Rentang nilai akar kuadrat yang dapat diterima. Akar kuadrat dari pangkat genap. Ekspresi radikalnya harus ________. ? 0. Mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif ______________________________. ? 0. ? 0. Saat mengambil akar kuadrat dari pangkat genap, jangan lupa ________________. Karena akarnya adalah aritmatika, maka nilainya harus _______, oleh karena itu, nilai akarnya harus ______.

Gambar 3 dari presentasi “Akar kuadrat suatu bilangan” untuk pelajaran aljabar dengan topik “Root”

Dimensi: 960 x 720 piksel, format: jpg. Untuk mengunduh gambar secara gratis pelajaran aljabar, klik kanan pada gambar dan klik “Simpan Gambar Sebagai…”. Untuk menampilkan gambar-gambar dalam pembelajaran, Anda juga dapat mendownload secara gratis presentasi “Akar kuadrat suatu bilangan.ppt” secara keseluruhan beserta semua gambarnya dalam arsip zip. Ukuran arsipnya adalah 254 KB.

Unduh presentasi

Akar

"Akar aritmatika tingkat alami" - Bandingkan. Pengulangan. Selesaikan persamaannya. Dot. Menghitung. Selesaikan persamaannya. Pekerjaan mandiri. Angka non-negatif. Akar aritmatika derajat alami. Akar aritmatika.

"Akar kuadrat suatu bilangan" - Tabel pangkat dasar. Akar pecahan. Akar kuadrat aritmatika. Menghitung akar kuadrat. Akar pangkat dua. Ingat. Perhitungan akar. Mengekstraksi akar kuadrat dengan memfaktorkan. Rentang nilai akar kuadrat yang dapat diterima. Sifat-sifat akar kuadrat. Mengekstraksi akar dengan derajat genap.

"Pelajaran akar kuadrat" - Pekerjaan mandiri. Tinjau kembali definisi akar kuadrat aritmatika. Nilai diri Anda: Halo teman-teman! Kita melihat bukti teorema tentang pengambilan akar kuadrat suatu produk. Ekspresi. 1. Apa nama ungkapannya. 5. Jadi, mari kita ulangi: 4. Kesimpulan: Kemudian Anda akan ditawari tugas untuk tes mandiri.

“Akar kuadrat aritmatika” - 1. Merumuskan definisi akar kuadrat aritmatika. Konsep baru. Mari kita putuskan bersama. Topik: Akar kuadrat. Bantuan tutorial. Yang mana yang tidak masuk akal? Temukan rumusnya. Meringkas. Larutan. Disebut apakah itu? Lihatlah contoh-contoh di buku teks dan berikan contoh Anda sendiri.

“Akar aritmatika” - Nilai akar tidak akan berubah jika indikator akar dan indikator ekspresi radikal dikalikan dengan angka yang sama. Definisi. Gimnasium Tallinn Lasnamae. Sifat-sifat akar aritmatika. Akar aritmatika adalah akar non-negatif dari suatu bilangan non-negatif. Akar derajat genap dianggap aritmatika (non-negatif).

"Properti Akar Kuadrat Aritmatika" - Kelipatan nilai x. Sederhanakan ekspresi tersebut. Misteri. Situasi masalah. Sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Survei teoritis. Survei lisan teoretis. Menguraikan pepatah. Hilangkan frasa yang tidak diperlukan. Temukan kesalahannya. Ubah ekspresinya.

Ada total 14 presentasi dalam topik tersebut

Menjaga privasi Anda penting bagi kami. Karena alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan cara kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap tinjau praktik privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Di bawah ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan cara kami menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan permohonan di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat Anda Surel dll.

Cara kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Dikumpulkan oleh kami informasi pribadi memungkinkan kami menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan komunikasi penting.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk keperluan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian guna meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi mengenai layanan kami.
• Jika Anda berpartisipasi dalam undian berhadiah, kontes, atau promosi serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk menyelenggarakan program tersebut.

Keterbukaan informasi kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika diperlukan - sesuai dengan hukum, prosedur peradilan, dalam proses hukum, dan/atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari otoritas pemerintah di wilayah Federasi Rusia - untuk mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menganggap bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga penerus yang berlaku.

Perlindungan informasi pribadi

Kami melakukan tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran tanpa izin.

Menghormati privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan standar privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan menegakkan praktik privasi secara ketat.

Bagaimana ?
Contoh solusi

Jika ada sesuatu yang hilang di suatu tempat, berarti ada sesuatu di suatu tempat

Kami terus mempelajari bagian “Fungsi dan Grafik”, dan stasiun berikutnya dalam perjalanan kami adalah. Diskusi aktif tentang konsep ini dimulai pada artikel tentang himpunan dan dilanjutkan pada pelajaran pertama tentang grafik fungsi, di mana saya melihat fungsi-fungsi dasar, dan, khususnya, domain definisinya. Oleh karena itu, saya menyarankan agar boneka memulai dengan dasar-dasar topik, karena saya tidak akan membahas beberapa poin dasar lagi.

Diasumsikan pembaca mengetahui domain definisi fungsi-fungsi berikut: fungsi linier, kuadrat, kubik, polinomial, eksponensial, sinus, kosinus. Mereka didefinisikan pada (himpunan semua bilangan real). Untuk garis singgung, arcsinus, biarlah, saya maafkan =) - grafik yang lebih jarang tidak langsung diingat.

Cakupan definisinya tampaknya merupakan hal yang sederhana, dan muncul pertanyaan logis: artikel tersebut akan membahas apa? Dalam pelajaran ini saya akan melihat masalah umum dalam mencari domain suatu fungsi. Apalagi kami akan mengulanginya pertidaksamaan dengan satu variabel, keterampilan solusi yang juga diperlukan dalam masalah matematika tingkat tinggi lainnya. Omong-omong, materinya adalah seluruh materi sekolah, sehingga bermanfaat tidak hanya bagi siswa, tetapi juga bagi siswa. Informasinya, tentu saja, tidak berpura-pura menjadi ensiklopedik, tetapi yang ada di sini bukanlah contoh-contoh “mati” yang dibuat-buat, melainkan kacang chestnut panggang, yang diambil dari kerja praktek nyata.

Mari kita mulai dengan menyelami topik ini secara singkat. Secara singkat tentang hal utama: kita berbicara tentang fungsi dari satu variabel. Domain definisinya adalah banyak arti dari "x", untuk itu ada arti dari "pemain". Mari kita lihat contoh hipotetis:

Domain definisi fungsi ini adalah gabungan interval:
(bagi yang lupa: - ikon unifikasi). Dengan kata lain, jika Anda mengambil nilai “x” apa pun dari interval , atau dari , atau dari , maka untuk setiap “x” tersebut akan ada nilai “y”.

Secara kasar, di mana domain definisinya berada, terdapat grafik fungsinya. Namun setengah interval dan titik “tse” tidak termasuk dalam area definisi dan tidak ada grafik disana.

Bagaimana cara mencari domain suatu fungsi? Banyak orang mengingat sajak anak-anak: "batu, kertas, gunting", dan dalam hal ini dapat diparafrasekan dengan aman: "akar, pecahan, dan logaritma". Jadi, jika Anda jalan hidup menemukan pecahan, akar atau logaritma, Anda harus segera sangat-sangat waspada! Tangen, kotangen, arcsinus, arccosine jauh lebih jarang terjadi, dan kita juga akan membicarakannya. Tapi pertama-tama, sketsa dari kehidupan semut:

Domain suatu fungsi yang mengandung pecahan

Misalkan kita diberikan suatu fungsi yang mengandung suatu pecahan. Seperti yang Anda ketahui, Anda tidak bisa membaginya dengan nol: , begitu juga Nilai “X” yang mengubah penyebut menjadi nol tidak termasuk dalam cakupan fungsi ini.

Saya tidak akan membahas fungsi paling sederhana seperti itu dll., karena setiap orang dengan sempurna melihat poin-poin yang tidak termasuk dalam domain definisinya. Mari kita lihat pecahan yang lebih bermakna:

Contoh 1

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: Tidak ada yang istimewa pada pembilangnya, namun penyebutnya harus bukan nol. Mari kita atur sama dengan nol dan coba temukan poin "buruk":

Persamaan yang dihasilkan memiliki dua akar: . Nilai data tidak termasuk dalam cakupan fungsinya. Memang benar, substitusikan atau ke dalam fungsi tersebut dan Anda akan melihat bahwa penyebutnya menjadi nol.

Menjawab: domain:

Entrinya berbunyi seperti ini: “domain definisinya adalah semua bilangan real kecuali himpunan yang terdiri dari nilai " Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa simbol garis miring terbalik dalam matematika menunjukkan pengurangan logis, dan tanda kurung kurawal menunjukkan himpunan. Jawabannya dapat ditulis secara ekuivalen sebagai gabungan dari tiga interval:

Siapa pun yang menyukainya.

Pada titik-titik fungsi dapat ditoleransi istirahat tanpa akhir, dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan adalah asimtot vertikal untuk grafik fungsi ini. Namun, ini adalah topik yang sedikit berbeda, dan selanjutnya saya tidak akan terlalu memusatkan perhatian pada hal ini.

Contoh 2

Temukan domain suatu fungsi

Tugas ini pada dasarnya bersifat lisan dan banyak dari Anda akan segera menemukan bidang definisinya. Jawabannya ada di akhir pelajaran.

Akankah pecahan selalu “buruk”? TIDAK. Misalnya, suatu fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan. Berapapun nilai “x” yang kita ambil, penyebutnya tidak akan menjadi nol, apalagi selalu positif: . Jadi, ruang lingkup fungsi ini adalah: .

Semua fungsi seperti didefinisikan dan kontinu pada .

Situasinya sedikit lebih rumit ketika penyebutnya ditempati oleh trinomial kuadrat:

Contoh 3

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: Mari kita coba mencari titik-titik yang penyebutnya menjadi nol. Untuk ini kami akan memutuskan persamaan kuadrat:

Diskriminannya ternyata negatif, artinya tidak ada akar real, dan fungsi kita terdefinisi pada seluruh sumbu bilangan.

Menjawab: domain:

Contoh 4

Temukan domain suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran. Saya menyarankan Anda untuk tidak malas dengan masalah sederhana, karena kesalahpahaman akan menumpuk dengan contoh-contoh selanjutnya.

Domain suatu fungsi dengan root

Fungsi akar kuadrat hanya ditentukan untuk nilai "x" kapan ekspresi radikal tidak negatif: . Jika akarnya terletak pada penyebut , maka kondisinya jelas diperketat: . Perhitungan serupa berlaku untuk semua akar derajat genap positif: , namun, akarnya sudah berada pada derajat ke-4 studi fungsi Saya tidak ingat.

Contoh 5

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: ekspresi radikal harus non-negatif:

Sebelum melanjutkan dengan solusinya, izinkan saya mengingatkan Anda tentang aturan dasar untuk mengatasi kesenjangan, yang diketahui dari sekolah.

Saya memberikan perhatian khusus! Sekarang kami sedang mempertimbangkan kesenjangan dengan satu variabel- yaitu, bagi kami hanya ada satu dimensi sepanjang sumbu. Tolong jangan bingung dengan pertidaksamaan dua variabel, di mana seluruh bidang koordinat terlibat secara geometris. Namun, ada juga kebetulan yang menyenangkan! Jadi, untuk pertidaksamaan, transformasi berikut ini ekuivalen:

1) Syarat-syaratnya dapat dialihkan dari satu bagian ke bagian lain dengan mengubah (ketentuan-ketentuannya) tanda-tanda.

2) Kedua ruas pertidaksamaan dapat dikalikan dengan bilangan positif.

3) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikalikan negatif nomor, maka Anda perlu mengubahnya tanda ketimpangan itu sendiri. Misalnya, jika ada “lebih”, maka akan menjadi “lebih sedikit”; jika “kurang dari atau sama”, maka akan menjadi “lebih besar atau sama”.

Pada pertidaksamaan, kita pindahkan “tiga” ke ruas kanan dengan perubahan tanda (aturan No. 1):

Mari kita kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan –1 (aturan No. 3):

Mari kita kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan (aturan No. 2):

Menjawab: domain:

Jawabannya juga dapat ditulis dalam frasa yang setara: “fungsi didefinisikan di .”
Secara geometris, luas definisi digambarkan dengan mengarsir interval-interval yang bersesuaian pada sumbu absis. Pada kasus ini:

Sekali lagi saya ingatkan Anda tentang makna geometris dari domain definisi - grafik fungsi hanya ada di daerah yang diarsir dan tidak ada di .

Dalam kebanyakan kasus, penentuan domain definisi secara analitis murni dapat dilakukan, tetapi jika fungsinya sangat rumit, Anda harus menggambar sumbu dan membuat catatan.

Contoh 6

Temukan domain suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Ketika ada binomial atau trinomial persegi di bawah akar kuadrat, situasinya menjadi sedikit lebih rumit, dan sekarang kita akan menganalisis secara rinci teknik penyelesaiannya:

Contoh 7

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: ekspresi radikal harus benar-benar positif, artinya, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan tersebut. Pada langkah pertama, kita mencoba memfaktorkan trinomial kuadrat:

Diskriminannya positif, kita cari akarnya:

Jadi parabolanya memotong sumbu absis di dua titik, artinya sebagian parabola terletak di bawah sumbu (pertidaksamaan), dan sebagian parabola terletak di atas sumbu (pertidaksamaan yang kita perlukan).

Karena koefisiennya adalah , maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas. Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa pertidaksamaan terpenuhi pada interval (cabang parabola naik hingga tak terhingga), dan titik puncak parabola terletak pada interval di bawah sumbu x, yang sesuai dengan pertidaksamaan:

! Catatan: Jika Anda belum sepenuhnya memahami penjelasannya, silakan gambarkan sumbu kedua dan seluruh parabola! Dianjurkan untuk kembali ke artikel dan manual Rumus panas untuk kursus matematika sekolah.

Harap dicatat bahwa poin-poin itu sendiri dihilangkan (tidak termasuk dalam solusi), karena ketidaksetaraan kita sangat ketat.

Menjawab: domain:

Secara umum, banyak kesenjangan (termasuk yang dibahas) diselesaikan dengan cara universal metode interval, diketahui lagi dari kurikulum sekolah. Namun dalam kasus binomial persegi dan trinomial, menurut pendapat saya, jauh lebih mudah dan cepat untuk menganalisis lokasi parabola relatif terhadap sumbu. Dan kami akan menganalisis metode utama - metode interval - secara rinci di artikel. Fungsi nol. Interval keteguhan.

Contoh 8

Temukan domain suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Contoh komentar secara rinci tentang logika penalaran + metode penyelesaian kedua dan transformasi penting lainnya dari pertidaksamaan, tanpa sepengetahuan siswa akan tertatih-tatih dengan satu kaki..., ...hmm... mungkin saya bersemangat tentang kaki, lebih mungkin pada satu jari kaki. Ibu jari.

Bisakah fungsi akar kuadrat didefinisikan pada seluruh garis bilangan? Tentu. Semua wajah yang dikenal: . Atau jumlah serupa dengan eksponen: . Memang, untuk setiap nilai “x” dan “ka”: , maka juga dan .

Berikut ini contoh yang kurang jelas: . Di sini diskriminannya negatif (parabola tidak berpotongan dengan sumbu x), sedangkan cabang-cabang parabola mengarah ke atas, maka domain definisinya: .

Pertanyaan sebaliknya: dapatkah domain definisi suatu fungsi menjadi kosong? Ya, dan contoh primitif segera muncul dengan sendirinya , dengan ekspresi radikal negatif untuk setiap nilai “x”, dan domain definisi: (ikon himpunan kosong). Fungsi seperti itu tidak terdefinisi sama sekali (tentu saja, grafiknya juga ilusi).

Dengan akar ganjil dll. semuanya jauh lebih baik - di sini ekspresi radikal bisa menjadi negatif. Misalnya, suatu fungsi didefinisikan pada seluruh garis bilangan. Namun, fungsi tersebut memiliki satu titik yang masih belum termasuk dalam domain definisi, karena penyebutnya disetel ke nol. Untuk alasan yang sama untuk fungsinya poin dikecualikan.

Domain suatu fungsi dengan logaritma

Fungsi umum ketiga adalah logaritma. Sebagai contoh, saya akan menggambar logaritma natural, yang muncul pada sekitar 99 contoh dari 100 contoh. Jika suatu fungsi tertentu mengandung logaritma, maka domain definisinya harus mencakup hanya nilai “x” yang memenuhi pertidaksamaan. Jika logaritmanya ada pada penyebut: , maka tambahan suatu kondisi diberlakukan (sejak ).

Contoh 9

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: sesuai dengan hal di atas, kami akan menyusun dan menyelesaikan sistem:

Solusi grafis untuk boneka:

Menjawab: domain:

Saya akan membahas satu hal teknis lagi - saya tidak menunjukkan skala dan pembagian di sepanjang sumbu tidak ditandai. Timbul pertanyaan: bagaimana cara membuat gambar seperti itu di buku catatan di atas kertas kotak-kotak? Haruskah jarak antar titik diukur dengan sel secara ketat berdasarkan skala? Tentu saja, skalanya lebih kanonik dan ketat, tetapi gambar skema yang secara fundamental mencerminkan situasi juga cukup dapat diterima.

Contoh 10

Temukan domain suatu fungsi

Untuk mengatasi masalah tersebut, Anda dapat menggunakan metode paragraf sebelumnya - menganalisis letak parabola relatif terhadap sumbu x. Jawabannya ada di akhir pelajaran.

Seperti yang Anda lihat, dalam bidang logaritma semuanya sangat mirip dengan situasi dengan akar kuadrat: fungsinya (trinomial persegi dari Contoh No. 7) didefinisikan pada interval, dan fungsinya (binomial persegi dari Contoh No. 6) pada interval . Bahkan sulit untuk mengatakan, fungsi tipe didefinisikan pada seluruh garis bilangan.

Informasi bermanfaat : fungsi tipikalnya menarik, didefinisikan pada seluruh garis bilangan kecuali titik. Menurut sifat logaritma, “dua” dapat dikalikan di luar logaritma, tetapi agar fungsinya tidak berubah, “x” harus diapit di bawah tanda modulus: . Ini satu lagi untukmu" penggunaan praktis» modul =). Inilah yang perlu Anda lakukan dalam banyak kasus saat Anda melakukan pembongkaran bahkan gelar, misalnya: . Kalau misalnya pangkatnya jelas-jelas positif, maka tidak perlu tanda modulus dan cukup menggunakan tanda kurung: .

Untuk menghindari pengulangan, mari kita perumit tugas:

Contoh 11

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: dalam fungsi ini kita memiliki akar dan logaritma.

Ekspresi akarnya harus non-negatif: , dan ekspresi di bawah tanda logaritma harus benar-benar positif: . Oleh karena itu, perlu dilakukan penyelesaian sistem:

Banyak dari Anda yang mengetahui dengan baik atau secara intuitif menebak bahwa solusi sistem harus memuaskan untuk masing-masing kondisi.

Meneliti letak parabola relatif terhadap sumbu, kita sampai pada kesimpulan bahwa pertidaksamaan dipenuhi oleh interval (arsir biru):

Ketimpangan ini jelas berhubungan dengan setengah interval “merah”.

Karena kedua syarat tersebut harus dipenuhi serentak, maka penyelesaian sistem tersebut adalah perpotongan interval-interval tersebut. "Kepentingan bersama" dipenuhi pada paruh waktu.

Menjawab: domain:

Ketimpangan yang umum terjadi, seperti ditunjukkan pada Contoh No. 8, tidak sulit untuk diselesaikan secara analitis.

Domain yang ditemukan tidak akan berubah untuk “fungsi serupa”, misalnya. atau . Anda juga dapat menambahkan beberapa fungsi berkelanjutan, misalnya:, atau seperti ini: , atau bahkan seperti ini: . Seperti kata pepatah, akar dan logaritma adalah hal yang keras kepala. Satu-satunya hal adalah jika salah satu fungsi “direset” ke penyebutnya, maka domain definisinya akan berubah (walaupun secara umum hal ini tidak selalu benar). Nah, di teori matan soal verbal ini...oh...ada dalilnya.

Contoh 12

Temukan domain suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Penggunaan gambar cukup tepat, karena fungsinya bukan yang paling sederhana.

Beberapa contoh lagi untuk memperkuat materi:

Contoh 13

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: mari kita buat dan selesaikan sistemnya:

Semua tindakan telah dibahas di seluruh artikel. Mari kita gambarkan interval yang sesuai dengan pertidaksamaan pada garis bilangan dan, menurut kondisi kedua, hilangkan dua titik:

Maknanya ternyata sama sekali tidak relevan.

Menjawab: domain

Sedikit permainan kata-kata matematika pada variasi contoh ke-13:

Contoh 14

Temukan domain suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Mereka yang melewatkannya kurang beruntung ;-)

Bagian terakhir dari pelajaran ini dikhususkan untuk fungsi yang lebih jarang, tetapi juga "berfungsi":

Area Definisi Fungsi
dengan garis singgung, kotangen, arcsines, arccosines

Jika suatu fungsi mencakup , maka dari domain definisinya pengecualian poin , Di mana Z– satu set bilangan bulat. Secara khusus, seperti disebutkan dalam artikel tersebut Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar, fungsi tersebut memiliki nilai berikut:

Artinya, domain definisi garis singgung: .

Jangan membunuh terlalu banyak:

Contoh 15

Temukan domain suatu fungsi

Larutan: dalam hal ini, poin-poin berikut tidak akan dimasukkan dalam domain definisi:

Mari kita masukkan "dua" ruas kiri ke dalam penyebut ruas kanan:

Sebagai akibat :

Menjawab: domain: .

Pada prinsipnya, jawabannya dapat ditulis sebagai gabungan dari jumlah interval yang tak terhingga, namun konstruksinya akan sangat rumit:

Solusi analitis sepenuhnya konsisten dengan transformasi geometri grafik: jika argumen suatu fungsi dikalikan 2, maka grafiknya akan mengecil ke sumbu dua kali. Perhatikan bagaimana periode fungsinya telah dibelah dua, dan titik istirahat frekuensinya berlipat ganda. Takikardia.

Cerita serupa dengan kotangen. Jika suatu fungsi mencakup , maka titik-titik tersebut dikecualikan dari domain definisinya. Khususnya, untuk fungsi burst otomatis kami memotret nilai-nilai berikut:

Dengan kata lain:

1

Shakirova G.G. (MAOU Lyceum No.9)

1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:

2. Surat Kabar “Matematika” No.46.15. 1998.

3. Surat Kabar “Matematika” No. 15. 2002.

4. Surat Kabar “Matematika” No. 17. 2002.

5. F. P. Yaremchuk, P. A. Rudchenko Buku referensi “Aljabar dan fungsi dasar” Kyiv: “Naukova Dumka”; 1976;

7. Kumpulan persiapan OGE. Khas tugas tes, kelas 9, penerbit "UJIAN", Moskow 2016.

8. Buku teks aljabar untuk kelas 9, A.G. Mordkovich, N.P. Nikolaev, penerbit MNEMOZINA, Moskow 2010.

Artikel ini merupakan presentasi abstrak dari karya utama. Teks lengkap karya ilmiah, aplikasi, ilustrasi dan materi tambahan lainnya tersedia di website III Kompetisi internasional penelitian dan karya kreatif siswa "Mulai dalam Sains" di tautan: https://www.school-science.ru/0317/7/29329

Saya percaya bahwa matematika adalah salah satu ilmu terpenting di dunia. Hal ini mempunyai arti khusus bagi manusia sehubungan dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan kemajuan teknologi. Semua orang dalam hidupnya harus melakukan perhitungan yang agak rumit, menggunakan teknologi komputer, menemukan dan menerapkan rumus yang diperlukan, menguasai teknik pengukuran geometri, tetapi seseorang tidak selalu memperhitungkan semua kondisi yang mempengaruhi hasil. Justru karena itulah muncul kondisi ODZ.

Topik ini menarik minat saya karena saya tidak sepenuhnya memahami arti dan pentingnya menemukan ODZ, sehingga saya tidak terlalu memperhatikan pentingnya ODZ dalam beberapa tugas, dan timbullah “perang” antara saya dan ODZ.

Pada saat yang sama, dari sudut pandang matematika, menemukan ODZ sama sekali tidak wajib, seringkali tidak perlu, dan kadang-kadang bahkan tidak mungkin - dan semua ini tanpa merusak solusinya. Dan karena situasi dengan ODZ ini, timbullah “perang”.

Ketika memecahkan masalah jenis persamaan dan pertidaksamaan tertentu, saya dihadapkan pada kenyataan bahwa beberapa kondisi tidak sesuai, atau nilai-nilai tertentu dikenakan padanya, dan kemudian saya menyadari bahwa memang ada area tertentu yang diperbolehkan. nilai-nilai yang memenuhi kondisi masalah dan persamaan memperluas beberapa jenis.

Untuk memberikan perbandingan kasar bola tenis dan fungsinya (pertidaksamaan, persamaan atau soal), maka cangkang bola dan kondisi eksternal- ini ODZ kita, dan cara bola memantul dari lantai adalah penyelesaian fungsi (pertidaksamaan, persamaan atau masalah). Maka kita dapat mengatakan bahwa jika kita memecahkan cangkang bola ini (atau lebih sederhananya merobeknya), maka bola tersebut tidak akan memantul lagi seperti sebelumnya, yaitu jika ODZ kita pecahkan, maka tidak akan ada. larutan.

Relevansi topik saya terletak pada kenyataan bahwa seseorang, ketika memecahkan suatu masalah, tidak memperhatikan kondisi-kondisi kecil. Anda juga dapat memberikan analogi dengan penyelesaian tugas-tugas tertentu dalam matematika, yang tidak memperhitungkan kondisi ODZ, dan ini mempengaruhi hasil penyelesaian. Ada banyak tugas seperti itu di bagian kedua OGE, yang dapat menyebabkan kegagalan dalam ujian.

Buktikan pentingnya DL.

1. Menjelaskan sifat dan makna ODZ dalam kehidupan kita.

2. Menganalisis berbagai metode penyelesaian contoh yang melibatkan DL.

Metode penelitian:

• penelitian teoritis (analisis literatur, pencarian sumber);
• analisis tugas pokok dan konsep DL;
• Metode induksi ODZ (inferensi dari fakta hingga hipotesis saya)
• penelitian nyata (memecahkan masalah dengan sekelompok orang).

Bagian praktis:

Menyelenggarakan penelitian untuk memecahkan masalah dan persamaan sederhana, mendeskripsikan penelitian.

Hipotesa:

ODD merupakan akibat dari kejadian tersebut berbagai kondisi dalam fungsi, masalah, pertidaksamaan dan persamaan.

Sejarah pembentukan

Baiklah, mari kita gali sejarah terbentuknya ODZ.

Seperti konsep matematika lainnya, konsep fungsi tentunya tidak muncul begitu saja, melainkan melalui perjalanan perkembangan yang panjang. Pengantar dan Studi Tempat Bidang dan Padat karya Pierre Fermat (diterbitkan pada tahun 1679) menyatakan: “Setiap kali ada dua besaran yang tidak diketahui dalam persamaan akhir, di situ ada tempat.” Seperti yang Anda duga, kita berbicara tentang ketergantungan fungsional dan representasi grafisnya (“tempat” dalam bahasa Fermat berarti garis). Kajian garis menurut persamaannya dalam Geometri R. Descartes (1637) juga menunjukkan pemahaman yang jelas tentang saling ketergantungan antara dua besaran variabel. Hal ini sudah menunjukkan penguasaan konsep fungsi yang sangat jelas. Secara geometris dan bentuk mekanis Kami juga menemukan konsep ini dalam I. Newton. Namun, istilah “fungsi” sendiri pertama kali muncul pada tahun 1692 oleh G. Leibniz dan, terlebih lagi, belum sepenuhnya dipahami secara modern. G. Leibniz menyebut berbagai segmen yang terkait dengan suatu kurva (misalnya, absis titik-titiknya) sebagai suatu fungsi. Dalam kursus cetak pertama, “Analisis bilangan sangat kecil untuk pengetahuan garis lengkung” oleh L'Hopital (1696), istilah “fungsi” tidak digunakan. Definisi fungsi yang pertama, yang mendekati definisi modern, ditemukan dalam I. Bernoulli (tahun 1718): “Fungsi adalah besaran yang terdiri dari variabel dan konstanta.” Definisi yang tidak sepenuhnya jelas ini didasarkan pada gagasan untuk menentukan suatu fungsi dengan rumus analitik.

Hasilnya, saya sampai pada definisi ODZ untuk suatu fungsi. Daerah definisi (nilai yang diperbolehkan) suatu fungsi Y adalah himpunan nilai variabel bebas X yang fungsi tersebut didefinisikan, yaitu domain perubahan variabel bebas (argumen).

Matematikawan telah mampu menyelesaikan persamaan dan sistem persamaan sejak lama. Aritmatika karya matematikawan Yunani dari Alexandria Diophantus (abad ke-3) belum memuat penyajian aljabar secara sistematis, tetapi memuat sejumlah masalah yang diselesaikan dengan menyusun persamaan. Ini berisi tugas berikut: “Temukan dua bilangan berdasarkan jumlah 20 dan hasil kali 96.”

Untuk melindungi diri Anda dari penyelesaian persamaan kuadrat pandangan umum, yang mengarah pada penunjukan salah satu bilangan dengan sebuah huruf, dan yang belum mereka ketahui cara menyelesaikannya, Diophantus melambangkan bilangan yang tidak diketahui 10 + x dan 10 - x (dalam notasi modern) dan menerima persamaan kuadrat tidak lengkap 100 - x2 = 96, yang hanya akar positifnya yang cocok 2.

Permasalahan persamaan kuadrat telah ditemukan pada karya-karya matematikawan India sejak abad ke-5 Masehi.

Persamaan kuadrat diklasifikasikan dalam risalah “Buku Singkat Kalkulus Aljabar dan Almukabala” karya Muhammad al-Khwarizmi (787-850). Ia mengkaji dan memecahkan (dalam bentuk geometris) 6 jenis persamaan kuadrat yang hanya berisi suku-suku dengan koefisien positif di kedua ruasnya. Dalam hal ini, hanya akar-akar positif dari persamaan yang dipertimbangkan.

Dalam buku teks Rusia paling terkenal “Aritmatika” karya Leonty Filippovich Magnitsky (1669-1739) terdapat banyak masalah persamaan kuadrat. Ini salah satunya:

“Seorang jenderal ingin memulai pertempuran dengan 5.000 orang, sehingga mereka berada di depan dua kali lebih banyak daripada di samping. Seberapa besar pertempuran ini di depan dan di samping?”, yaitu berapa prajurit yang harus ditempatkan di depan dan berapa di belakang kepala, sehingga jumlah prajurit di depan menjadi 2 kali lipat. nomor lebih banyak tentara yang terletak “di belakang kepala mereka”?

Dalam teks Babilonia kuno (3000-2000 SM) juga terdapat permasalahan yang sekarang diselesaikan dengan menggunakan sistem persamaan yang berisi persamaan derajat kedua. Ini salah satunya:

“Saya menjumlahkan luas kedua persegi saya: . Sisi persegi kedua sama dengan sisi persegi pertama ditambah 5 sisi lainnya.”

Sistem yang sesuai dalam notasi modern terlihat seperti:

Dan baru pada abad ke-17, setelah karya Descartes, Newton, dan ahli matematika lainnya, penyelesaian persamaan kuadrat mengambil bentuk modernnya.

Tampaknya bagi saya Anda tertarik dengan jawaban atas pertanyaan: “Mengapa saya menulis sejarah asal usul fungsi dan pertidaksamaan?” Jawabannya sangat sederhana. ODZ hanyalah akibat munculnya berbagai kondisi fungsi, permasalahan, pertidaksamaan dan persamaan.

ODZ dalam pertidaksamaan dan persamaan

Saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan rasional pecahan:

Pengetahuan dari kelas 1 sampai 9 tidak memungkinkan saya membagi dengan 0. “Kamu tidak bisa membagi dengan 0, karena tidak mungkin membagi apapun dengan kekosongan,” kata guru kepada saya di sekolah dasar.

Memecahkan persamaan dan pertidaksamaan irasional:

Persamaan

Ketimpangan

Belajar

Saya melakukan penelitian untuk mengetahui seberapa sering siswa memperhitungkan DL ketika menyelesaikan masalah, persamaan, pertidaksamaan, dll. Untuk melakukan ini, saya memilih 4 tugas dan menyelesaikannya sendiri, kemudian menawarkannya kepada 35 siswa kelas sembilan, di tiga tugas pertama di antaranya ODZ tidak perlu diperhitungkan, dan yang keempat - wajib. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuktikan bahwa masyarakat kurang memperhatikan DL.

Tugas yang diusulkan untuk siswa kelas sembilan:

1) Sebuah bus berangkat dari titik A menuju titik B dengan kecepatan 60 km/jam. Satu jam kemudian, sebuah mobil mengikutinya ke titik B, dan 4 jam kemudian dia menyusul bus di titik B (Kami tiba di waktu yang sama). Berapa kecepatan mobil tersebut?

2) (x+3)2+10=(x-2)2

3) 1/(x-2) = x-4

Saat memeriksa tugas-tugas ini, saya menemukan bahwa solusi dapat dibagi menurut kriteria tertentu.

Kriteria pemilihan keputusan dan jumlah orang yang termasuk di dalamnya:

Menyelesaikan semua tugas - 5 orang; menulis ODZ pada 4 tugas, tetapi melakukan kesalahan pada 1 tugas - 2 orang, pada 2 contoh - 8 orang, pada 3 contoh - 3 orang; 17 orang tidak menulis ODZ pada contoh 4. Kesalahan utama:

1. Mereka melupakan kecacatannya (mereka menuliskannya, tapi lupa memperhitungkannya);
2. DZ dikompilasi secara tidak benar;
3. Persamaannya dikalikan secara salah;
4. Jangan gunakan rumus perkalian singkatan yang sesuai;
5. Tanda bingung (*, +, -,:);
6. Tidak semua contoh bisa melakukan hal tersebut.
7. Mereka lupa tentang perubahan tanda ketika berpindah melalui persamaan;

Dan saya sampai pada kesimpulan bahwa sekitar setengah dari siswa kelas 9 sayangnya tidak memperhitungkan atau salah menuliskan DL dalam tugas yang diserahkan, sehingga mereka melakukan kesalahan.

Di mana ODD ditemukan kehidupan nyata

Faktanya, kita sering menjumpai kondisi DL sehingga kita tidak menyadarinya. Misalnya saat membeli sesuatu; dengan penentuan tindakan pada suhu luar ruangan yang berbeda.

Contoh #1 dari studi (masalah) mungkin merupakan model situasi nyata, tetapi terlalu umum (tidak ada bus atau mobil yang dapat melaju dengan kecepatan konstan sepanjang waktu karena berbagai faktor seperti kualitas aspal jalan, sudut jalan, dan sudut jalan). dan jumlah belokan, jumlah bensin, dll.). Berikut ini contoh yang lebih baik:

Kami diberi 200 rubel untuk makanan kucing, yang harganya 18 rubel per kantong, dan sepotong makanan putih, yang harganya 24 rubel. Kita perlu menghitung berapa rubel yang akan kita keluarkan untuk makanan. Misalkan X adalah jumlah kantong makanan.

ODZ: x ≥ 0,

x = (200-24)/18,

x = 9 (sisa 14).

Artinya kita akan membeli 9 kantong makanan dengan saldo 14 rubel, yang sesuai dengan total jatah kita.

Opsional DL

Seperti yang telah saya lihat dari pengalaman saya sendiri, seringkali tidak perlu menunjukkan DL dalam contoh, meskipun indikasi DL itulah yang diperlukan oleh tugas-tugas di OGE dan Ujian Negara Bersatu, jika tidak, Anda akan menerima lebih sedikit poin. Hal ini dapat dilihat pada contoh tugas 1 dan 2 dari penelitian. Dan memang, ketika memecahkan angka-angka ini, kami memperhatikan bahwa kisaran nilai yang dapat diterima dapat dihilangkan, karena ketidakhadirannya tidak akan mempengaruhi jawabannya dengan cara apapun. Namun sering kali dalam kasus seperti itu, pekerjaan yang diselesaikan dengan baik diberi nilai C.

Pencarian ODZ seringkali hanya merupakan pekerjaan ekstra yang dapat Anda lakukan dengan mudah tanpanya. Masih banyak contoh lain yang bisa diberikan di sini. Mereka terkenal, jadi saya menghilangkannya. Solusi utamanya adalah transformasi ekuivalen ketika berpindah dari satu persamaan ke persamaan lainnya, yaitu ke persamaan yang lebih sederhana.

Contoh jebakan

Di antara tugas-tugas yang menggunakan persamaan atau pertidaksamaan, terdapat masalah jebakan (tugas di mana DL dapat mempermainkan Anda). Diketahui bahwa sebagai akibat dari beberapa transformasi yang mengubah ODZ asli, kita dapat mengambil keputusan yang salah. Anda dapat memberikan contoh tugas 3 dan 4 dari makalah penelitian, namun berikut adalah contoh lain dari persamaan tersebut:

Dari ODZ kita mendapatkan x ≥ 5 (karena radikal ekspresi tidak boleh negatif). Karena ada ekspresi positif di sebelah kanan, artinya x - 5 > 2x - 1. Selesaikan pertidaksamaan terakhir, kita peroleh x< -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

Kesimpulan

Singkatnya keseluruhan pekerjaan penelitian, Saya dapat mengatakan dengan yakin bahwa beberapa kondisi ODZ untuk persamaan dan pertidaksamaan adalah serupa. ODD, seperti yang telah saya buktikan, terjadi dalam kehidupan nyata, dan sangat sering; Saya juga menunjukkan bahwa tidak ada jawaban universal untuk pertanyaan “apakah perlu menunjukkan DL di semua contoh?” tidak ada dalam kurikulum sekolah.

Saya pun membuktikan hipotesis saya yang bunyinya seperti ini: “ODD sebenarnya merupakan konsekuensi dari munculnya berbagai kondisi fungsi, masalah, pertidaksamaan, dan persamaan.”

Setiap kali, jika Anda ingin memahami apa yang Anda lakukan, dan tidak bertindak secara mekanis, muncul pertanyaan: solusi apa yang terbaik untuk dipilih, khususnya mencari ODZ atau tidak? Saya percaya bahwa selama pekerjaan saya, saya telah menjawab sebagian pertanyaan ini.

Alasan perekaman ODZ nampaknya sudah jelas, namun masyarakat masih enggan untuk merekam ODZ lagi. Dan tidak peduli berapa banyak presentasi yang berbeda, penjelasan dalam buku teks dan penjelasan dari guru, perang, bagaimanapun juga, belum berakhir dan bahkan tidak akan berakhir, yang menegaskan relevansi dan pentingnya topik ini.

Namun saya ingin menyarankan semua orang untuk selalu memperhitungkan DL, karena tidak selalu mungkin untuk langsung mengatakan bahwa tidak ada batasan dalam tugas tertentu.

Laporan yang saya sajikan tidak hanya dapat digunakan oleh siswa, tetapi juga oleh guru untuk menjelaskan pentingnya DLC.

Tautan bibliografi

Severov O. S. PERANG MELAWAN DDZ // Buletin ilmiah sekolah internasional. – 2017. – No.5-1. – Hal.84-87;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=400 (tanggal akses: 09/02/2019).

Selamat, para pembaca yang budiman!

Kami akhirnya mencapainya menyelesaikan persamaan trigonometri. Sekarang kita akan menyelesaikan beberapa persamaan yang serupa Tugas Ujian Negara Bersatu. Tentu saja, dalam ujian sebenarnya, tugasnya akan sedikit lebih sulit, tetapi intinya akan tetap sama.

Pertama, mari kita lihat persamaan yang mudah (kita telah menyelesaikan persamaan serupa di pelajaran sebelumnya, namun mengulanginya selalu berguna).

$$(2\cos x + 1) (2\sin x - \sqrt(3)) = 0.$$

Saya pikir penjelasan tentang cara mengambil keputusan tidak diperlukan.

$$2\cos x + 1 = 0 \teks( atau ) 2\sin x - \sqrt(3) =0,$$

$$\cos x = -\frac(1)(2) \teks( atau ) \sin x = \frac(\sqrt(3))(2),$$

Tanda garis putus-putus horizontal penyelesaian persamaan dengan sinus, vertikal - dengan kosinus.

Dengan demikian, solusi akhirnya dapat ditulis, misalnya seperti ini:

$$\kiri[ \begin(array)(l)x= \pm \frac(2\pi)(3),\\x = \frac(\pi)(3)+2\pi k. \end(array)\kanan.$$

Persamaan trigonometri dengan ODZ

$$(1+\cos x)\kiri(\frac(1)(\sin x) - 1\kanan) = 0.$$

Perbedaan penting dalam contoh ini adalah munculnya sinus pada penyebutnya. Meskipun kita telah menyelesaikan sedikit persamaan serupa di pelajaran sebelumnya, ada baiknya kita membahas ODZ lebih detail.

ODZ

`\sin x \neq 0 \Panah kanan x \neq \pi k`. Ketika kita menandai solusi pada lingkaran, kita akan menandai rangkaian akar ini dengan titik-titik yang ditusuk khusus (terbuka) untuk menunjukkan bahwa `x` tidak dapat mengambil nilai tersebut.

Larutan

Mari kita turunkan menjadi penyebut yang sama, lalu secara bergantian samakan kedua tanda kurung dengan nol.

$$(1+\cos x)\kiri(\frac(1-\sin x)(\sin x)\kanan) = 0,$$

$$1+\cos x = 0 \teks( atau ) \frac(1-\sin x)(\sin x) = 0,$$

$$\cos x = -1 \teks( atau ) \sin x=1.$$

Saya harap penyelesaian persamaan ini tidak akan menimbulkan kesulitan.

Deret akar - solusi persamaan - ditunjukkan di bawah dengan titik merah. ODZ ditandai dengan warna biru pada gambar.

Jadi, kami memahami bahwa solusi persamaan `\cos x = -1` tidak memenuhi ODZ.
Jawabannya hanya berupa rangkaian akar `x = \frac(\pi)(2) + 2\pi k`.

Menyelesaikan persamaan trigonometri kuadrat

Poin selanjutnya dalam program kami adalah menyelesaikan persamaan kuadrat. Tidak ada yang rumit dalam hal ini. Yang utama adalah melihat persamaan kuadrat dan melakukan penggantian seperti gambar di bawah ini.

$$3\sin^2 x + \sin x =2,$$

$$3\sin^2 x + \sin x -2=0.$$

Misalkan `t= \sin x`, maka kita peroleh:

$$3t^2 + t-2=0.$$

$$t_1 = \frac(2)(3), t_2 = -1.$$

Mari kita lakukan penggantian terbalik.

$$\sin x = \frac(2)(3) \teks( atau ) \sin x = -1.$$

$$\left[\begin(array)(l)x = \arcsin \frac(2)(3) + 2\pi k, \\ x = \pi - \arcsin \frac(2)(3) + 2 \pi k, \\ x = -\frac(\pi)(2) + 2\pi k. \end(array) \kanan.$$

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan tangen

Mari selesaikan persamaan berikut:

$$\perintah baru(\tg)(\mathop(\mathrm(tg)))(\tg)^2 2x - 6\tg 2x +5 =0, $$

Harap dicatat bahwa argumen singgungnya adalah `2x` dan untuk mendapatkan jawaban akhir Anda harus membaginya dengan `2`. Misalkan `t=\tg 2x`

$$t^2 - 6t +5 =0, $$

$$t_1 = 5, t_2 = 1.$$

Penggantian terbalik.

$$\tg x = 5,\tg x = 1.$$

$$\left[\begin(array)(l)2x = \arctan(5)+\pi k, \\ 2x = \frac(\pi)(4) + \pi k. \end(array) \kanan.$$

Sekarang mari kita bagi kedua deret tersebut dengan dua untuk mencari tahu apa yang sebenarnya sama dengan `x`.

$$\left[\begin(array)(l)x = \frac(1)(2)\arctan(5)+\frac(\pi k)(2), \\ 2x = \frac(\pi) (8) + \frac(\pi k)(2). \end(array) \kanan.$$

Jadi kami mendapat jawabannya.

Persamaan terakhir (hasil kali tangen dan sinus)

$$\tg x \cdot \sin 2x = 0.$$

ODZ

Karena garis singgung adalah pecahan yang penyebutnya adalah cosinus, maka dalam ODZ kita peroleh bahwa `\cos x \neq 0 \Rightarrow x \neq \frac(\pi)(2)+\pi k.`

Larutan

$$\tg x =0 \teks( atau ) \sin 2x = 0.$$

Persamaan ini mudah diselesaikan. Kita mendapatkan:

$$x = \pi k \teks( atau ) 2x = \pi k,$$

$$x = \pi k \teks( atau ) x = \frac(\pi k)(2).$$

Sekarang hal yang paling menarik: karena kita memiliki ODZ, kita perlu melakukan seleksi root. Mari kita tandai rangkaian akar yang dihasilkan pada sebuah lingkaran. (Cara melakukan ini ditunjukkan secara rinci dalam video terlampir.)

ODZ ditandai dengan warna biru, solusinya ditandai dengan warna merah. Terlihat bahwa jawabannya adalah `x = \pi k`.

Ini mengakhiri pelajaran kelima. Pastikan untuk berlatih memecahkan persamaan. Mengetahui kemajuan solusi secara umum adalah satu hal, tetapi mengetahui arah saat memecahkan masalah tertentu adalah hal lain. Latih setiap elemen penyelesaian masalah secara bertahap. Sekarang hal utama adalah mempelajari cara bekerja dengan lingkaran trigonometri secara kompeten, menemukan solusi dengan bantuannya, melihat ODZ dan melakukan substitusi persamaan kuadrat dengan benar.

Tugas untuk pelatihan

Selesaikan persamaan:

• `2 \cos^2 \frac(x)(2) + \sqrt(3) \cos \frac(x)(2) = 0`,
• `3 (\tg)^2 2x + 2\tg 2x -1= 0`,
• `2\cos^2 3x - 5\cos 3x -3 =0`,
• `\sin^2 4x + \sin x - \cos^2x =0` (terapkan identitas trigonometri dasar),
• `4\sin^2 \kiri(x-\frac(\pi)(3) \kanan) - 3 =0`.

Cukup. Jika Anda memiliki pertanyaan, tanyakan saja! Tinggalkan suka jika pekerjaan saya bermanfaat :)