Súčet čísel od 1 do 30 vrátane. Zábavná matematika: Gaussovo pravidlo. Úlohy na použitie Gaussovho pravidla

pomôž mi prosím!! vypočítať súčet prirodzené čísla od 1+2+3+4+...+97+98+99+100. a dostal najlepšiu odpoveď

Odpoveď od Alexandra Heinonena [guru]
Vynikajúci nemecký matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bol svojimi súčasníkmi nazývaný „kráľom matematiky“.
Už v ranom detstve prejavoval vynikajúce matematické schopnosti. Gauss už ako trojročný opravoval otcove účty.
Hovoria, že v Základná škola kde študoval Gauss (6-ročný), učiteľ, ktorý má triedu udržať na dlhú dobu samostatná práca, zadal žiakom úlohu - vypočítať súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100. Malý Gauss odpovedal na otázku takmer okamžite, čo všetkých a predovšetkým učiteľa neskutočne prekvapilo.
Skúsme verbálne vyriešiť problém nájsť súčet vyššie uvedených čísel. Najprv si zoberme súčet čísel od 1 do 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Gauss zistil, že 1 + 10 = 11 a 2 + 9 = 11 atď. Zistil, že pri sčítaní prirodzených čísel od 1 do 10 sa získa 5 takýchto párov a že 5 krát 11 sa rovná 55.
Gauss videl, že sčítanie čísel celej série by sa malo vykonávať v pároch, a zostavil algoritmus na rýchle sčítanie čísel od 1 do 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Je potrebné spočítať počet dvojíc čísel v postupnosti od 1 do 100. Dostaneme 50 dvojíc.
2. Pridajte prvé a posledné číslo celej postupnosti. V našom prípade sú to 1 a 100. Dostaneme 101.
3. Počet dvojíc čísel v poradí vynásobíme sumou získanou v odseku 2. Dostaneme 5050.
Súčet prirodzených čísel od 1 do 100 je teda 5050.
Jednoduchý vzorec: súčet čísel od 1 do n = n * (n+1) : 2. Nahraďte n posledným číslom a vypočítajte.
Skontrolovať to! Funguje to!

Odpoveď od Ianya Fertiková[nováčik]
5050

Odpoveď od Michail Medvedev[aktívny]
5050

Odpoveď od Pavel Solomennikov[nováčik]
5050

Odpoveď od Alevtina Bašková[nováčik]
5050

Odpoveď od Ђigr Tikhomirova[aktívny]
5050

Odpoveď od Mária Dubrovina[nováčik]
5050

Odpoveď od Aavil Badirov[nováčik]
5050

Odpoveď od Dmitrij[aktívny]
5050

Odpoveď od Jevgenij Sayapov[aktívny]
5050

Odpoveď od 2 odpovede[guru]

Cyklus „Zábavná matematika“ je venovaný deťom, ktoré majú radi matematiku a rodičom, ktorí venujú čas rozvoju svojich detí, „hádžu“ ich zaujímavými a zábavnými úlohami, hádankami.

Prvý článok tejto série je venovaný Gaussovmu pravidlu.

Trochu histórie

Slávny nemecký matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855) sa od svojich rovesníkov odlišoval už od raného detstva. Napriek tomu, že bol z chudobnej rodiny, pomerne skoro sa naučil čítať, písať a počítať. V jeho životopise je dokonca zmienka, že vo veku 4-5 rokov dokázal opraviť chybu v nesprávnych výpočtoch svojho otca, a to jednoduchým sledovaním.

Jeden z jeho prvých objavov urobil vo veku 6 rokov na hodine matematiky. Učiteľ potreboval zaujať deti na dlhší čas a navrhol nasledujúci problém:

Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel od 1 do 100.

Mladý Gauss sa s touto úlohou vyrovnal pomerne rýchlo, keď našiel zaujímavý vzor, ​​ktorý sa rozšíril a stále sa používa v mentálnom počítaní.

Skúsme tento problém vyriešiť ústne. Najprv si však zoberme čísla od 1 do 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Pozrite sa pozorne na túto sumu a skúste uhádnuť, čo bolo na Gaussovi nezvyčajné? Ak chcete odpovedať, musíte dobre rozumieť zloženiu čísel.

Gauss zoskupil čísla takto:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Malý Karl teda dostal 5 párov čísel, z ktorých každý jednotlivo dáva spolu 11. Potom, aby ste mohli vypočítať súčet prirodzených čísel od 1 do 10, potrebujete

Vráťme sa k pôvodnému problému. Gauss si všimol, že pred sčítaním je potrebné zoskupiť čísla do párov, a tak vynašiel algoritmus, vďaka ktorému môžete rýchlo sčítať čísla od 1 do 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Nájdite počet párov v rade prirodzených čísel. V tomto prípade je ich 50.

Spočítajte prvé a posledné číslo tejto série. V našom príklade sú to 1 a 100. Dostaneme 101.

Výsledný súčet prvého a posledného člena radu vynásobíme počtom párov tohto radu. Dostaneme 101 * 50 = 5050

Preto súčet prirodzených čísel od 1 do 100 je 5050.

Úlohy na použitie Gaussovho pravidla

A teraz je vaša pozornosť pozvaná na problémy, v ktorých sa v tej či onej miere používa Gaussovo pravidlo. Tieto hádanky sú celkom schopné pochopiť a vyriešiť štvrták.

Môžete dať dieťaťu príležitosť uvažovať pre seba, aby si toto pravidlo „vymyslelo“. A môžete ho rozobrať a uvidíte, ako ho dokáže využiť. Medzi nižšie uvedenými úlohami sú príklady, v ktorých musíte pochopiť, ako upraviť Gaussovo pravidlo, aby ste ho mohli aplikovať na danú sekvenciu.

V každom prípade, aby s tým dieťa mohlo vo svojich výpočtoch operovať, je potrebné pochopiť Gaussov algoritmus, teda schopnosť správne sa deliť do párov a počítať.

Dôležité! Ak sa vzorec zapamätá bez pochopenia, veľmi rýchlo sa naň zabudne.

Úloha 1

Nájdite súčet čísel:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Riešenie.

Najprv môžete dať dieťaťu príležitosť, aby si prvý príklad vyriešilo samo, a ponúknuť mu, že nájde spôsob, akým to bude jednoduché urobiť v mysli. Ďalej analyzujte tento príklad s dieťaťom a ukážte, ako to Gauss urobil. Pre prehľadnosť je najlepšie zapísať si sériu a spojiť dvojice čísel čiarami, ktorých súčet tvorí rovnaké číslo. Je dôležité, aby dieťa pochopilo, ako sa tvoria dvojice - zo zostávajúcich čísel berieme najmenšie a najväčšie za predpokladu, že počet čísel v rade je párny.

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
• 1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Úloha2

K dispozícii je 9 závaží s hmotnosťou 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Dajú sa tieto závažia rozdeliť na tri kôpky rovnakej hmotnosti?

Riešenie.

Pomocou Gaussovho pravidla nájdeme súčet všetkých váh:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Ak teda dokážeme závažia zoskupiť tak, že každá kôpka obsahuje závažia s celkovou hmotnosťou 15g, tak je problém vyriešený.

Jedna z možností:

• 9 g, 6 g
• 8 g, 7 g
• 5 g, 4 g, 3 g, 2 g, 1 g

Iné možné možnosti nájsť sa s dieťaťom.

Pozor na dieťa, že keď sa takéto problémy riešia, je lepšie vždy začať zoskupovať s väčšou váhou (číslom).

Úloha 3

Je možné rozdeliť ciferník na dve časti priamou čiarou tak, aby súčty čísel v každej časti boli rovnaké?

Riešenie.

Na začiatok použite Gaussovo pravidlo na sériu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: nájdite súčet a zistite, či je deliteľný 2:

Takže môžete zdieľať. Teraz sa pozrime ako.

Preto je potrebné na ciferníku nakresliť čiaru tak, aby do jednej polovice padali 3 páry a do druhej tri.

Odpoveď: Čiara bude prechádzať medzi číslami 3 a 4 a potom medzi číslami 9 a 10.

Úloha4

Je možné nakresliť dve rovné čiary na ciferníku tak, aby súčet čísel v každej časti bol rovnaký?

Riešenie.

Na začiatok použijeme Gaussovo pravidlo na sériu čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: nájdite súčet a zistite, či je deliteľný 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 je bezo zvyšku deliteľné 3, takže deliť môžete. Teraz sa pozrime ako.

Podľa Gaussovho pravidla dostaneme 6 párov čísel, z ktorých každé dáva dohromady 13:

1 a 12, 2 a 11, 3 a 10, 4 a 9, 5 a 8, 6 a 7.

Preto je potrebné na ciferníku nakresliť čiary tak, aby do každej časti padali 2 páry.

Odpoveď: prvý riadok bude prechádzať medzi číslami 2 a 3 a potom medzi číslami 10 a 11; druhý riadok je medzi číslami 4 a 5 a potom medzi 8 a 9.

Úloha 5

Letí kŕdeľ vtákov. Vpredu je jeden vták (vodca), nasledovaný dvoma, potom tromi, štyrmi atď. Koľko vtákov je v kŕdli, ak ich je v poslednom rade 20?

Riešenie.

Dostaneme, že musíme sčítať čísla od 1 do 20. A na výpočet takéhoto súčtu môžeme použiť Gaussovo pravidlo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Úloha 6

Ako usadiť 45 králikov do 9 klietok tak, aby všetky klietky mali iný počet králikov?

Riešenie.

Ak sa dieťa rozhodlo a pochopilo príklady z úlohy 1 s porozumením, potom sa okamžite zapamätá, že 45 je súčet čísel od 1 do 9. Preto králikov položíme takto:

• prvá bunka - 1,
• druhý - 2,
• tretina - 3,
• ôsmy - 8,
• deviaty - 9.

Ale ak na to dieťa nevie prísť hneď, tak mu skúste vnuknúť myšlienku, že takéto problémy sa dajú vyriešiť hrubou silou a treba začať s minimálnym počtom.

Úloha 7

Vypočítajte súčet pomocou Gaussovho triku:

• 31 + 32 + 33 + … + 40;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Riešenie.

• 31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
• 5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
• 91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
• 1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
• 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Úloha 8

K dispozícii je sada 12 závaží s hmotnosťou 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. Zo súpravy boli odstránené 4 závažia, ktorých celková hmotnosť sa rovná tretine celkovej hmotnosti celej súpravy závaží. Môžu sa zvyšné závažia umiestniť na dve misky, 4 kusy na každú misku, aby boli v rovnováhe?

Riešenie.

Na zistenie celkovej hmotnosti závaží použijeme Gaussovo pravidlo:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Vypočítame hmotnosť odstránených závaží:

Preto musia byť zvyšné závažia (s celkovou hmotnosťou 78-26 \u003d 52 g) umiestnené 26 g na každú misku váhy, aby boli v rovnováhe.

Nevieme, ktoré závažia boli odstránené, takže musíme zvážiť všetky možné možnosti.

Pomocou Gaussovho pravidla môžete závažia rozdeliť do 6 párov s rovnakou hmotnosťou (každý 13 g):

1 g a 12 g, 2 g a 11 g, 3 g a 10, 4 g a 9 g, 5 g a 8 g, 6 g a 7 g.

Potom najlepšia možnosť keď sa pri odstránení 4 závaží odoberú dva páry vyššie uvedených. V tomto prípade nám ostanú 4 páry: 2 páry na jednej stupnici a 2 páry na druhej.

Najhorší prípad je, keď 4 odstránené závažia zlomia 4 páry. Budeme mať 2 nerozbité páry s celkovou hmotnosťou 26g, to znamená, že ich položíme na jednu misku s váhou a zvyšné závažia môžeme položiť na inú misku a budú mať tiež 26g.

Veľa šťastia vo vývoji vašich detí.

Obsah:

Celé čísla sú čísla, ktoré neobsahujú zlomkovú ani desatinnú časť. Ak úloha vyžaduje pridanie určitého počtu celých čísel od 1 do danej hodnoty N, nie je potrebné ich pridávať ručne. Namiesto toho použite vzorec (N(N+1))/2, kde N je najväčší počet riadok.

Kroky

1. 1 Určte najväčšie celé číslo (N). Sčítaním celých čísel od 1 do akéhokoľvek daného čísla N musíte určiť hodnotu N (N nemôže byť desatinné číslo, zlomok ani záporné číslo).
   • Príklad. Nájdite súčet všetkých celých čísel od 1 do 100. V tomto prípade N=100, pretože toto je najväčšie (a konečné) číslo z číselného radu, ktorý ste dostali.
2. 2 N vynásobte (N + 1) a vydeľte 2. Keď určíte celočíselnú hodnotu N, dosaďte ju do vzorca (N(N+1))/2 a nájdete súčet všetkých celých čísel od 1 do N.
   • Príklad. Dosaďte N=100 a získajte (100(100+1))/2.
3. 3 Zapíšte si odpoveď. Konečná odpoveď je súčet všetkých celých čísel od 1 do daného N.
   • Príklad.
     • (100(100+1))/2 =
     • (100(101))/2 =
     • (10100)/2 = 5050
     • Súčet všetkých celých čísel od 1 do 100 je 5050.
4. 4 Odvodenie vzorca (N(N+1))/2. Zvážte znova vyššie uvedený príklad. Mentálne rozdeľte riadok 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 na dva riadky - prvý od 1 do 50 a druhý od 51 do 100. Ak pridáte prvé číslo (1) prvého riadok a posledné číslo (100 ) druhého radu, dostanete 101. 101 dostanete aj vtedy, ak sčítate 2 a 99, 3 a 98, 4 a 97 atď. Ak sa každé číslo prvej skupiny pridá k zodpovedajúcemu číslu druhej skupiny, potom nakoniec dostaneme 50 čísel, z ktorých každé sa rovná 101. Preto 50 * 101 \u003d 5050 je súčet čísel od 1 do 100. Všimnite si, že 50 \u003d 100/2 a 101 = 100 + 1. V skutočnosti to platí pre súčet všetkých kladných celých čísel: ich súčet možno rozdeliť do dvoch etáp s dvoma radmi čísel a zodpovedajúcimi číslami v každom riadku môžu byť pridané k sebe a výsledok sčítania bude rovnaký.
   • Môžeme povedať, že súčet celých čísel od 1 do N je (N/2)(N+1). Zjednodušenou verziou tohto vzorca je vzorec (N(N+1))/2.

Výpočet súčtu čísel medzi dvoma číslami pomocou súčtu od 1 do N

1. 1 Definujte možnosť súčtu (vrátane alebo nie).Často sa v úlohách namiesto hľadania súčtu čísel od 1 do daného čísla N žiada, aby našli súčet celých čísel od N 1 do N 2, kde N 2 > N 1 a obe čísla > 1. Výpočet napr. súčet je pomerne jednoduchý, ale predtým Pred pokračovaním vo výpočtoch musíte určiť, či sú dané čísla v N 1 a N 2 zahrnuté do konečného súčtu alebo nie.
2. 2 Ak chcete nájsť súčet celých čísel medzi dvoma číslami N 1 a N 2 , nájdite samostatne súčet až do N 1 , samostatne nájdite súčet až do N 2 a odčítajte ich od seba (odčítajte súčet až po menšie N od súčet do väčšieho N). V tomto prípade je dôležité vedieť, či sumarizovať inkluzívne alebo nie. Pri inkluzívnom sčítaní musíte od danej hodnoty N 1 odpočítať 1; v opačnom prípade musíte od danej hodnoty N 2 odpočítať 1.
   • Príklad. Nájdite súčet („vrátane“) celých čísel od N 1 = 75 do N 2 = 100. Inými slovami, musíme nájsť 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Na vyriešenie problému musíme nájsť súčet celých čísel od 1 do N 1 -1 a potom ho odčítajte od súčtu čísel od 1 do N 2 (pamätajte: pri sčítaní vrátane odpočítavame 1 od N 1):
     • (N2 (N2 + 1))/2 - ((N1-1)((N1-1) + 1))/2 =
     • (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
     • 5050 - (74(75))/2 =
     • 5050 - 5550/2 =
     • 5050 – 2775 = 2275. Súčet čísel od 75 do 100 („vrátane“) je 2275.
   • Teraz nájdime súčet čísel bez zahrnutia daných čísel (inými slovami, musíme nájsť 76 + 77 + ... + 99). V tomto prípade odčítame 1 od N 2:
     • ((N2-1)((N2-1) + 1))/2 - (N1 (N1 + 1))/2 =
     • (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
     • (99(100))/2 - (75(76))/2 =
     • 9900/2 - 5700/2 =
     • 4950 - 2850 \u003d 2100. Súčet čísel od 75 do 100 (bez týchto čísel) je 2100.
3. 3 Pochopte proces. Predstavte si súčet celých čísel od 1 do 100 ako 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 a súčet celých čísel od 1 do 75 ako 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Súčet celých čísel od 75 do 100 („vrátane“) je výpočet: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Súčet čísel od 1 do 75 a súčet čísel od 1 až 100 sa rovnajú číslu 75, ale súčet čísel od 1 do 100 za číslom 75 pokračuje: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Teda odpočítaním súčtu čísel od 1 až 75 zo súčtu čísel od 1 do 100 „izolujeme“ súčet celých čísel od 75 do 100.
   • Ak sčítavame inkluzívne, musíme na zahrnutie čísla 75 do konečného súčtu použiť súčet od 1 do 74, nie súčet od 1 do 75.
   • Podobne, ak sčítame bez zahrnutia týchto čísel, musíme použiť súčet od 1 do 99, nie súčet od 1 do 100, aby sme z konečného súčtu vylúčili číslo 100. Môžeme použiť súčet od 1 do 75, keďže odpočítaním od súčtu od 1 do 99 sa z výsledného súčtu vyradí číslo 75.

• Výsledkom výpočtu súčtu je vždy celé číslo, pretože buď N alebo N + 1 je párne číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné 2.
• Suma = Suma - Suma.
• Inými slovami: Súčet = n(n+1)/2

Varovania

• Hoci nie je veľmi ťažké rozšíriť túto metódu na záporné čísla, tento článok berie do úvahy iba všetky kladné celé čísla N, kde N je väčšie alebo rovné 1.