Nezávislá práca je exponenciálnou funkciou Mordkoviča. Vlastnosti exponenciálnej funkcie. Príklad diferencovania exponenciálnej funkcie

Samostatná práca na túto tému"Exponenciálna funkcia". Samostatná práca obsahuje 2 možnosti s tromi úlohami. Samostudijné texty sú rozdelené do troch úrovní náročnosti. Každá voliteľná úloha zodpovedá svojej vlastnej úrovni obtiažnosti. Vytvorená samostatná práca v textovom editore Microsoft Word. Pre pohodlie sú uvedené správne odpovede.

Zobraziť obsah dokumentu
„Nezávislá práca „Exponenciálna funkcia““

Bieloruskej republiky

Štátna vzdelávacia inštitúcia "Lyceum Novopolotsk"

Samostatná práca z matematiky, sekcia algebry

Téma: Exponenciálna funkcia

Spracoval: Konovalyonok

Olga Vladimirovna,

vyšší učiteľ matematiky

možnosť 1

1. Porovnajte:

1) a

2)
A

a) hodnota a;

b) doména definície;

Možnosť2

1. Porovnajte:

1) A

2)
A

2. Na obrázku je znázornený graf funkcie danej vzorcom
na sade D. Uveďte pre ňu:

a) hodnota a;

b) doména definície;

c) súbor (oblasť) hodnôt;

d) intervaly nárastu (zníženia);

e) súradnice priesečníkov grafu s osou Oy;

e) hodnota v bodoch x1= -1 a x2= 1;

g) najväčšie a najmenšie hodnoty.

3. Uveďte prirodzenú doménu definície výrazu (a1):

možnosť 1

1. 1) ; 2)

Poskytuje referenčné údaje o exponenciálnej funkcii - základné vlastnosti, grafy a vzorce. Zvažujú sa tieto témy: doména definície, množina hodnôt, monotónnosť, inverzná funkcia, derivácia, integrál, rozširovanie mocninných radov a reprezentácia komplexnými číslami.

Obsah

Vlastnosti exponenciálnej funkcie

Exponenciálna funkcia y = a x má na množine reálnych čísel ():
(1.1) definované a nepretržité, pre , pre všetkých ;
(1.2) za ≠ 1 má veľa významov;
(1.3) prísne sa zvyšuje o , striktne klesá o ,
je konštantná pri ;
(1.4) v ;
v ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Ďalšie užitočné vzorce.
.
Vzorec na prevod na exponenciálnu funkciu s iným základom exponentu:

Keď b = e, dostaneme vyjadrenie exponenciálnej funkcie prostredníctvom exponenciály:

Súkromné ​​hodnoty

, , , , .

y = a x pre rôzne hodnoty základu a.

Na obrázku sú znázornené grafy exponenciálnej funkcie
r (x) = sekera
pre štyri hodnoty stupňa základov: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Je vidieť, že pre > 1 exponenciálna funkcia rastie monotónne. Čím väčšia je základňa stupňa a, tým silnejší je rast. O 0 < a < 1 exponenciálna funkcia monotónne klesá. Čím menší je exponent a, tým silnejší je pokles.

Stúpajúci klesajúci

Exponenciálna funkcia pre je prísne monotónna, a preto nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

	y = a x, a > 1	y = sekera, 0 < a < 1
doména	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnôt	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotónne	monotónne zvyšuje	monotónne klesá
Nuly, y = 0	Nie	Nie
Priesečník bodov s ordinátnou osou x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzná funkcia

Inverzia exponenciálnej funkcie so základom a je logaritmus k základu a.

Ak potom
.
Ak potom
.

Diferenciácia exponenciálnej funkcie

Na diferenciáciu exponenciálnej funkcie je potrebné zredukovať jej základ na číslo e, použiť tabuľku derivácií a pravidlo na derivovanie komplexnej funkcie.

Na to musíte použiť vlastnosť logaritmov
a vzorec z tabuľky derivátov:
.

Nech je daná exponenciálna funkcia:
.
Prinášame to na základňu e:

Aplikujme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií. Za týmto účelom zaveďte premennú

Potom

Z tabuľky derivátov máme (nahradiť premennú x za z):
.
Pretože je konštanta, derivácia z vzhľadom na x sa rovná
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:
.

Derivácia exponenciálnej funkcie

.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov >> >

Príklad diferencovania exponenciálnej funkcie

Nájdite deriváciu funkcie
y = 3 5 x

Riešenie

Vyjadrime základ exponenciálnej funkcie cez číslo e.
3 = e ln 3
Potom
.
Zadajte premennú
.
Potom

Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Pretože 5ln 3 je konštanta, potom sa derivácia z vzhľadom na x rovná:
.
Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie máme:
.

Odpoveď

Integrálne

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
f (z) = az
kde z = x + iy; i 2 = - 1 .
Vyjadrime komplexnú konštantu a pomocou modulu r a argumentu φ:
a = r e i φ
Potom


.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. IN všeobecný pohľad
φ = φ 0 + 2 πn,
kde n je celé číslo. Preto funkcia f (z) tiež nie je jasné. Často sa uvažuje o jeho hlavnom význame
.

y=3x

Funkcia napájania

r

X

y=x2

y=x 4

r

X

y=x 3

y=x 5

Rozhodnite sa sami.

Cvičenie. Zostrojte grafy funkcií: y = ; y =; y = -1

forma kontroly: kontrola poznámok a ústne otázky.

Samostatná práca č.13

Téma 4.3. Logaritmická funkcia. Vlastnosti a rozvrh.

samostatná práca (2 hodiny)

· študovať vlastnosti logaritmickej funkcie.

· vykresľovanie logaritmických funkcií.

Logaritmická funkcia

Funkcia y=, (x) sa nazýva logaritmická funkcia.

Logaritmická funkcia y= je inverzná k exponenciálnej funkcii y = (x). Preto sú ich grafy symetrické vzhľadom na os súradnicových uhlov I a III (obr. 8).

r

X

y = log 2 x

y = log 0,4 x

y = log 4 x

r

X

a>1

a<1

Tu sú hlavné vlastnosti logaritmickej funkcie:

1) Definičná oblasť: D(y) =R + .

2) Funkčný rozsah: E(y) =R.

3) Logaritmus jednotky sa rovná nule, logaritmus základu sa rovná jednej: =0, =0, .

4) Funkcia y= rastie v intervale (obr. 8 a). V tomto prípade sú logaritmy čísel väčších ako jedna kladné a logaritmy menších ako jedna záporné.

5) Funkcia y=, (x, pokles v intervale. V tomto prípade sú logaritmy čísel menších ako jedna kladné a logaritmy väčších ako jedna záporné.

4. Nájdite definičný obor funkcie: y=

Riešenie. Keďže logaritmická funkcia je definovaná iba pre kladné čísla a druhá odmocnina pre nezáporné čísla, problém sa redukuje na riešenie systému nerovností:

Vypočítame ľavú stranu prvej nerovnosti a v druhej nahradíme 1 s:

Keďže základ logaritmu8 >1, potom podľa vlastností logaritmu prejdeme na systém: tie.

Posledný systém je ekvivalentný nerovnosti: ,

ktorý je riešený intervalovou metódou (a x≠3, a x ≠ 1). Pomocou obr. 9 dostaneme odpoveď: [-1;1) (3;5].

Kontrolné otázky.

1. Definujte logaritmickú funkciu.

2. Aký je definičný a definičný obor funkcie y = log a x?

3. V ktorom prípade je funkcia y = log a x rastúca a v ktorom klesajúca?

4. Pri akých hodnotách x nadobúda funkcia y = log a x kladné hodnoty a pri akých záporných hodnotách?

Osobný test. (Možnosti odpovede: áno nie)

1. Logaritmická funkcia y = log a x je definovaná pre ľubovoľné x

2. Funkcia y = log a x je definovaná pre a > 0, a =/= 1, x > 0.

3. Definičný obor logaritmickej funkcie je množina reálnych čísel.

4. Rozsah hodnôt logaritmickej funkcie je množina reálnych čísel.

5. Logaritmická funkcia – párna.

6. Logaritmická funkcia – nepárna.

7. Funkcia y = log a x – rastúca, keď a >1.

8. Funkcia y = log a x s kladnou bázou, ale menšou ako jedna, je rastúca.

9. Logaritmická funkcia má extrém v bode (1; 0).

10. Graf funkcie y = log a x pretína os OX.

11. Graf logaritmickej funkcie je v hornej polrovine.

12. Graf logaritmickej funkcie je symetrický vzhľadom na OX.

13. Graf logaritmickej funkcie pretína OX v bode (1; 0).

14. Graf logaritmickej funkcie je v 1. a 4. štvrtine.

15. Existuje logaritmus záporného čísla.

16. Existuje logaritmus zlomkového kladného čísla.

17. Graf logaritmickej funkcie prechádza bodom (0; 0).

Samostatná práca č.14

10. ročník" width="271" height="129 src="/>

Samostatná práca na tému „Riešenie rovníc a sústav rovníc (opakovanie).

Možnosť 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=" >.gif" width="99" height="51 src=">

Samostatná práca na tému „Riešenie nerovností“. Opakovanie.

Možnosť 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=" >.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Možnosť 1.

Funkcia je daná https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="171" height="51 src=">

a) Nájdite https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

Samostatná práca na tému „Funkcia“. Opakovanie.

Možnosť 3.

Funkcia je daná https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >.gif" width="156" height="51 src=">

a) Nájdite https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

b) Nakreslite graf tejto funkcie.

c) Označte pre túto funkciu D(y), E(y), intervaly nárastu a poklesu.

Samostatná práca na tému „Funkcia“. Opakovanie.

Možnosť 5.

Funkcia je daná https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >, DIV_ADBLOCK535">

Samostatná práca na tému „Funkcia“. Opakovanie.

Možnosť 6.

Funkcia je daná https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="131" height="24">.

2. Nájdite doménu definície funkcie https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Vyriešte súbor nerovností:

Dodatočná úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

VII - IX triedy"

Možnosť 2.

1. Vyriešte rovnicu .

2. Nájdite doménu definície funkcie https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Vyriešte systém nerovností:

Dodatočná úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Test na tému „Opakovanie učiva z algebry VII - IX triedy"

Možnosť 3.

1. Vyriešte rovnicu .

2. Nájdite doménu definície funkcie https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Vyriešte súbor nerovností: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Test na tému „Opakovanie učiva z algebry VII - IX triedy"

Možnosť 4.

1. Vyriešte rovnicu .

2. Nájdite doménu definície funkcie https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Vyriešte systém nerovností:

Dodatočná úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Možnosť 1.

1. Porovnajte čísla: a) a ; b) a ; c) a https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

Samostatná práca na tému „Exponenciálna funkcia“

Možnosť 2.

1. Porovnajte čísla: a) a ; b) a ; c) a https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

3. Zostrojte grafy funkcií: a); b); V).

Samostatná práca na tému „Exponenciálne rovnice“

Možnosť 1.

Riešte rovnice:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=" >.gif" width="161" height="24 src="> .

Samostatná práca na tému „Exponenciálne nerovnosti“

Možnosť 1.

Vyriešte nerovnosti:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=" >.gif" width="88" height="28 src=">.

Možnosť 1.

1. Zostavte graf funkcie.

2. Riešte rovnice: a), b).

3. Riešte nerovnice: a); b) .

4. Vyriešte sústavu rovníc:

Test na tému „Exponenciálna funkcia“

Možnosť 2.

1. Zostavte graf funkcie.

2. Riešte rovnice: a), b).

3. Vyriešte nerovnosti: a) ; b) .

4. Vyriešte sústavu rovníc:

Možnosť 1.

1. Vypočítajte: a); b); V); G).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Samostatná práca na tému „Koncept logaritmu“

Možnosť 2.

1. Vypočítajte: a); b); V); G).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Možnosť 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Samostatná práca na tému „Základné vlastnosti logaritmu“

Možnosť 2.

1. Zistite, či je známe, že .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Samostatná práca na tému „Logaritmická funkcia“

Možnosť 1.

Nájdite doménu definície každej funkcie:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=" >.gif" width="192" height="31 src=">.

Možnosť 1.

Graf funkcie:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=" >.

Samostatná práca na tému „Graf logaritmickej funkcie“

Možnosť 2.

Graf funkcie:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=" >.

Možnosť 1.

Samostatná práca na tému „Inverzná funkcia“

Možnosť 2.

a) Nájdite inverznú funkciu danej funkcie,

b) Uveďte doménu definície a rozsah hodnôt inverznej funkcie,

c) Zostrojte grafy tejto funkcie a jej inverznej funkcie v rovnakom súradnicovom systéme.

Samostatná práca na tému „Inverzná funkcia“

Možnosť 3.

a) Nájdite inverznú funkciu danej funkcie,

b) Uveďte doménu definície a rozsah hodnôt inverznej funkcie,

c) Zostrojte grafy tejto funkcie a jej inverznej funkcie v rovnakom súradnicovom systéme.

Samostatná práca na tému „Inverzná funkcia“

Možnosť 4.

a) Nájdite inverznú funkciu danej funkcie,

b) Uveďte doménu definície a rozsah hodnôt inverznej funkcie,

c) Zostrojte grafy tejto funkcie a jej inverznej funkcie v rovnakom súradnicovom systéme.

Možnosť 1.

1. Vypočítajte: a); b) ; V) ; G); d) ; e).

2. Nájdite X, Ak .

3..gif" width="93" height="27">.

Test na tému: „Logaritmus“.

Možnosť 2.

1. Vypočítajte: a); b) ; V) ; G); d) ; e).

2. Nájdite X, Ak .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Nájdite funkciu inverznú k funkcii , . Zadajte doménu definície a rozsah hodnôt inverznej funkcie.

Možnosť 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=" >.

Samostatná práca na tému „Logaritmické rovnice“

Možnosť 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=" >.

Možnosť 1.

1), 2), 3),

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Samostatná práca na tému „Logaritmické nerovnosti“

Možnosť 2.

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Test na tému „Logaritmické rovnice a nerovnice“

Možnosť 1.

1. Riešte rovnice: a); b); V) .

2. Vyriešte sústavu rovníc:

3. Vyriešte nerovnosti: a) ; b) .

4..gif" width="159" height="29">; b); c) .

2. Vyriešte sústavu rovníc:

3. Vyriešte nerovnosti: a) ; b) .

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; b).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

Možnosť 2.

1. Vyjadrite veľkosť uhlov 560 v radiáne; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Uveďte znamienko čísla: a); b).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Samostatná práca na tému „Základy trigonometrie“

Možnosť 3.

1. Vyjadrite veľkosť uhlov 720 v radiáne; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Uveďte znamienko čísla: a) ; b).

4..gif" width="29" height="19 src=">, ak je známe, že https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" výška ="41 src=">.gif" width="123" height="48">; b).

4..gif" width="36" height="19 src=">, ak je známe, že https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" výška ="24">.

2. Zjednodušte výraz: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Zjednodušte výraz: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Zjednodušte výraz: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Zjednodušte výraz: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Dokážte totožnosť: .

Možnosť 2.

1. Vypočítajte: .

2. Preukázať totožnosť:.

3. Premeniť na produkt:.

Samostatná práca na tému „Súčet a rozdiel goniometrických funkcií“

Možnosť 3.

1. Vypočítajte: .

2. Dokážte totožnosť: .

3. Premeniť na produkt: .

Samostatná práca na tému „Súčet a rozdiel goniometrických funkcií“

Možnosť 4.

1. Vypočítajte: .

2. Preukázať totožnosť:.

3. Premeniť na produkt: .

Možnosť 1.

1. Zjednodušte výraz: .

2. Vypočítajte .

3. Vypočítajte .

4. Vypočítajte.

5. Previesť na dielo https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height = "13">.

2. Nakreslite graf funkcie .

Test na tému „Trigonometrické transformácie“

Možnosť 2.

1. Zjednodušte výraz: .

2. Zjednodušte výraz: .

3. Vypočítajte .

4. Vypočítajte.

5. Premeniť na prácu .

Voliteľná úloha.

1..gif" width="43" height="17 src=">a najmenšia hodnota.

2. Nakreslite graf funkcie .

Test na tému „Trigonometrické transformácie“

Možnosť 3.

1. Vypočítajte.

2. Vypočítajte.

3. Vypočítajte .

4. Vypočítajte.

5. Premeniť na prácu .

Voliteľná úloha.

1..gif" width="43" height="17 src=">a najväčšia hodnota.

2. Nakreslite graf funkcie .

Test na tému „Trigonometrické transformácie“

Možnosť 4.

1. Vypočítajte.

2. Zjednodušte výraz: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Vypočítajte.

5. Premeniť na prácu: .

Voliteľná úloha.

1..gif" width="43" height="17 src=">a najmenšia hodnota.

2. Nakreslite graf funkcie .

Možnosť 1.

Riešte rovnice:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=" >.gif" width="284" height="48 src=">

Samostatná práca na tému „Rovnica cosx=a“

Možnosť 3.

Riešte rovnice: , periodický s hlavnou periódou 6. Navyše patriaci do intervalu

5. Zapíšte si všetky riešenia rovnice , patriace do intervalu.

6. Zapíšte si všetky riešenia nerovnice , patriace do intervalu.

lekcia č.2

Téma: Exponenciálna funkcia, jej vlastnosti a graf.

Cieľ: Skontrolujte kvalitu zvládnutia konceptu „exponenciálnej funkcie“; rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie, využívať jej vlastnosti a grafy, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zaznamenávania exponenciálnej funkcie; poskytnúť pracovné prostredie v triede.

Vybavenie: tabule, plagáty

Forma lekcie: triedna hodina

Typ lekcie: praktická lekcia

Typ lekcie: lekcia výučby zručností a schopností

Plán lekcie

1. Organizačný moment

2. Samostatná práca a overovanie domáca úloha

3. Riešenie problémov

4. Zhrnutie

5. Domáce úlohy

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment :

Ahoj. Otvorte si zošity, zapíšte si dnešný dátum a tému lekcie „Exponenciálna funkcia“. Dnes budeme pokračovať v štúdiu exponenciálnej funkcie, jej vlastností a grafu.

2. Samostatná práca a kontrola domácich úloh .

Cieľ: skontrolovať kvalitu zvládnutia konceptu „exponenciálna funkcia“ a skontrolovať vypracovanie teoretickej časti domácej úlohy

metóda: testovacia úloha, frontálny prieskum

Ako domácu úlohu ste dostali čísla z učebnice úloh a odsek z učebnice. Nebudeme teraz kontrolovať vaše prevedenie čísel z učebnice, ale zošity odovzdáte na konci hodiny. Teraz bude teória testovaná formou malého testu. Úloha je pre všetkých rovnaká: dostanete zoznam funkcií, musíte zistiť, ktoré z nich sú orientačné (podčiarknite ich). A vedľa exponenciálnej funkcie treba napísať, či sa zvyšuje alebo znižuje.

možnosť 1 Odpoveď B) D) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 2 Odpoveď D) - exponenciálny, klesajúci D) - exponenciálny, rastúci
Možnosť 3 Odpoveď A) - exponenciálny, rastúci B) - exponenciálny, klesajúci	Možnosť 4 Odpoveď A) - exponenciálny, klesajúci IN) - exponenciálny, rastúci

Teraz si spolu pripomeňme, ktorá funkcia sa nazýva exponenciálna?

Funkcia tvaru , kde a , sa nazýva exponenciálna funkcia.

Aký je rozsah tejto funkcie?

Všetky reálne čísla.

Aký je rozsah exponenciálnej funkcie?

Všetky kladné reálne čísla.

Znižuje sa, ak je základ mocniny väčší ako nula, ale menší ako jedna.

V akom prípade klesá exponenciálna funkcia vo svojej doméne definície?

Zvyšuje sa, ak je základ mocniny väčší ako jedna.

3. Riešenie problémov

Cieľ: rozvíjať zručnosti v rozpoznávaní exponenciálnej funkcie pomocou jej vlastností a grafov, naučiť študentov používať analytické a grafické formy zápisu exponenciálnej funkcie

Metóda: ukážka riešenia typických úloh učiteľom, ústna práca, práca pri tabuli, práca v zošite, rozhovor učiteľa so žiakmi.

Vlastnosti exponenciálnej funkcie možno využiť pri porovnávaní 2 a viacerých čísel. Napríklad: č. 000. Porovnajte hodnoty a ak a) ..gif" width="37" height="20 src=">, potom je to dosť komplikovaná úloha: museli by sme zobrať odmocninu 3 a 9 a porovnať ich. Vieme však, že sa zvyšuje, toto svojím spôsobom znamená, že ako argument rastie, hodnota funkcie rastie, to znamená, že stačí porovnať hodnoty argumentu a je zrejmé, že (možno demonštrovať na plagáte zobrazujúcom rastúcu exponenciálnu funkciu). A vždy pri riešení takýchto príkladov najskôr určíte základ exponenciálnej funkcie, porovnáte ju s 1, určíte monotónnosť a pristúpite k porovnávaniu argumentov. V prípade klesajúcej funkcie: keď argument rastie, hodnota funkcie klesá, preto pri prechode z nerovnosti argumentov na nerovnosť funkcií meníme znamienko nerovnosti. Ďalej riešime ústne: b)

-

IN)

-

G)

-

- č. 000. Porovnajte čísla: a) a

Preto sa funkcia zvyšuje

prečo?

Zvýšenie funkcie a

Preto funkcia klesá

Obe funkcie sa zvyšujú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základňou moci väčšou ako jedna.

Aký je za tým význam?

Vytvárame grafy:

Ktorá funkcia sa pri snahe zvyšuje rýchlejšie https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri snahe https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Ktorá z funkcií má na intervale väčšiu hodnotu v konkrétnom bode?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Najprv zistíme rozsah definície týchto funkcií. Zhodujú sa?

Áno, doménou týchto funkcií sú všetky reálne čísla.

Pomenujte rozsah každej z týchto funkcií.

Rozsahy týchto funkcií sa zhodujú: všetky kladné reálne čísla.

Určte typ monotónnosti každej funkcie.

Všetky tri funkcie klesajú v celej svojej doméne definície, pretože sú exponenciálne so základňou mocnin menšou ako jedna a väčšou ako nula.

Aký špeciálny bod existuje v grafe exponenciálnej funkcie?

Aký je za tým význam?

Nech je základ stupňa exponenciálnej funkcie akýkoľvek, ak exponent obsahuje 0, potom je hodnota tejto funkcie 1.

Vytvárame grafy:

Poďme analyzovať grafy. Koľko priesečníkov majú grafy funkcií?

Ktorá funkcia klesá rýchlejšie pri pokuse https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Ktorá funkcia sa pri snahe zvyšuje rýchlejšie https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Ktorá z funkcií má na intervale väčšiu hodnotu v konkrétnom bode?

Ktorá z funkcií má na intervale väčšiu hodnotu v konkrétnom bode?

Prečo majú exponenciálne funkcie s rôznymi základňami iba jeden priesečník?

Exponenciálne funkcie sú prísne monotónne v celej svojej doméne definície, takže sa môžu pretínať iba v jednom bode.

Ďalšia úloha sa zameria na využitie tejto vlastnosti. č. 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) . Pripomeňme, že striktne monotónna funkcia má svoje minimálne a maximálne hodnoty na koncoch daného segmentu. A ak sa funkcia zvyšuje, jej najväčšia hodnota bude na pravom konci segmentu a najmenšia na ľavom konci segmentu (ukážka na plagáte na príklade exponenciálnej funkcie). Ak je funkcia klesajúca, jej najväčšia hodnota bude na ľavom konci segmentu a najmenšia na pravom konci segmentu (demonštrácia na plagáte na príklade exponenciálnej funkcie). Funkcia sa zvyšuje, pretože preto najmenšia hodnota funkcie bude v bode https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Body b) , V) d) zošity vyriešte sami, skontrolujeme ich ústne.

Žiaci riešia úlohu do zošitov

Funkcia klesania

Funkcia klesania najväčšia hodnota funkcie na segmente najmenšia hodnota funkcie na segmente

Zvyšujúca sa funkcia najmenšia hodnota funkcie na segmente najväčšia hodnota funkcie na segmente

- č. 000. Nájdite najväčšiu a najmenšiu hodnotu danej funkcie na danom intervale a) . Táto úloha je takmer rovnaká ako predchádzajúca. Ale to, čo je tu dané, nie je segment, ale lúč. Vieme, že funkcia sa zvyšuje a nemá ani najväčšiu, ani najmenšiu hodnotu na celom číselnom rade https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20"> a má tendenciu k , t. j. na lúči má funkcia at tendenciu k 0, ale nemá svoju najmenšiu hodnotu, ale má najväčšiu hodnotu v bode . Body b) , V) , G) Zošity si vyriešte sami, skontrolujeme ich ústne.