Úlohy na praktickú aplikáciu goniometrických funkcií. Robením praktických cvičení. O realizácii praktických úloh
Zručnosti:
4. využívať odhad a odhad v praktických výpočtoch.
Časový limit: 6
Pokrok.
1.1 Celé čísla a racionálne čísla
1. 4064,5: 5,5 – 7,6 89,6
3. 82,8 0,54 – 7,54: 6,5
4. 25,3 5,3 – 556,272: 4,8
5. 32,6 15,6 – 7230,912: 5,2
6. 4976,748: 8,7 – 5,8 97,3
7. ,75
9. 
1.2 Reálne čísla
Nájdite hodnotu výrazu
1. a 3 - ba 2 s a \u003d 6, b \u003d 0,4
2. 3a 3 - 6ba 2 pri a = -1, b = 0,8
3. x 2 + bx pri x \u003d -6, b \u003d 0,4
4. ba 3 - b 2 a s a \u003d 6, b \u003d -4
5. pri x = -5; y = 3
6. a 2 - ba 3 pri a = 4, b = 0,4
7. pri x = 4; y = 8
8. pri x = 8; y = -3
1.3 Približné výpočty
Zaokrúhliť čísla na stovky, jednotky, desatiny, stotiny, tisíciny: 3620,80745; 208,4724; 82,30065; 0,03472
Ohlasovací formulár. Papierovačky.
Testovacie otázky.
- Aké čísla sa nazývajú celé čísla?
- Aké čísla sa nazývajú prirodzené?
- Aké čísla sa nazývajú racionálne?
- Aké čísla sa nazývajú iracionálne?
- Aké sú skutočné čísla?
- Čo sú komplexné čísla?
Literatúra.
Hodnotenie výsledkov práce. Práca na kontrole vstupu
PRAX #2
téma:Goniometrické výrazy
Cieľ: Naučte sa prevádzať goniometrické výrazy pomocou základných vzorcov.
Časový limit: 10
Edukačné a metodické vybavenie pracoviska: referenčné tabuľky, letáky.
Pokrok.
2. 1. Základné goniometrické funkcie. Radiánová miera uhla.
1. Vypočítajte pomocou tabuľky:
2. Určte znamienko výrazu:
- Vyjadrite v stupňoch:
2. Vyjadrite v radiánoch;
135 0 ; 210 0 ; 36 0 ; 150 0 ; 240 0 ; 300 0 ; -120 0 ;
225 0 ;10 0 ;18 0 ; 54 0 ;200 0 ; 390 0 ;-45 0 ; -60 0
3. Vypočítajte:
| a) 2 sin + tg; b) co-sin ; c) cos π - 2sin; d) 2 cos + tg π ; | e) hriech 2 + hriech 2; f) cos 2 - cos 2; g) tg 2 sin tg 2; h) tg cos 2 sin; i) cos + hriech 2. |
4. Nájdite hodnotu výrazu:
| a) 2 hriech π -2 kos + 3tg - ctg; b) sin(-) + 3 cos - tg + ctg; c) 2 sin - 3 tg + ctg (- )-tg π ; d) 2 tg (-) + 2 sin - 3 tg 0 - 2 ctg; e) 5 hriech + 4 cos 0 - 3 hriech + cos π ; e) hriech (- π) -2 cos (- ) + 2 hriech 2 π-tg π ; g) 3 - sin 2 + 2 cos 2 - 5 tg 2; h) 3 sin 2 - 4 ctg 2 - 3 cos 2 + 3 ctg 2 |
Odlievacie vzorce
Nahradiť trigonometrickou funkciou uhla
2. Nájdite hodnotu výrazu
| a) hriech 240 0 b) cos (-210 0) | c) tg 300 0 d) hriech 330 0 | e) stg (-225 0) f) sin 315 0 |
3. Zjednodušte výraz
| a) hriech(α - ) b) cos( α – π ) | c) ctg(α - 360 0) d) tg(-α + 270 0) |
4. Transformujte výraz
a) hriech 2 ( π +a); b) tan 2 ( + a); c) cos 2 ( - α)
5. Zjednodušte výraz
a) sin(90 0 - α) + cos(180 0 + α) + tg(270 0 + α) + ctg(360 0 + α)
b) hriech( + α) - cos( α – π ) + tg( π - α) + ctg ( - α)
c) sin 2 (180 0 - α) + sin 2 (270 0 - α)
d) hriech ( π -α) cos( α – ) - sin(α + ) cos( π –α)
e) 
e) 
a) 
h) 
Vzorce na sčítanie
1. Použite sčítacie vzorce na transformáciu výrazov
a) cos(; b) sin(; c) cos(; d) sin(;
e) cos(60 0 + α) f) sin(60 0 + α) g) cos((30 0 - α) h) sin(30 0 - α)
2. Predstavte si 105 0 ako súčet 60 0 + 45 0 a nájdite cos 105 0 , sin105 0
3. Predstavte si 75 0 ako súčet 30 0 + 45 0 a nájdite cos 75 0 , sin75 0
4. Nájdite hodnotu výrazu
| a) cos107 0 cos17 0 + sin107 0 sin17 0 b) cos24 0 cos36 0 - sin24 0 sin36 0 c) cos18 0 cos63 0 + sin18 0 sin63 0 | d) sin63 0 cos27 0 + cos63 0 sin27 0 e) sin51 0 cos21 0 – cos51 0 sin21 0 f) sin32 0 cos58 0 + cos32 0 sin58 0 |
5. Zjednodušte výraz
| a) sin( - α) - cos α b) sinβ + cos(α - ) | c) cosα – 2cos(α - ) d) sin( + α) – cos α |
6. Dokážte to
a) sin(α + β) + sin(α - β) = 2 sin α cos β
b) cos(α - β) + cos(α + β) = 2 sin α sin β
c) sin(α + β) sin(α - β) = sin 2 α - sin 2 β
d) cos(α – β) cos(α + β) = cos 2 α – cos 2 β
Vzorce s dvojitým uhlom.
Zjednodušte výraz
| a) b) | c) d) cos2α + sin 2 α | e) cos 2 α - cos2α e)  |
2. Znížte zlomok
a B C) 
G) 
3. Zjednodušte
a) b) 
v) 
d) sin 2 α + cos2α
4. Zjednodušte výraz
5. Vypočítajte
| a) 2 sin15 0 cos15 0 b) 4 sin105 0 cos105 0 c) 2 sin cos | d) cos 2 15 0 – sin 2 15 0 e) 4cos 2 – 4 sin 2 | f) cos 2 - sin 2 g) 2 sin165 0 cos165 0 h) cos 2 75 0 - sin 2 75 0 |
6. Nech sinα = a α je uhol druhej štvrtiny. Nájdite cos2α; sin2α; tg2α
7. Nech sinα = -0,6 a α je uhol tretej štvrtiny. Nájdite cos2α; sin2α; tg2α
8. Nech cosα = -0,8 a α je uhol druhej štvrtiny. Nájdite cos2α; sin2α; tg2α
9. Preukázať totožnosť
2. 7. Transformácia goniometrických výrazov.
1. -tg 2 α - sin 2 α +
3. –ctg 2 α – cos 2 α +
5.tg 2 α + sin 2 α -
6. ctg 2 α + cos 2 α -
7. (sinα + cosα) 2 - sin2α
8. 
9. 
10. sin 4 α - cos 4 α + cos 2 α
11. (3 + sinα)(3 - sinα) + (3 + cosα)(3 - cosα)
13. 
14. (ctgα + tgα)(1 + cosα)(1 – cosα)
Ohlasovací formulár. Papierovačky. Samostatná práca pre každú sekciu.
Testovacie otázky.
1. Definujte základné goniometrické funkcie
2. Napíšte vzorce týkajúce sa hodnôt goniometrických funkcií jedného argumentu
3. Ako závisia znamienka goniometrických funkcií od súradnicovej štvrtiny.
4. Hodnoty goniometrických funkcií základných uhlov.
5. Základná goniometrická identita, spojenie tangensu a kosínusu, spojenie kotangensu a sínusu, súčin tangensu a kotangensu.
6. Redukčné vzorce
7. Vzorce dvojitého uhla.
8. Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických výrazov
9. Sčítacie vzorce.
Literatúra. prednášky,
https://www.akademia-moskow.ru/ učebnica M.I. Bashmakov "Matematika" učebnica, problémová kniha.
Hodnotenie výsledkov práce.
PRAX #3
téma:Goniometrické funkcie a rovníc
Cieľ: zváženie všetkých možných spôsobov transformácie grafov funkcií, naučenie sa riešiť goniometrické rovnice s využitím vlastností inverzných goniometrických funkcií a vzorcov na riešenie goniometrických rovníc.
Zručnosti:
|
7. riešiť najjednoduchšie goniometrické rovnice, ich sústavy, ako aj niektoré typy goniometrických rovníc (štvorcové vzhľadom na jednu z goniometrických funkcií, homogénne rovnice prvého a druhého stupňa vzhľadom na cos x a sin x);
Časový limit: 9
Edukačné a metodické vybavenie pracoviska: referenčné tabuľky, letáky, pracovné zložky.
Pokrok.
1. Transformácia grafov goniometrických funkcií.
Nakreslite funkciu
a) y = -2 sin (x +) -1
b) y = 2 sin (x + ) +1
c) y = 2cos (x+)-1
d) y \u003d -2cos (x + ) - 1
e) y = -2cos (x+)-1
f) y = -2 sin (x +) -1
g) y = 2 cos (x + ) + 1
h) y = -2 sin (x +) +1
i) y = 2 sin (x +) -1
2. 
Párne a nepárne funkcie. Periodicita.
Určte paritu funkcie
a) f(x) = x 2 + 3 x + 1
c) f(x) = sinx
d) f(x) = 2x 2 - 3x 4
e) f(x) = 4x 2 + x - 9
e) f(x) = x + 3x 3
i) f(x) = sin x +3
3. Arksínus, arkkozín, arkustangens čísla
Vypočítať:
Nájdite hodnotu výrazu:
1. arcsin 0 + arccos 0
2. arcsin+arccos
3. arcsin(-)+arccos
4. arcsin(-1) + arccos
5. arccos 0,5 + arcsin 0,5
6. arccos(-) - arcsin(-1)
7. arccos(-) + arcsin(-)
8. arccos - arcsin
9. 4 arccos(-) - arctg + arcsin
10. 2arccos - arcsin(-) + 3arctg 1
11. 3arcsin + arccos - 2arcсtg 1
12. arcsin + 6 arccos(-) + 9arctg
13. -2 arccos(-) - arcсtg + arcsin
14. arccos + arcsin + arctg
15. 
16. 
Porovnajte výrazy
a) arcsin alebo arcsin 0,82
b) arccos(-) alebo arccos
4. Riešenie goniometrických rovníc
Riešte rovnice:
1. hriech x - 2 cos x \u003d 0.
2. hriech 2 x - 6 hriech x cos x + 5 cos 2 x \u003d 0.
3. cos 2 x + hriech x cos x = 1
4. hriech 3x + hriech x = hriech 2x
5. cos2x + sinx cosx=1
6. 4xin2x-cosx-1=0
7. 2xin 2x+3 cosx=0
8. 2cos2x − 3sinx=0
9. 2 sin 2 x + sinx - 1 = 0
10. 6sin 2x + 5cosx - 2 = 0
Ohlasovací formulár. Papierovačky.
Testovacie otázky.
1. Grafy ktorých goniometrických funkcií prechádzajú počiatkom?
2. Ktoré z goniometrických funkcií sú párne?
3. Ako vykonať preklad pozdĺž osi OX?
4. Ako vykonať preklad pozdĺž osi y?
5. Čo sa nazýva arkussínus čísla a?
6. Ktoré goniometrické rovnice nemajú riešenia?
7. Uveďte špeciálne prípady rovnice.
8. Napíšte všeobecný vzorec pre korene rovnice.
Literatúra. prednášky,
informácie - internetový vyhľadávací systém
https://www.akademia-moskow.ru/ učebnica M.I. Bashmakov učebnica "Matematika"
Hodnotenie výkonu: Selektívne hodnotenie. Test na túto tému
PRAX #4
Pokrok.
Paralelizmus vo vesmíre
Riešenie úloh o vzájomnej polohe priamok a rovín.
Odpovedzte na otázku a dokončite kresbu.
1. Priamky m a n ležia v rovnakej rovine. Môžu sa tieto čiary pretínať, byť rovnobežné, môžu sa pretínať?
2. Priamky b a c sa pretínajú. Ako sa nachádza čiara b vzhľadom na čiaru d, ak c||d?
3. Sú dané križovatky c a d. Ako môže byť umiestnená čiara s relatívnou k m, ak m d?
4. Priamky b a d sa pretínajú. Aká je priamka b vzhľadom na c, ak sa c a d pretínajú?
5. Sú dané križovatky m a n. Ako môže byť čiara m umiestnená vzhľadom na čiaru c, ak sa c a n pretínajú?
II. Dokončite výkres a doplňte tabuľku.
AVSDA 1 V 1 S 1 D 1 - cu. body L,N,T sú stredy hrán B 1 C 1, C 1 D 1 a DD 1. K je priesečník uhlopriečok plochy AA 1 BB 1 . Vyplňte tabuľku umiestnenia riadkov:
pretínajú sa;
II - paralelný;
krížiť sa
V štvorstene ABCD zostrojte rez prechádzajúci bodom M, ležiacim na hrane AB a rovnobežným s priamkami AC a BD.
Kolmosť v priestore
Riešenie úloh o kolmosti priamky a roviny
1. Odpovedzte na bezpečnostné otázky:
jeden). Napíšte definíciu kolmosti priamky a roviny (s obrázkom).
2). Napíšte znak kolmosti priamky a roviny (s obrázkom).
3). Napíšte vetu na 3 kolmice (s obrázkom).
štyri). Napíšte definíciu kolmosti rovín.
Úloha číslo 2.
1 možnosť
1. Body K, E, a O ležia na priamke kolmej na rovinu α a body O, B, A a M ležia v rovine α. Ktorý z nasledujúcich uhlov je správny: ∠BOE, ∠EKA a ∠KBE.
3. V štvorstene DABC hrana AD⊥ΔABC. ΔABC - obdĺžnikový, ∠С=90°. Zostrojte (nájdite) lineárny uhol dihedrálneho uhla ∠DВСА.
4. Segment BM⊥ na rovinu obdĺžnika ABCD. Určite typ ΔDMC.
5. Priamka BD je kolmá na rovinu ΔABC. Je známe, že BD=9 cm, AC=10cm, BC=BA=13 cm Nájdite vzdialenosť od bodu D k priamke AC.
Možnosť 2
1. Body K, E a O ležia na priamke kolmej na rovinu α a body O, B, A a M ležia v rovine α. Ktorý z nasledujúcich uhlov je správny: ∠MOK, ∠OKV a ∠AOE.
2. Nájdite uhlopriečku pravouhlého rovnobežnostena, ak sú jeho rozmery rovnaké.
3. Diagonály B 1 D a B 1 C sú nakreslené v pravouhlom rovnobežnostene ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Zostrojte (nájdite) lineárny uhol dihedrálneho uhla ∠B 1 DCB.
4. Úsek CD⊥ do roviny pravouhlého ΔABC, kde ∠B=90°. Určite typ ΔABD.
5. Priamka SA je kolmá na rovinu obdĺžnika ABCD. Je známe, že SC=5 cm, AD=2 cm a strana AB je 2-krát väčšia ako AD. Nájdite vzdialenosť od bodu S k čiare DC.
Ohlasovací formulár. Papierovačky
Testovacie otázky.
1. Aké čiary v priestore sa nazývajú rovnobežné?
2. Formulujte znak rovnobežných čiar.
3. Čo znamená: priamka a rovina sú rovnobežné?
4. Formulujte znak rovnobežnosti priamky a roviny.
5. Aké roviny sa nazývajú rovnobežné?
6. Formulujte znak rovnobežnosti rovín.
7. Uveďte vlastnosti paralelného dizajnu.
8. Vlastnosti rovnobežných rovín.
9. Aké čiary v priestore sa nazývajú kolmé?
10. Čo je to kolmica spustená z daného bodu do roviny?
11. Ako sa nazýva vzdialenosť bodu k rovine?
12. Čo je to šikmá plocha vedená z daného bodu do roviny? Čo je to šikmá projekcia?
13. Formulujte vetu o troch odvesniciach.
Literatúra. prednášky,
informácie - internetový vyhľadávací systém
https://www.akademia-moskow.ru/ učebnica M.I. Bashmakov učebnica "Matematika"
Hodnotenie výkonu: Selektívne hodnotenie. Kontrolná práca na danej téme
PRAX #5
téma: Root. stupňa. Logaritmus.
Cieľ: naučiť sa vykonávať transformácie iracionálnych, mocenských, logaritmických výrazov; riešiť najjednoduchšie iracionálne, exponenciálne a logaritmické rovnice, sústavy rovníc, nerovnice.
Vedomosti:
- nové pojmy matematického jazyka: stupeň s racionálnym exponentom, mocninná funkcia, iracionálne vyjadrenie;
- vlastnosti mocninnej funkcie, jej graf.
- nové pojmy matematického jazyka: exponenciálna funkcia, exponenciálna rovnica, exponenciálna nerovnosť, logaritmus čísla, základ logaritmu, logaritmická funkcia, logaritmická rovnica, logaritmická nerovnosť, exponent, logaritmická krivka;
- základné vlastnosti a grafy logaritmickej a exponenciálne funkcie;
- vzorce súvisiace s pojmom logaritmus, exponenciálne a logaritmické funkcie.
Zručnosti
5. zostaviť grafy exponenciálnych a logaritmických funkcií na základe; 6. opísať správanie a vlastnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií podľa grafu a v najjednoduchších prípadoch podľa vzorca; ; ;2. ; ; ; ; ; ; ; ; ; Iracionálne rovnice Vyriešte rovnicu |
V súčasnosti si každý učiteľ matematiky kladie za úlohu nielen informovať školákov o určitom množstve vedomostí, naplniť ich pamäť určitým súborom faktov a teorém, ale aj naučiť žiakov myslieť, rozvíjať svoje myslenie, tvorivú iniciatívu a samostatnosť. .
Významná časť kurzu algebry je venovaná štúdiu funkcií a ich vlastností. A to nie je náhoda. Zručnosti, ktoré školáci získali pri štúdiu funkcií, sú aplikačného a praktického charakteru. Široko sa využívajú pri štúdiu tak matematiky, ako aj iných školských predmetov – fyziky, chémie, geografie, biológie a majú široké uplatnenie v praktických ľudských činnostiach. Úspešnosť asimilácie mnohých častí školského kurzu matematiky závisí od toho, ako si študenti osvojili príslušné zručnosti. Analýza teoretického a úlohového materiálu nám umožňuje rozlíšiť dve skupiny zručností, ktorých formovanie by sa malo starostlivo sledovať pri štúdiu všetkých typov špecifických funkcií - schopnosť pracovať so vzorcom, ktorý definuje funkciu, a schopnosť pracovať. s grafom tejto funkcie. Najdôležitejšie vo funkčnej príprave žiakov je formovanie grafických zručností.
Graf je vizuálna pomôcka široko používaná pri štúdiu mnohých problémov v škole. Funkčný graf pôsobí ako hlavný referenčný obraz pri tvorbe množstva pojmov – rastúce a klesajúce funkcie, párne a nepárne, reverzibilita funkcie, pojem extrém. Bez jasných a vedomých predstáv študentov o grafike nie je možné získať geometrickú jasnosť pri formovaní takých ústredných pojmov kurzu algebry a začiatkov analýzy, ako je spojitosť, derivácia, integrál. Študenti by si mali osvojiť silné zručnosti v kreslení a čítaní funkčných grafov.
Nevyhnutným základom pre následnú aplikáciu funkčného materiálu sú silné samostatné zručnosti žiakov v čítaní grafov funkcií. Mali by byť schopní s istotou a plynule odpovedať na množstvo otázok pomocou grafu:
- danou hodnotou jednej z premenných x alebo y určte hodnotu druhej;
- určiť intervaly nárastu a poklesu funkcie;
- určiť intervaly stálosti znamienka;
- uveďte hodnotu argumentu, pri ktorom má funkcia najväčšiu (najmenšiu) hodnotu, a tiež určte túto hodnotu.
Študenti musia použiť grafy funkcií uvedených vyššie na grafické riešenie rovníc, sústav rovníc, nerovníc.
Je možné vytvoriť silné zručnosti v zostavovaní a čítaní grafov funkcií, aby sa zabezpečilo, že každý študent môže vykonávať hlavné typy úloh samostatne, iba ak študenti absolvujú dostatočný počet tréningových cvičení.
Tento materiál umožňuje absolventom pripomenúť si grafy základných funkcií školského kurzu pri príprave na skúšky alebo byť použitý pri vysvetľovaní tejto témy. Techniky prevodu grafov sú jasne znázornené.
Realizácia kontinuity vo vyučovaní spočíva v nadväzovaní potrebných súvislostí a správnych vzťahov medzi časťami predmetu v rôznych fázach jeho štúdia. Pevný základ pre štúdium matematiky je položený v kurze algebry a geometrie hlavnej školy. Úspešnosť štúdia matematického kurzu na strednej škole a následne aj vedomé uplatnenie získaných vedomostí pri riešení konkrétnych problémov závisí od toho, aké vedomosti získajú žiaci na základnej škole, aké zručnosti a schopnosti si rozvinú. Táto problematika je zložitou pedagogickou úlohou, na jej riešenie, ako ukazujú skúsenosti, je potrebné uvažovať cez skvalitnenie celého vzdelávacieho procesu a cez stabilizáciu obsahu kurzu matematiky a cez orientáciu výučby na aplikovanú orientáciu kurz matematiky, a najmä prostredníctvom zdokonaľovania postupných väzieb krok za krokom štúdia matematiky.
Významná časť kurzu algebry na základnej škole je venovaná štúdiu funkcií a ich vlastností. A to nie je náhoda. Pojem funkcie má veľký praktický význam. Mnohé z fyzikálnych, chemických a biologických procesov, bez ktorých je život nemysliteľný, sú funkciami času. Ekonomické procesy sú tiež funkčné závislosti. Funkcie hrajú dôležitú úlohu v programovaní a kryptografii, pri navrhovaní rôznych mechanizmov, v poistení, pri silových výpočtoch atď.
V kurze algebry a na začiatku matematickej analýzy v ročníkoch 10-11 sa poskytuje ďalšie štúdium elementárnych funkcií a ich vlastností. Vytváranie funkčných reprezentácií je hlavným jadrom programu a učebné pomôcky pre tieto triedy.
Praktická prácaštudentov algebry - druh ich tvorivej činnosti. Umožňujú vám vedome študovať zavedené pojmy a tvrdenia, lepšie si ich zapamätať, zapojiť do procesu všetky typy pamäti a prispieť k zvýšeniu záujmu o predmet. na tému: „Transformácia grafov logaritmickej (rastúcej) funkcie“.
ŠTÁTNE AUTONÓMNE
ODBORNÁ VZDELÁVACIA INŠTITÚCIA
REGIÓN TYUMEN
"ZAVODOUKOVSKIJ POĽNOHOSPODÁRSTVO"
ZBIERKA PRAKTICKÝCH CVIČENÍ
NA DISCIPLÍNE ODP.01 MATEMATIKA
SEKCIA: TRIGONOMETRIA
Zavodoukovsk,
Zostavené v súlade s federálnym štátnym vzdelávacím štandardom
SCHVÁLENÉ
metodické poradenstvo
Predseda ________ Zh.A. Kharlová
Protokol č. ___ "___" _______ 2017
RECENZOVANÉ
predmetová komisia
Predseda _________L. V. Tempel
Protokol č. ___ "___" _________ 2017
Vývojári:
Sycheva Zh.P., učiteľka najvyššej kvalifikačnej kategórie
Téma 1. Uhly a ich merania
Téma 2. Goniometrické funkcie
Téma 3. Základné goniometrické identity
Téma 4. Redukčné vzorce
Téma 5. Sčítacie vzorce
Téma 6. Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií
Téma 7. Vzorce dvojitého uhla
Bibliografia
VYSVETLIVKA
Zborník praktických prác je zostavený v súlade s pracovný program disciplína ODP.01 Matematika: algebra a začiatok matematickej analýzy; geometria podľa vzdelávacích programov pre odborných pracovníkov, zamestnanci: 35.01.15 Elektrikár pre opravy a údržbu elektrických zariadení v poľnohospodárskej výrobe; 01/35/14 Majster of údržbu a opravy vozového parku strojov a traktorov; 08.01.10. Majster bytových a komunálnych služieb.
Účel praktickej práce:
zovšeobecňovanie a prehlbovanie teoretických vedomostí;
formovanie zručností na uplatnenie vedomostí v praxi;
rozvoj kreatívna iniciatíva pri plnení úloh.
V dôsledku praktickej práce musí študent:
vedieť:
definícia goniometrických funkcií;
vlastnosti goniometrických funkcií;
základné trigonometrické identity;
redukčné vzorce;
vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií;
adičné vzorce;
vzorce s dvojitým uhlom;
byť schopný:
vykonávať transformácie goniometrických výrazov.
V procese štúdia kurzu vzniká OK: OK 2.1, OK 2.2, OK 3.2, OK 3.3, OK 4.1, OK 4.2, OK 4.3, OK 6.1.
Zborník pozostáva z výkladu, opisov praktických hodín, ktoré sú opatrené všeobecnými teoretickými informáciami, kontrolných otázok a úloh na sebakontrolu, úloh v súlade s programom, zoznamu odporúčanej literatúry.
O VÝKONU PRAKTICKÝCH ÚLOH:
pozorne si preštudujte úlohu;
zapíšte si tému hodiny do zošita;
zobraziť teoretický materiál;
dokončiť úlohy na danú tému;
odpovedzte na bezpečnostné otázky;
vykonávať overovacie práce.
TÉMA 1. UHLY A ICH MERANIE
Účel: formovanie zručností na určenie miery uhlov.
Teoretický materiál
geometrický uhol - ide o časť roviny, ohraničenú dvoma lúčmi vychádzajúcimi z jedného bodu - vrcholu rohu (obr. 1).
Ako jednotka merania geometrických uhlov,stupňa - 
časť uhla. Špecifické uhly sa merajú v stupňoch pomocou uhlomeru. Uhly vyplývajúce z nepretržitého otáčania sa vhodne merajú pomocou čísel, ktoré by odrážali samotný proces konštrukcie uhla, t. j. otáčanie. V praxi uhly rotácie závisia od času.
Predpokladajme, že vrchol rohu a jeden z lúčov, ktoré ho tvoria, sú pevné a druhý lúč sa bude otáčať okolo vrcholu. Výsledné uhly budú závisieť od rýchlosti otáčania a času. Obrat bude určený dráhou, ktorou prejde ktorýkoľvek pevný bod pohybujúceho sa lúča.
Ak je vzdialenosť bodu od vrcholuR , potom sa počas otáčania bod pohybuje po kružnici s polomeromR . Pomer prejdenej vzdialenosti k polomeruR nezávisí od polomeru a môže sa brať ako miera uhla. Číselne sa táto miera rovná dráhe, ktorú prejde bod po kružnici s jednotkovým polomerom (obr. 2).
Rozšírený uhol merané polovicou dĺžky jednotkovej kružnice. Toto číslo je označené písmenom . číslo = 3, 14159265358 …
a 
.
Geografia, astronómia a iné aplikované vedy používajú zlomky stupňov – minúty a sekundy. minúta je 
stupňov a sekúnd minút.
, 
Príklad 1: Vyjadrite v stupňoch 4,5 rad. Pretože 
, potom 
.
Príklad 2: Nájdite radiánovú mieru uhla 
. Pretože 
, potom 
Vyjadrime uhly v radiánových mierach:
Cvičenia
Nájdite mieru stupňa uhla, ktorého radiánová miera je:
2) 
;
3) 
;
4) 
;
6) 
.
Nájdite radiánovú mieru uhla, ktorého miera stupňov je:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
testovacie otázky
TÉMA 2. TRIGONOMETRICKÉ FUNKCIE
Účel: formovanie zručností pri používaní vlastností goniometrických funkcií pri prevode výrazov.
Teoretický materiál
Goniometrické funkcie sú definované pomocou súradníc rotačného bodu.
Poznámka na osi 
ukazujú napravo od pôvodu 
a nakreslite cez ňu kruh so stredom v bode 
. Polomer 
volal počiatočný polomer. Pri otáčaní proti smeru hodinových ručičiek zvážte uhol pozitívne, pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne(obr. 3).
Pri odbočovaní do rohu 
počiatočný polomer ide do polomeru 
.
Definícia: Sínus uhla sa nazýva pomer ordináty bodu
na dĺžku polomeru
(obr. 4).
Definícia: Kosínus uhla na dĺžku polomeru
(obr. 4).
Definícia: Tangenta uhla sa nazýva pomer ordináty bodu na jeho úsečku.
Definícia: kotangens uhla sa nazýva pomer úsečky bodu na jej súradnicu.
Značky goniometrických funkcií sa určujú v závislosti od toho, v ktorej štvrtine leží uvažovaný uhol. I štvrťrok - od 
predtým 
, II štvrťrok - od predtým 
,III štvrťrok - od predtým 
,IV štvrťrok - od predtým 
.
Keď sa uhol zmení o celý počet otáčok, hodnota sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu sa nezmení.
Príklad 1: Nájdite hodnotu 
.
Riešenie: .
Príklad 2: Určite znamienko 
. Riešenie: Uhol 
- prvý štvrtinový uhol má znamienko +.
Cvičenia
a) 
;
b) 
;
v) 
;
G) 
.
Zistite, aké znamienko majú goniometrické funkcie:
a) 
a 
;
b) 
a ;
v) 
a ;
G) 
a
Určite znamienko výrazu:
b) 
;
v) 
;
G) 
.
Nájdite hodnotu výrazu:
Matematický diktát
TÉMA 3. ZÁKLADNÉ TRIGONOMETRICKÉ IDENTITY
Účel: formovanie zručností pri používaní základných goniometrických identít pri konverzii výrazov.
Teoretický materiál
Tieto rovnosti sa nazývajú základné goniometrické identity.
Príklad 1Zjednodušte výraz 
.
Riešenie: Vzorec používame na riešenie 
.
Príklad 2. Nájdite hodnotu 
, ak 
, 
.
Riešenie: 
,
Cvičenia
Zjednodušte výrazy:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
10) 
.
Konvertovať výrazy:
Zjednodušte výraz:
;
.
Vypočítať:
Samostatná práca
TÉMA 4. VZOREC NA ZNÍŽENIE
Účel: formovanie zručností pri používaní redukčných vzorcov pri prevode výrazov.
Teoretický materiál
Ak je v zátvorkách 
alebo 
, potom sa funkcia zmení na podobnú. Ak 
alebo 
, potom sa funkcia nezmení. Znamienko výsledku je určené znamienkom ľavej strany.
Príklad 1 Nájdite hodnotu 
.
Príklad 2. Nájdite hodnotu 
.
Riešenie:
Cvičenia
Nájdite hodnotu výrazu:
Zjednodušte výrazy:
testovacie otázky
V akom prípade sa funkcia zmení na podobnú?
V takom prípade sa funkcia nezmení?
Ako sa určuje znamienko funkcie?
Aký je sínus rozdielu medzi týmito dvoma uhlami?
TÉMA 6. VZOREC PRE SÚČET A ROZDIEL TRIGONOMETRICKÝCH FUNKCIÍ
Cieľ: rozvíjať zručnosti v používaní súčtových a rozdielových vzorcov pri prevode výrazov.
Teoretický materiál
Súčet sínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu ich polovičného rozdielu
Rozdiel medzi sínusmi dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu sínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu ich polovičného rozdielu
Súčet kosínusov dvoch uhlov sa rovná dvojnásobku súčinu kosínusu polovičného súčtu týchto uhlov a kosínusu ich polovičného rozdielu
Vypočítať: 
, 
.
BIBLIOGRAFIA
-
Pokropajevová O.B.
učiteľ matematiky
GBOU stredná škola №47 Petrohrad
Úlohy na ústnu prácu na danú tému
"Trigonometrické funkcie"
Jednou z hlavných čŕt prebiehajúcej transformácie školského vzdelávacieho systému je jeho zameranie na komplexný rozvoj osobnosti každého žiaka. A to si vyžaduje radikálnu aktualizáciu doterajších foriem, metód, učebných pomôcok charakteristických pre vyučovacie hodiny, ktorých hlavným účelom je naučiť školákov ešte jeden spôsob riešenia akéhokoľvek typu problému alebo ich zoznámiť s iným, v žiadnom prípade „nesúvisiacim“ na všetky predchádzajúce, nové koncepty.
Hlavným cieľom školského matematického vzdelávania by mal byť skôr rozvoj logického, tvorivého myslenia žiakov ako šablón. A hlavným prostriedkom na dosiahnutie tohto cieľa sú úlohy. V skutočnosti je jedným z hlavných účelov úloh a cvičení aktivovať duševnú aktivitu študentov na hodine. Matematické úlohy by mali v prvom rade prebudiť myslenie žiakov, sfunkčniť, rozvíjať, zlepšovať.
Z tohto dôvodu bolo cieľom tejto práce vytvoriť systém ústnych úloh na preštudovanie témy „Trigonometrické funkcie“, ktorý by spĺňal všetky vyššie uvedené požiadavky.
V učebnici „Algebra-10 "(Alimova Sh.A.) viacúlohy sú zamerané na výpočtovú aktivitu na odpoveď, pričom úlohy s prvkami výskumu a úlohy na zvládnutie matematických pojmov sú uvádzané v nedostatočnom počte. V súvislosti s tým Ibol vypracovaný systém ústnych úloh, dopĺňajúcich úlohy učebnice, podľa najbohatších oddielov témy „Trigonometrické funkcie“, ktorá je uvedená v práci. Ku každej úlohe systému sú uvedené metodické komentáre (v akých vzdelávacích situáciách je vhodné ho použiť, vrátane zohľadnenia profilovej diferenciácie).
Zadania na ústnu prácu a metodické pripomienky k nim
Jedným z prostriedkov, ktoré prispievajú k lepšiemu osvojeniu si matematiky, sú ústne úlohy (nezamieňať s ústnym počítaním). Žiaci s ich pomocou jasnejšie chápu podstatu matematických pojmov, viet, matematických transformácií.
Ústne úlohy aktivizujú duševnú aktivitu žiakov, rozvíjajú pozornosť, pozorovanie, pamäť, reč, rýchlosť reakcie, zvyšujú záujem o preberaný materiál. Umožňujú preštudovať veľké množstvo učiva v kratšom čase, umožňujú učiteľovi posúdiť pripravenosť triedy na preštudovanie nového učiva, stupeň jeho asimilácie a pomáhajú identifikovať chyby žiakov.
Ústne cvičenia vedené na začiatku hodiny pomáhajú študentom rýchlo sa zapojiť do práce, v strede alebo na konci hodiny slúžia ako druh relaxu po napätí a únave spôsobenej písomnou alebo praktickou prácou. V priebehu plnenia týchto úloh majú študenti častejšie ako v iných fázach hodiny možnosť odpovedať ústne, čo zase prispieva k formovaniu ich kompetentnej matematickej reči. Zároveň si hneď skontrolujú správnosť svojej odpovede. Na rozdiel od písomných úloh je obsah ústnych úloh taký, že ich riešenie nevyžaduje veľké množstvo uvažovania, transformácií a ťažkopádnych výpočtov. Medzitým však odrážajú dôležité prvky kurzu.
Pri organizovaní ústnych frontálnych cvičení je v záujme šetrenia času na hodine vhodné použiť projektor alebo iné multimediálne vybavenie.
Tu bude predstavený systém ústnych úloh, dopĺňajúcich úlohy učebnice, podľa najbohatších sekcií témy „Trigonometrické funkcie“. Tie obsahujú:
1. Otočte bod okolo počiatku.
2. Definície sínusu, kosínusu a tangenty.
3. Redukčné vzorce.
4. Najjednoduchšie goniometrické rovnice a nerovnosti.
6. Transformácia grafov goniometrických funkcií.
7. Inverzné goniometrické funkcie.
8. Derivácie goniometrických funkcií
Tento systém zahŕňa:
otázky týkajúce sa kvality;
Úlohy.
Prvý sa dá využiť nielen na frontálnu orálnu prácu, ale aj na samostatnú individuálnu a skupinovú prácu.
Navrhnuté úlohy môže učiteľ využiť tak pri príprave na štúdium nového učiva, ako aj pri prvotnom spoznávaní, upevňovaní a odstraňovaní medzier vo vedomostiach žiakov.
Pri konštrukcii systémových úloh sa často používali inverzné úlohy, keď je podľa riešenia potrebné reprezentovať objekt. Napríklad vyriešením rovnice zostavte samotnú rovnicu. Takéto úlohy prispejú k lepšiemu pochopeniu pojmov, o ktorých študenti uvažujú.
Okrem toho sa v mnohých úlohách využívajú vizuálne obrazy, čo tiež umožňuje vnímať skúmaný objekt ako holistický jav a ako súbor jeho vlastností. To by malo prispieť aj k lepšiemu pochopeniu skúmaných pojmov, vlastností a javov.
Úlohy, ktoré tvoria systém, zodpovedajú rôzne úrovneťažkosti. Zložitosť úlohy je označená veľkými latinskými písmenami A, B alebo C. Podľa toho má úloha s indexom C najvyššiu úroveň zložitosti.
Úlohy v systéme sú prezentované v súlade s predtým vybranými sekciami. A pre úlohy každej sekcie sú uvedené metodické komentáre (v akých vzdelávacích situáciách je vhodné ich použiť, vrátane zohľadnenia profilovej diferenciácie).
1. Otočte bod okolo počiatku
Otázky týkajúce sa kvality:
1. Na ktorú otázku treba odpovedať kladne:
A) Môže byť AOB 2 radiány?
B) Môže byť veľkosť oblúka AB rovná 0 radiánom?
B) Je pravda, že R 11 π \u003d R -10 π?
D) Je pravda, že R 9 π \u003d R -7 π?
2. Ktoré z tvrdení je nepravdivé:
A) Ak t 2 \u003d t 1 + π , potom súradnice bodov P t2 a Pt1 sú opačné čísla.
B) Ak t 2 \u003d t 1 + π , potom úsečky bodov P t2 a Pt1 sú opačné čísla.
C) Ak t 1 = π-α, t 2 = π+α, kde α
, potom súradnice bodov P t1 a Pt2 sú opačné čísla.
D) Ak sú body P t1 a P t2 zhodujú, potom čísla t 1 a t2 sú rovnaké.
Ústne úlohy:
3. Určte súradnice bodov jednotkovej kružnice:
A) P 90; b) P 180; c) R 270; d) P-90; e) P-180; e) P-270.
4. Nech A(1;0), B(0;1), C(-1;0), D(0;-1). Ktorý z uvedených bodov získame otočením bodu (1; 0) o uhol:
A) 450 o; b) 540°; c) -720 o?
Komentáre:
Úloha 3 a 4 (zložitosť A)majú tréningový charakter a môžu byť študentom ponúknuté ihneď po preštudovaní tejto témy. Úlohu 3 možno navyše použiť pri príprave na preštudovanie témy "Definície sínusu, kosínusu a dotyčnice" na začiatku hodiny (ak sú definície uvádzané pomocou jednotkového kruhu).
Otázky 1 a 2 - zložitosť C - preto je nevhodné vypisovať ich na ústnu frontálnu prácu na hodine všeobecnej výchovy. Môžu sa však použiť ako dodatočné otázky vo všeobecnej lekcii témy „Prvky trigonometrie“. Na hodine matematiky sa však takéto otázky dajú využiť pri frontálnej práci so žiakmi hneď po preštudovaní témy.
2. Definície sínusu, kosínusu a tangenty
Otázky týkajúce sa kvality:
1. Môže byť sínus uhla rovný:
A) -3,7; b) 3,7; v)
; G)
?
2. Môže byť kosínus uhla rovný:
A) 0,75; b)
; c) -0,35; G)
?
3. Pri akých hodnotách a a b nasledujúce rovnosti sú pravdivé:
Cos
hriech
tg
Sin
ctg
cos
?
4. Sú možné rovnosti:
2-sin
= 1,7 tg
?
Ústne úlohy:
5. Pri pohľade na obrázok určte písmeno, ktoré zodpovedá:
A) hriech 220 o
Cos
b) cos 80 o sin80 o
cos (-280o) sin800o
Cos 380 o sin (-340 o )
Komentáre:
Úlohy 1-5 (ťažkostirespektíve A, A, C, B, B) je vhodné študentom hneď po úvode ponúknuť definície základných goniometrických funkcií na jednotkovej kružnici. Cvičenie 3 môže žiakom všeobecnovzdelávacej triedy spôsobovať ťažkosti z dôvodu, že je potrebné operovať s parametrami a a b preto by sa nemal vyberať na ústnu frontálnu prácu, ale po analýze jedného príkladu na tabuli môžete uvedenú úlohu zahrnúť do písomnej práce v lekcii.
Metodologická hodnota úlohy 5 , a spočíva vo viacnásobnom výbere správnej odpovede. Cvičenie 5 ,b, okrem uvedenej témy, možno použiť pri príprave na štúdium témy „Redukčné vzorce“:
cos 80 o \u003d cos (80 o -2 π) \u003d cos (-280 o)
sin 80 o \u003d sin (80 o +4 π) \u003d sin 800 o
V súvislosti s viditeľnosťou a dostupnosťou úlohy 5 dá sa použiť pri práci s humanitnou triedou.
3. Redukčné vzorce
Ústne úlohy:
1. Nájdite α, ak 0 o α o a
A) hriech 182 o \u003d - hriech α; b) cos 295 o \u003d cos α.
2. Nájdite viacero hodnôtα ak:
a) sin α \u003d sin 20 o; b) cos a = - cos50o; c) tg α = tg 70 o.
Komentáre:
Odporúčané úlohy (náročnosť B) zahŕňajú použitie redukčných vzorcov v neštandardnej situácii. V tomto ohľade môžu byť tieto úlohy ponúknuté študentom v štádiu riešenia tejto témy. okrem tohomôžu byť použité pri štúdiu témy"Periodicity". Pre humanitnú triedu možno úlohy 1, 2 zjednodušiť pomocou kruhu jednotiek:
Podobne ako v 1, a). Podobne ako v 2b), c).
4. Najjednoduchšie goniometrické rovnice a nerovnice
Ústne úlohy:
1.1. Pomenujte aspoň jednu rovnicu, ktorej riešením sú čísla:
A) π n, n
; v)
; e) π +2 π n, n
B) 2 π n, n
; G)
;
1.2. Riešenia, ktorých trigonometrické rovnice sú znázornené na nasledujúcich diagramoch:
2. Je čísloπ koreň rovnice:
ALE)
; b)
?
3. Pomocou nerovností zapíšte množinu všetkých bodov X ležať na oblúku:
A) BmC; c) BCD;
B) C&D; d) CDA.
4. Riešenia, ktorých trigonometrické nerovnosti sú znázornené na nasledujúcich diagramoch:
Komentáre:
Úlohy 1.1, 1.2 ( zložitosti A) sú reprodukčného charakteru a dajú sa využiť na kontrolu vedomostí žiakov po preštudovaní témy „Jednoduché goniometrické rovnice“. Pre humanitnú triedu je vhodnejšie použiť úlohu 1.2 z dôvodu jej viditeľnosti. Úloha 1.2 je opakom úloh typu: "Vyriešte rovnicu: hriech x = -1 dostupné v učebniciach. Rozvíja u žiakov schopnosť čítať takéto diagramy a odhaľuje význam goniometrických rovníc na jednotkovej kružnici.
Úloha 2 (zložitosť B) možno použiť na primárne upevnenie určenej témy na hodine matematiky alebo na všeobecnej hodine na hodine všeobecnovzdelávacej (alebo humanitnej) výchovy.
Úloha 3 (zložitosť A) môže byť študentom ponúknutá na začiatku hodiny, bezprostredne pred štúdiom témy „Jednoduché trigonometrické nerovnice“.
Úloha 4 (zložitosť B) je opakom úloh typu: „Vyriešte nerovnosť: sinx ≤ 0,5“, dostupný v učebniciach, formuje schopnosť žiakov čítať takéto diagramy a odhaľuje význam goniometrických nerovností na jednotkovej kružnici. S takýmito úlohami môžete začať študovať tému „Trigonometrické nerovnosti“ na humanitných aj matematických hodinách.
5. Štúdium goniometrických funkcií.
5.1. Periodicita.
Otázky týkajúce sa kvality:
- Môže byť daný interval (alebo spojenie intervalov) doménou periodickej funkcie:
a) (-
; v)
; e)
?
b)
; G)
;
2. Je tvrdenie pravdivé:
a) periodická funkcia môže mať konečný počet periód;
b) ak číslo T je perióda funkcie f(x), potom číslo 2T je zároveň periódou tejto funkcie;
c) ak T1 a T2 – obdobia funkcie f(x), potom číslo Т 1 + Т 2 aj obdobie tejto funkcie?
Uveďte nepravdivé vyhlásenie:
a) rastúca funkcia nemôže byť periodická;
b) klesajúca funkcia nemôže byť periodická;
c) periodická funkcia má nekonečný počet koreňov;
d) periodická funkcia nemôže mať konečnú množinu koreňov.
Ústne úlohy:
4. Ktorá z funkcií nie je periodická:
a)
v)
e)
;
b)
; G)
; e)
?
5. Ktorá funkcia má najmenšiu kladnú periódu väčšiu ako 2π :
a)
b)
v)
G)
?
6. Určte periódu funkcie, ktorej graf je na obrázku:
Komentáre:
Otázky 1-3 (zložitosť C) môžu byť ponúknuté žiakom matematickej triedy hneď po zavedení pojmu periodická funkcia. Učiteľ pomocou nich môže určiť mieru uvedomenia si tohto pojmu u žiakov.
Úloha 4 (zložitosť B) je všeobecného charakteru a preto môže byť ponúknutá žiakom v bežnej triede na všeobecnej hodine na tému „Periodicita goniometrických funkcií“.
Úlohu 5 (zložitosť C) možno použiť na ústnu frontálnu prácu iba na hodine matematiky. Na hodine všeobecnej výchovy by sa táto úloha mala odovzdať na písomnú prácu.
Úloha 6 (zložitosť A) je určená žiakom humanitného ročníka. Má tréningový charakter a je možné ho ponúknuť študentom ihneď po preštudovaní tejto témy.
5.2. Parita
Otázky týkajúce sa kvality:
- Ktoré tvrdenie je nepravdivé:
a) súčet dvoch párnych čísel R funkcie existuje párna funkcia;
b) rozdiel dvoch párnych čísel na R funkcie je párna funkcia;
c) súčin dvoch párnych čísel podľa R funkcie je párna funkcia;
d) každá funkcia je párna alebo nepárna.
Ústne úlohy:
- Zadajte graf nepárnej funkcie:
- Ktorá z nasledujúcich funkcií je nepárna:
;
;
;
?
Algebra a začiatok matematickej analýzy 10-11 tried. O 2 hod Časť 2. Zošit pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / [A.G. Mordkovich et al.] ed. A. G. Mordkovich.-10. vyd., ster.-M.: Mnemozina, 2009.-239 s.: ill.
Mordkovich A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy 10-11 tried. O 2 hod Časť 1. Zošit pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / A. G. Mordkovich. 10. vydanie, ster. - M.: Mnemozina, 2009.-399 s.
