fungsi trigonometri. Periodisitas fungsi trigonometri Cara menentukan periodisitas fungsi trigonometri
Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y=f(x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti monotonisitas, paritas, periodisitas, dan lain-lain.
Sifat paritas dan periodisitas
Mari kita pertimbangkan secara lebih rinci sifat-sifat paritas dan periodisitas, menggunakan contoh main fungsi trigonometri: y=sin(x),y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x).
Suatu fungsi y=f(x) dipanggil meskipun memenuhi dua kondisi berikut:
2. Nilai fungsi pada titik x yang termasuk ruang lingkup fungsi harus sama dengan nilai fungsi pada titik -x. Artinya, untuk setiap titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d f (-x) harus benar.
Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu y.
Misalnya, fungsi trigonometri y=cos(x) genap.
Sifat keanehan dan periodisitas
Suatu fungsi y=f(x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:
1. Domain dari fungsi yang diberikan harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk dalam domain dari fungsi yang diberikan.
2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut f (x) \u003d -f (x) harus dipenuhi.
Grafik fungsi ganjil adalah simetris terhadap titik O - titik asal.
Misalnya, fungsi trigonometri y=sin(x), y=tg(x), y=ctg(x) ganjil.
Periodisitas fungsi trigonometri
Suatu fungsi y=f(x) disebut periodik jika terdapat bilangan tertentu T!=0 (disebut periode dari fungsi y=f(x)), sehingga untuk sembarang nilai x yang termasuk domain fungsi , bilangan x+T dan xT juga termasuk domain fungsi dan persamaan f(x)=f(x+T)=f(xT) dipenuhi.
Harus dipahami bahwa jika T adalah periode fungsi, maka bilangan k*T, di mana k adalah sembarang bilangan bulat bukan-nol, juga akan menjadi periode fungsi. Berdasarkan uraian di atas, kita memperoleh bahwa setiap fungsi periodik memiliki banyak periode yang tak terhingga. Paling sering, percakapan adalah tentang periode terkecil dari fungsi.
Fungsi trigonometri sin(x) dan cos(x) adalah periodik, dengan periode terkecil sama dengan 2*π.
Jika kita membuat lingkaran satuan yang berpusat di titik asal dan menetapkan nilai argumen yang berubah-ubah x0 dan hitung dari sumbu Sapi injeksi x 0, maka sudut pada lingkaran satuan ini sesuai dengan beberapa titik SEBUAH(Gbr. 1) dan proyeksinya ke sumbu Oh akan ada titik M. potong panjang om sama dengan nilai absolut absis titik SEBUAH. nilai argumen yang diberikan x0 nilai fungsi yang dipetakan kamu= cos x 0 sebagai absis suatu titik TETAPI. Dengan demikian, intinya DI DALAM(x 0 ;pada 0) termasuk dalam grafik fungsi pada= cos x(Gbr. 2). Jika titik TETAPI terletak di sebelah kanan sumbu OU, tokosin akan positif, jika ke kiri akan negatif. Tapi bagaimanapun juga, intinya TETAPI tidak bisa keluar dari lingkaran. Oleh karena itu, kosinus berkisar dari -1 hingga 1:
-1 = cos x = 1.
Rotasi tambahan ke sudut mana pun, kelipatan 2 P, mengembalikan poin SEBUAH ke tempat yang sama. Oleh karena itu, fungsi y= karena xP:
karena( x+ 2P) = cos x.
Jika kita mengambil dua nilai argumen yang sama dalam nilai absolut tetapi berlawanan tanda, x Dan - x, temukan titik-titik yang bersesuaian pada lingkaran Sebuah x Dan Kapak. Seperti yang terlihat pada gambar. 3 proyeksi mereka ke sumbu Oh adalah titik yang sama M. Itu sebabnya
karena (- x) = cos( x),
itu. cosinus adalah fungsi genap, F(–x) = F(x).
Jadi, kita dapat menjelajahi sifat-sifat fungsi kamu= cos x pada segmen , dan kemudian memperhitungkan paritas dan periodisitasnya.
Pada x= 0 poin TETAPI terletak pada poros Oh, absisnya adalah 1, dan karena itu cos 0 = 1. Dengan peningkatan x dot TETAPI bergerak mengelilingi lingkaran ke atas dan ke kiri, proyeksinya, tentu saja, hanya ke kiri, dan untuk x = P/2 kosinus menjadi 0. Titik SEBUAH pada saat ini ia naik ke ketinggian maksimum, dan kemudian terus bergerak ke kiri, tetapi sudah turun. Absisnya terus berkurang hingga mencapai nilai terkecil sama dengan -1 di x= P. Jadi, pada segmen, fungsi pada= cos x menurun secara monoton dari 1 ke -1 (Gbr. 4, 5).
Ini mengikuti dari paritas kosinus bahwa pada interval [– P, 0], fungsi meningkat secara monoton dari -1 ke 1, mengambil nilai nol di x =–P/2. Jika Anda mengambil beberapa periode, Anda mendapatkan kurva bergelombang (Gbr. 6).
Jadi fungsinya kamu= cos x mengambil nilai nol pada poin x= P/2 + kp, di mana k- bilangan bulat apa pun. Maksimum sama dengan 1 dicapai pada poin x= 2kp, yaitu dengan langkah 2 P, dan minimum sama dengan -1 di titik-titik x= P + 2kp.
Fungsi y \u003d sin x.
Pada lingkaran satuan x 0 sesuai dengan poin TETAPI(Gbr. 7), dan proyeksinya ke sumbu OU akan ada titik n.W nilai fungsi y 0 = dosa x0 didefinisikan sebagai ordinat titik TETAPI. Dot DI DALAM(injeksi x 0 ,pada 0) termasuk dalam grafik fungsi kamu= dosa x(Gbr. 8). Jelas bahwa fungsi y= dosa x periodik, periodenya adalah 2 P:
dosa( x+ 2P) = dosa ( x).
Untuk dua nilai argumen, x Dan - , proyeksi titik-titik yang sesuai Sebuah x Dan Kapak per poros OU terletak simetris terhadap titik TENTANG. Itu sebabnya
dosa(- x) = –sin ( x),
itu. sinus adalah fungsi ganjil, f(– x) = –f( x) (Gbr. 9).
Jika titik SEBUAH berputar pada suatu titik TENTANG di pojok P/2 berlawanan arah jarum jam (dengan kata lain, jika sudut x meningkat sebesar P/2), maka ordinatnya pada posisi baru akan sama dengan absis pada posisi lama. Yang berarti
dosa( x+ P/2) = cos x.
Jika tidak, sinus adalah kosinus, "terlambat" oleh P/2, karena nilai cosinus apa pun akan "berulang" di sinus ketika argumen bertambah P/2. Dan untuk membangun grafik sinus, cukup menggeser grafik kosinus sebesar P/2 ke kanan (Gbr. 10). Sifat yang sangat penting dari sinus dinyatakan dengan persamaan
Arti geometris persamaan dapat dilihat dari Gambar. 11. Ini X - ini adalah setengah dari busur AB, dan dosa X - setengah dari akord yang sesuai. Jelas, saat poin mendekat TETAPI Dan DI DALAM panjang tali busur semakin mendekati panjang busur. Dari gambar yang sama, mudah untuk mengekstrak ketidaksetaraan
|sin x| x|, berlaku untuk semua x.
Rumus (*) disebut batas luar biasa oleh ahli matematika. Dari sini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa dosa x» x kecil x.
Fungsi pada=tg x, y=ctg x. Dua fungsi trigonometri lainnya - tangen dan kotangen paling mudah didefinisikan sebagai rasio sinus dan kosinus yang sudah kita ketahui:
Seperti sinus dan kosinus, tangen dan kotangen adalah fungsi periodik, tetapi periodenya sama P, yaitu mereka adalah setengah dari sinus dan cosinus. Alasannya jelas: jika sinus dan cosinus keduanya berubah tanda, maka rasionya tidak akan berubah.
Karena ada kosinus dalam penyebut garis singgung, garis singgung tidak didefinisikan pada titik-titik di mana kosinus adalah 0 - ketika x= P/2 +kp. Di semua titik lain itu meningkat secara monoton. Langsung x= P/2 + kp untuk garis singgung adalah asimtot vertikal. Pada titik kp tangen dan kemiringan adalah 0 dan 1, masing-masing (Gbr. 12).
Kotangen tidak didefinisikan di mana sinus adalah 0 (ketika x = kp). Di titik lain berkurang secara monoton, dan garis x = kp – asimtot vertikalnya. Pada titik x = p/2 +kp kotangen berubah menjadi 0, dan kemiringan pada titik-titik ini adalah -1 (Gbr. 13).
Paritas dan periodisitas.
Suatu fungsi disebut genap jika F(–x) = F(x). Fungsi cosinus dan secan genap, sedangkan fungsi sinus, tangen, kotangen, dan cosecan ganjil:
| sin(-α) = -sinα | tg (–α) = –tg |
| cos(-α) = cosα | ctg(-α) = -ctgα |
| detik(-α) = detikα | cosec (–α) = – cosec |
Sifat paritas mengikuti dari simetri titik P sebuah dan R-Sebuah (Gbr. 14) tentang sumbu x. Dengan simetri seperti itu, ordinat titik berubah tanda (( x;pada) pergi ke ( x; -y)). Semua fungsi - periodik, sinus, cosinus, secan dan cosecan memiliki periode 2 P, dan tangen dan kotangen - P:
| dosa (α + 2 kπ) = sinα | cos (α + 2 kπ) = cosα |
| tan (α + kπ) = tgα | ctg(α + kπ) = ctgα |
| detik (α + 2 kπ) = detik | cosec (α + 2 kπ) = cosecα |
Periodisitas sinus dan kosinus mengikuti fakta bahwa semua titik P a + 2 kp, di mana k= 0, ±1, ±2,…, bertepatan, dan periodisitas garis singgung dan kotangen disebabkan oleh fakta bahwa titik-titik P sebuah + kp bergantian jatuh ke dalam dua titik yang berlawanan secara diametral dari lingkaran, memberikan titik yang sama pada sumbu garis singgung.
Sifat utama fungsi trigonometri dapat diringkas dalam tabel:
| Fungsi | Domain | Banyak nilai | Keseimbangan | Area monoton ( k= 0, ± 1, ± 2,…) |
| dosa x | –Ґ x | [–1, +1] | aneh | meningkat dengan x O((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P/2), berkurang sebagai x O((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2) |
| karena x | –Ґ x | [–1, +1] | bahkan | Meningkat dengan x O((2 k – 1) P, 2kp), berkurang pada x Oh (2 kp, (2k + 1) P) |
| tg x | x № P/2 + p k | (–Ґ , +Ґ ) | aneh | meningkat dengan x O((2 k – 1) P /2, (2k + 1) P /2) |
| ctg x | x № p k | (–Ґ , +Ґ ) | aneh | berkurang pada x TENTANG ( kp, (k + 1) P) |
| detik x | x № P/2 + p k | (–Ґ , -1] DAN [+1, +Ґ ) | bahkan | Meningkat dengan x Oh (2 kp, (2k + 1) P), berkurang pada x O((2 k– 1) p , 2 kp) |
| menyebabkan x | x № p k | (–Ґ , -1] DAN [+1, +Ґ ) | aneh | meningkat dengan x O((4 k + 1) P /2, (4k + 3) P/2), berkurang sebagai x O((4 k – 1) P /2, (4k + 1) P /2) |
Formula pengecoran.
Menurut rumus ini, nilai fungsi trigonometri dari argumen a, di mana P/2 a p , dapat direduksi menjadi nilai fungsi argumen a , di mana 0 a p /2, keduanya sama dan tambahannya.
| Argumen b |  - Sebuah |
+ a | P- Sebuah | P+ a | + a | + a | 2P- Sebuah |
| sinb | karena | karena | dosa a | –sin a | -cos a | -cos a | –sin a |
| cosb | dosa a | –sin a | -cos a | -cos a | –sin a | dosa a | karena |
Oleh karena itu, dalam tabel fungsi trigonometri, nilai hanya diberikan untuk sudut lancip, dan cukup untuk membatasi diri, misalnya, ke sinus dan tangen. Tabel hanya berisi rumus yang paling umum digunakan untuk sinus dan kosinus. Dari mereka mudah untuk mendapatkan formula untuk tangen dan kotangen. Saat casting fungsi dari argumen formulir kp/2 ± a , dimana k adalah bilangan bulat, ke fungsi dari argumen a :
1) nama fungsi disimpan jika k genap, dan berubah menjadi "pelengkap" jika k aneh;
2) tanda di sisi kanan bertepatan dengan tanda fungsi yang dapat direduksi di titik kp/2 ± a jika sudut a lancip.
Misalnya, saat casting ctg (a - P/ 2) pastikan bahwa - P/2 pada 0 a p /2 terletak di kuadran keempat, di mana kotangennya negatif, dan, menurut aturan 1, kami mengubah nama fungsi: ctg (a - P/2) = –tg a .
Rumus tambahan.
Beberapa rumus sudut.
Rumus ini diturunkan langsung dari rumus tambahan:
sin 2a \u003d 2 sin a cos a;
cos 2a \u003d cos 2 a - sin 2 a \u003d 2 cos 2 a - 1 \u003d 1 - 2 sin 2 a;
dosa 3a \u003d 3 dosa a - 4 dosa 3 a;
cos 3a \u003d 4 cos 3 a - 3 cos a;
Rumus cos 3a digunakan oleh Francois Viet ketika memecahkan persamaan kubik. Dia adalah orang pertama yang menemukan ekspresi untuk cos n a dan dosa n a , yang kemudian diperoleh lebih banyak cara sederhana dari rumus De Moivre.
Jika Anda mengganti a dengan /2 dalam rumus argumen ganda, rumus tersebut dapat dikonversi menjadi rumus setengah sudut:
Rumus substitusi universal.
Dengan menggunakan rumus ini, ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri berbeda dari argumen yang sama dapat ditulis ulang sebagai ekspresi rasional dari fungsi tunggal tg (a / 2), ini berguna saat menyelesaikan beberapa persamaan:
 |
|
 |
 |
Rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah.
Sebelum munculnya komputer, rumus-rumus ini digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Perhitungan dibuat menggunakan tabel logaritmik, dan kemudian - aturan geser, karena. logaritma paling cocok untuk mengalikan angka, jadi semua ekspresi asli direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk logaritma, mis. untuk karya-karya seperti:
2 dosa Sebuah sin b = cos ( a-b) – cos ( a+b);
2 karena Sebuah karena B= cos ( a-b) + cos ( a+b);
2 dosa Sebuah karena B= dosa ( a-b) + dosa ( a+b).
Rumus untuk fungsi tangen dan kotangen dapat diperoleh dari di atas.
Rumus pengurangan derajat.
Dari rumus beberapa argumen, rumus diturunkan:
| dosa 2 a \u003d (1 - cos 2a) / 2; | cos 2 a = (1 + cos 2a )/2; |
| dosa 3 a \u003d (3 dosa a - dosa 3a) / 4; | cos 3 a = (3 cos a + cos3 a)/4. |
Dengan bantuan rumus ini, persamaan trigonometri dapat direduksi menjadi persamaan derajat yang lebih rendah. Dengan cara yang sama, rumus reduksi untuk pangkat sinus dan kosinus yang lebih tinggi dapat diturunkan.
| Turunan dan integral fungsi trigonometri | |
| (dosa x)` = cos x; | (karena x)` = -sin x; |
| (tg x)` = ; | (ctg x)` = – ; |
| t dosa x dx= -cos x + C; | t cos x dx= dosa x + C; |
| t tg x dx= –ln |cos x| + C; | t ctg x dx = ln|sin x| + C; |
Setiap fungsi trigonometri pada setiap titik domain definisinya kontinu dan terdiferensiasi tak hingga. Selain itu, turunan dari fungsi trigonometri adalah fungsi trigonometri, dan ketika terintegrasi, fungsi trigonometri atau logaritmanya juga diperoleh. Integral kombinasi rasional fungsi trigonometri selalu merupakan fungsi dasar.
Representasi fungsi trigonometri dalam bentuk deret pangkat dan hasilkali tak hingga.
Semua fungsi trigonometri dapat diperluas menjadi deret pangkat. Dalam hal ini, fungsi sin x b cos x muncul dalam baris. konvergen untuk semua nilai x:
Deret ini dapat digunakan untuk mendapatkan ekspresi perkiraan untuk sin x dan karena x untuk nilai kecil x:
di | x| hal/2;
di 0x| P
(B n adalah bilangan Bernoulli).
fungsi dosa x dan karena x dapat direpresentasikan sebagai produk tak terbatas:
Sistem trigonometri 1, cos x, dosa x, karena 2 x, dosa 2 x, , cos nx, dosa nx, , terbentuk pada interval [– P, P] sistem fungsi ortogonal, yang memungkinkan untuk merepresentasikan fungsi dalam bentuk deret trigonometri.
didefinisikan sebagai kelanjutan analitik dari fungsi trigonometri yang sesuai dari argumen nyata ke dalam bidang kompleks. Ya, dosa z dan karena z dapat didefinisikan menggunakan deret untuk sin x dan karena x, jika alih-alih x taruh z:
Deret ini konvergen di seluruh bidang, jadi sin z dan karena z adalah seluruh fungsi.
Tangen dan kotangen ditentukan dengan rumus:
fungsi tg z dan ctg z adalah fungsi meromorfik. tiang tg z dan detik z sederhana (urutan pertama) dan terletak di titik z=p/2 + pn, tiang ctg z dan cosec z juga sederhana dan terletak di titik z = p n, n = 0, ±1, ±2,…
Semua rumus yang valid untuk fungsi trigonometri dari argumen nyata juga valid untuk yang kompleks. Khususnya,
dosa(- z) = -sin z,
karena (- z) = cos z,
tg(- z) = –tg z,
ctg (- z) = -ctg z,
itu. paritas genap dan ganjil dipertahankan. Rumusnya juga disimpan
dosa( z + 2P) = sin z, (z + 2P) = cos z, (z + P) = tg z, (z + P) = ctg z,
itu. periodisitas juga dipertahankan, dan periodenya sama dengan fungsi argumen nyata.
Fungsi trigonometri dapat dinyatakan dalam fungsi eksponensial dari argumen imajiner murni:
Kembali, e iz dinyatakan dalam cos z dan dosa z menurut rumus:
e iz= cos z + saya dosa z
Rumus ini disebut rumus Euler. Leonhard Euler memperkenalkan mereka pada tahun 1743.
Fungsi trigonometri juga dapat dinyatakan dalam fungsi hiperbolik:
z = –saya SH iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.
di mana sh, ch dan th adalah sinus hiperbolik, cosinus dan tangen.
Fungsi trigonometri dari argumen kompleks z = x + iy, di mana x Dan kamu- bilangan real, dapat dinyatakan dalam fungsi trigonometri dan hiperbolik dari argumen nyata, misalnya:
dosa( x+iy) = sin x ch kamu + saya karena x SH kamu;
karena( x+iy) = cos x ch kamu + saya dosa x SH kamu.
Sinus dan kosinus dari argumen yang kompleks dapat mengambil nilai sebenarnya, melebihi 1 dalam nilai absolut. Sebagai contoh:
Jika sudut yang tidak diketahui masuk ke persamaan sebagai argumen fungsi trigonometri, maka persamaan tersebut disebut trigonometri. Persamaan seperti itu sangat umum sehingga metodenya solusinya sangat rinci dan dirancang dengan cermat. DARI menggunakan berbagai metode dan rumus, persamaan trigonometri direduksi menjadi persamaan bentuk F(x)=, di mana F- salah satu fungsi trigonometri paling sederhana: sinus, kosinus, tangen atau kotangen. Kemudian nyatakan argumennya x fungsi ini melalui nilainya yang diketahui tetapi.
Karena fungsi trigonometri bersifat periodik, maka tetapi dari rentang nilai ada banyak nilai argumen, dan solusi persamaan tidak dapat ditulis sebagai fungsi tunggal dari tetapi. Oleh karena itu, dalam domain definisi dari masing-masing fungsi trigonometri utama, bagian dipilih di mana ia mengambil semua nilainya, masing-masing hanya sekali, dan ditemukan fungsi yang terbalik di bagian ini. Fungsi tersebut dilambangkan dengan menghubungkan awalan busur (arc) dengan nama fungsi aslinya, dan disebut trigonometri terbalik. fungsi atau hanya fungsi busur.
Fungsi trigonometri terbalik.
Untuk dosa x, karena x, tg x dan ctg x fungsi invers dapat didefinisikan. Mereka ditunjuk masing-masing arcsin x(baca "arxin x"), arcos x, arctg x dan arcctg x. Menurut definisi, arcsin x ada nomor seperti itu y, Apa
dosa pada = x.
Hal yang sama berlaku untuk fungsi trigonometri terbalik lainnya. Tetapi definisi ini mengalami beberapa ketidakakuratan.
Jika kita mencerminkan dosa x, karena x, tg x dan ctg x relatif terhadap garis bagi kuadran pertama dan ketiga dari bidang koordinat, maka fungsi menjadi ambigu karena periodisitasnya: sinus yang sama (cosinus, tangen, kotangen) sesuai dengan jumlah sudut yang tak terbatas.
Untuk menghilangkan ambiguitas, bagian kurva dengan lebar P, sementara itu perlu bahwa korespondensi satu-ke-satu diamati antara argumen dan nilai fungsi. Area di dekat asal dipilih. Untuk sinus sebagai "interval satu-ke-satu" diambil segmen [- P/2, P/2], di mana sinus meningkat secara monoton dari -1 menjadi 1, untuk kosinus - segmen , untuk tangen dan kotangen, masing-masing, interval (– P/2, P/2) dan (0, P). Setiap kurva dalam interval tercermin tentang garis bagi dan sekarang Anda dapat menentukan fungsi trigonometri terbalik. Misalnya, biarkan nilai argumen diberikan x 0 , sehingga 0 J x 0 Ј 1. Maka nilai fungsi kamu 0 = arcsin x 0 akan menjadi satu-satunya nilai pada 0 , seperti yang - P/2 J pada 0 Ј P/2 dan x 0 = dosa kamu 0 .
Jadi, arcsinus adalah fungsi dari arcsin tetapi, didefinisikan pada interval [-1, 1] dan sama untuk masing-masing tetapi nilai seperti a ,- P/2 a p /2 yang sin a = tetapi. Sangat mudah untuk merepresentasikannya menggunakan lingkaran satuan (Gbr. 15). Kapan | a| 1 ada dua titik pada lingkaran dengan ordinat Sebuah, simetris terhadap sumbu y. Salah satunya adalah sudut Sebuah= arcsin tetapi, dan yang lainnya adalah sudut p - a. DARI dengan mempertimbangkan periodisitas sinus, solusi persamaan sin x= tetapi ditulis sebagai berikut:
x =(–1)n busur dosa Sebuah + 2p n,
di mana n= 0, ±1, ±2,...
Persamaan trigonometri sederhana lainnya juga diselesaikan:
karena x = Sebuah, –1 =Sebuah= 1;
x=±arcos Sebuah + 2p n,
di mana P= 0, ±1, ±2,... (Gbr. 16);
tg x = Sebuah;
x= arctg Sebuah + P n,
di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gbr. 17);
ctg x= tetapi;
x= arcctg Sebuah + P n,
di mana n = 0, ±1, ±2,... (Gbr. 18).
Sifat utama fungsi trigonometri terbalik:
busur dosa x(Gbr. 19): domain definisi adalah segmen [-1, 1]; jarak - [- P/2, P/2], fungsi yang meningkat secara monoton;
arccos x(Gbr. 20): domain definisi adalah segmen [-1, 1]; rentang nilai - ; fungsi yang menurun secara monoton;
arctg x(Gbr. 21): domain definisi - semua bilangan real; rentang nilai – interval (– P/2, P/2); fungsi yang meningkat secara monoton; lurus pada= –P/2 dan y \u003d p / 2 - asimtot horizontal;
arcctg x(Gbr. 22): domain definisi - semua bilangan real; rentang nilai - interval (0, P); fungsi yang menurun secara monoton; lurus kamu= 0 dan y = p adalah asimtot horizontal.
Karena fungsi trigonometri dari argumen kompleks sin z dan karena z(berlawanan dengan fungsi argumen nyata) ambil semua nilai kompleks, maka persamaan sin z = Sebuah dan karena z = Sebuah punya solusi untuk semua kompleks sebuah x Dan kamu adalah bilangan real, ada pertidaksamaan
½| e\ey–e-y| |sin z|≤½( e y + e-y),
½| e y–e-y| |cos z|≤½( e y +e -y),
di antaranya kamu® formula asimtotik mengikuti (seragam sehubungan dengan x)
|sin z| » 1/2 e |y| ,
| karena z| » 1/2 e |y| .
Fungsi trigonometri muncul untuk pertama kalinya sehubungan dengan penelitian di bidang astronomi dan geometri. Rasio segmen dalam segitiga dan lingkaran, yang pada dasarnya adalah fungsi trigonometri, sudah ditemukan pada abad ke-3. SM e. dalam karya matematikawan Yunani Kuno – Euclid, Archimedes, Apollonius dari Perga dan lain-lain, bagaimanapun, rasio ini bukan objek studi independen, sehingga mereka tidak mempelajari fungsi trigonometri seperti itu. Mereka awalnya dianggap sebagai segmen dan dalam bentuk ini digunakan oleh Aristarchus (akhir paruh ke-4 - ke-2 abad ke-3 SM), Hipparchus (abad ke-2 SM), Menelaus (abad ke-1 M). ) dan Ptolemy (abad ke-2 M) ketika memecahkan segitiga bola. Ptolemy menyusun tabel akord pertama untuk sudut lancip hingga 30 "dengan akurasi 10 -6. Ini adalah tabel sinus pertama. Sebagai rasio, fungsi sin a sudah ditemukan di Ariabhata (akhir abad ke-5). Fungsi tg a dan ctg a ditemukan di al- Battani (paruh ke-2 abad ke-9 - awal abad ke-10) dan Abul-Wefa (abad ke-10), yang juga menggunakan sec a dan cosec a... Aryabhata sudah mengetahui rumus ( sin 2 a + cos 2 a) \u003d 1, serta rumus sin dan cos setengah sudut, yang dengannya ia membuat tabel sinus untuk sudut melalui 3 ° 45 "; berdasarkan nilai fungsi trigonometri yang diketahui untuk argumen paling sederhana. Bhaskara (abad ke-12) memberikan metode untuk membuat tabel melalui 1 menggunakan rumus penjumlahan. Rumus untuk mengubah jumlah dan perbedaan fungsi trigonometri dari berbagai argumen menjadi produk diturunkan oleh Regiomontanus (abad ke-15) dan J. Napier sehubungan dengan penemuan logaritma (1614). Regiomontanus memberikan tabel nilai sinus melalui 1". Perluasan fungsi trigonometri menjadi deret pangkat diperoleh oleh I. Newton (1669). L. Euler (abad ke-18) membawa teori fungsi trigonometri ke dalam bentuk modern Dia memiliki definisi mereka untuk argumen yang nyata dan kompleks, diadopsi sekarang simbolisme, membangun hubungan dengan Fungsi eksponensial dan ortogonalitas sistem sinus dan kosinus.
|BD| - panjang busur lingkaran yang berpusat di titik A.
adalah sudut yang dinyatakan dalam radian.
garis singgung ( tgα) adalah fungsi trigonometri yang bergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki yang berlawanan |BC| dengan panjang kaki yang berdekatan |AB| .
Kotangen ( ctgα) adalah fungsi trigonometri tergantung pada sudut antara sisi miring dan kaki segitiga siku-siku, sama dengan rasio panjang kaki yang berdekatan |AB| dengan panjang kaki yang berlawanan |BC| .
Garis singgung
Di mana n- utuh.
DI DALAM sastra barat tangen didefinisikan sebagai berikut:
.
;
;
.
Grafik fungsi tangen, y = tg x
Kotangens
Di mana n- utuh.
Dalam literatur Barat, kotangen dilambangkan sebagai berikut:
.
Notasi berikut juga telah diadopsi:
;
;
.
Grafik fungsi kotangen, y = ctg x
Sifat-sifat tangen dan kotangen
Periodisitas
Fungsi y= tg x dan y= ctg x periodik dengan periode .
Keseimbangan
Fungsi tangen dan kotangen ganjil.
Domain definisi dan nilai, naik, turun
Fungsi tangen dan kotangen kontinu pada domain definisinya (lihat bukti kontinuitas). Sifat-sifat utama dari garis singgung dan kotangen disajikan dalam tabel ( n- bilangan bulat).
| y= tg x | y= ctg x | |
| Cakupan dan kontinuitas | ||
| Jarak nilai | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| naik | - | |
| Menurun | - | |
| Ekstrem | - | - |
| Nol, y= 0 | ||
| Titik potong dengan sumbu y, x = 0 | y= 0 | - |
Rumus
Ekspresi dalam bentuk sinus dan cosinus
;
;
;
;
;
Rumus untuk tangen dan kotangen dari jumlah dan perbedaan
Rumus lainnya mudah didapat, misalnya
Produk dari garis singgung
Rumus jumlah dan selisih garis singgung
Tabel ini menunjukkan nilai tangen dan kotangen untuk beberapa nilai argumen. 
Ekspresi dalam bilangan kompleks
Ekspresi dalam hal fungsi hiperbolik
;
;
Derivatif
; .
.
Turunan dari orde ke-n terhadap variabel x dari fungsi :
.
Turunan rumus untuk tangen > > > ; untuk kotangen > > >
integral
Ekspansi menjadi seri
Untuk mendapatkan ekspansi garis singgung dalam pangkat x, Anda perlu mengambil beberapa suku ekspansi dalam deret pangkat untuk fungsi dosa x Dan cos x dan membagi polinomial ini menjadi satu sama lain , . Ini menghasilkan rumus berikut.
Pada .
pada .
di mana B n- Nomor Bernoulli. Mereka ditentukan baik dari relasi perulangan:
;
;
di mana .
Atau menurut rumus Laplace: 
Fungsi terbalik
Fungsi kebalikan dari tangen dan kotangen masing-masing adalah arctangent dan arccotangent.
Arctangent, arctg
, di mana n- utuh.
Tangen busur, arcctg
, di mana n- utuh.
Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.
G. Korn, Buku Pegangan Matematika untuk Peneliti dan Insinyur, 2012.
Konsep dasar
Mari kita mulai dengan definisi fungsi genap, ganjil, dan periodik.
Definisi 2
Fungsi genap adalah fungsi yang nilainya tidak berubah ketika tanda variabel bebas berubah:
Definisi 3
Fungsi yang mengulangi nilainya pada interval waktu tertentu:
T adalah periode fungsi.
Fungsi trigonometri genap dan ganjil
Perhatikan gambar berikut (Gbr. 1):
Gambar 1.
Di sini $\overrightarrow(OA_1)=(x_1,y_1)$ dan $\overrightarrow(OA_2)=(x_2,y_2)$ adalah vektor dengan panjang satuan simetris terhadap sumbu $Ox$.
Jelas, koordinat vektor-vektor ini terkait dengan hubungan berikut:
Karena fungsi trigonometri sinus dan kosinus dapat ditentukan dengan menggunakan lingkaran trigonometri satuan, kita mendapatkan bahwa fungsi sinus ganjil, dan fungsi kosinus adalah fungsi genap, yaitu:
Periodisitas fungsi trigonometri
Perhatikan gambar berikut (Gbr. 2).
Gambar 2.
Di sini $\overrightarrow(OA)=(x,y)$ adalah vektor dengan panjang satuan.
Mari kita membuat putaran penuh dengan vektor $\overrightarrow(OA)$. Artinya, mari kita putar vektor yang diberikan sebesar $2\pi $ radian. Setelah itu, vektor akan sepenuhnya kembali ke posisi semula.
Karena fungsi trigonometri sinus dan kosinus dapat didefinisikan menggunakan lingkaran trigonometri satuan, kita mendapatkan bahwa
Artinya, fungsi sinus dan kosinus adalah fungsi periodik dengan periode terkecil $T=2\pi $.
Pertimbangkan sekarang fungsi tangen dan kotangen. Karena $tgx=\frac(sinx)(cosx)$, maka
Karena $сtgx=\frac(cosx)(sinx)$, maka
Contoh soal penggunaan genap, ganjil dan periodisitas fungsi trigonometri
Contoh 1
Buktikan pernyataan berikut:
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
a) $tg(385)^0=tg(25)^0$
Karena garis singgung adalah fungsi periodik dengan periode minimum $(360)^0$, kita mendapatkan
b) $(cos \left(-13\pi \right)\ )=-1$
Karena kosinus adalah fungsi genap dan periodik dengan periode minimum $2\pi $, kita peroleh
\[(cos \left(-13\pi \right)\ )=(cos 13\pi \ )=(cos \left(\pi +6\cdot 2\pi \right)=cos\pi \ )=- satu\]
c) $sin((-721)^0)=-sin1^0$
Karena sinus adalah fungsi ganjil dan periodik dengan periode minimum $(360)^0$, kita peroleh
