Pembagi dan kelipatan. Pembagi dan kelipatan Bilangan asli yang merupakan kelipatan 15
Tanda-tanda pembagian bilangan mengetahui 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 dan bilangan lainnya berguna untuk menyelesaikan masalah notasi digital bilangan dengan cepat. Daripada membagi satu bilangan dengan bilangan lain, cukup dengan memeriksa sejumlah tanda yang menjadi dasar untuk menentukan dengan pasti apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain (apakah kelipatan) atau tidak.
Tanda-tanda dasar keterbagian
Mari kita memberi tanda-tanda dasar pembagian bilangan:
- Uji keterbagian suatu bilangan dengan “2” Suatu bilangan habis dibagi 2 jika bilangan tersebut genap (angka terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6 atau 8)
Contoh: Bilangan 1256 merupakan kelipatan 2 karena berakhiran 6. Namun bilangan 49603 tidak habis dibagi 2 karena berakhiran 3. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “3” Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3
Contoh: Bilangan 4761 habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 18 dan habis dibagi 3. Dan bilangan 143 bukan kelipatan 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 8 dan tidak habis dibagi 3. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “4” Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhir dari bilangan tersebut adalah nol atau bilangan yang terdiri dari dua angka terakhirnya habis dibagi 4
Contoh: Bilangan 2344 merupakan kelipatan 4, karena 44/4 = 11. Dan bilangan 3951 tidak habis dibagi 4, karena 51 tidak habis dibagi 4. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “5” Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhir bilangan tersebut adalah 0 atau 5
Contoh: Bilangan 5830 habis dibagi 5 karena berakhiran 0. Namun bilangan 4921 tidak habis dibagi 5 karena berakhiran 1. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “6” Suatu bilangan habis dibagi 6 jika habis dibagi 2 dan 3.
Contoh: Bilangan 3504 merupakan kelipatan 6 karena berakhiran 4 (habis dibagi 2) dan jumlah angka-angka bilangan tersebut adalah 12 dan habis dibagi 3 (habis dibagi 3). Dan bilangan 5432 tidak habis dibagi 6, walaupun bilangan tersebut berakhiran 2 (kriteria habis dibagi 2 diperhatikan), namun jumlah angka-angkanya adalah 14 dan tidak habis dibagi 3. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “8” Suatu bilangan habis dibagi 8 jika tiga angka terakhir bilangan tersebut adalah nol atau bilangan yang terdiri dari tiga angka terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8
Contoh: Bilangan 93112 habis dibagi 8, karena bilangan 112/8 = 14. Dan bilangan 9212 bukan kelipatan 8, karena 212 tidak habis dibagi 8. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “9” Suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9
Contoh: Bilangan 2916 merupakan kelipatan 9, karena jumlah angka-angkanya adalah 18 dan habis dibagi 9. Dan bilangan 831 tidak habis dibagi 9, karena jumlah angka-angka dari bilangan tersebut adalah 12 dan merupakan tidak habis dibagi 9. - Uji pembagian suatu bilangan dengan “10” Suatu bilangan habis dibagi 10 jika berakhiran 0
Contoh: Bilangan 39590 habis dibagi 10 karena berakhiran 0. Dan bilangan 5964 tidak habis dibagi 10 karena tidak berakhiran 0. - Uji pembagian suatu bilangan dengan “11” Suatu bilangan habis dibagi 11 jika jumlah angka-angka di tempat ganjil sama dengan jumlah angka-angka di tempat genap, atau jumlahnya harus berbeda 11
Contoh: Bilangan 3762 habis dibagi 11, karena 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Namun bilangan 2374 tidak habis dibagi 11, karena 2 + 7 = 9, dan 3 + 4 = 7. - Uji keterbagian suatu bilangan dengan “25” Suatu bilangan habis dibagi 25 jika berakhiran 00, 25, 50, atau 75
Contoh: Bilangan 4950 merupakan kelipatan 25 karena berakhiran 50. Dan 4935 tidak habis dibagi 25 karena berakhiran 35.
Tanda-tanda habis dibagi dengan bilangan komposit
Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan komposit, Anda perlu memfaktorkannya Angka komposit pada faktor koprima, tanda-tanda keterbagiannya diketahui. Bilangan koprima adalah bilangan yang tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1. Misalnya suatu bilangan habis dibagi 15 jika habis dibagi 3 dan 5.
Mari kita perhatikan contoh lain pembagi komposit: suatu bilangan habis dibagi 18 jika habis dibagi 2 dan 9. Dalam kasus ini, Anda tidak dapat memfaktorkan 18 menjadi 3 dan 6, karena keduanya bukan bilangan prima, karena keduanya mempunyai pembagi yang sama. 3. Mari kita verifikasi dengan contoh.
Bilangan 456 habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya adalah 15, dan habis dibagi 6, karena habis dibagi 3 dan 2. Tetapi jika Anda membagi 456 dengan 18 secara manual, Anda mendapatkan sisanya. Jika Anda memeriksa tanda-tanda habis dibagi 2 dan 9 untuk bilangan 456, Anda akan langsung melihat bahwa bilangan tersebut habis dibagi 2, tetapi tidak habis dibagi 9, karena jumlah angka-angka dari bilangan tersebut adalah 15 dan tidak habis dibagi. 9.
Istilah "multiplisitas" mengacu pada bidang matematika: dari sudut pandang ilmu ini, yang dimaksud dengan berapa kali suatu bilangan tertentu menjadi bagian dari bilangan lain.
Konsep multiplisitas
Menyederhanakan hal di atas, kita dapat mengatakan bahwa multiplisitas suatu bilangan terhadap bilangan lain menunjukkan berapa kali bilangan pertama lebih besar dari bilangan kedua. Jadi, fakta bahwa suatu bilangan merupakan kelipatan bilangan lain sebenarnya berarti bilangan yang lebih besar dapat dibagi dengan bilangan yang lebih kecil tanpa menyisakan sisa. Misalnya kelipatan 3 adalah 6.Pemahaman terhadap istilah “multiplisitas” ini membawa pada beberapa konsekuensi penting. Yang pertama adalah bahwa bilangan apa pun dapat memiliki jumlah kelipatan yang tidak terbatas. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa sebenarnya, untuk mendapatkan bilangan lain yang merupakan kelipatan suatu bilangan tertentu, bilangan pertama perlu dikalikan dengan bilangan bulat positif apa pun, yang pada gilirannya merupakan bilangan tak terhingga. nomor. Misalnya kelipatan bilangan 3 adalah bilangan 6, 9, 12, 15 dan lain-lain, yang diperoleh dengan mengalikan bilangan 3 dengan bilangan bulat positif apa pun.
Sifat penting kedua menyangkut penentuan bilangan bulat terkecil yang merupakan kelipatan bilangan bulat yang bersangkutan. Jadi, kelipatan terkecil suatu bilangan adalah bilangan itu sendiri. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa bilangan bulat terkecil hasil pembagian suatu bilangan dengan bilangan lain adalah satu, dan pembagian suatu bilangan dengan dirinya sendirilah yang menghasilkan hasil tersebut. Oleh karena itu, bilangan yang merupakan kelipatan dari bilangan yang dipertimbangkan tidak boleh kurang dari bilangan itu sendiri. Misalnya, untuk bilangan 3, kelipatan terkecilnya adalah 3. Dalam hal ini, tentukan jumlah terbesar, kelipatan dari yang sedang dipertimbangkan, hampir tidak mungkin.
Bilangan yang merupakan kelipatan 10
Bilangan yang merupakan kelipatan 10 mempunyai semua sifat yang tercantum di atas, sama seperti kelipatan lainnya. Jadi, dari sifat-sifat yang tercantum dapat disimpulkan bahwa bilangan terkecil yang merupakan kelipatan 10 adalah bilangan 10 itu sendiri. Selain itu, karena bilangan 10 adalah dua angka, maka dapat disimpulkan bahwa hanya bilangan yang paling sedikit terdiri dari dua angka yang dapat menjadi a. kelipatan 10.Untuk mendapatkan bilangan lain yang merupakan kelipatan 10, Anda perlu mengalikan bilangan 10 dengan bilangan bulat positif apa pun. Jadi, daftar bilangan kelipatan 10 akan memuat bilangan 20, 30, 40, 50, dan seterusnya. Perlu diketahui bahwa semua bilangan yang diperoleh harus habis dibagi 10 tanpa sisa. Namun, tidak mungkin menentukan bilangan terbesar yang merupakan kelipatan 10, seperti halnya bilangan lainnya.
Perhatikan juga bahwa ada cara sederhana dan praktis untuk menentukan apakah suatu bilangan tertentu merupakan kelipatan 10 dengan mencari angka terakhirnya. Jadi, jika sama dengan 0, maka bilangan yang dimaksud adalah kelipatan 10, yaitu habis dibagi 10 tanpa sisa.
Topik “Bilangan Berganda” dipelajari di kelas 5 sekolah menengah. Tujuannya adalah untuk meningkatkan keterampilan perhitungan matematis tertulis dan lisan. Dalam pelajaran ini, konsep-konsep baru diperkenalkan - "bilangan ganda" dan "pembagi", teknik mencari pembagi dan kelipatan bilangan asli, dan kemampuan mencari KPK dengan berbagai cara dipraktikkan.
Topik ini sangat penting. Pengetahuannya dapat diterapkan ketika menyelesaikan contoh dengan pecahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu mencari penyebut yang sama dengan menghitung kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Kelipatan A adalah bilangan bulat yang habis dibagi A tanpa sisa.
Setiap bilangan asli mempunyai jumlah kelipatan yang tak terhingga. Itu sendiri dianggap yang terkecil. Kelipatannya tidak boleh kurang dari bilangan itu sendiri.
Anda perlu membuktikan bahwa bilangan 125 adalah kelipatan 5. Untuk melakukannya, Anda perlu membagi bilangan pertama dengan bilangan kedua. Jika 125 habis dibagi 5 tanpa sisa maka jawabannya iya.
Cara ini berlaku untuk jumlah kecil.
Ada kasus khusus saat menghitung LOC.
1. Jika Anda ingin mencari kelipatan persekutuan dari 2 bilangan (misalnya, 80 dan 20), yang salah satunya (80) habis dibagi (20), maka bilangan tersebut (80) adalah kelipatan terkecil dari keduanya dua angka.
KPK(80, 20) = 80.
2. Jika dua bilangan tidak mempunyai pembagi persekutuan, maka KPKnya dapat dikatakan merupakan hasil kali kedua bilangan tersebut.
KPK(6, 7) = 42.
Mari kita lihat contoh terakhir. 6 dan 7 terhadap 42 adalah pembagi. Mereka membagi kelipatan suatu bilangan tanpa sisa.
Dalam contoh ini, 6 dan 7 merupakan faktor berpasangan. Hasil kali mereka sama dengan kelipatan terbanyak (42).
Suatu bilangan disebut bilangan prima jika bilangan tersebut hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri atau oleh 1 (3:1=3; 3:3=1). Sisanya disebut komposit.
Contoh lainnya adalah menentukan apakah 9 merupakan pembagi dari 42.
42:9=4 (sisa 6)
Jawaban: 9 bukan merupakan pembagi dari 42 karena jawabannya mempunyai sisa.
Pembagi berbeda dari kelipatan karena pembagi adalah bilangan yang membagi bilangan asli, dan kelipatan itu sendiri habis dibagi bilangan tersebut.
Pembagi bilangan persekutuan terbesar A Dan B, dikalikan dengan kelipatan terkecilnya, akan menghasilkan hasil kali bilangan itu sendiri A Dan B.
Yaitu: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
Kelipatan persekutuan untuk bilangan yang lebih kompleks dapat dicari dengan cara berikut.
Misalnya, cari KPK dari 168, 180, 3024.
Kita memfaktorkan bilangan-bilangan ini menjadi faktor prima dan menuliskannya sebagai hasil perkalian pangkat:
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
KPK(168, 180, 3024) = 15120.
