Latihan penyelesaian dengan topik pengurangan pecahan. Pengurangan pecahan aljabar: aturan, contoh. Algoritma Pengurangan Pecahan

Kemajuan pelajaran (28/09/16)

Subjek: mereduksi pecahan

Target: menurunkan aturan pengurangan pecahan dengan menggunakan tanda-tanda habis dibagi dan sifat-sifat dasar pecahan, serta mampu menerapkannya dalam praktik.

Tugas:

4. Mengembangkan kemampuan bekerja secara individu, berpasangan, berpendapat dan mempertahankan pendapat

SAYA Pengorganisasian waktu

Selamat pagi kawan! Saya senang melihat Anda dalam suasana hati yang baik. Kami memiliki banyak tamu hari ini. Kami akan mencoba menunjukkan pengetahuan dan keterampilan kami.

II Memperbarui pengetahuan

1. Berapakah pembagi bilangan a?

2. Berapakah KPK dari bilangan a dan b?

3. Bilangan apa saja yang disebut relatif prima?

5. Tanda-tanda habis dibagi 2, 5, 10, 3, 9.

6. Sebutkan sifat pokok pecahan.

7. Sebutkan beberapa pecahan yang sama dengan yang diberikan:

Dengan menggunakan sifat dasar pecahan, selesaikan dikte grafis.

Jawaban “ya” sama dengan +, jawaban “tidak” sama dengan -.

+ - - + + - - +

Tinjauan sejawat

Kriteria

8 tugas 3 poin

6-7 tugas 2 poin

4-5 tugas 1 poin

kurang dari 4 tugas 0 poin

III Persepsi primer materi pendidikan

Tangki kolam diisi dengan dua pipa. Satu pipa terisikolam renang selama satu jam, dan satu jam lagi. Pipa manakah yang bisa mengalirkan lebih banyak air?

Tugas

I t. - kolam per jam

II t. – kolam per jam

Pipa manakah yang membawa lebih banyak air?

Apa isi masalahnya?

Berapa banyak pipa yang mengisi kolam tersebut?

Apa yang dimaksud dengan masalah tentang pipa?

Apa yang perlu Anda temukan?

Apa yang perlu Anda ketahui untuk ini?

Dua siswa di papan tulis

= = (b) dalam satu jam saya menyalurkan

2) = = (b) dalam pipa satu jam II

Jawaban: Pipa kedua memungkinkan lebih banyak air melewatinya.

– Bisakah kita langsung membandingkan dua pecahan... tanpa transformasi?

– Bagaimana kalau membandingkan dua pecahan yang penyebutnya sama?

– Bagaimana kita mendapatkan pecahan yang sama, tetapi penyebutnya sama?

– Properti apa yang digunakan untuk ini?

IV Menentukan topik pelajaran

– Jadi, kita telah menerapkan sifat dasar pecahan, mengganti pecahan dengan pecahan yang sama besar dengan membagi pembilang dan penyebutnya dengan angka yang sama.

Hasilnya adalah pecahan yang nilainya sama dengan pecahan yang diberikan, tetapi pembilang dan penyebutnya lebih kecil

Transformasi ini disebut…. MENGURANGI FRAKSI

- Subjek pelajaran kita "Mengurangi pecahan". Tuliskan di buku catatan Anda.

– Sebuah cerita tentang penerapan konsep “reduksi”.

V Menetapkan tujuan pelajaran

– Sekarang coba rumuskan tujuan pelajaran kita, apa yang harus kita kenali dan apa yang harus kita pelajari dalam pelajaran tersebut.

Kami mengatur diri kami sendiri target:

Belajar mereduksi pecahan dengan menggunakan tanda-tanda pembagian bilangan dan sifat-sifat dasar pecahan.

Tugas

1. Merumuskan aturan pengurangan pecahan

2. Memperkenalkan konsep pecahan tak tersederhanakan

3. Belajar menerapkan aturan-aturan ini dalam praktik

– Bagaimana Anda mendapatkan jawabannya?

– Mari kita coba bersama-sama merumuskan aturan, apa itu pengurangan pecahan dan bagaimana cara mengurangi pecahan.

- Bagus sekali!

– Sekarang buka buku teks di halaman 39, baca aturannya (tulis di buku catatanmu)

VI Mengecek pemahaman siswa terhadap materi baru

= = guru menjelaskan

Kami memperoleh algoritma pengurangan pecahan: 12/18

Sekarang mari kita praktikkan pengetahuan baru kita. Untuk mengurangi pecahan dengan berkomentar, kami bekerja sesuai dengan opsi berikut:

– Kami akan menyelesaikan tugas sendiri, dua orang akan pergi ke papan dan menyelesaikan tugas di papan, lalu kami akan memeriksa semuanya bersama-sama.

____________________________________________________________________________

– Lihat slide, kurangi pecahannya jika memungkinkan:

– Pecahan manakah yang pembilang dan penyebutnya saling prima?

– Berapakah KPK pembilang dan penyebut pada kasus tersebut?

– Betul, 1. Artinya bilangan-bilangan tersebut tidak mempunyai pembagi persekutuan selain 1, dan pecahan tersebut tidak dapat dikurangi. Itulah yang disebut – tidak dapat direduksi.

– Coba rumuskan pengertian pecahan tak tersederhanakan.

(Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah bilangan prima, maka gcdnya sama dengan 1 dan pecahan tersebut tidak dapat direduksi.)

VII Konsolidasi

Tes, penilaian diri, kriteria

VIII Ringkasan Pelajaran

Pelajaran kita akan segera berakhir, saatnya untuk meringkas.

Tuliskan pekerjaan rumah Anda:

– Apa yang dimaksud dengan mereduksi pecahan?

– Apa yang berubah ketika pecahan direduksi?

– Pecahan manakah yang disebut tak tersederhanakan?

– Beri diri Anda nilai untuk pelajaran tersebut.

IX Refleksi

Apa yang kita bicarakan hari ini?

Tujuan apa yang telah kita tetapkan hari ini?

Sudahkah kita mencapai tujuan ini?

Apakah semuanya jelas?

Pelajaran sudah selesai! Selamat untuk kalian semua! Terima kasih atas pekerjaannya!

Pratinjau:

Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buatlah akun sendiri ( akun) Google dan masuk: https://accounts.google.com


Keterangan slide:

Analisis diri terhadap pelajaran Mengurangi pecahan kelas 6

Topik pelajaran: Mengurangi pecahan Tujuan pelajaran: menurunkan aturan pengurangan pecahan menggunakan sifat dasar pecahan dan tanda-tanda habis dibagi bilangan

Tujuan: merumuskan aturan pengurangan pecahan, memperkenalkan konsep pecahan tak tersederhanakan, belajar menerapkan aturan-aturan ini dalam praktik

Tahapan pembelajaran Hasil yang direncanakan Momen organisasi Menciptakan suasana psikologis yang baik Memperbarui pengetahuan Siswa mampu menjawab pertanyaan yang diajukan, mengetahui aturan sifat dasar pecahan, mengetahui cara menerapkannya Menentukan topik pelajaran Interaksi dengan guru selama percakapan yang dilakukan dalam mode frontal, ketika menyelesaikan suatu masalah yang menimbulkan situasi masalah, mengarah ke topik baru Menetapkan tujuan pembelajaran Siswa merumuskan tujuan pembelajaran, memahami makna praktis dari materi yang dipelajari

Tahapan pembelajaran Hasil yang direncanakan Persepsi primer dan asimilasi materi pendidikan baru Memastikan persepsi, pemahaman dan hafalan utama materi yang dipelajari Memeriksa pemahaman siswa terhadap materi baru Mengidentifikasi kualitas dan tingkat penguasaan materi Memasukkan materi baru ke dalam sistem sebelumnya pengetahuan yang diperoleh Siswa mampu mereduksi pecahan dengan menggunakan materi baru

Tahapan pembelajaran Hasil yang direncanakan Penguatan materi baru Mampu mereduksi pecahan Pekerjaan rumah Memastikan anak memahami tujuan, isi dan cara pelaksanaan pekerjaan rumah Ringkasan pelajaran Refleksi aktivitas Memberikan penilaian kualitatif terhadap pekerjaan kelas dan individu siswa.

Terima kasih atas perhatian Anda!



Mengurangi pecahan adalah topik yang cukup sulit untuk matematika kelas 6, jadi ada baiknya mempelajarinya selangkah demi selangkah. Untuk menghindari kesalahan, sebaiknya lakukan pemotongan pertama dengan cara yang sama, selangkah demi selangkah. Kami akan menyajikan algoritme untuk menghindari kesalahan dan mempelajari cara mengurangi pecahan apa pun dengan cepat dan mudah.

Algoritma untuk mereduksi pecahan.

Pertama kita perlu mengatakan bahwa pengurangan pecahan itu sendiri dimungkinkan berkat salah satu definisi pecahan.

Pecahan adalah operasi pembagian tidak lengkap. Artinya, pecahan apa pun selalu dapat digantikan dengan hasil bagi. Mengganti dengan pecahan diperlukan untuk menjaga keakuratan perhitungan.

Mari kita lihat seperti apa singkatan detailnya menggunakan contoh:

$$(25\over(40))=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

Agar ekspresi ini tidak selalu ditulis, Anda dapat menggunakan aturan pengurangan pecahan: jika Anda mengalikan atau membagi penyebutnya dengan angka yang sama, nilai pecahan tidak akan berubah.

Sekarang mari kita tuliskan algoritma itu sendiri. Untuk mengurangi pecahan yang Anda butuhkan:

  • Nyatakan pembilang dan penyebutnya sebagai faktor prima.
  • Hilangkan masing-masing faktor prima yang sama.
  • Lipat gandakan angka yang tersisa dan tuliskan hasilnya.

Daripada menuliskan pembilang dan penyebutnya sebagai faktor, Anda cukup mencari gcd dari pembilang dan penyebutnya. Ini akan menjadi angka maksimum yang memungkinkan kedua nilai dapat dibagi.

Tidak ada rumus khusus untuk mereduksi pecahan apa pun, tetapi Anda dapat menggunakan aturan yang diberikan dalam algoritma ini.

Bagaimana cara menemukan GCD?

Mari kita ingat bagaimana lokasi GCD:

  • Langkah pertama adalah memfaktorkan bilangan tersebut menjadi faktor prima.
  • Dalam perluasan, bilangan prima yang sama dicari dan dituliskan dalam ekspresi terpisah.
  • Nilai yang dihasilkan adalah GCD.

Mari kita beri contoh.
Anda perlu mencari KPK dari angka 150 dan 294.

Contoh

Mari kita beri contoh pengurangan pecahan. Untuk melakukannya, sederhanakan pecahan $(513216\over(145152))$. Misalnya dipilih secara khusus angka besar untuk menunjukkan bagaimana bilangan terbesar bisa menjadi kecil akibat penyederhanaan.

Kita tidak akan mencari gcd, kita akan memfaktorkan bilangan tersebut menjadi faktor prima dan mencari nilai persekutuannya.

513216:2=256608 - pertama-tama, bilangan tersebut habis dibagi 2. Agar suatu bilangan habis dibagi dua, bilangan satuannya harus genap.

256608:2=128304 - pembagian dengan 2 berlanjut hingga angka terakhir dari bilangan tersebut tidak lagi genap. Setelah ini, kita coba membagi bilangan tersebut dengan 3 dan bilangan prima lainnya. Semua bilangan prima ada di tabel bilangan prima.

Mari kita tuliskan hasil penguraiannya: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 - total kita mendapatkan 6 angka 3, 6 angka 2 dan nomor 11. Dengan cara yang sama kita menguraikan 145152 .

Mari kita tuliskan hasilnya:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 - total 8 angka 2, 4 angka 3 dan satu angka 7.

Pada kedua bilangan tersebut, Anda perlu mengurangi 6 bilangan 2 dan 4 bilangan 3. Mari kita tuliskan pembilang yang dihasilkan. Angka-angka yang akan tetap ada di dalamnya: 2 angka 3 dan angka 11

Mari kita tuliskan penyebut yang dihasilkan. Angka-angka yang akan tetap ada di dalamnya: 2, angka dua dan angka 7

Pengurangan yang dihasilkan menghasilkan sebagian kecil:

$(99\over(28))$ - Anda dapat memilih seluruh bagian jika diinginkan. Namun jika hal ini tidak diwajibkan dalam ketentuan tugas, maka diperbolehkan meninggalkan jawaban dalam formulir ini.

Apa yang telah kita pelajari?

Kami berbicara tentang pengurangan pecahan. Kami menemukan mengapa pengurangan itu mungkin dilakukan. Kami menemukan cara melakukan pengurangan dengan benar. Mereka memberikan algoritma reduksi dan dua metode untuk melakukan operasi. Kami melihat contoh pengurangan pecahan.

Uji topiknya

Peringkat artikel

Penilaian rata-rata: 4.5. Total peringkat yang diterima: 74.

Kelas: 6

Jenis pelajaran: pelajaran pengulangan, generalisasi dan sistematisasi pengetahuan.

Tujuan pelajaran:

Pelajaran ini adalah yang terakhir dalam topik “Mengurangi pecahan” dan bertujuan untuk mencapai tujuan berikut:

Kognitif:

  • mensistematisasikan pengetahuan tentang topik “mengurangi pecahan”;
  • mencapai keterampilan mereduksi pecahan bagi setiap siswa di kelas;
  • periksa keberadaan keterampilan di atas;
  • ulangi pada materi soal topik “kecepatan, waktu, jarak”
  • ulangi konversi satuan massa, waktu, panjang.
  • ulangi konsep sudut siku-siku dan sudut siku-siku
  • menerapkan pengetahuan siswa tentang pengurangan pecahan dalam situasi standar dan nonstandar.

Pendidikan:

  • pengembangan tuturan matematis (“Saya kurangi satu faktor…”, “pembilang dan penyebutnya dibagi…”), budaya membaca pecahan;
  • mengembangkan kemampuan membangun analogi.

Pendidik:

  • pengembangan ketenangan dan akurasi;
  • mengembangkan kemampuan mendengarkan orang lain dan pada saat yang sama kemampuan mempertahankan sudut pandang.

Perlengkapan untuk menyelenggarakan pembelajaran: komputer, proyektor multimedia, layar;

Untuk meningkatkan minat terhadap mata pelajaran, pembelajaran disusun dengan menggunakan ICT dalam bentuk presentasi Power point.

Struktur pelajaran:

  1. Momen organisasi, mengumpulkan buku catatan dengan pekerjaan rumah (2 menit)
  2. Nyatakan topik dan tujuan pelajaran (1 menit)
  3. Pekerjaan lisan (6 menit)
  4. Generalisasi dan sistematisasi pengetahuan tentang topik dan penerapannya dalam situasi standar dan situasi yang tidak standar(13 menit)
  5. Dikte matematika (13 menit)
  6. Pengulangan materi kelas 5. (7 menit)
  7. Ringkasan pelajaran (2 menit)
  8. Menetapkan pekerjaan rumah (1 menit)

Selama kelas

Pembelajaran disusun dalam bentuk presentasi Power titik (Aplikasi)

I. Momen organisasi.Pesan topik pelajaran.

II. Penghitungan verbal

  1. Juru ketik menyelesaikan pekerjaannya dalam 7 hari. Berapa banyak pekerjaan yang akan dia selesaikan dalam 1 hari? (1/7)
  2. Wisatawan berjalan kaki dari pangkalan menuju danau selama 4 jam dengan kecepatan 6 km/jam.
    A) Berapa jarak dari dasar ke danau? (24 km)
    B) Berapa kecepatan mereka kembali jika perjalanan pulang memakan waktu 3 jam? (8 km/jam)
  3. Berdasarkan buku teks No. 253 (a, b) (penulis N.Ya. Vilenkin).

Catatan: Materi komputasi sederhana untuk perhitungan mental memungkinkan Anda untuk lebih berkonsentrasi pada esensi pertanyaan dan dengan cepat melanjutkan untuk mengkonsolidasikan materi yang dipelajari pada topik “mengurangi pecahan”.

AKU AKU AKU. Pengulangan materi yang dipelajari

Solusi mandiri dengan tes mandiri online di komputer Anda.

IV. Jeda dinamis

V. Dikte matematika

Kurangi pecahannya:

Bagian apa

  1. satu ton adalah dua ratus berat (satu kilometer adalah dua ratus meter)
  2. satu jam adalah sepuluh menit (satu menit adalah lima belas detik)
  3. besar sudut siku-siku adalah tiga puluh derajat (besar sudut lurus adalah tiga puluh derajat)

Apakah pernyataan itu benar:

VI. Pengulangan materi kelas 5. Mengerjakan suatu tugas dari buku teks.

Nomor 267(1). Bekerja dengan papan.

  • Baca masalahnya.
  • Buatlah catatan singkat.
  • Bagaimana cara mengetahui kecepatan melawan arus?
  • Seberapa cepat rakit itu bergerak?
  • Apa yang diketahui tentang jalan yang diambil ke sana dan jalan yang diambil kembali?
  • Apa yang bisa Anda temukan dalam 1 tindakan?

(24-3)*3=63 (km) panjang jalur
63:3=21 (h) waktu pergerakan rakit

Jawaban: jam 21

VII. Ringkasan pelajaran.

  • Apa sifat utama pecahan?
  • Apa yang dimaksud dengan pengurangan pecahan?
  • Berikan contoh pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi.

VIII. Pekerjaan rumah

Nomor 266; 270; 274(b); 267(2).

Bibliografi:

  1. DEPARTEMEN PENDIDIKAN KOTA MOSKOW INSTITUT PENDIDIKAN TERBUKA MOSKOW
    PENGAJARAN MATEMATIKA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 Penulisan Metodologi
    Diedit oleh I.V. Yashchenko, A.V. semenov. Moskow. MIOO. OJSC "Buku Teks Moskow", 2009.
  2. N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. Matematika kelas 6, buku teks, bagian 1. Buku Teks Moskow OJSC, 2006.
  3. V.V. Vygovskaya. Perkembangan pembelajaran matematika kelas 6. Moskow, Vako, 2009.
  4. DALAM DAN. Zhokhov. Dikte matematika untuk kelas 6, Moskow, “Rosman”, 2003.

Untuk menyatakan suatu bagian sebagai pecahan dari keseluruhan, Anda perlu membagi bagian tersebut menjadi keseluruhan.

Tugas 1. Ada 30 siswa di kelas, empat tidak hadir. Berapa proporsi siswa yang tidak hadir?

Larutan:

Menjawab: Tidak ada siswa di kelas.

Menemukan pecahan dari suatu bilangan

Untuk menyelesaikan masalah di mana Anda perlu menemukan bagian dari keseluruhan, berlaku aturan berikut:

Jika suatu bagian dari suatu bilangan bulat dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk mencari bagian tersebut, Anda dapat membagi bilangan bulat tersebut dengan penyebut pecahan tersebut dan mengalikan hasilnya dengan pembilangnya.

Tugas 1. Ada 600 rubel, jumlah ini dibelanjakan. Berapa banyak uang yang kamu habiskan?

Larutan: untuk menemukan 600 rubel atau lebih, kita perlu membagi jumlah ini menjadi 4 bagian, dengan demikian kita akan mengetahui berapa banyak uang yang seperempatnya:

600: 4 = 150 (r.)

Menjawab: menghabiskan 150 rubel.

Tugas 2. Ada 1000 rubel, jumlah ini dibelanjakan. Berapa banyak uang yang dikeluarkan?

Larutan: dari rumusan masalah kita mengetahui bahwa 1000 rubel terdiri dari lima bagian yang sama. Pertama, mari kita cari berapa rubel yang merupakan seperlima dari 1000, lalu kita akan mengetahui berapa banyak rubel yang merupakan dua perlima:

1) 1000: 5 = 200 (r.) - seperlima.

2) 200 · 2 = 400 (r.) - dua perlima.

Kedua tindakan ini dapat digabungkan: 1000: 5 · 2 = 400 (r.).

Menjawab: 400 rubel dihabiskan.

Cara kedua untuk menemukan bagian dari keseluruhan:

Untuk mencari bagian dari suatu keseluruhan, Anda dapat mengalikan keseluruhan dengan pecahan yang menyatakan bagian dari keseluruhan tersebut.

Tugas 3. Menurut piagam koperasi, agar rapat pelaporan dapat sah, sekurang-kurangnya harus hadir anggota organisasi. Koperasi ini mempunyai 120 anggota. Dengan komposisi apa rapat pelaporan dapat dilakukan?

Larutan:

Menjawab: rapat pelaporan dapat berlangsung jika anggota organisasi berjumlah 80 orang.

Menemukan suatu bilangan berdasarkan pecahannya

Untuk menyelesaikan masalah di mana Anda perlu mencari keseluruhan dari bagiannya, berlaku aturan berikut:

Jika bagian dari bilangan bulat yang diinginkan dinyatakan sebagai pecahan, maka untuk mencari bilangan bulat tersebut, Anda dapat membagi bagian tersebut dengan pembilang pecahan dan mengalikan hasilnya dengan penyebutnya.

Tugas 1. Kami menghabiskan 50 rubel, lebih kecil dari jumlah aslinya. Temukan jumlah uang aslinya.

Larutan: dari uraian masalah kita melihat bahwa 50 rubel adalah 6 kali lebih kecil dari jumlah aslinya, yaitu jumlah aslinya 6 kali lebih banyak dari 50 rubel. Untuk mencari jumlah ini, Anda perlu mengalikan 50 dengan 6:

50 · 6 = 300 (r.)

Menjawab: jumlah awal adalah 300 rubel.

Tugas 2. Kami menghabiskan 600 rubel, lebih kecil dari jumlah uang aslinya. Temukan jumlah aslinya.

Larutan: Kita asumsikan jumlah yang dibutuhkan terdiri dari tiga pertiga. Menurut ketentuan, dua pertiga dari jumlah tersebut sama dengan 600 rubel. Pertama, cari sepertiga dari jumlah aslinya, lalu berapa rubel tiga pertiganya (jumlah aslinya):

1) 600: 2 3 = 900 (r.)

Menjawab: jumlah awalnya adalah 900 rubel.

Cara kedua untuk menemukan keseluruhan dari bagiannya:

Untuk mencari suatu bilangan bulat berdasarkan nilai yang menyatakan bagiannya, Anda dapat membagi nilai tersebut dengan pecahan yang menyatakan bagian tersebut.

Tugas 3. Segmen garis AB, sama dengan 42 cm, adalah panjang ruas tersebut CD. Temukan panjang segmen tersebut CD.

Larutan:

Menjawab: panjang segmen CD 70 cm.

Tugas 4. Semangka dibawa ke toko. Sebelum makan siang, toko menjual semangka yang dibawanya, dan setelah makan siang, tersisa 80 buah semangka untuk dijual. Berapa banyak semangka yang Anda bawa ke toko?

Larutan: Pertama, mari kita cari tahu bagian mana dari semangka yang dibawa yang jumlahnya 80. Caranya, kita ambil jumlah semangka yang dibawa menjadi satu dan kurangi dengan jumlah semangka yang terjual (terjual):

Jadi, kami mengetahui bahwa jumlah total semangka yang dibawa adalah 80 buah semangka. Sekarang kita cari tahu berapa banyak semangka dari jumlah keseluruhannya, lalu berapa banyak semangka yang ada (jumlah semangka yang dibawa):

2) 80: 4 15 = 300 (semangka)

Menjawab: Total 300 buah semangka dibawa ke toko.

Artikel ini melanjutkan tema transformasi pecahan aljabar: pertimbangkan tindakan seperti pengurangan pecahan aljabar. Mari kita definisikan istilah itu sendiri, merumuskan aturan reduksi dan menganalisis contoh-contoh praktis.

Arti mereduksi pecahan aljabar

Dalam materi tentang pecahan biasa, kami melihat pengurangannya. Kami mendefinisikan pengurangan pecahan sebagai pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan.

Mengurangi pecahan aljabar adalah operasi serupa.

Definisi 1

Mengurangi pecahan aljabar adalah pembagian pembilang dan penyebutnya dengan faktor persekutuan. Dalam hal ini, berbeda dengan pengurangan pecahan biasa (penyebut persekutuan hanya dapat berupa bilangan), faktor persekutuan pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar dapat berupa polinomial, khususnya monomial atau bilangan.

Misalnya pecahan aljabar 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 dapat dikurangi dengan angka 3, sehingga menghasilkan: x 2 + 2 x y 6 x 3 · y + 12 · x 2 · y 2. Kita dapat mereduksi pecahan yang sama dengan variabel x, dan hasilnya adalah 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Pecahan tertentu juga dapat direduksi menjadi monomial 3x atau salah satu polinomialnya x + 2 tahun, 3 x + 6 tahun , x 2 + 2 x tahun atau 3 x 2 + 6 x kamu.

Tujuan akhir mereduksi pecahan aljabar adalah pecahan yang bentuknya lebih sederhana, in skenario kasus terbaik– pecahan yang tidak dapat direduksi.

Apakah semua pecahan aljabar dapat direduksi?

Sekali lagi, dari materi tentang pecahan biasa, kita mengetahui bahwa ada pecahan yang dapat direduksi dan tidak dapat direduksi. Pecahan tak tersederhanakan adalah pecahan yang pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1.

Sama halnya dengan pecahan aljabar: pecahan tersebut mungkin memiliki faktor persekutuan pada pembilang dan penyebutnya, atau mungkin juga tidak. Kehadiran faktor persekutuan memungkinkan Anda menyederhanakan pecahan asli melalui reduksi. Jika tidak ada faktor persekutuan, tidak mungkin mengoptimalkan pecahan tertentu menggunakan metode reduksi.

Dalam kasus umum, mengingat jenis pecahan, cukup sulit untuk memahami apakah pecahan tersebut dapat direduksi. Tentu saja, dalam beberapa kasus, adanya faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut terlihat jelas. Misalnya pada pecahan aljabar 3 x 2 3 y terlihat jelas bahwa faktor persekutuannya adalah bilangan 3.

Pada pecahan - x · y 5 · x · y · z 3 kita juga langsung paham bahwa pecahan tersebut dapat dikurangi dengan x, atau y, atau x · y. Namun, lebih sering ada contoh pecahan aljabar, ketika faktor persekutuan pembilang dan penyebutnya tidak mudah dilihat, dan bahkan lebih sering lagi, faktor persekutuannya tidak ada.

Misalnya, kita dapat mengurangi pecahan x 3 - 1 x 2 - 1 dengan x - 1, sedangkan faktor persekutuan yang ditentukan tidak ada dalam entri. Tetapi pecahan x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 tidak dapat direduksi karena pembilang dan penyebutnya tidak mempunyai faktor persekutuan.

Jadi, pertanyaan tentang menentukan redukbilitas suatu pecahan aljabar tidaklah sesederhana itu, dan seringkali lebih mudah mengerjakan pecahan dengan bentuk tertentu daripada mencoba mencari tahu apakah pecahan tersebut dapat direduksi. Dalam hal ini, terjadi transformasi yang dalam kasus-kasus tertentu memungkinkan untuk menentukan faktor persekutuan pembilang dan penyebut atau untuk menarik kesimpulan tentang pecahan yang tidak dapat direduksi. Kami akan membahas masalah ini secara rinci di paragraf artikel berikutnya.

Aturan pengurangan pecahan aljabar

Aturan pengurangan pecahan aljabar terdiri dari dua tindakan berurutan:

  • mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebutnya;
  • jika ditemukan maka tindakan pengurangan pecahan dilakukan secara langsung.

Metode yang paling mudah untuk mencari penyebut yang sama adalah dengan memfaktorkan polinomial yang ada pada pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar tertentu. Hal ini memungkinkan Anda untuk segera melihat dengan jelas ada tidaknya faktor umum.

Tindakan mereduksi pecahan aljabar didasarkan pada sifat utama pecahan aljabar, yang dinyatakan dengan persamaan tidak terdefinisi, di mana a, b, c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol. Langkah pertama adalah mereduksi pecahan menjadi bentuk a · c b · c, yang langsung kita perhatikan faktor persekutuannya c. Langkah kedua adalah melakukan reduksi, yaitu. transisi ke pecahan bentuk a b .

Contoh tipikal

Meskipun sudah jelas, mari kita perjelas kasus spesial ketika pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar sama. Pecahan sejenis sama persis dengan 1 pada seluruh ODZ variabel pecahan ini:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 · x - x 2 · kamu 1 2 · x - x 2 · kamu ;

Karena pecahan biasa adalah kasus khusus pecahan aljabar, mari kita ingat bagaimana pengurangannya dilakukan. Bilangan asli yang tertulis pada pembilang dan penyebutnya difaktorkan menjadi faktor prima, kemudian faktor persekutuannya dihilangkan (jika ada).

Misalnya, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Hasil kali faktor identik sederhana dapat ditulis sebagai pangkat, dan dalam proses mereduksi pecahan, gunakan sifat membagi pangkat dengan basis yang identik. Maka solusi di atas adalah:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(pembilang dan penyebut dibagi dengan faktor persekutuan 2 2 3). Atau agar lebih jelasnya, berdasarkan sifat-sifat perkalian dan pembagian, kita berikan penyelesaiannya dalam bentuk sebagai berikut:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Dengan analogi, dilakukan pengurangan pecahan aljabar yang pembilang dan penyebutnya memiliki monomial dengan koefisien bilangan bulat.

Contoh 1

Pecahan aljabar diberikan - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z. Itu perlu dikurangi.

Larutan

Anda dapat menuliskan pembilang dan penyebut suatu pecahan sebagai hasil kali faktor dan variabel sederhana, lalu melakukan pengurangan:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 a 3 2 c 6

Namun, cara yang lebih rasional adalah dengan menuliskan solusi sebagai ekspresi dengan pangkat:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Menjawab:- 27 a 5 b 2 cz 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan aljabar mengandung koefisien numerik pecahan, ada dua kemungkinan cara untuk melakukan tindakan lebih lanjut: membagi koefisien pecahan ini secara terpisah, atau menghilangkan koefisien pecahan terlebih dahulu dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan tertentu. bilangan asli. Transformasi terakhir dilakukan karena sifat dasar pecahan aljabar (Anda dapat membacanya di artikel “Mengurangi pecahan aljabar ke penyebut baru”).

Contoh 2

Pecahan yang diberikan adalah 2 5 x 0, 3 x 3. Itu perlu dikurangi.

Larutan

Pengurangan pecahan dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Mari kita coba menyelesaikan soal secara berbeda, setelah terlebih dahulu menghilangkan koefisien pecahan - kalikan pembilang dan penyebutnya dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisien ini, mis. pada KPK (5, 10) = 10. Kemudian kita mendapatkan:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Jawaban: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Saat kita mereduksi pecahan aljabar pandangan umum, yang pembilang dan penyebutnya dapat berupa monomial atau polinomial, mungkin terdapat masalah jika faktor persekutuannya tidak selalu langsung terlihat. Atau lebih jauh lagi, itu tidak ada. Kemudian, untuk menentukan faktor persekutuan atau mencatat fakta ketidakhadirannya, pembilang dan penyebut pecahan aljabar difaktorkan.

Contoh 3

Pecahan rasional 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 diberikan. Itu perlu dikurangi.

Larutan

Mari kita faktorkan polinomial pada pembilang dan penyebutnya. Mari kita keluarkan dari tanda kurung:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Kita melihat bahwa ekspresi dalam tanda kurung dapat diubah menggunakan rumus perkalian yang disingkat:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Terlihat jelas bahwa pecahan dapat direduksi dengan faktor persekutuan b 2 (a + 7). Mari kita lakukan pengurangan:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Mari kita tuliskan solusi singkat tanpa penjelasan sebagai rantai persamaan:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Menjawab: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Kebetulan faktor persekutuan disembunyikan oleh koefisien numerik. Kemudian, saat mereduksi pecahan, yang terbaik adalah menempatkan faktor numerik pada pangkat lebih tinggi dari pembilang dan penyebutnya di luar tanda kurung.

Contoh 4

Diketahui pecahan aljabar 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Hal ini diperlukan untuk menguranginya jika memungkinkan.

Larutan

Sepintas, pembilang dan penyebutnya tidak memiliki penyebut yang sama. Namun, mari kita coba mengonversi pecahan yang diberikan. Mari kita keluarkan faktor x pada pembilangnya:

1 5 x - 2 7 x 3 tahun 5 x 2 tahun - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 tahun 5 x 2 tahun - 3 1 2

Sekarang Anda dapat melihat kemiripan antara ekspresi dalam tanda kurung dan ekspresi dalam penyebut karena x 2 y . Mari kita keluarkan koefisien numerik pangkat lebih tinggi dari polinomial berikut:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 tahun 5 x 2 tahun - 7 10

Sekarang faktor persekutuannya menjadi terlihat, kita melakukan pengurangan:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Menjawab: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Mari kita tekankan bahwa keterampilan mereduksi pecahan rasional bergantung pada kemampuan memfaktorkan polinomial.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Publikasi terkait