Napätia pri priečnom ohybe. Normálové napätie pri rovinnom ohybe rovnej tyče Výpočet hlavných napätí pri priečnom ohybe
Uvažujme nosník vystavený rovinnému priamemu ohybu pri pôsobení ľubovoľných priečnych zaťažení v hlavnej rovine Ohoo(Obr. 7.31, A). Odrežme lúč vo vzdialenosti x od jeho ľavého konca a uvažujme o rovnováhe ľavej strany. Vplyv pravej strany v tomto prípade treba nahradiť pôsobením ohybového momentu A/ a priečnej sily Qy v nakreslenom reze (obr. 7.31, b). Ohybový moment L7 vo všeobecnom prípade nemá konštantnú veľkosť, ako to bolo v prípade čistého ohybu, ale mení sa pozdĺž dĺžky lúča. Od ohybového momentu M
podľa (7.14) je spojená s normálovými napätiami o = a x, potom sa po dĺžke nosníka budú meniť aj normálové napätia v pozdĺžnych vláknach. Preto v prípade priečneho ohybu sú normálové napätia funkciami premenných x a y: a x = a x (x, y).
Pri priečnom ohybe v reze nosníka pôsobia nielen normálové, ale aj tangenciálne napätia (obr. 7.31, Obr. V), ktorého výslednicou je priečna sila Q y:
Prítomnosť tangenciálnych napätí x uh sprevádzané výskytom uhlových deformácií. Šmykové napätia, podobne ako normálne, sú v priereze rozložené nerovnomerne. V dôsledku toho budú uhlové deformácie spojené s nimi podľa Hookovho zákona počas šmyku tiež nerovnomerne rozdelené. To znamená, že pri priečnom ohybe na rozdiel od čistého ohybu nezostávajú úseky nosníka ploché (hypotéza J. Bernoulliho je porušená).
Zakrivenie prierezov možno názorne demonštrovať na príklade ohybu konzolového nosníka pravouhlého gumeného profilu spôsobeného sústredenou silou pôsobiacou na koniec (obr. 7.32). Ak najskôr nakreslíte rovné čiary na bočné plochy kolmé na os lúča, potom po ohnutí tieto čiary nezostanú rovné. Zároveň sú ohnuté tak, že najväčší posun nastáva na úrovni neutrálnej vrstvy.
Presnejšie štúdie preukázali, že vplyv skreslenia prierezov na veľkosť normálových napätí je nevýznamný. Závisí to od pomeru výšky sekcie h na dĺžku lúča / a pri h/ / o x pre priečny ohyb sa zvyčajne používa vzorec (7.14) odvodený pre prípad čistého ohybu.
Druhým znakom priečneho ohýbania je prítomnosť normálových napätí O y, pôsobiace v pozdĺžnych rezoch nosníka a charakterizujúce vzájomný tlak medzi pozdĺžnymi vrstvami. Tieto napätia sa vyskytujú v oblastiach, kde je rozložené zaťaženie q, a na miestach, kde pôsobia sústredené sily. Typicky sú tieto napätia veľmi malé v porovnaní s normálnymi napätiami a x.Špeciálnym prípadom je pôsobenie koncentrovanej sily, v oblasti pôsobenia ktorej môžu vzniknúť významné lokálne napätia a vy
Teda nekonečne malý prvok v rovine Ohoo pri priečnom ohybe je v dvojosovom napätom stave (obr. 7.33).
Napätia t a o, ako aj napätie o Y, sú vo všeobecnom prípade funkciami súradníc* a y. Musia spĺňať diferenciálne rovnice rovnováhy, ktoré pre dvojosový stav napätia ( a z = T yz = = 0) v neprítomnosti
objemové sily majú nasledujúci tvar: 
Tieto rovnice možno použiť na určenie šmykových napätí = m a normálových napätí OU. To je najjednoduchšie urobiť pre obdĺžnikový lúč prierez. V tomto prípade sa pri určovaní m vychádza z predpokladu, že sú rovnomerne rozmiestnené po šírke rezu (obr. 7.34). Tento predpoklad vyslovil slávny ruský staviteľ mostov D.I. Žuravský. Výskum ukazuje, že tento predpoklad takmer presne zodpovedá skutočnému charakteru rozloženia šmykových napätí pri ohýbaní pre dostatočne úzke a vysoké nosníky. (b « A).
Použitie prvej z diferenciálnych rovníc (7.26) a vzorca (7.14) pre normálové napätia a x, dostaneme
Integrácia tejto rovnice cez premennú y, nájdeme
Kde f(x)- ľubovoľná funkcia, na určenie ktorej použijeme podmienku neprítomnosti tangenciálnych napätí na spodnom okraji nosníka: 
Berúc do úvahy túto okrajovú podmienku, z (7.28) zistíme
Konečné vyjadrenie pre tangenciálne napätia pôsobiace v prierezoch nosníka má nasledujúci tvar:
Vplyvom zákona párovania tangenciálnych napätí vznikajú aj tangenciálne napätia t, = t v pozdĺžnych rezoch.
hoo hou
lúče rovnobežné s neutrálnou vrstvou.
Zo vzorca (7.29) je zrejmé, že tangenciálne napätia sa menia po výške prierezu nosníka podľa zákona štvorcovej paraboly. Tangenciálne napätia majú najväčšiu hodnotu v bodoch na úrovni neutrálnej osi at y = 0, a v najkrajnejších vláknach lúča pri y = ±h/2 rovnajú sa nule. Pomocou vzorca (7.23) pre moment zotrvačnosti pravouhlého prierezu získame
Kde F= bh - prierezová plocha lúča.
Diagram t je znázornený na obr. 7.34.
V prípade nosníkov nepravouhlého prierezu (obr. 7.35) je určenie šmykových napätí m z rovnice rovnováhy (7.27) náročné, keďže okrajová podmienka pre m nie je známa vo všetkých bodoch prierezu. obrys. Je to spôsobené tým, že v tomto prípade pôsobia tangenciálne napätia t v priereze, nie paralelne s priečnou silou Qy. V skutočnosti je možné ukázať, že v bodoch blízko obrysu prierezu celkové šmykové napätie m smeruje tangenciálne k obrysu. Uvažujme v blízkosti ľubovoľného bodu na vrstevnici (pozri obr. 7.35) nekonečne malú plochu dF v rovine prierezu a plošina na ňu kolmá dF" na bočnom povrchu nosníka. Ak celkové napätie t v bode obrysu nesmeruje tangenciálne, možno ho rozložiť na dve zložky: x vx v smere normály v k vrstevnici a X v smere dotyčnice t do obrysu. Preto podľa zákona o párovaní tangenciálnych napätí na mieste dF" by mal
ale pôsobí na šmykové napätie x rovné x vv . Ak je bočná plocha bez šmykového zaťaženia, potom zložka x vv = z vx = 0, to znamená, že celkové šmykové napätie x musí smerovať tangenciálne k obrysu prierezu, ako je znázornené napríklad v bodoch A a IN obrys.
V dôsledku toho možno šmykové napätie x v bodoch obrysu aj v akomkoľvek bode prierezu rozložiť na ich zložky x.
Na určenie zložiek x tangenciálneho napätia v nosníkoch nepravouhlého prierezu (obr. 7.36, Obr. b) Predpokladajme, že prierez má zvislú os súmernosti a že zložka x celkového šmykového napätia x, ako v prípade pravouhlého prierezu, je rovnomerne rozložená po jeho šírke.
Pomocou pozdĺžneho rezu rovnobežného s rovinou Oxz a prechádzanie v diaľke pri z nej a dva priečne rezy heh + dx Poďme mentálne vyrezať zo spodnej časti lúča nekonečne malý prvok dĺžky dx(Obr. 7.36, V).
Predpokladajme, že ohybový moment M sa mení v rámci dĺžky dx uvažovaného prvku nosníka a šmykovej sily Q je konštantná. Potom v prierezoch x a x + dx nosníky budú vystavené tangenciálnym napätiam x rovnakej veľkosti a normálovým napätiam vznikajúcim z ohybových momentov M zmM z+ dM“, budú v tomto poradí rovnaké A A A + da. Pozdĺž vodorovného okraja vybraného prvku (na obr. 7.36, V je znázornená v axonometrii) podľa zákona o párovaní tangenciálnych napätí budú pôsobiť napätia x v „ = x.
hoo hou
Výsledky R A R+dR normálne napätia o a o + d aplikované na konce prvku, berúc do úvahy vzorec (7.14), sú rovnaké
Kde 
statický moment oblasti vypnutia F(na obr. 7.36, b tieňované) vzhľadom na neutrálnu os Oz y, je pomocná premenná, ktorá sa mení v rámci pri
Výsledok tangenciálnych napätí t aplikovaných
xy
k vodorovnému okraju prvku, berúc do úvahy zavedený predpoklad o rovnomernom rozložení týchto napätí po šírke b(y) možno nájsť pomocou vzorca
Rovnovážna podmienka pre prvok?X=0 dáva
Nahradením hodnôt výsledných síl dostaneme 
Odtiaľ, berúc do úvahy (7.6), získame vzorec na určenie tangenciálnych napätí:
Tento vzorec v ruská literatúra volal vzorec D.I. Žuravský.
V súlade so vzorcom (7.32) závisí rozloženie tangenciálnych napätí t pozdĺž výšky prierezu od zmeny šírky prierezu. b(y) a statický moment časti rozhrania S OTC (y).
Pomocou vzorca (7.32) sú šmykové napätia najjednoduchšie určené pre pravouhlý nosník uvažovaný vyššie (obr. 7.37).
Statický moment medznej plochy prierezu F qtc je rovný
Dosadením 5° tf do (7.32) dostaneme predtým odvodený vzorec (7.29).
Vzorec (7.32) možno použiť na určenie šmykových napätí v nosníkoch so stupňovito konštantnou šírkou prierezu. V rámci každého úseku s konštantnou šírkou sa tangenciálne napätia menia pozdĺž výšky úseku podľa zákona štvorcovej paraboly. V miestach, kde sa šírka prierezu náhle mení, majú tangenciálne napätia tiež skoky alebo diskontinuity. Charakter diagramu t pre takýto úsek je znázornený na obr. 7.38.
Ryža. 7.37
Ryža. 7.38
Uvažujme rozloženie tangenciálnych napätí v I-reze (obr. 7.39, A) pri ohýbaní v rovine Ooh. I-sekcia môže byť reprezentovaná ako spojenie troch úzkych obdĺžnikov: dvoch horizontálnych políc a vertikálnej steny.
Pri výpočte m v stene vo vzorci (7.32) musíte vziať b(y) - d. V dôsledku toho dostaneme
Kde S° 1C vypočítané ako súčet statických momentov okolo osi Oz policová plocha Fn a časti steny F, tieňované na obr. 7,39, A:
Tangenciálne napätia t majú najväčšiu hodnotu na úrovni neutrálnej osi at y = 0:
kde je statický moment plochy polovice rezu vzhľadom na neutrálnu os:
Pre valcované I-nosníky a kanály je v sortimente uvedená hodnota statického momentu polovice profilu.
Ryža. 7.39
Na úrovni, kde stena susedí s prírubami, dochádza k šmykovému namáhaniu 1 ? rovný
Kde S" - statický moment plochy prierezu príruby vzhľadom na neutrálnu os:
Vertikálne tangenciálne napätia m v pásnici I-nosníka nemožno nájsť pomocou vzorca (7.32), pretože vzhľadom na to, že b :» t, predpoklad ich rovnomerného rozloženia po šírke police sa stáva neprijateľným. Na hornom a spodnom okraji príruby by tieto napätia mali byť nulové. Preto t in
Wow
police sú veľmi malé a nemajú praktický význam. Oveľa väčší záujem sú vodorovné tangenciálne napätia v pásnici m, na určenie ktorých uvažujeme o rovnováhe nekonečne malého prvku izolovaného od spodnej pásnice (obr. 7.39 , b).
Podľa zákona o párovaní tangenciálnych napätí na pozdĺžnej ploche tohto prvku, rovnobežne s rovinou och, je privedené napätie x xz veľkosťou sa rovná napätiu t pôsobiacemu v priereze. Vzhľadom na malú hrúbku príruby I-nosníka možno predpokladať, že tieto napätia sú rovnomerne rozložené po hrúbke príruby. Ak to vezmeme do úvahy, z rovnovážnej rovnice prvku budeme mať 5^=0
Odtiaľto nájdeme
Nahradením tohto vzorca výrazom pre a x z (7.14) a berúc do úvahy, že získame 
Zvažujem to
Kde S° TC - statický moment odrezanej plochy police (na obr. 7. 39, A dvakrát zatienené) vzhľadom na os Oz, konečne to dostaneme 
V súlade s Obr. 7.39 , A 
Kde z- premenná založená na osi OU.
Ak to vezmeme do úvahy, vzorec (7.34) môže byť reprezentovaný vo forme
To ukazuje, že horizontálne šmykové napätia sa menia lineárne pozdĺž osi Oz a mať najväčšiu hodnotu pri z = d/2:
Na obr. Obrázok 7.40 ukazuje diagramy tangenciálnych napätí m a m^, ako aj smery týchto napätí v pásnici a stene I-nosníka, keď na úsek nosníka pôsobí kladná šmyková sila. Q. Tangenciálne napätia, obrazne povedané, tvoria kontinuálny tok v sekcii I-lúča, nasmerovaný v každom bode rovnobežne s obrysom sekcie.
Prejdime k definícii normálnych napätí a y v pozdĺžnych rezoch nosníka. Uvažujme rez nosníkom s rovnomerne rozloženým zaťažením pozdĺž horného okraja (obr. 7.41). Zoberme si, že prierez lúča je pravouhlý.
Používame ho na určenie druhá z rovníc diferenciálnej rovnováhy (7.26). Dosadenie vzorca (7.32) pre tangenciálne napätia do tejto rovnice t uh, berúc do úvahy (7.6) získame
Po vykonaní integrácie nad premennou y, nájdeme
Tu f(x) -ľubovoľná funkcia, ktorá je definovaná pomocou okrajovej podmienky. Podľa podmienok problému je nosník zaťažený rovnomerne rozloženým zaťažením q pozdĺž horného okraja a spodný okraj je bez zaťaženia. Potom sa do formulára zapíšu zodpovedajúce okrajové podmienky
Pomocou druhej z týchto podmienok získame
Berúc toto do úvahy, vzorec pre stres a y bude mať nasledujúcu formu:
Z tohto výrazu je zrejmé, že napätia sa menia pozdĺž výšky prierezu podľa zákona kubickej paraboly. V tomto prípade sú splnené obe okrajové podmienky (7.35). Najvyššia hodnota napätia berie na hornú plochu lúča, keď y=-h/2:
Povaha diagramu a y znázornené na obr. 7.41.
Na odhad hodnôt najvyšších napätí o. a, a m a vzťahy medzi nimi, uvažujme napríklad ohyb konzolového nosníka obdĺžnikového prierezu s rozmermi bxh, pri pôsobení rovnomerne rozloženého zaťaženia pôsobiaceho na horný okraj nosníka (obr. 7.42). Najvyššia absolútna hodnota napätí sa vyskytuje v tesnení. V súlade so vzorcami (7.22), (7.30) a (7.37) sú tieto napätia rovnaké
Ako obvykle pri trámoch l/h» 1, potom zo získaných výrazov vyplýva, že napätia c x v absolútnej hodnote prekročiť napätie t a najmä a vy Tak napríklad kedy 1/I == 10 dostaneme a x/t xy = 20', o x/c y = 300.
Najväčším praktickým záujmom pri výpočte nosníkov na ohyb je teda napätie a x, pôsobiace v prierezoch lúča. Napätia s y, charakterizujúce vzájomný tlak pozdĺžnych vrstiev nosníka sú zanedbateľné v porovnaní s o v.
Výsledky získané v tomto príklade naznačujú, že hypotézy uvedené v § 7.5 sú úplne opodstatnené.
Veľkosti hlavných napätí a uhly sklonu hlavných oblastí v nosníkoch pri priečnom ohybe možno určiť pomocou vzorcov (4.27) a (4.28) pre stav dvojosového napätia:
Ako už bolo uvedené, pri priečnom ohybe pôsobia v priereze nosníka normálové napätia a tangenciálne napätia x y = x. Avšak, normálne napätie s y v porovnaní s Oh sú výrazne malé a zvyčajne sa akceptujú rovná nule. Budeme teda vychádzať z toho, že pri priečnom ohybe vznikajú v nosníku napätia
V dôsledku toho existuje špeciálny prípad dvojosového stavu napätia (obr. 7.43):
Potom majú formu vzorce (7.38) a (7.39).
Vzhľadom na to Mz> 0 a Qy> 0 uvažujme tri charakteristické body v priereze nosníka (obr. 7.44): v hornom, stlačenom vlákne (bod L), v neutrálnej vrstve (bod IN) a v spodnom, napnutom vlákne (bod C).
Na mieste L podľa diagramov o y a t na obr. 7.30 a 7.34 hod
v tomto prípade Gj = 0, potom sa prvý zo vzorcov (7.42) zmení na neistotu a druhý dáva a 2 = 0.
Podobne v bode C prvý zo vzorcov (7.42)
dáva 0Cj = 0.
Na mieste IN máme: 
. V tomto prípade zo vzorcov (7.41)
dostaneme 
Vzorce (7.42) dávajú
Pri priečnom ohybe teda nastáva v bodoch neutrálnej vrstvy stav čistého šmykového napätia a v horných a dolných vláknach nastáva jednoosový stav napätia. Ak sú známe smery hlavných napätí v rôznych bodoch, potom je možné konštruovať trajektórie hlavných napätí, teda priamky, v ktorých sa dotyčnica zhoduje so smerom hlavného napätia v tomto bode.
Na obr. 7,45 pre nosník zapustený na jednom konci a zaťažený silou R, Plné čiary znázorňujú trajektórie hlavných ťahových napätí o a bodkované čiary znázorňujú trajektórie hlavných tlakových napätí o 2. Trajektórie hlavných napätí a o 2 sú navzájom kolmé krivky pretínajúce os lúča pod uhlom 45°.
Z trajektórií o možno usúdiť o možné miesto a smer trhlín v nosníkoch z krehkých materiálov. Pri vystužovaní železobetónových nosníkov treba výstuž umiestniť v ťahových zónach a pokiaľ možno v smere hlavných napätí. Tento problém sa rieši pomocou trajektórií hlavného napätia.
V prípade prierezov s prudko sa meniacou šírkou (napríklad I-nosník) môžu vzniknúť veľké hlavné napätia. Pozrime sa na číselný príklad.
Príklad 7.8. Pre lúč znázornený na obr. 7.21 a s prierezom 130a určíme hlavné napätia.
Pomocou tabuľky sortimentu nájdeme moment odporu W== 518 cm 3, moment zotrvačnosti / = 7780 cm 4 a statický moment polovice rezu S^2 = 292 cm 3. Hlavné rozmery prierezu sú znázornené na obr. 7,46 v centimetroch.
Určme statický moment police vzhľadom na neutrálnu os: 
Nájdeme body, v ktorých je potrebné určiť hlavné napätia v nasledujúcom poradí: najprv si všimneme tie úseky, v ktorých sú ohybový moment a priečna sila súčasne veľké, a pre tieto úseky zostrojíme diagramy napätí. Potom pre každý z týchto úsekov pomocou diagramov normálových a tangenciálnych napätí označíme tie body, v ktorých budú tieto napätia súčasne veľké. Pre takto zistené body určíme hlavné napätia.
Diagramy Q A M z sú znázornené na obr. 7.21. Úsek je nebezpečný IN, kde šmyková sila a ohybový moment majú hodnoty Q y --70 kN; Mg = -100 kNm.
Zostrojme diagramy normálových a tangenciálnych napätí pre nebezpečný úsek. Normálne napätia v horných vláknach sú rovnaké 
Na úrovni, kde police susedia so stenou (y= -13,93 cm)
Šmykové napätia na úrovni neutrálnej osi
Tangenciálne napätia v stene na úrovni rozhrania s pásnicou
Pomocou zistených hodnôt a a m boli zostrojené diagramy normálových a tangenciálnych napätí (pozri obr. 7.46). Z týchto diagramov je zrejmé, že v stene v mieste spojenia s pásnicami nosníka majú napätia a a m súčasne veľké hodnoty. V týchto miestach určujeme hlavné napätia. Pre hornú časť sekcie máme
V uvažovanom príklade teda hlavné napätia na nebezpečných miestach neprekračujú normálne napätia vo vonkajších vláknach.
ZÁKLADY TEÓRIE KONŠTRUKCIÍ OHYBNÝCH NOSNÍKOV
Pojem ohýbanie. Neutrálna čiara
Ohnúť nazývaný typ deformácie, pri ktorej je os lúča ohnutá. Ďalej budeme uvažovať o deformácii bytu rovný zákrut, v ktorom silová rovina prechádza jednou z hlavných centrálnych osí rezu (obrázok 1.1).
Okrem priameho ohýbania môže byť šikmý ohyb, v ktorom sa silová rovina zhoduje len s jednou stredovou osou, t.j. prechádza pod určitým uhlom k hlavným centrálnym osám (obrázok 1.2).
V závislosti od faktorov vnútornej sily (IFF) vyskytujúcich sa v nosníku sa rozlišuje čistý a priečny ohyb (obrázok 1.3).
Čistý ohyb nazývaný ohyb, pri ktorom v reze nosníka pôsobí iba ohybový moment, a priečne hovory-
Ide o ohyb, pri ktorom pôsobí ohybový moment aj šmyková sila.
Vo všeobecnosti sa pri ohýbaní časť vrstiev (vlákien) nosníka predlžuje a druhá časť skracuje, t.j. v týchto vláknach dochádza k ťahovej alebo tlakovej deformácii, resp. V tomto prípade existuje takáto vrstva tzv neutrálny, ktorého dĺžka sa nemení, hoci je vrstva zakrivená. V priereze lúča je táto vrstva charakterizovaná neutrálna čiara(Obrázok 1.4).
Ako ukazujú výpočty, neutrálna čiara prechádza hlavnou stredovou osou sekcie umiestnenou kolmo na čiaru sily.
Neutrálna čiara sa niekedy nazýva nulová čiara, pretože v jej bodoch nedochádza k normálovým napätiam a pozdĺžnym deformáciám, t.j. σ = 0 a ε = 0.
Teória ohýbania vychádza z nasledujúcich predpokladov:
1 Hypotéza rovinných rezov je pravdivá.
2 Po celej výške časti nosníka nemajú vlákna žiadnu váhu, t.j. nevyvíjajte na seba tlak. Použije sa zjednodušený diagram stavu napätia (obrázok 1.5).
 |
3 Pozdĺž šírky časti nosníka sú napätia konštantné (obrázok 1.6).
Pri čistom ohybe vznikajú iba normálové napätia, na výpočet ktorých sa používa nasledujúci vzťah:
kde σ y – normálové napätia v bode prierezu lúča vo vzdialenosti y od neutrálnej čiary, mPa;
M ohyb – ohybový moment v danom úseku, Nm;
ja x – osový moment zotrvačnosti prierezu vzhľadom na os x, m 4 ;
y – ordináta skúmaného bodu, m (obrázok 1.7).
Analýzou závislosti (1.1) môžeme konštatovať, že normálové napätie sa mení podľa lineárneho zákona, pričom rastie od stredu prierezu k jeho okrajom. Okrem toho môžu byť maximálne napätia vznikajúce v najvzdialenejších vláknach
určiť podľa vzorca
kde je osový moment odporu sekcie, m3.
Závislosti (1.1) a (1.2) je možné graficky znázorniť vo forme nasledujúceho diagramu napätia (obrázok 1.8).
Pri navrhovaní trámových konštrukcií je vhodné použiť profily, ktoré majú racionálny tvar z hľadiska výsledného diagramu namáhania. Predpokladá sa, že profil (alebo sekcia), v ktorom je väčšina materiálu umiestnená vo vonkajších vláknach, je racionálny. (napríklad I-nosník, kanál, dutý obdĺžnik, dvojitý roh).
V prípade čistého ohybu sa výpočet pevnosti na základe normálových napätí s vykoná podľa nasledujúcej podmienky:
Podmienka (1.3) je hlavnou podmienkou pevnosti v ohybe. Pomocou tejto podmienky môžete vykonávať nasledujúce typy výpočtov:
– skúška sa vykoná podľa podmienky (1.3);
– projektovanie sa vykonáva podľa podmienok
– výpočet maximálnej nosnosti
Pri výpočte pevnosti nosníkov vyrobených z rôzne materiály, je potrebné vziať do úvahy ich rozdielne schopnosti odolávať ťahovému a tlakovému namáhaniu. V tomto prípade by ste mali dodržiavať nasledujúce odporúčania:
1 Ak je nosník vyrobený z plastový materiál, rovnako odolné voči ťahu a stlačeniu, t.j. [σ р ] = [σ c ], potom je vhodné použiť úseky, ktoré sú symetrické vzhľadom na neutrálnu čiaru. V tomto prípade sa skontroluje pevnosť krajných bodov časti lúča,
kde σ max = |σ min | (Obrázok 1.9).
2 Ak je materiál nosníka krehký, schopné lepšie odolávať namáhaniu v tlaku ako namáhaniu v ťahu, t.j. [σ r]< [σ c ], то целесообразно выбирать сечения несимметричные относительно нейтральной линии. Их необходимо располагать так, чтобы в растянутых волокнах напряжения были меньше по абсолютному значению, чем в сжатых волокнах, т.е. σ max < |σ min | (рисунок 1.10).
Uvažujme napätia vznikajúce pri priečnom ohybe. V tomto prípade je porušená predtým prijatá hypotéza o rovinných rezoch, t.j. pri priečnom ohybe nie sú časti nosníka pri ohýbaní ploché, čo spôsobuje pozdĺžny posun vlákien nosníka (obrázok 1.11).
Uvedený posun pozdĺžnych vlákien nosníka je spôsobený tangenciálnymi napätiami, ktoré vznikajú v priečnom aj pozdĺžnom reze nosníka (na základe zákona o párovaní tangenciálnych napätí).
Počas priečneho ohybu je možné určiť normálové napätia v bodoch nosníka pomocou dobre známeho vzorca pre čistý ohyb
Tangenciálne napätia v ľubovoľnom bode v reze lúča (obrázok 1.12) sa nachádzajú pomocou vzorca D.I. (1855)
kde τ y – tangenciálne napätia v bode, ktorý sa nachádza vo vzdialenosti y od osi Xúseky (od neutrálnej čiary), mPa;
Q y – priečna sila pôsobiaca v danom úseku (podľa znamienka Q určí sa znamienko tangenciálnych napätí τ), N;
– statický moment okolo osi X tá časť úseku, ktorá je odrezaná o danú úroveň a najbližšie krajné vlákno úseku, m 3, sa nachádza podľa známeho vzťahu
;
ja x – osový moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na os X(neutrálna vrstva), m 4;
b(y) – šírka prierezu na úrovni posudzovaného bodu (berúc do úvahy existujúce dutiny), m.
Tangenciálne napätia určené vzorcom (1.7) sú významné len pre krátke nosníky s veľkou výškou prierezu h>>l, inak možno tieto napätia pri praktických výpočtoch zanedbať. Analýza závislosti (1.7) ukazuje, že pri priečnom ohybe sa vyskytnú maximálne šmykové napätia v bodoch nachádzajúcich sa na úrovni neutrálnej vrstvy časti nosníka (obrázok 1.13).
 |
Hlavné napätia pri ohýbaní. Úplné testovanie pevnosti nosníkov v ohybe
Vo všeobecnom prípade je počas ohýbania ktorýkoľvek bod lúča v zjednodušenom stave rovinného napätia (obrázok 1.14), pozdĺž ktorého okrajov pôsobí normálové aj tangenciálne napätie.
Pri riešení inverznej úlohy pre takýto napätý stav môžete zistiť polohu hlavnej oblasti a o a veľkosť hlavných napätí σ 1, σ 3 podľa nasledujúcich závislostí
Analyzujme stav napätia nebezpečných bodov nosníka. Za týmto účelom zvážte návrhovú schému jednoduchého nosníka s diagramami priečnej sily Q a ohybového momentu M (obrázok 1.15). Na základe výšky rezu tohto nosníka zostrojíme diagramy normálových, tangenciálnych a hlavných napätí s prihliadnutím na závislosti (1.8)-(1.10).
Vo všeobecnosti sa úplná kontrola pevnosti nosníka v ohybe vykonáva podľa nasledujúceho tri typy nebezpečných bodov .
Nebezpečné body Typ I: po dĺžke nosníkov sú umiestnené v úsekoch, kde je maximálna absolútna hodnota ohybového momentu ( oddiel I-I), a pozdĺž výšky nosníka - v krajných vláknach sekcie, kde vznikajú maximálne normálové napätia (body 1 a 5). V týchto bodoch existuje lineárny stav napätia. Podmienka pevnosti pre body typu I má nasledujúci tvar ( základná podmienka pevnosti)
Nebezpečné miesta typu II sú umiestnené pozdĺž dĺžky lúča v úsekoch s maximálnou priečnou silou (sekcia II-II vľavo a vpravo) a pozdĺž výšky lúča - na úrovni neutrálnej čiary (bod 3 vľavo a vpravo), kde je maximálna pôsobí šmykové napätie. V týchto bodoch existuje špeciálny prípad rovinný stav napätia – čistý šmyk. Podmienka pevnosti má nasledujúci tvar:
Nebezpečné miesta typu III sú umiestnené v úsekoch nosníka, kde dochádza k nepriaznivej kombinácii veľkého ohybového momentu a šmykovej sily (rez III-III vľavo a vpravo) a pozdĺž výšky nosníka - medzi vonkajšími vláknami a neutrálnou čiarou, kde sú súčasne veľké normálové a šmykové napätia (body 2 a 4 vľavo, vpravo). V týchto bodoch vzniká zjednodušený rovinný stav napätia. Podmienka pevnosti pre body typu III sa píše podľa teórie pevnosti (napríklad pre plastový materiál: podľa teórie III alebo IV).
Ak pri vykonávaní výpočtov nie je splnená pevnosť podľa jednej z podmienok, je potrebné zväčšiť rozmery časti nosníka alebo zvýšiť číslo profilu podľa tabuliek sortimentu.
Uvedená analýza namáhaného stavu nosníkov pri ohybe nám umožňuje racionálne navrhovať prvky nosníkových konštrukcií s prihliadnutím na charakteristiky ich zaťaženia. Takže napríklad pre železobetónové konštrukcie je vhodné použiť oceľovú výstuž a umiestniť ju pozdĺž línií, ktoré sa zhodujú s trajektóriou hlavných ťahových napätí.
Deformácia ohybom
Všeobecné pojmy
V teórii ohybu je výpočet pevnosti nosníkov doplnený o výpočet tuhosti. V tomto prípade sa posúdi elastická poddajnosť nosníka a určia sa jeho rozmery, pri ktorých by výsledné deformácie neprekročili prípustné limity. Potom možno stav tuhosti znázorniť takto:
Kde f max – maximálna vypočítaná deformácia (lineárna alebo uhlová);
[f] – prípustná deformácia.
Uvažujme o hlavných parametroch deformovaného stavu zaťaženého nosníka (obrázok 2.1).
Elastická línia(u.l.) – zakrivená os nosníka pod vplyvom zaťaženia.
Vychýlenie (y)– lineárny posun ťažiska úseku, meraný kolmo na pôvodnú os nosníka, m.
Horizontálne posunutie (u) lúče, zvyčajne nekonečne malá hodnota rovná 0.
Uhol otočenia (θ)– uhlové posunutie rezu voči počiatočnej polohe (niekedy môže byť definované ako uhol medzi dotyčnicou k pružnej čiare a počiatočnou osou), stupne, rad.
Pri ohýbaní lúča sa pre lineárne a uhlové posuny (y a θ) používajú nasledujúce pravidlá znamienka (obrázok 2.2):
Vychýlenie sa považuje za kladné, ak sa bod pohybuje smerom nahor, t.j. v smere osi y;
Uhol natočenia θ sa považuje za kladný, keď sa úsek otáča proti smeru hodinových ručičiek (to platí pre pravotočivý súradnicový systém a naopak pre ľavotočivý).
Medzi výchylkou a uhlom natočenia existuje diferenciálny vzťah, ktorý možno získať uvažovaním nekonečne malých súradníc určitej rovinnej krivky (obrázok 2.3).
(2.2)
Na základe (2.3) sa uhol natočenia v tomto reze rovná derivácii vychýlenia pozdĺž osy rezu.
Na nájdenie lineárnych alebo uhlových deformácií v reálnych lúčoch je teda potrebné poznať rovnicu elastickej priamky (ELE), ktorá je všeobecný pohľad môže byť znázornená ako funkcia úsečky úsečky rezu
Uvažujme metódy na nájdenie ohybových deformácií na základe zostavenia a riešenia rovnice elastickej čiary nosníka.
Pri priečnom ohybe vzniká v priereze okrem ohybového momentu aj priečna sila, ktorá je výsledkom elementárnych síl pôsobiacich v rovine rezu. Tie. Okrem normálových napätí vznikajú aj šmykové napätia.
Tangenciálne napätia ohýbajú prierezy a hypotéza plochých prierezov vo všeobecnosti nie je splnená. Ak je však dĺžka v porovnaní s výškou nosníka veľká, potom zakrivenie priečnych rezov a vzájomné stlačenie vlákien, ku ktorému dochádza pri priečnom ohybe, nemajú významný vplyv na veľkosť normálových napätí. , a normálové napätia počas priečneho ohybu budú určené rovnakými vzorcami ako pre čistý ohyb.
Uveďme hrubý odhad tangenciálnych napätí pri ohýbaní.
Dovoliť je dĺžka lúča, a
Charakteristická veľkosť prierezu.
Ak prierez nie je tenkostenný, potom sa jeho plocha líši od hodnoty o číselný faktor rádu jednoty. Potom je priemerné šmykové napätie v sekcii rádovo
Odhadnime poradie normálových napätí.
Najväčší moment je rádu a moment odporu je rádu (napríklad pre obdĺžnikový prierez 
). Normálne napätie má teda nasledujúce poradie: , z čoho je zrejmé, že ak je dĺžka tyče veľká v porovnaní s charakteristickou veľkosťou prierezu , potom sa pri výpočtoch pevnosti zvyčajne neberú do úvahy šmykové napätia. Výnimkou sú však tieto prípady:
1) Tenkostenné tyče
2) V prípade konštrukcií vyrobených z materiálov s nízkou odolnosťou proti šmyku medzi vrstvami, napríklad drevo alebo vystužené plasty, ktoré sa v súčasnosti stávajú rozšírenými, kedy môžu byť šmykové napätia nebezpečnejšie ako bežné.
3) Na výpočet spojov (zvary pásu, nity) v kovových nosníkoch s kompozitným prierezom.
S ohľadom na to uvádzame vzorec na určenie tangenciálnych napätí pri ohýbaní, ktorý získal náš krajan D.I. Zhuravsky v polovici minulého storočia. , kde sú tangenciálne napätia vo vrstve umiestnené vo vzdialenosti od neutrálnej osi.
Ako už bolo uvedené, v prierezoch nosníka pri priečnom ohybe vznikajú nielen normálové, ale aj tangenciálne napätia, ktoré spôsobujú šmykové deformácie. Vďaka zákonu párovania vzniknú rovnaké tangenciálne napätia aj v pozdĺžnych rezoch rovnobežných s neutrálnou vrstvou. Prítomnosť tangenciálnych napätí v pozdĺžnych rezoch je potvrdená výskytom pozdĺžnych trhlín v drevených trámoch pri priečnom ohybe.
Pristúpme k odvodeniu vzorca na výpočet tangenciálnych napätí pri priečnom ohybe nosníkov pravouhlého prierezu. Tento vzorec odvodil v roku 1855 D.I. Žuravský. Potreba takéhoto vzorca bola spôsobená skutočnosťou, že v minulom storočí boli drevené konštrukcie široko používané pri stavbe mostov a drevené trámy majú zvyčajne obdĺžnikový prierez a nefungujú dobre pri strihaní pozdĺž vlákna.
Zvážte lúč obdĺžnikového prierezu bxh (obr. 6.19). Nechajte v priereze 1 vzniká ohybový moment Mk, a v sekcii 2 oddelené od prvého v nekonečne tesnej vzdialenosti d z - ohybový moment M a + dM“. Na diaľku pri od neutrálnej osi nakreslíme pozdĺžny rez ac a zvážte rovnováhu elementárneho rovnobežnostena atps , ktorý má rozmery
Výsledok normálových vnútorných síl pôsobiacich na tvár ráno , označovať N u a pôsobí na hrane sp - N 2; premenné normálové napätia v týchto plochách označujeme ako cTi, respektíve 02 V priereze nosníka vyberieme nekonečne úzky pás cL4 umiestnený v premennej vzdialenosti pri od neutrálnej osi. Potom
Predpokladajme, že šmykové napätia v priereze pravouhlého nosníka sú rovnobežné so šmykovou silou Q a sekcie sú rozložené rovnomerne po celej šírke. Za predpokladu, že tangenciálne napätia m sú tiež rovnomerne rozložené v pozdĺžnom reze, určíme tangenciálnu silu d F, pôsobiace na hrane ac: d F-xbdz.
Vytvorme rovnovážnu rovnicu pre rovnobežnosten atps
:IZ = 0; Nx
+ dF - N 2
= 0, odkiaľ dF = N2 - N x,
alebo 
Ryža. 6.19
Výraz J ydA dochádza k statickému momentu tienenia
obsadené námestie A rezy vzhľadom na neutrálnu os; označme to tým S. Potom
kde 
Keďže podľa Žuravského vety,
Táto rovnosť sa nazýva Zhuravského vzorec. 
Zhuravského vzorec znie takto: tangenciálne napätia v priereze nosníka sa rovnajú súčinu priečnej sily Q a statického momentu S vzhľadom na neutrálnu os časti prierezu, ležiace nad príslušnou vláknitou vrstvou, delené momentom zotrvačnosti I celého úseku vzhľadom na neutrálnu os a šírkou b uvažovanej vláknitej vrstvy.
Odvodený vzorec udáva hodnotu tangenciálnych napätí v pozdĺžnych rezoch, ale podľa zákona o párovaní budú v bodoch prierezu ležiacich na priesečníku pozdĺžnej a priečnej roviny pôsobiť tangenciálne napätia rovnakej veľkosti.
Určme zákon rozloženia tangenciálnych napätí pre nosník pravouhlého prierezu (obr. 6.20, A). Pre vláknitú vrstvu reklama:
pri pri= ±I/ 2 t = 0;
pri pri= 0 t = t max = 2Q/(2bh)= 3Q/2A= 3x prostredie /2.
V hornej a dolnej vrstve vlákien sú teda tangenciálne napätia nulové a vo vláknach neutrálnej vrstvy dosahujú maximálnu hodnotu. Zákony rozloženia tangenciálnych napätí po šírke a výške pravouhlého prierezu sú znázornené na obr. 6,20, A.
S určitou aproximáciou možno použiť Zhuravského vzorec na výpočet šmykových napätí v nosníkoch s prierezmi iného tvaru. Uvažujme konzolový nosník žľabového profilu, ktorého prierez je znázornený na obr. 6,20, b, ohnutý silou U 7 na konci.
Plochý 1-1 odrežte časť police s plochou A. Keďže ohyb lúča je priečny, potom v rovine 1-1 budú pôsobiť pozdĺžne tangenciálne sily a napätia x z(analogicky pozri obr. 6.19). Podľa zákona párovania vzniknú v priereze police tangenciálne napätia x x rovnakú hodnotu a možno ju vypočítať pomocou Zhuravského vzorca
Kde Q- šmyková sila v časti nosníka; S x - statický moment oblasti vypnutia A vzhľadom na os x (neutrálna os), Sx = AhJ2 ; / - moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na neutrálnu os; t- hrúbka police.
Ryža. 6.20
Ak je hrúbka príruby konštantná, potom šmykové napätia x x zmena podľa lineárneho zákona; Potom
Výsledný R x tangenciálne napätia v hornej pásnici sa rovná
Rovnaká sila pôsobí na spodnú policu R, ale nasmerovaný opačným smerom. Dve sily RI vytvoriť pár s okamihom M k = Rhx. Preto v reze spolu s vertikálnou šmykovou silou Q = RI vzniká aj krútiaci moment Mk, ktorý krúti lúč. R 2 - výslednica tangenciálnych napätí v stene nosníka.
Aby sa zabránilo torznej deformácii, vonkajšia sila F by sa mali v určitom okamihu uplatniť IN na diaľku A od stredu steny a splniť podmienku Fa = M k. Odtiaľ a = MK/F. Taká pointa IN volal stred ohybu. Ak má časť nosníka dve osi symetrie, potom sa stred ohybu zhoduje s ťažiskom časti.
Bez odvodenia uvádzame vzorec na určenie maximálnych tangenciálnych napätí pri okrúhle nosníky:
Šmykové napätia v nosníkoch zodpovedajú šmykovej deformácii, v dôsledku čoho ploché prierezy pri priečnom ohybe nezostávajú ploché, ako pri čistom ohýbaní, ale stávajú sa zakrivenými (obr. 6.21).
Ryža. 6.21
Väčšina nosníkov je navrhnutá len s použitím normálneho napätia; ale mali by sa skontrolovať aj tri typy nosníkov na šmykové napätie, a to:
- 1) drevené trámy, keďže drevo sa neštiepi dobre;
- 2) úzke nosníky (napríklad I-nosníky), pretože maximálne šmykové napätia sú nepriamo úmerné šírke neutrálnej vrstvy;
- 3) krátke nosníky, pretože pri relatívne malých ohybových momentoch a normálových napätiach môžu takéto nosníky zaznamenať značné priečne sily a tangenciálne napätia.
Maximálne šmykové napätie v I-reze je určené Zhuravského vzorcom. Sortimentné tabuľky zobrazujú hodnoty statického momentu plochy polovičného prierezu pre I-nosníky a kanály.
Príklad 6.7
Konzolový nosník, pevne upnutý na jednom konci v základni, pozostáva z dvoch drevené trámy štvorcový úsek, na druhom konci spojený svorníkom (obr. 6.22). Na voľný koniec lúča pôsobí sila R= 15 kN. Dĺžka nosníka / = 4 m Určte priemer tyče svorníka, ak je prípustné šmykové napätie [t av ] = 120 MPa. Veľkosť prierezu nosníkov a = 20 cm.
Ryža. 6.22
Riešenie. Vo všetkých prierezoch nosníka vzniká okrem ohybového momentu aj priečna sila Q=R= 15 kN a zodpovedajúce tangenciálne šmykové napätia, vypočítané pomocou Zhuravského vzorca, a maximálne napätia m max sa vyskytujú na neutrálnej osi, teda v mieste dotyku nosníkov. Podľa zákona o párovaní vznikajú rovnaké tangenciálne napätia aj v pozdĺžnych rezoch nosníka. Potom
Kde Q - šmyková sila: Q = 15-103 N; S - statický moment plochy polovičného prierezu lúča vzhľadom na neutrálnu os: S= a 2-a/2= a g /2 ; ja- moment zotrvačnosti celého úseku vzhľadom na neutrálnu os: ja - a(2a) 3 /2-2a 4 /3 ; b - šírka sekcie: b = A.
Dosadením týchto výrazov do Zhuravského vzorca dostaneme m max =3()/(4i 2) a dosadením číselné hodnoty a pri zohľadnení rozmerov dostaneme
Šmyková sila F= x tah a SD, kde je šmyková plocha A sd = al. Preto F== Htah Aja= 0,282 10 6 0,2 4 = 226 10 3 N. Sila F, pôsobiace v mieste spojenia lúčov, má tendenciu odrezať závoru. Nájdite požadovaný priemer d hriadeľ skrutky na základe jeho strihu: F/A Cf) A cf je oblasť rezu, rovná ploche prierez tyče svorníka: D. p = lx/ 2 /4
Nahradením tohto výrazu do výpočtového vzorca máme,
