Maximálna rýchlosť bloku na pružinovom vzorci. Voľné vibrácie. Pružinové kyvadlo. Analogicky so zaťažením na pružine môžete získať
Voľné vibrácie sa uskutočňujú pod vplyvom vnútorných síl sústavy potom, čo sa sústava dostala z rovnovážnej polohy.
Za účelom dochádza k voľným vibráciám podľa harmonického zákona, je potrebné, aby sila smerujúca k návratu telesa do rovnovážnej polohy bola úmerná vychýleniu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v smere opačnom k posunutiu (pozri §2.1 ):
Sily akejkoľvek inej fyzikálnej povahy, ktoré spĺňajú túto podmienku, sa nazývajú kvázi elastické .
Teda náklad nejakej hmoty m, pripevnený k výstužnej pružine k 2.2.1, ktorých druhý koniec je pevne pripevnený (obr. 2.2.1), tvoria systém schopný vykonávať voľné harmonické kmity bez trenia. Zaťaženie pružiny sa nazýva lineárne harmonické oscilátor.
Kruhová frekvencia ω 0 voľných kmitov zaťaženia pružiny sa zistí z druhého Newtonovho zákona:
Keď je systém pružinového zaťaženia umiestnený horizontálne, gravitačná sila pôsobiaca na zaťaženie je kompenzovaná reakčnou silou podpory. Ak je bremeno zavesené na pružine, potom gravitačná sila smeruje pozdĺž línie pohybu bremena. V rovnovážnej polohe je pružina natiahnutá o určitú hodnotu X 0 sa rovná
Preto druhý Newtonov zákon pre zaťaženie pružiny možno napísať ako
Nazýva sa rovnica (*). rovnica voľných vibrácií . Treba poznamenať, že fyzikálne vlastnosti oscilačný systém určiť len vlastnú frekvenciu kmitov ω 0 alebo periódu T . Parametre oscilačného procesu, ako je amplitúda X m a počiatočná fáza φ 0 sú určené spôsobom, akým bol systém uvedený z rovnováhy v počiatočnom časovom okamihu.
Ak by sa napríklad zaťaženie posunulo z rovnovážnej polohy o vzdialenosť Δ l a potom v určitom časovom bode t= 0 uvoľnené bez počiatočnej rýchlosti, potom X m = A l, φ 0 = 0.
Ak zaťaženie, ktoré bolo v rovnovážnej polohe, dostalo počiatočnú rýchlosť ± υ 0 pomocou prudkého zatlačenia, potom
Teda amplitúda X určuje sa m voľných kmitov a jeho počiatočná fáza φ 0 počiatočné podmienky .
Existuje mnoho typov mechanických oscilačných systémov, ktoré využívajú elastické deformačné sily. Na obr. Obrázok 2.2.2 ukazuje uhlový analóg lineárneho harmonického oscilátora. Vodorovne umiestnený kotúč visí na elastickom vlákne pripevnenom k jeho ťažisku. Keď sa disk pootočí o uhol θ, nastane moment sily M kontrola elastickej torznej deformácie:
Kde ja = ja C je moment zotrvačnosti disku voči osi prechádzajúcej ťažiskom, ε je uhlové zrýchlenie.
Analogicky so zaťažením pružiny môžete získať:
Voľné vibrácie. Matematické kyvadlo
Matematické kyvadlo nazývané malé teleso zavesené na tenkej neroztiahnuteľnej niti, ktorého hmotnosť je v porovnaní s hmotnosťou telesa zanedbateľná. V rovnovážnej polohe, keď kyvadlo visí kolmo, je gravitačná sila vyvážená napínacou silou nite. Keď sa kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy o určitý uhol φ, objaví sa tangenciálna zložka gravitácie F τ = - mg sin φ (obr. 2.3.1). Znamienko mínus v tomto vzorci znamená, že tangenciálna zložka smeruje v smere opačnom k vychýleniu kyvadla.
Ak označíme podľa X lineárny posun kyvadla z rovnovážnej polohy pozdĺž oblúka kruhu s polomerom l, potom sa jeho uhlové posunutie bude rovnať φ = X / l. Druhý Newtonov zákon, napísaný pre projekcie vektorov zrýchlenia a sily na smer dotyčnice, dáva:
 |
Tento vzťah ukazuje, že matematické kyvadlo je komplex nelineárne systém, pretože sila, ktorá má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy, nie je úmerná posunutiu X, A
Iba v prípade malé výkyvy, kedy približne možno nahradiť matematickým kyvadlom je harmonický oscilátor, teda systém schopný vykonávať harmonické kmity. V praxi táto aproximácia platí pre uhly rádovo 15-20°; v tomto prípade sa hodnota nelíši o viac ako 2 %. Kmity kyvadla pri veľkých amplitúdach nie sú harmonické.
Pre malé kmity matematického kyvadla sa druhý Newtonov zákon píše ako
Tento vzorec vyjadruje vlastná frekvencia malých kmitov matematického kyvadla .
teda
|
Akékoľvek teleso namontované na vodorovnej osi otáčania je schopné voľne oscilovať v gravitačnom poli, a preto je tiež kyvadlom. Takéto kyvadlo sa zvyčajne nazýva fyzické (obr. 2.3.2). Od matematického sa líši len rozložením hmotností. V stabilnej rovnovážnej polohe ťažisko C fyzické kyvadlo je umiestnené pod osou otáčania O na vertikále prechádzajúcej osou. Keď sa kyvadlo vychýli o uhol φ, vznikne moment gravitácie, ktorý má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy:
a druhý Newtonov zákon pre fyzické kyvadlo má tvar (pozri § 1.23)
Tu ω 0 - vlastná frekvencia malých kmitov fyzikálneho kyvadla .
teda
Preto rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre fyzikálne kyvadlo môže byť napísaná vo forme
Nakoniec pre kruhovú frekvenciu ω 0 voľných kmitov fyzického kyvadla získame nasledujúci výraz:
|
Premeny energie počas voľných mechanických vibrácií
Počas voľných mechanických vibrácií sa kinetická a potenciálna energia periodicky mení. Pri maximálnej odchýlke telesa od jeho rovnovážnej polohy zaniká jeho rýchlosť, a teda aj kinetická energia. V tejto polohe dosiahne potenciálna energia kmitajúceho telesa svoju maximálnu hodnotu. Pre zaťaženie pružiny je potenciálna energia energiou pružnej deformácie pružiny. Pre matematické kyvadlo je to energia v gravitačnom poli Zeme.
Keď teleso v pohybe prechádza rovnovážnou polohou, jeho rýchlosť je maximálna. Teleso prestrelí rovnovážnu polohu podľa zákona zotrvačnosti. V tomto momente má maximálnu kinetickú a minimálnu potenciálnu energiu. K zvýšeniu kinetickej energie dochádza v dôsledku poklesu potenciálnej energie. Pri ďalšom pohybe sa potenciálna energia začína zvyšovať v dôsledku poklesu kinetickej energie atď.
Pri harmonických kmitoch teda dochádza k periodickej premene kinetickej energie na potenciálnu energiu a naopak.
Ak v oscilačnom systéme nedochádza k treniu, potom celková mechanická energia počas voľných oscilácií zostáva nezmenená.
Pre pružinové zaťaženie(pozri § 2.2):
V reálnych podmienkach je akýkoľvek oscilačný systém pod vplyvom trecích síl (odpor). V tomto prípade sa časť mechanickej energie premení na vnútornú energiu tepelného pohybu atómov a molekúl a vibrácie sa stanú blednutiu (obr. 2.4.2).
Rýchlosť tlmenia vibrácií závisí od veľkosti trecích síl. Časový interval τ, počas ktorého klesá amplitúda kmitov v e≈ 2,7-krát, volaný čas rozpadu .
Frekvencia voľných kmitov závisí od rýchlosti, akou kmity doznievajú. Keď sa trecie sily zvyšujú, prirodzená frekvencia klesá. Zmena vlastnej frekvencie sa však prejaví až pri dostatočne veľkých trecích silách, keď prirodzené vibrácie rýchlo ustupujú.
Dôležitou charakteristikou oscilačného systému vykonávajúceho voľné tlmené oscilácie je faktor kvality Q. Tento parameter je definovaný ako číslo N celkové oscilácie vykonané systémom počas doby tlmenia τ, vynásobené π:
Faktor kvality teda charakterizuje relatívnu stratu energie v oscilačnom systéme v dôsledku prítomnosti trenia počas časového intervalu, ktorý sa rovná jednej perióde oscilácie.
Nútené vibrácie. Rezonancia. Vlastné oscilácie
Oscilácie vyskytujúce sa pod vplyvom vonkajšej periodickej sily sa nazývajú nútený.
Vonkajšia sila vykonáva pozitívnu prácu a zabezpečuje tok energie do oscilačného systému. Nedovoľuje, aby vibrácie vymizli napriek pôsobeniu trecích síl.
Periodická vonkajšia sila sa môže časom meniť podľa rôznych zákonov. Zvlášť zaujímavý je prípad, keď vonkajšia sila, meniaca sa podľa harmonického zákona s frekvenciou ω, pôsobí na oscilačný systém schopný vykonávať vlastné oscilácie pri určitej frekvencii ω 0.
Ak sa voľné kmity vyskytujú pri frekvencii ω 0, ktorá je určená parametrami systému, potom sa stále vynútené kmity vyskytujú vždy pri frekvencia ω vonkajšia sila.
Potom, čo vonkajšia sila začne pôsobiť na oscilačný systém, nejaký čas Δ t na vytvorenie nútených kmitov. Čas ustálenia sa rádovo rovná času tlmenia τ voľných kmitov v oscilačnom systéme.
V počiatočnom momente sú v oscilačnom systéme vybudené oba procesy - vynútené kmity s frekvenciou ω a voľné kmity s vlastnou frekvenciou ω 0. Ale voľné vibrácie sú tlmené kvôli nevyhnutnej prítomnosti trecích síl. Preto po určitom čase v oscilačnom systéme zostanú len stacionárne kmity s frekvenciou ω vonkajšej hnacej sily.
Uvažujme ako príklad vynútené kmity telesa na pružine (obr. 2.5.1). Vonkajšia sila pôsobí na voľný koniec pružiny. Núti voľný (na obr. 2.5.1 vľavo) koniec pružiny pohybovať sa podľa zákona
Ak je ľavý koniec pružiny posunutý o vzdialenosť r, a ten pravý - do diaľky X z ich pôvodnej polohy, keď bola pružina nedeformovaná, potom predĺženie pružiny Δ l rovná sa:
V tejto rovnici je sila pôsobiaca na teleso znázornená ako dva pojmy. Prvý člen na pravej strane je elastická sila, ktorá má tendenciu vrátiť telo do rovnovážnej polohy ( X= 0). Druhým pojmom je vonkajší periodický účinok na telo. Tento termín je tzv donucovacia sila.
Rovnica vyjadrujúca druhý Newtonov zákon pre teleso na pružine za prítomnosti vonkajšieho periodického vplyvu môže dostať striktný matematický tvar, ak vezmeme do úvahy vzťah medzi zrýchlením telesa a jeho súradnicou: Potom sa zapíše do formulára
Rovnica (**) nezohľadňuje pôsobenie trecích síl. Na rozdiel od rovnice voľných vibrácií(*) (pozri § 2.2) rovnica nútenej oscilácie(**) obsahuje dve frekvencie - frekvenciu ω 0 voľných kmitov a frekvenciu ω hnacej sily.
Ustálené vynútené kmity záťaže na pružine sa vyskytujú pri frekvencii vonkajších vplyvov podľa zákona
|
Amplitúda vynútených kmitov X m a počiatočná fáza θ závisia od pomeru frekvencií ω 0 a ω a od amplitúdy r m vonkajšia sila.
Veľmi nízke frekvencie, keď ω<< ω 0 , движение тела массой m, pripevnený k pravému koncu pružiny, opakuje pohyb ľavého konca pružiny. V čom X(t) = r(t) a pružina zostáva prakticky nedeformovaná. Vonkajšia sila pôsobiaca na ľavý koniec pružiny nevykoná žiadnu prácu, pretože modul tejto sily pri ω<< ω 0 стремится к нулю.
Ak sa frekvencia ω vonkajšej sily priblíži k vlastnej frekvencii ω 0, dôjde k prudkému zvýšeniu amplitúdy vynútených kmitov. Tento jav sa nazýva rezonancia . Amplitúdová závislosť X m vynútených kmitov od frekvencie ω hnacej sily sa nazýva rezonančná charakteristika alebo rezonančná krivka(obr. 2.5.2).
Pri rezonancii amplitúda X m kmitov záťaže môže byť mnohonásobne väčšia ako amplitúda r m vibrácie voľného (ľavého) konca pružiny spôsobené vonkajším vplyvom. Pri absencii trenia by sa amplitúda vynútených kmitov počas rezonancie mala zvyšovať bez obmedzenia. V reálnych podmienkach je amplitúda ustálených vynútených kmitov určená podmienkou: práca vonkajšej sily počas periódy kmitania sa musí rovnať strate mechanickej energie počas rovnakého času v dôsledku trenia. Čím menšie trenie (t. j. vyšší faktor kvality Q oscilačný systém), tým väčšia je amplitúda vynútených kmitov pri rezonancii.
V oscilačných systémoch s nie príliš vysokým faktorom kvality (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Fenomén rezonancie môže spôsobiť deštrukciu mostov, budov a iných stavieb, ak sa vlastné frekvencie ich kmitov zhodujú s frekvenciou periodicky pôsobiacej sily, ktorá vzniká napríklad rotáciou nevyváženého motora.
Nútené vibrácie sú netlmené výkyvy. Nevyhnutné straty energie v dôsledku trenia sú kompenzované dodávkou energie z externého zdroja periodicky pôsobiacej sily. Existujú systémy, v ktorých netlmené kmity nevznikajú v dôsledku periodických vonkajších vplyvov, ale v dôsledku schopnosti takýchto systémov regulovať dodávku energie z konštantného zdroja. Takéto systémy sú tzv samooscilujúce, a proces netlmených oscilácií v takýchto systémoch je samooscilácie . V samokmitajúcom systéme možno rozlíšiť tri charakteristické prvky - oscilačný systém, zdroj energie a spätnoväzbové zariadenie medzi oscilačným systémom a zdrojom. Ako oscilačný systém možno použiť akýkoľvek mechanický systém schopný vykonávať vlastné tlmené kmity (napríklad kyvadlo nástenných hodín).
Zdrojom energie môže byť deformačná energia pružiny alebo potenciálna energia záťaže v gravitačnom poli. Spätnoväzbové zariadenie je mechanizmus, ktorým samooscilačný systém reguluje tok energie zo zdroja. Na obr. 2.5.3 je znázornený diagram interakcie rôznych prvkov samooscilačného systému.
Príkladom mechanického samooscilačného systému je hodinový mechanizmus s Kotva pokrok (obr. 2.5.4). Pobehové koleso so šikmými zubami je pevne pripevnené k ozubenému bubnu, cez ktorý sa prehadzuje reťaz so závažím. Na hornom konci je kyvadlo upevnené Kotva(kotva) s dvoma doskami z pevného materiálu, zahnutými do kruhového oblúka so stredom na osi kyvadla. V ručičkových hodinkách je závažie nahradené pružinou a kyvadlo je nahradené vyvažovačom - ručným kolieskom spojeným so špirálovou pružinou. Balancér vykonáva torzné vibrácie okolo svojej osi. Oscilačný systém v hodinách je kyvadlo alebo vyvažovač.
Zdrojom energie je zdvihnuté závažie alebo navinutá pružina. Zariadenie, ktorým je zabezpečená spätná väzba, je kotva, ktorá umožňuje bežiacemu kolesu otočiť jeden zub v jednom polcykle. Spätnú väzbu poskytuje interakcia kotvy s pojazdovým kolesom. Pri každom kývaní kyvadla zub pojazdového kolesa tlačí kotviacu vidlicu v smere pohybu kyvadla a prenáša na ňu určitú časť energie, ktorá kompenzuje energetické straty spôsobené trením. Potenciálna energia závažia (alebo skrútenej pružiny) sa tak postupne v jednotlivých častiach prenáša na kyvadlo.
Mechanické samooscilačné systémy sú rozšírené v živote okolo nás a v technike. K samokmitaniu dochádza v parných strojoch, spaľovacích motoroch, elektrických zvonoch, strunách sláčikových hudobných nástrojov, vzduchových stĺpcoch v píšťalách dychových nástrojov, hlasivkách pri rozprávaní alebo speve atď.
 |
| Obrázok 2.5.4. Hodinový mechanizmus s kyvadlom. |
Fyzikálny problém - 4424
2017-10-21
Ľahká pružina tuhosti $k$ je pripevnená k bloku hmoty $m$ ležiacemu na vodorovnej rovine, ktorého druhý koniec je upevnený tak, aby sa pružina nedeformovala a jej os bola vodorovná a prechádzala stredom pružiny. hmotnosť bloku sa premieša pozdĺž osi pružiny vo vzdialenosti $ \Delta L$ a uvoľní sa bez počiatočnej rýchlosti. Nájdite maximálnu rýchlosť bloku, ak jeho koeficient trenia na rovine je $\mu$.
Riešenie:
Budeme predpokladať, že pre daný posun bloku je deformácia pružiny úplne elastická. Potom na základe Hookovho zákona môžeme predpokladať, že na blok zo strany pružiny v momente uvoľnenia pôsobí sila $F_(pr) = k \Delta L$, smerujúca horizontálne pozdĺž osi pružiny. . Reakčnú silu roviny pôsobiacu na blok možno znázorniť vo forme dvoch zložiek: kolmej a rovnobežnej s touto rovinou. Veľkosť normálnej zložky reakčnej sily $N$ možno určiť na základe druhého Newtonovho zákona za predpokladu, že referenčná sústava stacionárna vzhľadom na túto rovinu je inerciálna a blok sa môže pohybovať iba po tejto rovine. Ak zanedbáme pôsobenie vzduchu na blok, dostaneme: $N - mg = 0$, kde $g$ je veľkosť tiažového zrýchlenia podľa Coulombovho zákona pri stacionárnom bloku maximálna hodnota rovnobežnej zložky reakčná sila - sila suchého statického trenia - je rovná $\mu N $ Preto pre $k \Delta L \leq \mu mg$ musí zostať blok po uvoľnení nehybný > \mu mg$, potom sa blok po uvoľnení začne pohybovať s určitým zrýchlením, pretože línia pôsobenia sily so stranou pružiny prechádza cez ťažisko bloku a trecia sila smeruje opačne jeho rýchlosť, blok sa bude pohybovať translačne V tomto prípade sa deformácia pružiny zníži, a preto by sa malo znížiť aj zrýchlenie bloku v momente, keď sa súčet síl pôsobiacich na blok zmení na nulu , rýchlosť bloku bude maximálna Ak ako obvykle predpokladáme, že veľkosť suchej klznej trecej sily nezávisí od rýchlosti a rovná sa maximálnej hodnote suchej statickej trecej sily. so stavom úlohy, hmotnosťou pružiny, veľkosťou deformácie pružín $\Delta x $ v pre nás zaujímavom momente sa dá jednoducho vypočítať zo vzťahu $k \Delta x = \mu mg$. Pripomíname si výrazy na výpočet kinetickej energie translačne sa pohybujúceho pevného telesa, potenciálnu energiu elasticky deformovanej pružiny a berieme do úvahy, že posunutie bloku sa týmto momentom bude rovnať $\Delta L - \Delta x$ , na základe zákona o zmene mechanickej energie môžeme konštatovať, že maximálna rýchlosť je $ v_(max)$ bloku musí spĺňať rovnicu:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ u mg (\Delta L - \Delta x)$.
Z vyššie uvedeného vyplýva, že maximálna rýchlosť bloku za predpokladov by mala byť rovná
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \right) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(cases)$.
Kandidát fyzikálnych a matematických vied V. POGOZHEV.
(Koniec. Začiatok pozri „Veda a život“ č.)
Zverejňujeme poslednú časť úloh na tému „Mechanika“. Ďalší článok bude venovaný osciláciám a vlnám.
Problém 4 (1994). Z kopca, ktorý plynulo prechádza do vodorovnej roviny, z výšky h malá hladká podložka hmoty skĺzne m. Hladká pohyblivá šmykľavka s hmotnosťou M a výška N> h. Rezy sklíčok vertikálnou rovinou prechádzajúcou ťažiskami puku a pohyblivým sklíčkom majú tvar znázornený na obrázku. Aká je maximálna výška X Môže puk vyliezť po nehybnej šmykľavke po tom, čo prvýkrát skĺzne z pohyblivej šmykľavky?
Riešenie.Šmykľavka, na ktorej sa puk pôvodne nachádzal, je podľa podmienok problému nehybná, a teda pevne spojená so Zemou. Ak, ako sa to zvyčajne robí pri riešení takýchto úloh, berieme do úvahy iba sily vzájomného pôsobenia puku a sklzu a silu gravitácie, možno vzniknutý problém vyriešiť pomocou zákonov zachovania mechanickej energie a hybnosti. Laboratórny referenčný systém, ako už bolo uvedené pri riešení predchádzajúcich problémov (pozri „Veda a život“ č.), možno považovať za inerciálny. Riešenie úlohy rozdelíme do troch etáp. V prvej fáze sa puk začne kĺzať zo stacionárneho posúvača, v druhej interaguje s pohyblivým posúvačom a nakoniec stúpa po stacionárnom posúvači. Z podmienok úlohy a predpokladaných predpokladov vyplýva, že puk a pohyblivá sklznica sa môžu pohybovať len translačne tak, aby ich ťažiská zostali vždy v rovnakej vertikálnej rovine.
Berúc do úvahy vyššie uvedené a skutočnosť, že puk je hladký, systém "Zem so stacionárnym sklzom - puk" počas prvej fázy by sa mal považovať za izolovaný a konzervatívny. Preto je podľa zákona zachovania mechanickej energie kinetická energia podložky W k = mv 1 2 /2, keď sa pohybuje po vodorovnej rovine po skĺznutí z kopca, by sa mala rovnať mgh, Kde g- veľkosť zrýchlenia voľného pádu.
Počas druhej fázy sa puk najprv začne zdvíhať pozdĺž pohyblivej šmýkačky a potom, keď dosiahne určitú výšku, skĺzne z nej. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že v dôsledku interakcie puku s pohyblivým posúvačom sa tento, ako už bolo spomenuté, na konci druhej etapy musí pohybovať vpred určitou rýchlosťou u, pohybujúce sa preč od nehybnej šmykľavky, teda v smere rýchlosti v 1 puk na konci prvej etapy. Preto, aj keby výška pohyblivej sklznice bola rovnaká h, puk by cez neho neprešiel. Vzhľadom na to, že reakčná sila z horizontálnej roviny na pohybujúcu sa sklznicu, ako aj gravitačné sily pôsobiace na toto sklznice a puk smerujú vertikálne na základe zákona zachovania hybnosti, možno tvrdiť, že projekcia v 2 rýchlosti puku na konci druhej etapy v smere rýchlosti v 1 puk na konci prvej etapy musí spĺňať rovnicu
mυ1 = mυ2 + M A (1)
Na druhej strane, podľa zákona zachovania mechanickej energie sú udávané rýchlosti spojené vzťahom
, (2)
keďže systém „Zem - pohybujúci sa posúvač - puk“ sa podľa predpokladov ukazuje ako izolovaný a konzervatívny a jeho potenciálna energia na začiatku a na konci druhej etapy je rovnaká. Vzhľadom na to, že po interakcii s pohybujúcim sa sklíčkom by sa rýchlosť puku vo všeobecnom prípade mala zmeniť ( v 1 - v 2 ≠ 0) a pomocou vzorca pre rozdiel druhých mocnín dvoch veličín zo vzťahov (1) a (2) dostaneme
υ 1 + υ 2 = A (3)
a potom z (3) a (1) určíme priemet rýchlosti puku na konci druhej etapy do smeru jeho rýchlosti pred začiatkom interakcie s pohybujúcim sa sklíčkom.
Zo vzťahu (4) je zrejmé, že v 1 ≠ v 2 at m≠ M a puk sa po zošmyknutí z pohyblivého posunie na nehybnú sklznicu len vtedy, keď m< M.
Opätovným aplikovaním zákona zachovania mechanickej energie pre systém „Zem so stacionárnym tobogánom – puk“ určíme maximálnu výšku zdvihu puku pozdĺž stacionárneho toboganu. X =v 2 2 /2g. Po jednoduchých algebraických transformáciách môže byť konečná odpoveď reprezentovaná ako
Problém 5(1996). Hladký blok hmoty ležiaci v horizontálnej rovine M pripevnený k zvislej stene ľahkou spevňujúcou pružinou k. S nedeformovanou pružinou sa koniec bloku dotýka tváre kocky, hmoty m ktorých je oveľa menej M. Os pružiny je vodorovná a leží vo vertikálnej rovine prechádzajúcej ťažiskami kocky a kvádra. Pohybom bloku sa pružina stlačí pozdĺž svojej osi o hodnotu ∆ X, po ktorom sa blok uvoľní bez počiatočnej rýchlosti. Ako ďaleko sa kocka pohne po ideálne elastickom náraze, ak je koeficient trenia kocky o rovinu dostatočne malý a rovný μ?
Riešenie. Budeme predpokladať, že sú splnené štandardné predpoklady: laboratórna referenčná sústava, vzhľadom na ktorú boli všetky telesá pôvodne v pokoji, je inerciálna a uvažované telesá sú ovplyvnené iba silami interakcie medzi nimi a gravitačnými silami. a navyše rovina kontaktu medzi blokom a kockou je kolmá na os pružiny. Potom, berúc do úvahy polohu osi pružiny a ťažiská kvádra a kocky špecifikované v podmienke, môžeme predpokladať, že tieto telesá sa môžu pohybovať iba translačným spôsobom.
Po uvoľnení sa blok začne pohybovať pôsobením stlačenej pružiny. V momente, keď sa blok dotkne kocky, podľa podmienok problému by sa pružina mala nedeformovať. Keďže blok je hladký a pohybuje sa po vodorovnej rovine, gravitačné sily a reakcia roviny naň nepôsobia. Podľa podmienok možno hmotnosť pružiny (a tým aj kinetickú energiu jej pohyblivých častí) zanedbať. V dôsledku toho by sa kinetická energia translačne sa pohybujúceho bloku v momente, keď sa dotkne kocky, mala rovnať potenciálnej energii pružiny v momente uvoľnenia bloku, a preto by rýchlosť bloku v tomto momente mala byť rovná .
Keď sa blok dotkne kocky, zrazia sa. V tomto prípade sa trecia sila pôsobiaca na kocku mení od nuly do m mg, Kde g- veľkosť zrýchlenia voľného pádu. Za predpokladu, ako obvykle, že čas kolízie medzi kvádrom a kockou je krátky, môžeme zanedbať impulz trecej sily pôsobiacej na kocku zo strany roviny v porovnaní s impulzom sily pôsobiacej na kocku zo strany roviny. strane bloku počas nárazu. Keďže posun bloku pri náraze je malý a v momente kontaktu s kockou sa pružina podľa podmienok problému nedeformuje, predpokladáme, že pružina pri náraze na blok nepôsobí. . Preto sa dá predpokladať, že systém „blok-kocka“ je počas kolízie uzavretý. Potom podľa zákona zachovania hybnosti musí byť vzťah splnený
Mv= M U + m ty, (1)
Kde U A u- respektíve rýchlosť kvádra a kocky bezprostredne po zrážke. Práca vykonaná gravitačnými silami a normálovou zložkou reakčných síl roviny pôsobiacej na kocku a kváder sa rovná nule (tieto sily sú kolmé na ich možné posuny), náraz kvádra na kocku je ideálne elastické a vzhľadom na krátke trvanie kolízie možno zanedbať posunutie kocky a kvádra (a tým aj pracovné trecie sily a deformáciu pružiny). Preto musí mechanická energia uvažovaného systému zostať nezmenená a platí rovnosť
M02/2 = MU2/2+ mi 2 /2 (2)
Po určení z (1) rýchlosti bloku U a jeho dosadením do (2) dostaneme 2 Mvu=(M+m)u 2 , a keďže podľa podmienok problému m << M, potom 2 vu=u 2. Odtiaľ, berúc do úvahy možný smer pohybu, vyplýva, že po zrážke kocka nadobudne rýchlosť, ktorej hodnota je
(3)
a rýchlosť bloku zostane nezmenená a rovnaká v. Preto by po náraze mala byť rýchlosť kocky dvojnásobkom rýchlosti bloku. Preto po náraze na kocku v horizontálnom smere až do jej zastavenia pôsobí iba posuvná trecia sila μ mg a preto sa kocka bude pohybovať rovnako pomaly so zrýchlením μ g. Po kolízii je blok ovplyvnený len v horizontálnom smere pružnou silou pružiny (blok je hladký). V dôsledku toho sa rýchlosť bloku mení podľa harmonického zákona a kým sa kocka pohybuje, je pred blokom. Z vyššie uvedeného vyplýva, že blok sa zo svojej rovnovážnej polohy môže posunúť o vzdialenosť ∆ X. Ak je koeficient trenia μ dostatočne malý, kváder už nebude kolidovať s kockou, a preto by mal byť požadovaný posun kocky
L = A 2/2 μg = 2 k(∆x)2/μ M g.
Porovnaním tejto vzdialenosti s ∆ X, zistíme, že daná odpoveď je pre μ ≤ 2 správna k ∆X/ M g
Problém 6(2000). Na okraj dosky ležiacej na hladkej vodorovnej rovine položte malú podložku, ktorej hmotnosť je k krát menšia ako hmotnosť dosky. Po kliknutí dostane puk rýchlosť smerujúcu do stredu hracej plochy. Ak je táto rýchlosť väčšia u, potom puk skĺzne z hracej plochy. Akou rýchlosťou sa bude doska pohybovať, ak je rýchlosť puku n krát viac u (n> 1)?
Riešenie. Pri riešení úlohy, ako obvykle, zanedbáme vplyv vzduchu a predpokladáme, že referenčná sústava spojená s tabuľkou je zotrvačná a puk sa po náraze pohybuje translačne. Všimnite si, že je to možné len vtedy, ak línia pôsobenia impulzu vonkajšej sily a ťažisko puku ležia v rovnakej vertikálnej rovine. Vzhľadom k tomu, podľa podmienok problému, puk pri počiatočnej rýchlosti menšej ako u, neskĺzne z dosky, je potrebné predpokladať, že pri posúvaní podložky po doske medzi nimi pôsobia trecie sily. Vzhľadom na to, že po kliknutí sa puk pohybuje pozdĺž dosky smerom k jej stredu a klzná trecia sila smeruje antiparalelne k rýchlosti, možno tvrdiť, že doska by sa mala začať pohybovať dopredu pozdĺž stola. Z toho, čo už bolo povedané, a zo zákona zachovania hybnosti (keďže doska je na hladkej horizontálnej rovine) vyplýva, že rýchlosť puku ihneď po kliknutí u w, jeho rýchlosť v w a rýchlosť dosky V d v momente skĺznutia musia podložky spĺňať vzťah
mu w = M V d + mv w, (1)
Kde m- hmotnosť puku a M- hmotnosť dosky, ak u w > u. Ak u w ≤ u, potom, podľa podmienok problému, puk nekĺzne z dosky, a preto by sa po dostatočne dlhom čase mali rýchlosti dosky a puku vyrovnať. Za predpokladu, ako obvykle, veľkosť suchej klznej trecej sily je nezávislá od rýchlosti, zanedbajúc veľkosť podložky a berúc do úvahy, že pohyb podložky vzhľadom na dosku v momente kĺzania nezávisí od jej počiatočnej polohy. rýchlosť, berúc do úvahy to, čo bolo povedané skôr a na základe zákona o zmene mechanickej energie, môžeme konštatovať, o čom u w ≥ u
mu w 2 / 2 = MV d 2 / 2 + mυ w 2 / 2 + A,(2)
Kde A- pracovať proti trecím silám a s u w > u V d< v w a pri u w = u V d = v w. Vzhľadom na to, že podľa podmienok M/m=k, z (1) a (2) pri u w = u po algebraických transformáciách dostaneme
a od hod u w = nu z (1) vyplýva, že
υ w 2 = n 2 A 2 + k 2 V d 2 - 2 nki V d (4)
požadovaná rýchlosť dosky musí spĺňať rovnicu
k(k + 1) V d 2 - 2 nk a V d + ki 2 /(k + 1) = 0. (5)
Je zrejmé, že kedy n→∞ čas interakcie puku s doskou by mal smerovať k nule, a teda k požadovanej rýchlosti dosky, keď sa zvyšuje n(po prekročení určitej kritickej hodnoty) by mala klesnúť (v limite na nulu). Preto z dvoch možných riešení rovnice (5) podmienky úlohy spĺňajú
