Výpočet dĺžky tetivy kruhového segmentu. Ako vypočítať plochu segmentu a plochu segmentu gule. Daný priemer D a stredový uhol φ

Plocha kruhového segmentu sa rovná rozdielu medzi plochou príslušného kruhového sektora a plochou trojuholníka tvoreného polomermi sektora zodpovedajúcimi segmentu a tetivou obmedzujúcou segment.

Príklad 1

Dĺžka tetivy pretínajúcej kružnicu sa rovná hodnote a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho tetive je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.

Riešenie

Trojuholník tvorený dvoma polomermi a tetivou je rovnoramenný, takže nadmorská výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k strane trojuholníka tvoreného tetivou bude tiež osou stredového uhla, ktorá ho rozdelí na polovicu a medián, deliaci akord na polovicu. Vedieť, že sínus uhla je rovný pomeru na opačnej strane od prepony môžete vypočítať polomer:

Sin 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR2/360°*60° = πa2/6

S▲=1/2*ah, kde h je výška vedená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

V súlade s tým S▲=√3/4*a².

Plocha segmentu, vypočítaná ako Sreg = Sc - S▲, sa rovná:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Nahrádzanie číselná hodnota Namiesto hodnoty a môžete jednoducho vypočítať číselnú hodnotu oblasti segmentu.

Príklad 2

Polomer kruhu sa rovná a. Miera stupňa oblúka zodpovedajúceho segmentu je 60°. Nájdite oblasť kruhového segmentu.

Riešenie:

Plochu sektora zodpovedajúcu danému uhlu možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,

Plocha trojuholníka zodpovedajúca sektoru sa vypočíta takto:

S▲=1/2*ah, kde h je výška vedená od vrcholu stredového uhla k tetive. Podľa Pytagorovej vety h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

V súlade s tým S▲=√3/4*a².

A nakoniec, plocha segmentu, vypočítaná ako Sreg = Sc - S▲, sa rovná:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Riešenia sú v oboch prípadoch takmer totožné. Môžeme teda dospieť k záveru, že na výpočet plochy segmentu v najjednoduchšom prípade stačí poznať hodnotu uhla zodpovedajúceho oblúku segmentu a jeden z dvoch parametrov - buď polomer kruhu alebo dĺžka tetivy pretínajúcej oblúk kružnice tvoriacej segment.

Matematická hodnota plochy je známa už od starovekého Grécka. Už v tých dávnych dobách Gréci zistili, že plocha je súvislá časť plochy, ktorá je zo všetkých strán ohraničená uzavretým obrysom. Toto je číselná hodnota, ktorá sa meria v štvorcových jednotiek. Plocha je číselná charakteristika plochých geometrických útvarov (planimetrických) a povrchov telies v priestore (objemových).

V súčasnosti sa nachádza nielen v školských osnovách na hodinách geometrie a matematiky, ale aj v astronómii, každodennom živote, konštrukcii, vývoji dizajnu, výrobe a mnohých ďalších ľudských predmetoch. Veľmi často sa uchyľujeme k výpočtu oblastí použitia segmentov osobná zápletka pri navrhovaní krajinnej oblasti alebo pri rekonštrukčných prácach ultramoderného dizajnu miestnosti. Znalosť metód na výpočet rôznych oblastí sa preto bude hodiť vždy a všade.

Ak chcete vypočítať plochu kruhového segmentu a segmentu gule, musíte pochopiť geometrické pojmy, ktoré budú potrebné počas výpočtového procesu.

Po prvé, segment kruhu je fragmentom plochého tvaru kruhu, ktorý sa nachádza medzi oblúkom kruhu a tetivou, ktorá ho oddeľuje. Tento pojem by sa nemal zamieňať s údajom o sektore. To sú úplne iné veci.

Tetiva je segment, ktorý spája dva body ležiace na kruhu.

Stredový uhol je vytvorený medzi dvoma segmentmi - polomermi. Meria sa v stupňoch podľa oblúka, na ktorom spočíva.

Segment gule sa vytvorí, keď je časť odrezaná nejakou rovinou. V tomto prípade je základom guľového segmentu kruh a výška je kolmica vychádzajúca zo stredu kruhu k priesečníku s povrchom. sféry. Tento priesečník sa nazýva vrchol segmentu gule.

Aby ste mohli určiť plochu guľového segmentu, musíte poznať hraničný kruh a výšku guľového segmentu. Súčinom týchto dvoch zložiek bude plocha segmentu gule: S=2πRh, kde h je výška segmentu, 2πR je obvod a R je polomer veľkého kruhu.

Na výpočet plochy segmentu kruhu sa môžete uchýliť k nasledujúcim vzorcom:

1. Nájsť oblasť segmentu podľa najväčšieho počtu jednoduchým spôsobom, je potrebné vypočítať rozdiel medzi plochou sektora, v ktorom je segment vpísaný, a ktorého základňou je tetiva segmentu: S1=S2-S3, kde S1 je plocha segmentu, S2 je plocha sektora a S3 je plocha trojuholníka.

Na výpočet plochy kruhového segmentu môžete použiť približný vzorec: S=2/3*(a*h), kde a je základňa trojuholníka alebo h je výška segmentu, čo je výsledok rozdielu medzi polomerom kruhu a

2. Plocha segmentu odlišného od polkruhu sa vypočíta takto: S = (π R2:360)*α ± S3, kde π R2 je plocha kruhu, α je miera stredového uhla, ktorý obsahuje oblúk segmentu kruhu, S3 je plocha trojuholníka, ktorý sa vytvoril medzi dvoma polomermi kružnica a tetiva, ktorá má v stredovom bode kružnice uhol a v bodoch dotyku polomerov s kružnicou dva vrcholy.

Ak uhol α< 180 градусов, используется знак минус, если α >180 stupňov, aplikované znamienko plus.

3. Môžete vypočítať plochu segmentu pomocou iných metód pomocou trigonometrie. Ako základ sa spravidla berie trojuholník. Ak sa stredový uhol meria v stupňoch, potom je prijateľný nasledujúci vzorec: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, kde R2 je druhá mocnina polomeru kruhu, α je miera stupňa stredového uhla.

4. Na výpočet plochy segmentu pomocou goniometrické funkcie, môžete použiť iný vzorec za predpokladu, že stredový uhol sa meria v radiánoch: S= R2 * (α - sin α)/2, kde R2 je druhá mocnina polomeru kruhu, α je miera stredu uhol.

Definovanie segmentu kruhu

Segment- Toto geometrický obrazec, ktorý sa získa odrezaním časti kruhu pomocou struny.

Online kalkulačka

Tento obrazec sa nachádza medzi tetivou a oblúkom kruhu.

Chord

Ide o segment ležiaci vo vnútri kruhu a spájajúci dva ľubovoľne zvolené body na ňom.

Pri odrezaní časti kruhu pomocou akordu môžete zvážiť dve postavy: toto je náš segment a rovnoramenný trojuholník, ktorého strany sú polomery kruhu.

Plochu segmentu možno nájsť ako rozdiel medzi oblasťami sektora kruhu a tohto rovnoramenného trojuholníka.

Oblasť segmentu možno nájsť niekoľkými spôsobmi. Pozrime sa na ne podrobnejšie.

Vzorec pre oblasť segmentu kruhu pomocou polomeru a dĺžky oblúka kruhu, výšky a základne trojuholníka

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s −2 1 ​ ⋅ h⋅a

R R R- polomer kruhu;
s s s- dĺžka oblúka;
h h h- výška rovnoramenného trojuholníka;
a a a- dĺžka základne tohto trojuholníka.

Príklad

Ak je daný kruh, jeho polomer je číselne rovný 5 (cm), výška, ktorá je nakreslená k základni trojuholníka, sa rovná 2 (cm), dĺžka oblúka je 10 (cm). Nájdite oblasť segmentu kruhu.

Riešenie

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Na výpočet plochy potrebujeme iba základňu trojuholníka. Poďme to nájsť pomocou vzorca:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ sqrt(2\cdot(2\cdot 5-2))=8a =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h )​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Teraz môžete vypočítať plochu segmentu:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s −2 1 ​ ⋅ h⋅a =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (pozri námestie)

odpoveď: 17 cm štvorcových

Vzorec pre oblasť segmentu kruhu daný polomerom kruhu a stredovým uhlom

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alfa-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − hriech(α))

R R R- polomer kruhu;
a\alfa α - stredový uhol medzi dvoma polomermi pretínajúcimi tetivu, merané v radiánoch.

Príklad

Nájdite oblasť segmentu kruhu, ak je polomer kruhu 7 (cm) a stredový uhol je 30 stupňov.

Riešenie

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Najprv prevedieme uhol v stupňoch na radiány. Pretože π\pi π Radián sa rovná 180 stupňom, potom:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radián. Potom je oblasť segmentu:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0,57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big (\frac(\pi)(6)-\sin\Big (\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\približne 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − hriech(α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − hriech ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (pozri námestie)

odpoveď: 0,57 cm štvorcových

Spočiatku to vyzerá takto:

Obrázok 463.1. a) existujúci oblúk, b) určenie dĺžky a výšky tetivy segmentu.

Keď teda vznikne oblúk, môžeme spojiť jeho konce a získať tetivu dĺžky L. V strede tetivy môžeme nakresliť čiaru kolmú na tetivu a tak získať výšku segmentu H. Teraz, keď poznáme dĺžku tetivy a výšku segmentu môžeme najskôr určiť stredový uhol α, t.j. uhol medzi polomermi nakreslenými od začiatku a konca segmentu (nezobrazené na obrázku 463.1) a potom polomer kružnice.

Riešenie takéhoto problému bolo podrobne diskutované v článku „Výpočet oblúkového prekladu“, takže tu uvediem iba základné vzorce:

tg( a/4) = 2N/L (278.1.2)

A/4 = arctan( 2H/L)

R = H/(1 - cos( a/2)) (278.1.3)

Ako vidíte, z matematického hľadiska nie sú problémy s určením polomeru kruhu. Táto metóda vám umožňuje určiť hodnotu polomeru oblúka s akoukoľvek možnou presnosťou. Toto je hlavná výhoda tejto metódy.

Teraz si povedzme o nevýhodách.

Problém s touto metódou nie je ani v tom, že si treba pamätať vzorce zo školského kurzu geometrie, úspešne zabudnutého pred mnohými rokmi – aby ste si vzorce vybavili – existuje internet. A tu je kalkulačka s funkciami arctg, arcsin atď. Nie každý užívateľ ho má. A hoci aj tento problém dokáže úspešne vyriešiť internet, netreba zabúdať, že riešime dosť aplikovaný problém. Tie. Nie je vždy potrebné určiť polomer kruhu s presnosťou 0,0001 mm, presnosť 1 mm môže byť celkom prijateľná.

Okrem toho, aby ste našli stred kruhu, musíte predĺžiť výšku segmentu a nakresliť na túto priamku vzdialenosť rovnajúcu sa polomeru. Keďže v praxi máme čo do činenia s nie ideálnym meracie prístroje, k tomu treba prirátať možnú chybu pri označovaní, ukazuje sa, že čím menšia je výška segmentu v pomere k dĺžke tetivy, tým väčšia chyba môže nastať pri určovaní stredu oblúka.

Opäť netreba zabúdať, že neuvažujeme o ideálnom prípade, t.j. To je to, čo sme okamžite nazvali oblúkom. V skutočnosti to môže byť krivka opísaná pomerne zložitým matematickým vzťahom. Preto sa polomer a stred takto nájdeného kruhu nemusia zhodovať so skutočným stredom.

V tejto súvislosti chcem ponúknuť ďalšiu metódu určenia polomeru kruhu, ktorú sám často používam, pretože táto metóda určenia polomeru kruhu je oveľa rýchlejšia a jednoduchšia, aj keď presnosť je oveľa menšia.

Druhá metóda na určenie polomeru oblúka (metóda postupných aproximácií)

Pokračujme teda v úvahách o súčasnej situácii.

Keďže ešte potrebujeme nájsť stred kružnice, na začiatok nakreslíme aspoň dva oblúky s ľubovoľným polomerom z bodov zodpovedajúcich začiatku a koncu oblúka. Cez priesečník týchto oblúkov bude priamka, na ktorej sa nachádza stred požadovaného kruhu.

Teraz musíte spojiť priesečník oblúkov so stredom akordu. Ak však z naznačených bodov nakreslíme nie jeden oblúk, ale dva, tak táto priamka bude prechádzať priesečníkom týchto oblúkov a potom nie je vôbec potrebné hľadať stred tetivy.

Ak je vzdialenosť od priesečníka oblúkov po začiatok alebo koniec príslušného oblúka väčšia ako vzdialenosť od priesečníka oblúkov po bod zodpovedajúci výške segmentu, potom je stred príslušného oblúka umiestnený nižšie na priamke vedenej cez priesečník oblúkov a stred tetivy. Ak je menej, potom je požadovaný stred oblúka na priamke vyššie.

Na základe toho sa vyberie ďalší bod na priamke, pravdepodobne zodpovedajúci stredu oblúka, a z neho sa vykonajú rovnaké merania. Potom sa prijme ďalší bod a merania sa zopakujú. S každým novým bodom bude rozdiel v meraniach čoraz menší.

To je všetko. Napriek takémuto zdĺhavému a komplikovanému popisu stačia 1-2 minúty na to, aby ste takto určili polomer oblúka s presnosťou na 1 mm.

Teoreticky to vyzerá asi takto:

Obrázok 463.2. Určenie stredu oblúka metódou postupných aproximácií.

Ale v praxi to vyzerá asi takto:

Fotografia 463.1. Značenie obrobkov zložitých tvarov s rôznymi polomermi.

Tu len dodám, že niekedy musíte nájsť a nakresliť niekoľko polomerov, pretože na fotografii je toho veľa pomiešaného.

• 01.10.2018

  Na základe wi-fi modulu NodeMcu v3 s čipom ESP8266 (ESP-12e) môžete vyrobiť (napríklad) teplomer na digitálnom snímači 18B20, ktorý bude odoslaný do databázy MySQL pomocou požiadavky GET. Nasledujúci náčrt vám umožňuje posielať požiadavky GET na zadanú stránku, v mojom prípade je to test.php. #include #include …

• 22.09.2014

  Automatický stacionárny stmievač riadený fotorezistorom R7, určený pre prevádzku v náročných podmienkach chladného a mierne chladného podnebia pri teplotách životné prostredie od -25 do +45 °C, relatívna vlhkosť vzduchu do 85 % pri teplote +20 °C a atmosferický tlak v rozmedzí 200...900 mm Hg. Stmievač slúži na reguláciu osvetlenia jednotlivých...

• 25.09.2014

  Aby nedošlo k poškodeniu elektroinštalácie pri opravách, je potrebné použiť detekčné zariadenie skryté vedenie. Prístroj detekuje nielen umiestnenie skrytých rozvodov, ale aj miesto poškodenia skrytých rozvodov. Zariadenie je audio frekvenčný zosilňovač, v prvom stupni sa zvyšuje vstupná impedancia je použitý tranzistor s efektom poľa. V druhom stupni op-amp. Senzor -...

• 03.10.2014

  Navrhované zariadenie stabilizuje napätie do 24V a prúd do 2A s ochranou proti skratu. V prípade nestabilného spustenia stabilizátora by sa mala použiť synchronizácia z autonómneho generátora impulzov (obr. 2. Obvod stabilizátora je znázornený na obr. Na VT1 VT2 je namontovaný spúšť Schmitt, ktorý riadi výkonný regulačný tranzistor VT3. Podrobnosti: VT3 je vybavený chladičom...