Pravidlá a príklady jednoduchých zlomkov. Ako riešiť príklady so zlomkami. #1. Hlavná vlastnosť zlomku

Zlomky sú bežné a desatinné. Keď sa študent dozvie o existencii toho druhého, začne pri každej príležitosti prevádzať všetko, čo je možné, do desatinnej formy, aj keď to nie je potrebné.

Napodiv, preferencie sa menia medzi študentmi stredných a vysokých škôl, pretože je jednoduchšie vykonávať mnohé aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami. A niekedy je jednoducho nemožné previesť hodnoty, s ktorými sa absolventi zaoberajú, do desatinnej formy bez straty. Výsledkom je, že oba typy frakcií sú tak či onak prispôsobené úlohe a majú svoje výhody a nevýhody. Pozrime sa, ako s nimi pracovať.

Definícia

Zlomky sú rovnaké ako akcie. Ak je v pomaranči desať segmentov a dostanete jeden, máte v ruke 1/10 ovocia. Pri písaní ako v predchádzajúcej vete sa zlomok bude nazývať obyčajný zlomok. Ak napíšete to isté ako 0,1 - desatinné. Obe možnosti sú rovnaké, ale majú svoje výhody. Prvá možnosť je vhodnejšia na násobenie a delenie, druhá na sčítanie, odčítanie a v mnohých ďalších prípadoch.

Ako previesť zlomok do iného tvaru

Povedzme, že máte zlomok a chcete ho previesť na desatinné číslo. Čo je pre to potrebné urobiť?

Mimochodom, musíte sa vopred rozhodnúť, že nie každé číslo sa dá bez problémov zapísať v desiatkovej forme. Niekedy musíte výsledok zaokrúhliť, pričom stratíte určitý počet desatinných miest a v mnohých oblastiach – napríklad v exaktných vedách – ide o úplne nedostupný luxus. Operácie s desatinnými miestami a obyčajnými zlomkami v 5. ročníku zároveň umožňujú realizovať takýto prevod z jedného typu na druhý bez rušenia, aspoň ako tréning.

Ak hodnotu, ktorá je násobkom 10, možno získať z menovateľa vynásobením alebo delením celým číslom, prevod prebehne bez problémov: ¾ sa zmení na 0,75, 13/20 na 0,65.

Opačný postup je ešte jednoduchší, pretože vždy môžete získať obyčajný zlomok z desatinného zlomku bez straty presnosti. Napríklad 0,2 sa zmení na 1/5 a 0,08 na 4/25.

Vnútorné premeny

Pred vykonaním spoločných operácií s obyčajnými zlomkami si musíte pripraviť čísla pre možné matematické operácie.

Najprv musíte uviesť všetky zlomky v príklade do jedného všeobecného tvaru. Musia byť buď obyčajné alebo desiatkové. Okamžite urobme rezerváciu, že je pohodlnejšie vykonávať násobenie a delenie s prvým.

Pri príprave čísel na ďalšie akcie vám pomôže pravidlo známe a používané ako v prvých rokoch štúdia predmetu, tak aj vo vyššej matematike, ktorá sa študuje na univerzitách.

Vlastnosti zlomkov

Povedzme, že máte nejakú hodnotu. Povedzme 2/3. Čo sa zmení, ak vynásobíte čitateľa a menovateľa tromi? Vyjde to na 6.9. Čo ak je to milión? 2000000/3000000. Ale počkajte, číslo sa kvalitatívne vôbec nemení - 2/3 zostávajú rovné 2000000/3000000. Mení sa len forma, ale nie obsah. To isté sa stane, keď sú obe strany rozdelené rovnakou hodnotou. Toto je hlavná vlastnosť zlomkov, ktorá vám opakovane pomôže vykonávať operácie s desatinnými miestami a obyčajnými zlomkami na testoch a skúškach.

Násobenie čitateľa a menovateľa rovnakým číslom sa nazýva expanzia zlomku a delenie sa nazýva redukcia. Treba povedať, že preškrtávanie rovnakých čísel hore a dole pri násobení a delení zlomkov je prekvapivo príjemný postup (samozrejme v rámci hodiny matematiky). Zdá sa, že odpoveď je už blízko a príklad je prakticky vyriešený.

Nepravé zlomky

Nevlastný zlomok je zlomok, v ktorom je čitateľ väčší alebo rovný menovateľovi. Inými slovami, ak je možné rozlíšiť jeho celú časť, spadá pod túto definíciu.

Ak je takéto číslo (väčšie alebo rovné jednej) prezentované ako obyčajný zlomok, bude sa nazývať nesprávnym zlomkom. A ak je čitateľ menší ako menovateľ - správne. Oba typy sú rovnako vhodné pri vykonávaní možných operácií s obyčajnými zlomkami. Dajú sa jednoducho násobiť a deliť, sčítať a odčítať.

Ak je súčasne vybraná celá časť a existuje zvyšok vo forme zlomku, výsledné číslo sa bude nazývať zmiešané. V budúcnosti sa stretnete s rôznymi spôsobmi kombinovania takýchto štruktúr s premennými, ako aj s riešením rovníc, ktoré si tieto znalosti vyžadujú.

Aritmetické operácie

Ak je všetko jasné so základnou vlastnosťou zlomku, ako sa potom zachovať pri násobení zlomkov? Operácie s obyčajnými zlomkami v stupni 5 zahŕňajú všetky typy aritmetických operácií, ktoré sa vykonávajú dvoma rôznymi spôsobmi.

Násobenie a delenie je veľmi jednoduché. V prvom prípade sa čitatelia a menovatelia dvoch zlomkov jednoducho vynásobia. V druhom - to isté, len krížovo. Čitateľ prvého zlomku sa teda vynásobí menovateľom druhého a naopak.

Ak chcete vykonať sčítanie a odčítanie, musíte vykonať ďalšiu akciu - uviesť všetky zložky výrazu do spoločného menovateľa. To znamená, že spodné časti zlomkov sa musia zmeniť na rovnakú hodnotu – číslo, ktoré je násobkom oboch existujúcich menovateľov. Napríklad pre 2 a 5 to bude 10. Pre 3 a 6 - 6. Ale čo potom robiť s vrchným dielom? Nemôžeme to nechať rovnaké, ak sme zmenili ten spodný. Podľa základnej vlastnosti zlomku vynásobíme čitateľa rovnakým číslom ako menovateľ. Túto operáciu je potrebné vykonať s každým z čísel, ktoré budeme sčítať alebo odčítať. Takéto operácie s obyčajnými zlomkami v 6. ročníku sa však už vykonávajú „automaticky“ a ťažkosti vznikajú iba v počiatočnej fáze štúdia témy.

Porovnanie

Ak majú dva zlomky rovnakého menovateľa, ten s väčším čitateľom je väčší. Ak sú horné časti rovnaké, potom tá s menším menovateľom bude väčšia. Je potrebné mať na pamäti, že takéto úspešné situácie na porovnanie sa vyskytujú zriedka. S najväčšou pravdepodobnosťou sa horná a dolná časť výrazov nezhodujú. Potom si budete musieť zapamätať možné akcie s obyčajnými zlomkami a použiť techniku ​​sčítania a odčítania. Okrem toho nezabudnite, že ak hovoríme o záporných číslach, potom sa väčší zlomok ukáže byť menší.

Výhody bežných zlomkov

Stáva sa, že učitelia deťom povedia jednu frázu, ktorej obsah možno vyjadriť takto: čím viac informácií pri formulovaní úlohy poskytne, tým ľahšie bude riešenie. Zdá sa vám to zvláštne? Ale naozaj: s veľkým počtom známych množstiev môžete použiť takmer akékoľvek vzorce, ale ak je poskytnutých iba niekoľko čísel, môžu byť potrebné ďalšie myšlienky, budete si musieť pamätať a dokázať vety, uviesť argumenty v prospech vašej správnosti. ...

Prečo to robíme? Okrem toho obyčajné zlomky môžu pri všetkej ich ťažkopádnosti výrazne zjednodušiť život študenta, čo mu umožňuje skrátiť celé rady hodnôt pri násobení a delení a pri výpočte súčtov a rozdielov uvádzať všeobecné argumenty a opäť ich skracovať.

Keď je potrebné vykonať spoločné akcie s obyčajnými a desatinnými zlomkami, transformácie sa vykonajú v prospech prvého: ako prevediete 3/17 na desatinnú formu? Len so stratou informácií, inak nie. Ale 0,1 môže byť reprezentované ako 1/10 a potom ako 17/170. A potom môžu byť dve výsledné čísla sčítané alebo odčítané: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Prečo sú desatinné čísla užitočné?

Zatiaľ čo operácie s obyčajnými zlomkami sú pohodlnejšie, zapisovanie všetkého pomocou nich je mimoriadne nepohodlné. Porovnaj: 1748/10000 a 0,1748. Je to rovnaká hodnota prezentovaná dvoma rôznymi spôsobmi. Samozrejme, druhá metóda je jednoduchšia!

Desatinné čísla sa navyše ľahšie reprezentujú, pretože všetky údaje majú spoločný základ, ktorý sa líši len rádovo. Povedzme, že zľavu 30% ľahko pochopíme a dokonca ju vyhodnotíme ako významnú. Okamžite pochopíte, čo je viac – 30 % alebo 137/379? Desatinné zlomky teda poskytujú štandardizáciu pre výpočty.

Na strednej škole žiaci riešia kvadratické rovnice. Vykonávanie operácií s obyčajnými zlomkami je tu už mimoriadne problematické, pretože vzorec na výpočet hodnôt premennej obsahuje druhú odmocninu súčtu. Ak existuje zlomok, ktorý nemožno zmenšiť na desatinné miesto, riešenie sa tak skomplikuje, že je takmer nemožné vypočítať presnú odpoveď bez kalkulačky.

Takže každý spôsob znázornenia zlomkov má v príslušnom kontexte svoje výhody.

Záznamové formuláre

Existujú dva spôsoby, ako písať akcie pomocou bežných zlomkov: cez vodorovnú čiaru, v dvoch „úrovniach“ a cez lomku (známa ako „lomka“) - do riadku. Keď študent píše do zošita, prvá možnosť je väčšinou pohodlnejšia a teda bežnejšia. Rozloženie čísel medzi bunkami v rade pomáha rozvíjať pozornosť pri výpočtoch a vykonávaní transformácií. Pri zápise do reťazca môžete neúmyselne pomýliť poradie akcií, stratiť niektoré údaje – teda urobiť chybu.

V dnešnej dobe je pomerne často potrebné tlačiť čísla na počítači. Pomocou funkcie v programe Microsoft Word 2010 a novších môžete oddeliť zlomky pomocou tradičnej vodorovnej čiary. Faktom je, že v týchto verziách softvéru existuje možnosť nazývaná „vzorec“. Na obrazovke zobrazí obdĺžnikové transformovateľné pole, v rámci ktorého môžete kombinovať ľubovoľné matematické symboly a vytvárať dvoj- aj „štvorposchodové“ zlomky. V menovateli a čitateli môžete použiť zátvorky a znamienka operácií. Vďaka tomu si budete môcť akékoľvek spoločné akcie zapisovať obyčajnými a desatinnými zlomkami v tradičnom tvare, teda tak, ako vás to učia v škole.

Ak používate štandardný textový editor Poznámkový blok, všetky zlomkové výrazy budú musieť byť napísané lomkou. Žiaľ, iná cesta tu nie je.

Záver

Pozreli sme sa teda na všetky základné akcie s obyčajnými zlomkami, ktorých, ako sa ukázalo, nie je až tak veľa.

Ak sa na prvý pohľad môže zdať, že ide o náročnú časť matematiky, potom je to len dočasný dojem - pamätajte, že ste takto uvažovali o násobilke a ešte skôr - o obyčajných písankách a počítaní od jednej do desať.

Je dôležité pochopiť, že zlomky sa používajú všade v každodennom živote. Budete sa zaoberať peniazmi a inžinierskymi výpočtami, informačnými technológiami a hudobnou gramotnosťou a všade - všade! - objavia sa zlomkové čísla. Preto nebuďte leniví a dôkladne si túto tému naštudujte – najmä preto, že nie je až taká zložitá.

V tomto článku učiteľ matematiky a fyziky hovorí o tom, ako vykonávať základné operácie s obyčajnými zlomkami: sčítanie a odčítanie, násobenie a delenie. Naučte sa, ako reprezentovať zmiešané číslo ako nesprávny zlomok a naopak, ako aj ako zlomky zmenšiť.

Sčítanie a odčítanie bežných zlomkov

Pripomeňme si to menovateľ zlomok je číslo, ktoré je zospodu, A čitateľ- číslo, ktoré sa nachádza vyššie od zlomkovej čiary. Napríklad v zlomku je číslo čitateľ a číslo menovateľ.

Spoločný menovateľ je najmenšie možné číslo, ktoré je deliteľné menovateľom prvého zlomku aj menovateľom druhého zlomku.

Príklad 1. Pridajte dva zlomky: .

Použime algoritmus opísaný vyššie:

1) Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné menovateľom prvého zlomku aj menovateľom druhého zlomku, sa rovná . Toto číslo bude spoločným menovateľom. Teraz musíte priviesť oba zlomky k spoločnému menovateľovi.

2) Pridajte výsledné frakcie: .

Násobenie bežných zlomkov

Inými slovami, pre všetky reálne čísla , , , , platí nasledujúca rovnosť:

Príklad 2. Násobenie zlomkov: .

Na vyriešenie tohto problému používame vzorec uvedený vyššie: .

Delenie zlomkov

Inými slovami, pre všetky reálne čísla , , , , platí nasledujúca rovnosť:

Príklad 3. Delenie zlomkov: .

Na vyriešenie tohto problému používame vyššie uvedený vzorec: .

Znázornenie zmiešaného čísla ako nesprávneho zlomku

Poďme teraz zistiť, čo robiť, ak potrebujete vykonať akúkoľvek operáciu so zlomkami prezentovanými vo forme zmiešaných čísel. V tomto prípade musíte najskôr reprezentovať zmiešané čísla ako nesprávne zlomky a potom vykonať potrebnú operáciu.

Pripomeňme si to nesprávne Zlomok, ktorého čitateľ je väčší alebo rovný jeho menovateľovi, sa nazýva.

Pripomeňme tiež, že zmiešané číslo má zlomková časť A celú časť. Napríklad zmiešané číslo má zlomkovú časť rovnajúcu sa a celočíselnú časť rovnajúcu sa .

Príklad 4. Vyjadrite zmiešané číslo ako nesprávny zlomok.

Použime algoritmus uvedený vyššie: .

Príklad 5. Predstavte nesprávny zlomok ako zmiešané číslo.

Zlomok- číslo, ktoré sa skladá z celého čísla zlomkov jednotky a je znázornené v tvare: a/b

Čitateľ zlomku (a)- číslo umiestnené nad zlomkovou čiarou a znázorňujúce počet podielov, na ktoré bola jednotka rozdelená.

Menovateľ zlomku (b)- číslo nachádzajúce sa pod čiarou zlomku a ukazujúce, na koľko častí je jednotka rozdelená.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Sčítanie obyčajných zlomkov

3.2. Odčítanie zlomkov

3.3. Násobenie bežných zlomkov

3.4. Delenie zlomkov

4. Recipročné čísla

5. Desatinné čísla

6. Aritmetické operácie na desatinné miesta

6.1. Pridávanie desatinných miest

6.2. Odčítanie desatinných miest

6.3. Násobenie desatinných miest

6.4. Desatinné delenie

#1. Hlavná vlastnosť zlomku

Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia alebo vydelia rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule, dostanete zlomok rovný danému.

3/7=3*3/7*3=9/21, teda 3/7=9/21

a/b=a*m/b*m – takto vyzerá hlavná vlastnosť zlomku.

Inými slovami, zlomok rovný danému dostaneme vynásobením alebo vydelením čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku rovnakým prirodzeným číslom.

Ak ad=bc, potom dva zlomky a/b = c /d sa považujú za rovnaké.

Napríklad zlomky 3/5 a 9/15 sa budú rovnať, pretože 3*15=5*9, teda 45=45

Zníženie zlomku je proces nahradenia zlomku, v ktorom sa nový zlomok rovná pôvodnému, ale s menším čitateľom a menovateľom.

Zvykom je redukcia frakcií na základe základnej vlastnosti frakcie.

napr. 45/60=15/ ​ ​20 =9/12=3/4 ​ ​ ​ (čitateľ a menovateľ sa delia číslom 3, 5 a 15).

Neredukovateľný zlomok je zlomok formy 3/4 ​ ​ , kde čitateľ a menovateľ sú vzájomne prvočísla. Hlavným účelom redukcie frakcie je urobiť frakciu nezredukovateľnou.

2. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa

Ak chcete priviesť dva zlomky do spoločného menovateľa, musíte:

1) faktor menovateľa každého zlomku do prvočísel;

2) vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku chýbajúcimi

faktory z rozšírenia druhého menovateľa;

3) vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku chýbajúcimi faktormi z prvého rozšírenia.

Príklady: Zmenšenie zlomkov na spoločného menovateľa.

Rozložme menovateľov na jednoduché faktory: 18=3∙3∙2, 15=3∙5

Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku chýbajúcim faktorom 5 z druhého rozšírenia.

čitateľa a menovateľa zlomku do chýbajúcich faktorov 3 a 2 z prvého rozšírenia.

= , 90 – spoločný menovateľ zlomkov.

3. Aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami

3.1. Sčítanie obyčajných zlomkov

a) Ak sú menovatele rovnaké, čitateľ prvého zlomku sa pripočíta k čitateľovi druhého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký. Ako môžete vidieť na príklade:

a/b+c/b=(a+c)/b ​ ​ ;

b) Pre rôznych menovateľov sa zlomky najskôr zredukujú na spoločného menovateľa a potom sa pridajú čitatelia podľa pravidla a):

7/3+1/4=7*4/12+1*3/12=(28+3)/12=31/12

3.2. Odčítanie zlomkov

a) Ak sú menovatelia rovnakí, odčítajte čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, pričom menovateľ zostane rovnaký:

a/b-c/b=(a-c)/b ​ ​ ;

b) Ak sú menovatele zlomkov rozdielne, najskôr sa zlomky privedú k spoločnému menovateľovi a potom sa akcie zopakujú ako v bode a).

3.3. Násobenie bežných zlomkov

Násobenie zlomkov sa riadi nasledujúcim pravidlom:

a/b*c/d=a*c/b*d,

to znamená, že násobia čitateľov a menovateľov oddelene.

Napríklad:

3/5*4/8=3*4/5*8=12/40.

3.4. Delenie zlomkov

Frakcie sa delia nasledujúcim spôsobom:

a/b:c/d=a*d/b*c,

to znamená, že zlomok a/b sa vynásobí prevráteným zlomkom daného, ​​teda vynásobí sa d/c.

Príklad: 7/2:1/8=7/2*8/1=56/2=28

4. Recipročné čísla

Ak a*b=1, potom je číslo b recipročné číslo pre číslo a.

Príklad: pre číslo 9 je recipročné 1/9 ​ ​ , od 9*1/9 = 1 , pre číslo 5 - inverzné číslo 1/5 ​ ​ , pretože 5* ​ 1/5 ​ ​ = 1 .

5. Desatinné čísla

Desatinné je vlastný zlomok, ktorého menovateľ sa rovná 10, 1000, 10 000, …, 10^n 1 0 , 1 0 0 0 , 1 0 0 0 0 , . . . , 1 0 ​ n​ ​ .

Napríklad: 6/10 =0,6; 44/1000=0,044 ​ .

Nesprávne s menovateľom sa píšu rovnakým spôsobom 10^n alebo zmiešané čísla.

Napríklad: 51/10= 5,1; 763/100=7,63

Každý obyčajný zlomok s menovateľom, ktorý je deliteľom určitej mocniny 10, je reprezentovaný ako desatinný zlomok.

menič, ktorý je deliteľom určitej mocniny čísla 10.

Príklad: 5 je deliteľ 100, teda je to zlomok 1/5=1 *20/5*20=20/100=0,2 ​ 0 = 0 , 2 .

6. Aritmetické operácie s desatinnými miestami

6.1. Pridávanie desatinných miest

Ak chcete pridať dva desatinné zlomky, musíte ich usporiadať tak, aby boli pod sebou rovnaké číslice a pod čiarkou čiarka, a potom zlomky sčítať ako bežné čísla.

6.2. Odčítanie desatinných miest

Vykonáva sa rovnakým spôsobom ako sčítanie.

6.3. Násobenie desatinných miest

Pri násobení desatinných čísel stačí dané čísla vynásobiť, nedbať na čiarky (ako prirodzené čísla) a vo výslednej odpovedi čiarka vpravo oddelí toľko číslic, koľko je za desatinnou čiarkou v oboch faktoroch. celkom.

Vynásobme 2,7 1,3. máme 27\cdot 13=351 2 7 ⋅ 1 3 = 3 5 1 . Dve číslice vpravo oddeľujeme čiarkou (prvé a druhé číslo má jednu číslicu za desatinnou čiarkou; 1+1=2 1 + 1 = 2 ). V dôsledku toho dostaneme 2,7 \ cdot 1,3 = 3,51 2 , 7 ⋅ 1 , 3 = 3 , 5 1 .

Ak výsledný výsledok obsahuje menej číslic, než je potrebné oddeliť čiarkou, chýbajúce nuly sa napíšu dopredu, napríklad:

Ak chcete vynásobiť 10, 100, 1000, musíte posunúť desatinnú čiarku o 1, 2, 3 číslice doprava (v prípade potreby sa napravo priradí určitý počet núl).

Napríklad: 1,47\cdot 10 000 = 14 700 1 , 4 7 ⋅ 1 0 0 0 0 = 1 4 7 0 0 .

6.4. Desatinné delenie

Delenie desatinného zlomku prirodzeným číslom sa robí rovnakým spôsobom ako delenie prirodzeného čísla prirodzeným číslom. Čiarka v kvociente sa umiestni po dokončení delenia celej časti.

Ak je celočíselná časť dividendy menšia ako deliteľ, odpoveď je nula celých čísel, napríklad:

Pozrime sa na delenie desatinnej čiarky desatinnou čiarkou. Povedzme, že potrebujeme deliť 2,576 číslom 1,12. V prvom rade vynásobme deliteľa a deliteľa zlomku číslom 100, to znamená posuňme desatinnú čiarku doprava v delenci a deliteľovi o toľko desatinných miest, koľko je v deliteľovi za desatinnou čiarkou (v tomto príklade , dva). Potom musíte rozdeliť zlomok 257,6 prirodzeným číslom 112, to znamená, že problém sa zredukuje na už uvažovaný prípad:

Stáva sa, že konečný desatinný zlomok nie je vždy získaný pri delení jedného čísla druhým. Výsledkom je nekonečný desatinný zlomok. V takýchto prípadoch prejdeme k obyčajným zlomkom.

Napríklad 2,8: 0,09= 28/10: 9/100= 28*100/10*9=2800/90=280/9= ​ 31 1/9 ​ ​ .

Obsah lekcie

Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi

Existujú dva typy pridávania frakcií:

1. Sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi;
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.

Najprv si preštudujme sčítanie zlomkov s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený.

Sčítajme napríklad zlomky a . Pridajte čitateľov a ponechajte menovateľa nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak k pizzi pridáte pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Pridajte zlomky a .

Odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Keď príde koniec úlohy, je zvykom zbaviť sa nesprávnych zlomkov. Aby ste sa zbavili nevhodnej frakcie, musíte vybrať celú jej časť. V našom prípade je celá časť ľahko izolovaná - dve delené dvoma budú jedna:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na dve časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate jednu celú pizzu:

Príklad 3. Pridajte zlomky a .

Opäť spočítame čitateľov a menovateľa necháme nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak k pizzi pridáte viac pizze, získate pizzu:

Príklad 4. Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Čitatelia sa musia pridať a menovateľ ponechať nezmenený:

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizzi pridáte pizzu a pridáte ďalšie pizze, získate 1 celú pizzu a viac pízz.

Ako vidíte, na sčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať menovateľa nezmenený;

Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Teraz sa naučíme, ako sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi. Pri sčítavaní zlomkov musia byť menovatelia zlomkov rovnaké. Ale nie sú vždy rovnaké.

Napríklad zlomky možno sčítať, pretože majú rovnakých menovateľov.

Zlomky však nemožno sčítať hneď, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Existuje niekoľko spôsobov, ako znížiť zlomky na rovnakého menovateľa. Dnes sa pozrieme len na jeden z nich, keďže ostatné spôsoby sa môžu začiatočníkovi zdať komplikované.

Podstatou tejto metódy je, že najprv sa hľadá LCM menovateľov oboch zlomkov. LCM sa potom vydelí menovateľom prvej frakcie, čím sa získa prvý dodatočný faktor. To isté urobia s druhou frakciou - LCM sa vydelí menovateľom druhej frakcie a získa sa druhý dodatočný faktor.

Čitatelia a menovatelia zlomkov sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto akcií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať.

Príklad 1. Pridajme zlomky a

V prvom rade nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Teraz sa vráťme k zlomkom a . Najprv vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku a získajte prvý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Ak vydelíme 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvým dodatočným násobiteľom. Zapisujeme to na prvý zlomok. Za týmto účelom urobte malú šikmú čiaru nad zlomkom a zapíšte ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

To isté robíme s druhým zlomkom. LCM vydelíme menovateľom druhého zlomku a dostaneme druhý dodatočný faktor. LCM je číslo 6 a menovateľom druhého zlomku je číslo 2. Ak vydelíme 6 2, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatočným multiplikátorom. Zapíšeme to na druhý zlomok. Opäť urobíme malú šikmú čiaru cez druhý zlomok a zapíšeme ďalší faktor, ktorý sa nachádza nad ním:

Teraz máme všetko pripravené na doplnenie. Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov ich dodatočnými faktormi:

Pozrite sa pozorne, k čomu sme dospeli. Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A takéto zlomky už vieme sčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Týmto je príklad dokončený. Ukazuje sa pridať .

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak k pizze pridáte pizzu, získate jednu celú pizzu a ďalšiu šestinu pizze:

Redukovanie zlomkov na rovnaký (spoločný) menovateľ možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním zlomkov a na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto dve frakcie budú zastúpené rovnakými kúskami pizze. Jediný rozdiel bude v tom, že tentoraz budú rozdelené na rovnaké podiely (redukované na rovnakého menovateľa).

Prvý výkres predstavuje zlomok (štyri kusy zo šiestich) a druhý výkres predstavuje zlomok (tri kusy zo šiestich). Pridaním týchto kusov dostaneme (sedem kusov zo šiestich). Tento zlomok je nesprávny, preto sme zvýraznili jeho celú časť. V dôsledku toho sme dostali (jedna celá pizza a ďalšia šiesta pizza).

Upozorňujeme, že tento príklad sme opísali príliš podrobne. Vo vzdelávacích inštitúciách nie je zvykom písať tak podrobne. Musíte byť schopní rýchlo nájsť LCM oboch menovateľov a ďalších faktorov k nim, ako aj rýchlo vynásobiť nájdené dodatočné faktory vašimi čitateľmi a menovateľmi. V škole by sme tento príklad museli napísať takto:

Ale je tu aj druhá strana mince. Ak si v prvých fázach štúdia matematiky nerobíte podrobné poznámky, začnú sa objavovať otázky tohto druhu. "Odkiaľ pochádza to číslo?", "Prečo sa zlomky zrazu zmenia na úplne iné zlomky? «.

Na uľahčenie pridávania zlomkov s rôznymi menovateľmi môžete použiť nasledujúce podrobné pokyny:

1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov;
2. Vydeľte LCM menovateľom každého zlomku a získajte dodatočný faktor pre každý zlomok;
3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi;
4. Pridajte zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov;
5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, vyberte celú jeho časť;

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu .

Využime pokyny uvedené vyššie.

Krok 1. Nájdite LCM menovateľov zlomkov

Nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľmi zlomkov sú čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydeľte LCM menovateľom každej frakcie a získajte ďalší faktor pre každú frakciu

Vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 2. Vydelíme 12 2, dostaneme 6. Získame prvý dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatočný faktor 4. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz delíme LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Dostaneme tretí dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Krok 3. Vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov ich ďalšími faktormi

Čitateľov a menovateľov vynásobíme ich ďalšími faktormi:

Krok 4. Pridajte zlomky s rovnakými menovateľmi

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. Zostáva len sčítať tieto zlomky. Pridajte to:

Doplnenie sa nezmestilo na jeden riadok, preto sme zvyšný výraz presunuli na ďalší riadok. V matematike je to dovolené. Keď sa výraz nezmestí na jeden riadok, presunie sa na ďalší riadok a na koniec prvého riadku a na začiatok nového riadku je potrebné vložiť znamienko rovnosti (=). Znamienko rovnosti v druhom riadku znamená, že ide o pokračovanie výrazu, ktorý bol v prvom riadku.

Krok 5. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, zvýraznite celú jeho časť

Naša odpoveď sa ukázala ako nesprávny zlomok. Musíme vyzdvihnúť celú jeho časť. Zdôrazňujeme:

Dostali sme odpoveď

Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi

Existujú dva typy odčítania zlomkov:

1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Najprv sa naučme, ako odčítať zlomky s podobnými menovateľmi. Všetko je tu jednoduché. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku, no menovateľ ponechajte rovnaký.

Napríklad nájdime hodnotu výrazu . Ak chcete vyriešiť tento príklad, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený. Urobme toto:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na štyri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu.

Opäť, od čitateľa prvého zlomku, odčítajte čitateľa druhého zlomku a menovateľ ponechajte nezmenený:

Tento príklad možno ľahko pochopiť, ak si spomenieme na pizzu, ktorá je rozdelená na tri časti. Ak z pizze nakrájate pizzu, získate pizzu:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Tento príklad je riešený presne rovnakým spôsobom ako predchádzajúce. Od čitateľa prvého zlomku musíte odpočítať čitateľa zostávajúcich zlomkov:

Ako vidíte, na odčítaní zlomkov s rovnakými menovateľmi nie je nič zložité. Stačí pochopiť nasledujúce pravidlá:

1. Ak chcete odčítať ďalší od jedného zlomku, musíte odčítať čitateľa druhého zlomku od čitateľa prvého zlomku a menovateľa ponechať nezmenený;
2. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi

Môžete napríklad odčítať zlomok od zlomku, pretože zlomky majú rovnakých menovateľov. Nemôžete však odčítať zlomok od zlomku, pretože tieto zlomky majú rôznych menovateľov. V takýchto prípadoch sa zlomky musia zredukovať na rovnaký (spoločný) menovateľ.

Spoločný menovateľ sa nachádza pomocou rovnakého princípu, ktorý sme použili pri sčítaní zlomkov s rôznymi menovateľmi. Najprv nájdite LCM menovateľov oboch zlomkov. Potom sa LCM vydelí menovateľom prvého zlomku a získa sa prvý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad prvým zlomkom. Podobne sa LCM vydelí menovateľom druhého zlomku a získa sa druhý dodatočný faktor, ktorý je napísaný nad druhým zlomkom.

Zlomky sa potom vynásobia ich dodatočnými faktormi. V dôsledku týchto operácií sa zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, premenia na zlomky, ktoré majú rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať.

Príklad 1 Nájdite význam výrazu:

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Najprv nájdeme LCM menovateľov oboch zlomkov. Menovateľom prvého zlomku je číslo 3 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Teraz sa vráťme k zlomkom a

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom prvého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom prvého zlomku je číslo 3. Vydelíme 12 3, dostaneme 4. Napíšte štvorku nad prvý zlomok:

To isté robíme s druhým zlomkom. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 12 a menovateľom druhého zlomku je číslo 4. Vydelíme 12 4, dostaneme 3. Napíšte trojku nad druhý zlomok:

Teraz sme pripravení na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Vezmime si tento príklad do konca:

Dostali sme odpoveď

Pokúsme sa znázorniť naše riešenie pomocou kresby. Ak odkrojíte pizzu z pizze, dostanete pizzu

Toto je podrobná verzia riešenia. Keby sme boli v škole, museli by sme tento príklad riešiť kratšie. Takéto riešenie by vyzeralo takto:

Redukciu zlomkov na spoločného menovateľa možno znázorniť aj pomocou obrázka. Redukovaním týchto zlomkov na spoločného menovateľa sme dostali zlomky a . Tieto zlomky budú reprezentované rovnakými plátkami pizze, ale tentoraz budú rozdelené na rovnaké časti (redukované na rovnakého menovateľa):

Na prvom obrázku je zlomok (osem dielikov z dvanástich) a na druhom obrázku je zlomok (tri dieliky z dvanástich). Vyrezaním troch kusov z ôsmich kusov dostaneme päť kusov z dvanástich. Zlomok popisuje týchto päť kusov.

Príklad 2 Nájdite hodnotu výrazu

Tieto zlomky majú rôznych menovateľov, preto ich najprv musíte zredukovať na rovnakého (spoločného) menovateľa.

Nájdite LCM menovateľov týchto zlomkov.

Menovateľmi zlomkov sú čísla 10, 3 a 5. Najmenší spoločný násobok týchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Teraz nájdeme ďalšie faktory pre každý zlomok. Ak to chcete urobiť, vydeľte LCM menovateľom každého zlomku.

Nájdite ďalší faktor pre prvý zlomok. LCM je číslo 30 a menovateľom prvého zlomku je číslo 10. Vydelením 30 10 dostaneme prvý dodatočný faktor 3. Napíšeme ho nad prvý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre druhý zlomok. Vydeľte LCM menovateľom druhého zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom druhého zlomku je číslo 3. Vydelením 30 3 dostaneme druhý dodatočný faktor 10. Napíšeme ho nad druhý zlomok:

Teraz nájdeme ďalší faktor pre tretí zlomok. Vydeľte LCM menovateľom tretieho zlomku. LCM je číslo 30 a menovateľom tretieho zlomku je číslo 5. Ak vydelíme 30 číslom 5, dostaneme tretí dodatočný faktor 6. Napíšeme ho nad tretí zlomok:

Teraz je všetko pripravené na odčítanie. Zostáva vynásobiť zlomky ich ďalšími faktormi:

Dospeli sme k záveru, že zlomky, ktoré mali rôznych menovateľov, sa zmenili na zlomky, ktoré mali rovnakých (spoločných) menovateľov. A už vieme, ako takéto zlomky odčítať. Dokončime tento príklad.

Pokračovanie príkladu sa nezmestí na jeden riadok, preto posunieme pokračovanie na ďalší riadok. Nezabudnite na znamienko rovnosti (=) v novom riadku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok a zdá sa, že všetko nám vyhovuje, ale je príliš ťažkopádne a škaredé. Mali by sme to zjednodušiť. Čo sa dá robiť? Tento zlomok môžete skrátiť.

Ak chcete zlomok zmenšiť, musíte jeho čitateľa a menovateľa vydeliť (GCD) čísel 20 a 30.

Nájdeme teda gcd čísel 20 a 30:

Teraz sa vrátime k nášmu príkladu a vydelíme čitateľa a menovateľa zlomku nájdeným gcd, to znamená 10

Dostali sme odpoveď

Násobenie zlomku číslom

Ak chcete vynásobiť zlomok číslom, musíte vynásobiť čitateľa zlomku týmto číslom a ponechať menovateľa nezmenený.

Príklad 1. Vynásobte zlomok číslom 1.

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 1

Nahrávku možno chápať tak, že zaberie polovičný 1 čas. Napríklad, ak si dáte pizzu raz, dostanete pizzu

Zo zákonov násobenia vieme, že ak dôjde k zámene multiplikandu a faktora, súčin sa nezmení. Ak je výraz napísaný ako , potom sa súčin bude stále rovnať . Opäť platí pravidlo pre násobenie celého čísla a zlomku:

Tento zápis možno chápať ako prevzatie polovice jednotky. Napríklad, ak je 1 celá pizza a vezmeme si polovicu z nej, potom budeme mať pizzu:

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa zlomku číslom 4

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Výraz možno chápať ako brať dve štvrtiny 4 krát. Napríklad, ak si vezmete 4 pizze, dostanete dve celé pizze

A ak zameníme multiplikand a multiplikátor, dostaneme výraz . Bude sa rovnať aj 2. Tento výraz možno chápať ako odoberanie dvoch pizze zo štyroch celých pízz:

Číslo vynásobené zlomkom a menovateľ zlomku sa rozlíšia, ak majú spoločný činiteľ väčší ako jedna.

Napríklad výraz možno vyhodnotiť dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob. Vynásobte číslo 4 čitateľom zlomku a menovateľ zlomku ponechajte nezmenený:

Druhý spôsob. Vynásobenie štvorky a štvorky v menovateli zlomku možno zmenšiť. Tieto štvorky možno zmenšiť o 4, pretože najväčším spoločným deliteľom pre dve štvorky je samotná štvorka:

Dostali sme rovnaký výsledok 3. Po zmenšení štvoriek sa na ich mieste vytvoria nové čísla: dve jednotky. Ale vynásobením jednotky tromi a následným delením jednou sa nič nezmení. Preto je možné stručne napísať riešenie:

Redukciu je možné vykonať, aj keď sme sa rozhodli použiť prvú metódu, ale vo fáze násobenia čísla 4 a čitateľa 3 sme sa rozhodli použiť redukciu:

Ale napríklad výraz možno vypočítať iba prvým spôsobom - vynásobte 7 menovateľom zlomku a ponechajte menovateľa nezmenený:

Je to spôsobené tým, že číslo 7 a menovateľ zlomku nemajú spoločného deliteľa väčšieho ako jedna, a preto sa nerušia.

Niektorí žiaci omylom skracujú násobené číslo a čitateľ zlomku. Toto nemôžeš urobiť. Napríklad nasledujúci záznam nie je správny:

Zníženie zlomku to znamená čitateľ aj menovateľ bude delené rovnakým číslom. V situácii s výrazom sa delenie vykonáva len v čitateli, keďže písanie je to isté ako písanie . Vidíme, že delenie sa vykonáva iba v čitateli a žiadne delenie sa nevyskytuje v menovateli.

Násobenie zlomkov

Ak chcete vynásobiť zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov. Ak sa ukáže, že odpoveď je nesprávny zlomok, musíte zvýrazniť celú jeho časť.

Príklad 1 Nájdite hodnotu výrazu.

Dostali sme odpoveď. Je vhodné tento podiel znížiť. Zlomok môže byť znížený o 2. Potom bude mať konečné riešenie nasledujúcu formu:

Výraz možno chápať tak, že si vezmete pizzu z polovice pizze. Povedzme, že máme polovicu pizze:

Ako ubrať dve tretiny z tejto polovice? Najprv musíte rozdeliť túto polovicu na tri rovnaké časti:

A vezmite si dva z týchto troch kusov:

Urobíme pizzu. Pamätajte si, ako vyzerá pizza rozdelená na tri časti:

Jeden kus tejto pizze a dva kusy, ktoré sme si vzali, budú mať rovnaké rozmery:

Inými slovami, hovoríme o rovnakej veľkosti pizze. Preto hodnota výrazu je

Príklad 2. Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď bol nesprávny zlomok. Vyzdvihnime celú jeho časť:

Príklad 3 Nájdite hodnotu výrazu

Vynásobte čitateľa prvého zlomku čitateľom druhého zlomku a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého zlomku:

Odpoveď sa ukázala ako obyčajný zlomok, ale bolo by dobré, keby sa skrátil. Ak chcete tento zlomok zmenšiť, musíte vydeliť čitateľa a menovateľa tohto zlomku najväčším spoločným deliteľom (GCD) čísel 105 a 450.

Takže nájdime gcd čísel 105 a 450:

Teraz vydelíme čitateľa a menovateľa našej odpovede hodnotou gcd, ktorú sme teraz našli, teda 15

Predstavuje celé číslo ako zlomok

Akékoľvek celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok. Napríklad číslo 5 môže byť reprezentované ako . To nezmení význam päť, pretože výraz znamená „číslo päť delené jedným“ a toto, ako vieme, sa rovná piatim:

Recipročné čísla

Teraz sa zoznámime s veľmi zaujímavou témou z matematiky. Hovorí sa tomu „obrátené čísla“.

Definícia. Obráťte sa na čísloa je číslo, ktoré po vynásobenía dáva jeden.

Namiesto premennej dosadíme v tejto definícii ačíslo 5 a skúste si prečítať definíciu:

Obráťte sa na číslo 5 je číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jeden.

Je možné nájsť číslo, ktoré po vynásobení 5 dáva jednotku? Ukazuje sa, že je to možné. Predstavme si päťku ako zlomok:

Potom tento zlomok vynásobte sám, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Inými slovami, vynásobme zlomok sám o sebe, iba hore nohami:

Čo sa stane v dôsledku toho? Ak budeme pokračovať v riešení tohto príkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzná hodnota k číslu 5 je číslo , pretože keď vynásobíte 5 číslom, dostanete jednotku.

Prevrátenú hodnotu čísla možno nájsť aj pre akékoľvek iné celé číslo.

Môžete tiež nájsť prevrátenú hodnotu akéhokoľvek iného zlomku. Ak to chcete urobiť, jednoducho ho otočte.

Delenie zlomku číslom

Povedzme, že máme polovicu pizze:

Rozdeľme to rovným dielom medzi dvoch. Koľko pizze dostane každý?

Je vidieť, že po rozdelení polovice pizze sa získali dva rovnaké kusy, z ktorých každý tvorí pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Pokyny

Najprv si pamätajte, že zlomok je len konvenčný zápis na delenie jedného čísla druhým. Okrem toho a násobenia, pri delení dvoch celých čísel sa nie vždy získa celé číslo. Zavolajte teda tieto dve „deliteľné“ čísla. Delené číslo je čitateľ a číslo, ktoré sa delí, je menovateľ.

Ak chcete napísať zlomok, najprv napíšte čitateľa, potom pod číslom nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara, ktorá oddeľuje čitateľa a menovateľa, sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako lomka "/" alebo "∕". V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Takže napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti je čitateľ zvyčajne napísaný v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, to znamená, že namiesto 2/3 nájdete: ⅔.

Ak je čitateľ zlomku väčší ako jeho menovateľ, potom sa nesprávny zlomok zvyčajne zapíše ako zmiešaný zlomok. Ak chcete vytvoriť zmiešaný zlomok z nesprávneho zlomku, jednoducho vydeľte čitateľa menovateľom a napíšte výsledný podiel. Potom umiestnite zvyšok delenia do čitateľa zlomku a zapíšte tento zlomok napravo od podielu (nedotýkajte sa menovateľa). Napríklad 7/3 = 2⅓.

Ak chcete pridať dva zlomky s rovnakým menovateľom, jednoducho pridajte ich čitateľov (menovateľov nechajte na pokoji). Napríklad 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Rovnakým spôsobom odčítajte dva zlomky (čitatelia sa odčítajú). Napríklad 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Ak chcete pridať dva zlomky s rôznymi menovateľmi, vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobte čitateľa a menovateľa druhého zlomku menovateľom prvého zlomku. V dôsledku toho dostanete súčet dvoch zlomkov s rovnakými menovateľmi, ktorých sčítanie je popísané v predchádzajúcom odseku.

Napríklad 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 12/17 = 1 5/12.

Ak majú menovatelia zlomkov spoločné činitele, to znamená, že sú deliteľné rovnakým číslom, zvoľte ako spoločného menovateľa najmenšie číslo, ktoré je deliteľné prvým a druhým menovateľom súčasne. Ak je teda napríklad prvý menovateľ 6 a druhý 8, potom ako spoločný menovateľ neberte ich súčin (48), ale číslo 24, ktoré je deliteľné 6 aj 8. Čitatelia zlomkov sú vynásobený podielom delenia spoločného menovateľa menovateľom každého zlomku. Napríklad pre menovateľa 6 bude toto číslo 4 – (24/6) a pre menovateľa 8 – 3 (24/8). Tento proces je jasnejšie viditeľný na konkrétnom príklade:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi sa robí presne rovnakým spôsobom.