metódou sčítania.
„Systémy riešenia nerovností“ - Intervaly. Matematický diktát. Uvažuje sa o príkladoch riešenia sústav lineárnych nerovníc. Riešenie systémov nerovností. Na vyriešenie sústavy lineárnych nerovníc stačí vyriešiť každú z nerovníc v nej obsiahnutých a nájsť priesečník množín ich riešení. Napíšte nerovnice, ktorých množiny riešení sú intervaly.
„Príkladné nerovnosti“ - znak nerovnosti. Vyriešte nerovnosť. Riešenie jednoduchých exponenciálnych nerovností. Riešenie exponenciálnych nerovností. Čo by ste mali zvážiť pri riešení exponenciálnych nerovností? Riešenie jednoduchých exponenciálnych nerovností. Nerovnosť obsahujúca neznámy exponent sa nazýva exponenciálna nerovnosť.
„Vzťahy s číslami“ - Čo je to proporcia? Ako sa nazývajú čísla m a n v pomere a: m = n: b? Podiel dvoch čísel sa nazýva pomer dvoch čísel. Marketing Lan. V správnom pomere sa súčin extrémnych členov rovná súčinu stredných členov a naopak. Čo je postoj? Proporcie. Pomer možno vyjadriť v percentách.
"Diskriminant kvadratickej rovnice" - Vietova veta. Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Aké rovnice sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice? Koľko koreňov má rovnica, ak je jej diskriminant nulový? Riešenie neúplných kvadratických rovníc. Koľko koreňov má rovnica, ak jej diskriminant je záporné číslo?
V téme je spolu 14 prezentácií
Takže máme mocniny dvoch. Ak vezmete číslo zo spodného riadku, ľahko nájdete moc, na ktorú budete musieť zvýšiť dvojku, aby ste toto číslo získali. Napríklad, ak chcete získať 16, musíte zvýšiť dve na štvrtú mocninu. A aby ste získali 64, musíte zvýšiť dve na šiestu mocninu. To je možné vidieť z tabuľky.
A teraz vlastne definícia logaritmu:
Základ a logaritmus x je mocnina, na ktorú a musí byť zvýšená, aby dostal x.
Zápis: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čomu sa v skutočnosti rovná logaritmus.
Napríklad 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (základný 2 logaritmus čísla 8 je tri, pretože 2 3 = 8). S rovnakým úspechom log 2 64 = 6, pretože 2 6 = 64.
Operácia nájdenia logaritmu čísla k danému základu sa nazýva logaritmizácia. Pridajme teda do tabuľky nový riadok:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Bohužiaľ, nie všetky logaritmy sa počítajú tak ľahko. Skúste napríklad nájsť log 2 5. Číslo 5 nie je v tabuľke, ale logika diktuje, že logaritmus bude ležať niekde na intervale. Pretože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Takéto čísla sa nazývajú iracionálne: čísla za desatinnou čiarkou možno písať do nekonečna a nikdy sa neopakujú. Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, je lepšie ho nechať tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Je dôležité pochopiť, že logaritmus je výraz s dvoma premennými (základ a argument). Mnoho ľudí si najskôr mätie, kde je základ a kde je argument. Aby ste predišli nepríjemným nedorozumeniam, stačí sa pozrieť na obrázok:
Pred nami nie je nič iné ako definícia logaritmu. Pamätajte: logaritmus je sila, do ktorého musí byť základňa zabudovaná, aby sa získal argument. Je to základňa, ktorá je vyvýšená na mocninu - na obrázku je zvýraznená červenou farbou. Ukazuje sa, že základňa je vždy na dne! Hneď na prvej hodine poviem svojim študentom toto úžasné pravidlo – a nevznikne zmätok.
Definíciu sme si vymysleli – ostáva už len naučiť sa počítať logaritmy, t.j. zbavte sa znaku „log“. Na začiatok si všimneme, že z definície vyplývajú dve dôležité skutočnosti:
- Argument a základ musia byť vždy väčšie ako nula. Vyplýva to z definície stupňa racionálnym exponentom, na ktorý je redukovaná definícia logaritmu.
- Základ musí byť odlišný od jedného, pretože jeden v akomkoľvek stupni stále zostáva jedným. Z tohto dôvodu je otázka „na akú silu treba pozdvihnúť, aby sme dostali dve“ nezmyselná. Taký stupeň neexistuje!
Takéto obmedzenia sú tzv rozsah prijateľných hodnôt(ODZ). Ukazuje sa, že ODZ logaritmu vyzerá takto: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Všimnite si, že neexistujú žiadne obmedzenia na číslo b (hodnota logaritmu). Napríklad logaritmus môže byť záporný: log 2 0,5 = -1, pretože 0,5 = 2 -1.
Teraz však uvažujeme iba o číselných výrazoch, kde nie je potrebné poznať VA logaritmu. Všetky obmedzenia už autori problémov zohľadnili. Keď však do hry vstúpia logaritmické rovnice a nerovnosti, požiadavky DL sa stanú povinnými. Koniec koncov, základ a argument môže obsahovať veľmi silné konštrukcie, ktoré nemusia nevyhnutne zodpovedať vyššie uvedeným obmedzeniam.
Teraz uvažujme všeobecná schéma počítanie logaritmov. Pozostáva z troch krokov:
- Vyjadrite základ a a argument x ako mocninu s minimálnym možným základom väčším ako jedna. Po ceste je lepšie zbaviť sa desatinných miest;
- Riešte rovnicu pre premennú b: x = a b ;
- Výsledné číslo b bude odpoveďou.
To je všetko! Ak sa logaritmus ukáže ako iracionálny, bude to viditeľné už v prvom kroku. Požiadavka, aby bol základ väčší ako jedna, je veľmi dôležitá: znižuje sa tým pravdepodobnosť chyby a výrazne sa zjednodušujú výpočty. To isté s desatinné miesta: ak ich okamžite prevediete na bežné, bude oveľa menej chýb.
Pozrime sa, ako táto schéma funguje na konkrétnych príkladoch:
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 5 25
- Predstavme si základ a argument ako mocninu päťky: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2; - Dostali sme odpoveď: 2.
Úloha. Vypočítajte logaritmus:
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 4 64
- Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3; - Dostali sme odpoveď: 3.
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 16 1
- Predstavme si základ a argument ako mocninu dvoch: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- Poďme vytvoriť a vyriešiť rovnicu:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0; - Dostali sme odpoveď: 0.
Úloha. Vypočítajte logaritmus: log 7 14
- Predstavme si základ a argument ako mocninu siedmich: 7 = 7 1 ; 14 nemôže byť vyjadrené ako mocnina siedmich, pretože 7 1< 14 < 7 2 ;
- Z predchádzajúceho odseku vyplýva, že logaritmus sa nepočíta;
- Odpoveď je žiadna zmena: log 7 14.
Malá poznámka k poslednému príkladu. Ako si môžete byť istý, že číslo nie je presnou mocninou iného čísla? Je to veľmi jednoduché – stačí to započítať do hlavných faktorov. A ak takéto faktory nemožno zhromaždiť do mocnín s rovnakými exponentmi, potom pôvodné číslo nie je presná mocnina.
Úloha. Zistite, či sú čísla presné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - presný stupeň, pretože existuje len jeden multiplikátor;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - nie je presná mocnina, pretože existujú dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - presný stupeň;
35 = 7 · 5 - opäť nie presná mocnina;
14 = 7 · 2 - opäť nie presný stupeň;
Všimnite si tiež, že samotné prvočísla sú vždy presné mocniny samých seba.
Desatinný logaritmus
Niektoré logaritmy sú také bežné, že majú špeciálny názov a symbol.
Desatinný logaritmus x je logaritmus so základom 10, t.j. Mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo 10, aby sme získali číslo x. Označenie: lg x.
Napríklad log 10 = 1; lg100 = 2; lg 1000 = 3 - atď.
Keď sa odteraz v učebnici objaví fráza ako „Nájsť lg 0,01“, vedzte, že to nie je preklep. Toto je desiatkový logaritmus. Ak však tento zápis nepoznáte, vždy ho môžete prepísať:
log x = log 10 x
Všetko, čo platí pre bežné logaritmy, platí aj pre desiatkové logaritmy.
Prirodzený logaritmus
Existuje ďalší logaritmus, ktorý má svoje vlastné označenie. V niektorých ohľadoch je to ešte dôležitejšie ako desatinné číslo. Hovoríme o prirodzenom logaritme.
Prirodzený logaritmus x je logaritmus so základom e, t.j. mocnina, na ktorú treba zvýšiť číslo e, aby sme získali číslo x. Označenie: ln x .
Mnohí sa budú pýtať: aké je číslo e? Toto je iracionálne číslo, jeho presná hodnota sa nedá nájsť a zapísať. Uvediem len prvé čísla:
e = 2,718281828459...
Nebudeme sa podrobne zaoberať tým, čo je toto číslo a prečo je potrebné. Pamätajte, že e je základom prirodzeného logaritmu:
ln x = log e x
Teda ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atď. Na druhej strane, ln 2 je iracionálne číslo. Vo všeobecnosti je prirodzený logaritmus akéhokoľvek racionálneho čísla iracionálny. Samozrejme okrem jedného: ln 1 = 0.
Pre prirodzené logaritmy platia všetky pravidlá, ktoré platia pre bežné logaritmy.
