Tugas kombinatorial (kelas 5). Masalah kombinatorial. Contoh solusi Kombinasi kombinatorial tanpa pengulangan
Perlu dicatat bahwa kombinatorika adalah cabang independen dari matematika yang lebih tinggi (dan bukan bagian dari terver) dan buku teks yang berbobot telah ditulis tentang disiplin ini, yang isinya, kadang-kadang, tidak lebih ringan dari aljabar abstrak. Namun, kami akan memiliki sedikit pengetahuan teoretis, dan dalam artikel ini saya akan mencoba membongkar dasar-dasar topik dengan masalah kombinatorial khas dalam bentuk yang dapat diakses. Dan banyak dari Anda akan membantu saya ;-)
Apa yang akan kita lakukan? Dalam arti sempit, kombinatorik adalah penghitungan berbagai kombinasi yang dapat dibuat dari himpunan tertentu diskrit objek. Objek dipahami sebagai objek atau makhluk hidup yang terisolasi - manusia, hewan, jamur, tumbuhan, serangga, dll. Pada saat yang sama, para kombinatorialis sama sekali tidak peduli bahwa set itu terdiri dari sepiring semolina, besi solder, dan katak rawa. Pada dasarnya penting bahwa objek-objek ini cocok untuk enumerasi - ada tiga di antaranya (kebijaksanaan) dan adalah penting bahwa tidak satupun dari mereka yang sama.
Kami menemukan banyak, sekarang tentang kombinasi. Jenis kombinasi yang paling umum adalah permutasi objek, pemilihannya dari himpunan (kombinasi) dan distribusi (penempatan). Mari kita lihat bagaimana ini terjadi sekarang:
Permutasi, kombinasi dan penempatan tanpa pengulangan
Jangan terintimidasi oleh istilah-istilah yang tidak jelas, terutama karena beberapa di antaranya benar-benar tidak terlalu berhasil. Mari kita mulai dengan bagian ekor heading - yang artinya “ tidak ada pengulangan"? Ini berarti bahwa pada bagian ini kita akan mempertimbangkan himpunan yang terdiri dari bermacam-macam objek. Misalnya ... tidak, saya tidak akan menawarkan bubur dengan besi solder dan katak, sesuatu yang lebih enak lebih baik =) Bayangkan sebuah apel, pir, dan pisang muncul di meja di depan Anda (jika ada , situasinya dapat disimulasikan dalam kehidupan nyata). Kami menyebarkan buah dari kiri ke kanan dalam urutan berikut:
apel / pir / pisang
Pertanyaan pertama: berapa banyak cara mereka dapat diatur ulang?
Satu kombinasi telah ditulis di atas dan tidak ada masalah dengan sisanya:
apel / pisang / pir
pir / apel / pisang
pir / pisang / apel
pisang / apel / pir
pisang / pir / apel
Total: 6 kombinasi atau 6 permutasi.
Nah, di sini tidak sulit untuk membuat daftar semua kemungkinan kasus, tetapi bagaimana jika ada lebih banyak objek? Sudah dengan empat buah yang berbeda, jumlah kombinasi akan meningkat secara signifikan!
Silakan buka materi latar belakang (manual nyaman untuk dicetak) dan pada poin nomor 2 temukan rumus banyaknya permutasi.
Tidak ada kerumitan - 3 objek dapat diatur ulang dengan cara yang berbeda.
Pertanyaan kedua: berapa banyak cara kamu dapat memilih a) satu buah, b) dua buah, c) tiga buah, d) setidaknya satu buah?
Mengapa memilih? Jadi mereka meningkatkan nafsu makan di paragraf sebelumnya - untuk makan! =)
a) Satu buah dapat dipilih, tentu saja, dengan tiga cara - ambil apel, atau pir, atau pisang. Perhitungan formal dilakukan menurut rumus banyaknya kombinasi:
Entri dalam kasus ini harus dipahami sebagai berikut: "dalam berapa banyak cara Anda dapat memilih 1 buah dari tiga?"
b) Kami membuat daftar semua kemungkinan kombinasi dari dua buah:
apel dan pir;
apel dan pisang;
pir dan pisang.
Jumlah kombinasi dapat dengan mudah diperiksa menggunakan rumus yang sama:
Notasinya dipahami dengan cara yang sama: "dalam berapa banyak cara Anda dapat memilih 2 buah dari tiga?"
c) Dan akhirnya, tiga buah dapat dipilih dengan satu cara:
Omong-omong, rumus jumlah kombinasi juga masuk akal untuk pilihan kosong:
Anda tidak dapat memilih satu buah pun - pada kenyataannya, tidak mengambil apa pun dan hanya itu.
d) Berapa banyak cara yang dapat kamu ambil? setidaknya satu buah? Kondisi "minimal satu" berarti kita puas dengan 1 buah (apa saja) atau 2 buah apa pun atau ketiga buah:
cara Anda dapat memilih setidaknya satu buah.
Pembaca yang telah mempelajari pelajaran pengantar dengan seksama tentang teori probabilitas, sudah menebak sesuatu. Tapi tentang arti tanda plus nanti.
Untuk menjawab pertanyaan selanjutnya, saya membutuhkan dua orang sukarelawan ... ... Nah, karena tidak ada yang mau, maka saya akan memanggil mereka ke dewan =)
Pertanyaan ketiga: dalam berapa cara kamu dapat membagikan satu buah kepada Dasha dan Natasha?
Untuk membagikan dua buah, Anda harus memilihnya terlebih dahulu. Menurut poin "bh" dari pertanyaan sebelumnya, ini bisa dilakukan dengan cara, saya akan menulis ulang lagi:
apel dan pir;
apel dan pisang;
pir dan pisang.
Tapi sekarang akan ada dua kali lebih banyak kombinasi. Pertimbangkan, misalnya, pasangan buah pertama:
Anda dapat memperlakukan Dasha dengan apel, dan Natasha dengan pir;
atau sebaliknya - pir akan pergi ke Dasha, dan apel - ke Natasha.
Dan permutasi seperti itu dimungkinkan untuk setiap pasang buah.
Pertimbangkan kelompok siswa yang sama yang menari. Berapa banyak cara anak laki-laki dan perempuan dapat berpasangan?
Anda dapat memilih 1 pemuda dengan cara;
cara Anda dapat memilih 1 gadis.
Jadi, satu pemuda dan satu gadis dapat dipilih: 
cara.
Ketika satu objek dipilih dari setiap set, prinsip kombinasi penghitungan berikut ini valid: “ setiap sebuah benda dari satu himpunan dapat membentuk pasangan dengan setiap objek dari himpunan lain."
Artinya, Oleg dapat mengundang salah satu dari 13 gadis untuk menari, Eugene - juga salah satu dari tiga belas, dan anak muda lainnya memiliki pilihan yang sama. Total: kemungkinan pasangan.
Perlu dicatat bahwa dalam contoh ini, "sejarah" pasangan tidak relevan; namun, jika kita memperhitungkan inisiatif, maka jumlah kombinasi harus digandakan, karena masing-masing dari 13 gadis juga dapat mengundang pria muda mana pun untuk menari. Itu semua tergantung pada kondisi tugas tertentu!
Prinsip yang sama berlaku untuk kombinasi yang lebih kompleks, misalnya: berapa banyak cara Anda dapat memilih dua pemuda? dan dua gadis untuk berpartisipasi dalam adegan KVN?
Persatuan DAN dengan tegas mengisyaratkan bahwa kombinasi harus dikalikan:
Kemungkinan kelompok seniman.
Dengan kata lain, setiap Sepasang pemuda (45 pasangan unik) dapat tampil dengan setiap sepasang anak perempuan (78 pasangan unik). Dan jika kita mempertimbangkan pembagian peran di antara para peserta, maka akan ada lebih banyak kombinasi. ... Saya sangat ingin, tetapi masih menahan diri untuk tidak melanjutkan, agar tidak menanamkan keengganan pada kehidupan siswa =).
Aturan perkalian kombinasi berlaku untuk jumlah besar faktor:
Soal 8
Ada berapa bilangan tiga angka yang habis dibagi 5?
Larutan: untuk kejelasan, mari kita tentukan nomor ini dengan tiga tanda bintang: ***
V pangkat ratusan Anda dapat menulis salah satu angka (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 atau 9). Nol tidak akan berfungsi, karena dalam hal ini jumlahnya tidak lagi tiga digit.
Tapi di peringkat puluhan("Di tengah") Anda dapat memilih salah satu dari 10 digit :.
Dengan syarat, bilangan tersebut harus habis dibagi 5. Bilangan tersebut habis dibagi 5 jika diakhiri dengan 5 atau 0. Jadi, dalam bit terkecil kita puas dengan 2 digit.
Total, ada: bilangan tiga angka yang habis dibagi 5.
Dalam hal ini, pekerjaan diuraikan sebagai berikut: “Dalam 9 cara Anda dapat memilih nomor di pangkat ratusan dan 10 cara untuk memilih angka di peringkat puluhan dan 2 cara masuk peringkat unit»
Atau bahkan lebih sederhana: “ setiap dari 9 digit ke pangkat ratusan gabungan dengan masing-masing 10 digit pangkat puluhan dan dengan masing-masing dari dua digit dalam kategori orang».
Menjawab: 180
Dan sekarang…
Ya, saya hampir lupa tentang komentar yang dijanjikan untuk masalah nomor 5, di mana Bora, Dima dan Volodya dapat dibagikan masing-masing satu kartu dengan cara. Perkalian di sini memiliki arti yang sama: dengan cara Anda dapat mengekstrak 3 kartu dari dek DAN di setiap mengatur ulang mereka dalam sampel.
Dan sekarang tugas untuk solusi independen ... sekarang saya akan memikirkan sesuatu yang lebih menarik ... biarlah tentang blackjack versi Rusia yang sama:
Soal 9
Berapa banyak kombinasi pemenang dari 2 kartu yang ada dalam permainan poin?
Bagi mereka yang tidak tahu: kombinasi 10 + ACE (11 poin) = 21 poin menang, dan mari kita pertimbangkan kombinasi dua ace sebagai kombinasi pemenang.
(urutan kartu dalam pasangan apa pun tidak masalah)
Solusi dan jawaban singkat di akhir tutorial.
Omong-omong, contoh tidak boleh dianggap primitif. Blackjack hampir merupakan satu-satunya permainan yang memiliki algoritma suara matematis yang memungkinkan Anda untuk menang di kasino. Mereka yang tertarik dapat dengan mudah menemukan banyak informasi tentang strategi dan taktik yang optimal. Benar, master seperti itu dengan cepat jatuh ke dalam daftar hitam semua perusahaan =)
Saatnya untuk mengkonsolidasikan materi yang telah berlalu dengan beberapa tugas yang solid:
Soal 10
Vasya memiliki 4 kucing di rumah.
a) dalam berapa cara kucing dapat duduk di sudut ruangan?
b) berapa banyak cara Anda dapat membiarkan kucing berjalan-jalan?
c) dalam berapa cara Vasya dapat mengambil dua kucing (satu di kiri, yang lain di kanan)?
Kami memecahkan: pertama, sekali lagi Anda harus memperhatikan fakta bahwa masalahnya adalah tentang berbeda objek (bahkan jika kucing adalah kembar identik). Ini adalah syarat yang sangat penting!
a) Keheningan kucing. Eksekusi ini tunduk pada semua kucing sekaligus
+ lokasinya penting, jadi ada permutasi di sini:
cara menanam kucing di sudut-sudut ruangan.
Saya ulangi bahwa ketika mengatur ulang, hanya jumlah objek yang berbeda dan posisi relatifnya yang penting. Tergantung pada suasana hatinya, Vasya dapat mendudukkan hewan dalam setengah lingkaran di sofa, berjajar di ambang jendela, dll. - akan ada 24 permutasi dalam semua kasus. Untuk kenyamanan, mereka yang ingin dapat membayangkan bahwa kucing berwarna-warni (misalnya, putih, hitam, merah dan kucing) dan daftar semua kemungkinan kombinasi.
b) Berapa banyak cara Anda dapat membiarkan kucing berjalan-jalan?
Diasumsikan bahwa kucing berjalan-jalan hanya melalui pintu, sedangkan pertanyaannya menyiratkan ketidakpedulian tentang jumlah hewan - 1, 2, 3 atau semua 4 kucing dapat berjalan-jalan.
Kami mempertimbangkan semua kemungkinan kombinasi:
Dengan cara Anda dapat membiarkan satu kucing berjalan-jalan (salah satu dari empat); 
dengan cara Anda dapat membiarkan dua kucing berjalan-jalan (sebutkan sendiri pilihannya);
dengan cara Anda dapat membiarkan tiga kucing berjalan-jalan (salah satu dari empat kucing duduk di rumah);
semua kucing bisa dilepaskan dengan cara ini.
Anda mungkin menebak bahwa nilai yang diperoleh harus diringkas:
cara Anda bisa membiarkan kucing berjalan-jalan.
Untuk penggemar, saya mengusulkan versi masalah yang rumit - ketika kucing mana pun dalam sampel apa pun dapat secara acak keluar ke jalan, baik melalui pintu maupun melalui jendela di lantai 10. Kombinasi akan meningkat secara signifikan!
c) Berapa banyak cara Vasya dapat mengambil dua kucing?
Situasinya tidak hanya melibatkan pilihan 2 hewan, tetapi juga penempatannya dengan tangan:
cara Anda dapat mengambil 2 kucing.
Solusi kedua: Anda dapat memilih dua kucing dengan cara dan cara menanam setiap sepasang tangan: 
Menjawab: a) 24, b) 15, c) 12
Nah, untuk membersihkan hati nurani Anda, sesuatu yang lebih spesifik tentang mengalikan kombinasi…. Biarkan Vasya memiliki 5 kucing tambahan =) Dalam berapa banyak cara Anda dapat membiarkan 2 kucing berjalan-jalan dan 1 kucing?
Yaitu dengan setiap beberapa kucing dapat dilepaskan setiap kucing.
Akordeon tombol lain untuk solusi independen:
Tugas 11
3 penumpang masuk ke lift gedung 12 lantai. Setiap orang, terlepas dari yang lain, dengan probabilitas yang sama dapat keluar di lantai mana pun (mulai dari lantai 2). Dalam banyak hal:
1) penumpang bisa turun di lantai yang sama (urutan keluar tidak masalah);
2) dua orang bisa keluar di satu lantai, dan yang ketiga - di lantai lain;
3) orang bisa keluar di lantai yang berbeda;
4) dapatkah penumpang turun dari lift?
Dan di sini mereka sering bertanya lagi, saya klarifikasi: jika 2 atau 3 orang keluar di lantai yang sama, maka urutan keluarnya tidak masalah. BERPIKIR, gunakan rumus dan aturan untuk menambah / mengalikan kombinasi. Jika mengalami kesulitan, sangat berguna bagi penumpang untuk memberi nama dan berspekulasi dalam kombinasi apa yang bisa mereka keluarkan dari lift. Tidak perlu kesal jika sesuatu tidak berhasil, misalnya, poin nomor 2 cukup rumit, namun, salah satu pembaca menemukan solusi sederhana, dan sekali lagi saya mengucapkan terima kasih atas surat Anda!
Solusi lengkap dengan komentar mendetail di akhir tutorial.
Paragraf terakhir dikhususkan untuk kombinasi yang juga cukup umum - menurut penilaian subjektif saya, pada sekitar 20-30% masalah kombinatorial:
Permutasi, kombinasi dan penempatan dengan pengulangan
Jenis kombinasi yang terdaftar diuraikan dalam paragraf No. 5 dari bahan referensi Rumus kombinatorial dasar namun, beberapa di antaranya mungkin tidak begitu jelas saat dibaca pertama kali. Dalam hal ini, disarankan terlebih dahulu untuk berkenalan dengan contoh-contoh praktis, dan baru kemudian memahami rumusan umum. Pergi:
Permutasi dengan pengulangan
Dalam permutasi dengan pengulangan, seperti dalam permutasi "biasa", berpartisipasi seluruh set objek sekaligus, tetapi ada satu hal: dalam himpunan tertentu, satu atau lebih elemen (objek) diulang. Memenuhi standar berikutnya:
Tugas 12
Berapa banyak kombinasi huruf berbeda yang dapat kamu peroleh dengan menyusun kembali kartu-kartu dengan huruf-huruf berikut: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?
Larutan: jika semua hurufnya berbeda, maka rumus sepele harus diterapkan, namun, cukup jelas bahwa untuk set kartu yang diusulkan, beberapa manipulasi akan berfungsi "menganggur", jadi, misalnya, jika Anda menukar apa pun dua kartu dengan huruf "K" Dalam kata apa pun, Anda mendapatkan kata yang sama. Selain itu, secara fisik kartunya bisa sangat berbeda: satu berbentuk bulat dengan huruf "K" yang dicetak, yang lain - persegi dengan huruf "K" yang ditarik. Tetapi dalam arti tugas, bahkan kartu seperti itu dianggap sama, karena kondisi menanyakan tentang kombinasi huruf.
Semuanya sangat sederhana - hanya: 11 kartu, termasuk surat:
K - diulang 3 kali;
O - diulang 3 kali;
L - diulang 2 kali;
B - diulang 1 kali;
H - berulang 1 kali;
Dan - itu diulang 1 kali.
Periksa: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, itulah yang harus kami periksa.
Menurut rumus jumlah permutasi dengan pengulangan:
kombinasi huruf yang berbeda dapat diperoleh. Lebih dari setengah juta!
Untuk menghitung nilai faktorial besar dengan cepat, akan lebih mudah untuk menggunakan fungsi Excel standar: kami berkendara ke sel mana pun = FAKTA (11) dan tekan Memasuki.
Dalam praktiknya, sangat dapat diterima untuk tidak menuliskan rumus umum dan, sebagai tambahan, menghilangkan faktorial satuan: 
Tapi komentar awal tentang surat berulang diperlukan!
Menjawab: 554400
Contoh tipikal lain dari permutasi dengan pengulangan ditemukan dalam masalah penempatan bidak catur, yang dapat ditemukan di gudang. solusi siap pakai dalam pdf yang sesuai. Dan untuk solusi independen, saya membuat tugas templat yang lebih sedikit:
Tugas 13
Alexey masuk untuk olahraga, dan 4 hari seminggu - atletik, 2 hari - latihan kekuatan dan 1 hari istirahat. Dalam berapa cara dia dapat menjadwalkan kelasnya selama seminggu?
Rumus tidak akan berfungsi di sini karena memperhitungkan permutasi yang tumpang tindih (misalnya, ketika latihan kekuatan pada hari Rabu diganti dengan latihan kekuatan pada hari Kamis). Dan lagi - pada kenyataannya, 2 latihan kekuatan yang sama bisa sangat berbeda satu sama lain, tetapi sesuai dengan konteks tugas (dari sudut pandang jadwal) mereka dianggap sebagai elemen yang sama.
Solusi dua baris dan jawaban di akhir pelajaran.
Kombinasi dengan pengulangan
Fitur yang menonjol Jenis kombinasi ini terdiri dari kenyataan bahwa pemilihan dibuat dari beberapa kelompok, yang masing-masing terdiri dari objek yang sama.
Semua orang melakukan pekerjaan dengan baik hari ini, jadi inilah saatnya untuk menyegarkan diri:
Tugas 14
Kantin siswa menjual sosis panggang, kue keju, dan donat. Berapa banyak cara Anda bisa mendapatkan lima pai?
Larutan: segera perhatikan kriteria khas kombinasi dengan pengulangan - sesuai dengan kondisi, pilihan tidak ditawarkan satu set objek seperti itu, tetapi jenis yang berbeda objek; ini mengasumsikan bahwa setidaknya ada lima hot dog, 5 kue keju, dan 5 donat yang dijual. Pai di setiap kelompok, tentu saja, berbeda - untuk donat yang benar-benar identik hanya dapat dimodelkan di komputer =) Namun, karakteristik fisik pai tidak penting dalam arti masalahnya, dan hot dog / kue keju / donat di kelompoknya dianggap sama.
Apa yang bisa ada dalam sampel? Pertama-tama, perlu dicatat bahwa sampel pasti akan berisi pai yang sama (karena kami memilih 5 buah, dan ada 3 jenis untuk dipilih). Ada pilihan untuk setiap selera: 5 hot dog, 5 kue keju, 5 donat, 3 hot dog + 2 kue keju, 1 hot dog + 2 + kue keju + 2 donat, dll.
Seperti kombinasi "biasa", urutan pemilihan dan penempatan pai dalam sampel tidak masalah - mereka hanya memilih 5 buah dan hanya itu.
Kami menggunakan rumus 
jumlah kombinasi dengan pengulangan: 
dengan cara ini Anda dapat membeli 5 pai.
Selamat makan!
Menjawab: 21
Kesimpulan apa yang dapat ditarik dari banyak masalah kombinatorial?
Terkadang, hal yang paling sulit adalah memahami kondisinya.
Contoh serupa untuk solusi yang berdiri sendiri:
Tugas 15
Dompet berisi sejumlah besar koin 1-, 2-, 5- dan 10-rubel. Berapa banyak cara Anda bisa mendapatkan tiga koin dari dompet Anda?
Untuk pengendalian diri, jawablah beberapa pertanyaan sederhana:
1) Bisakah semua koin dalam sampel berbeda?
2) Apa kombinasi koin "termurah" dan "paling mahal".
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Dari pengalaman pribadi saya, saya dapat mengatakan bahwa kombinasi dengan pengulangan adalah pengunjung paling langka dalam praktik, yang tidak dapat dikatakan tentang jenis kombinasi berikut:
Penempatan dengan pengulangan
Dari himpunan yang terdiri dari elemen, elemen dipilih, dan urutan elemen dalam setiap pemilihan adalah penting. Dan semuanya akan baik-baik saja, tetapi lelucon yang agak tidak terduga adalah bahwa kita dapat memilih objek apa pun dari set asli sebanyak yang kita suka. Secara kiasan, dari "orang banyak tidak akan berkurang."
Kapan ini terjadi? Contoh tipikal adalah kunci kombinasi dengan beberapa disk, tetapi karena perkembangan teknologi, lebih relevan untuk mempertimbangkan turunan digitalnya:
Tugas 16
Ada berapa kode PIN empat digit?
Larutan: sebenarnya, untuk menyelesaikan masalah, cukup mengetahui aturan kombinatorik: dengan cara Anda dapat memilih digit pertama dari kode pin dan cara - digit kedua dari kode pin dan dengan cara yang sama - yang ketiga dan sebanyak - keempat. Jadi, menurut aturan perkalian kombinasi, kode pin empat digit dapat dibuat: dengan cara.
Dan sekarang dengan rumus. Dengan syarat, kami ditawari satu set angka, dari mana nomor dipilih dan ditempatkan dalam urutan tertentu, sedangkan angka-angka dalam sampel dapat diulang (yaitu setiap digit dari set awal dapat digunakan beberapa kali)... Menurut rumus jumlah penempatan dengan pengulangan: 
Menjawab: 10000
Apa yang terlintas dalam pikiran ... ... jika ATM memakan kartu setelah upaya ketiga yang gagal untuk memasukkan kode PIN, maka peluang untuk mengambilnya secara acak sangat tipis.
Dan siapa bilang tidak ada arti praktis dalam kombinatorik? Tugas kognitif untuk semua pembaca situs:
Tugas 17
Menurut standar negara, plat nomor mobil terdiri dari 3 angka dan 3 huruf. Dalam hal ini, angka dengan tiga nol tidak dapat diterima, dan huruf dipilih dari himpunan A, B, E, K, M, H, O, P, C, T, Y, X (hanya huruf Cyrillic yang digunakan, ejaannya bertepatan dengan huruf Latin).
Berapa banyak plat nomor berbeda yang dapat saya buat untuk suatu wilayah?
Ngomong-ngomong, jumlahnya tidak begitu banyak. Di wilayah yang luas, jumlah ini tidak cukup, dan oleh karena itu bagi mereka ada beberapa kode untuk prasasti RUS.
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran. Jangan lupa untuk menggunakan aturan kombinatorial ;-) ... Saya ingin menyombongkan diri sebagai eksklusif, tetapi ternyata tidak eksklusif =) Saya melihat Wikipedia - ada perhitungan, namun, tanpa komentar. Meskipun untuk tujuan pendidikan, mungkin, sangat sedikit orang yang memecahkannya.
Pelajaran menarik kami telah berakhir, dan pada akhirnya saya ingin mengatakan bahwa Anda tidak membuang waktu Anda - karena formula kombinatorik menemukan hal penting lainnya. penggunaan praktis: mereka ditemukan di berbagai teori probabilitas,
dan masuk masalah pada definisi klasik probabilitas- terutama sering =)
Terima kasih atas partisipasi aktif Anda dan sampai jumpa!
Solusi dan Jawaban:
Tujuan 2: Larutan: tentukan banyaknya semua kemungkinan permutasi dari 4 kartu:
Ketika kartu dengan nol berada di tempat pertama, angkanya menjadi tiga digit, jadi kombinasi ini harus dikecualikan. Biarkan nol berada di tempat pertama, maka 3 digit yang tersisa dalam digit terkecil dapat disusun kembali dengan cara.
Catatan
: sejak Tidak banyak kartu, mudah untuk membuat daftar semua opsi seperti itu di sini:
0579
0597
0759
0795
0957
0975
Jadi, dari set yang diusulkan Anda dapat membuat:
24 - 6 = 18 angka empat digit
Menjawab
: 18
Tugas 4: Larutan: Anda dapat memilih 3 kartu dari 36 dengan cara. dan
2) Set "termurah" berisi 3 koin rubel, dan set paling "mahal" berisi 3 koin sepuluh rubel.
Soal 17: Larutan: 
cara Anda dapat membuat kombinasi digital dari plat nomor, sementara salah satunya (000) harus dikecualikan :.
cara Anda dapat membuat kombinasi abjad dari plat nomor.
Menurut aturan perkalian kombinasi, totalnya dapat dibuat:
nomor mobil
(setiap kombinasi digital digabungkan dengan masing-masing kombinasi huruf).
Menjawab
: 1726272
Abstrak dengan topik:
Diselesaikan oleh siswa kelas 10 "B"
sekolah menengah nomor 53
Glukhov Mikhail Alexandrovich
Naberezhnye Chelny
tahun 2002
Isi
| Dari sejarah kombinatorik _________________________________________ | 3 |
| Aturan penjumlahan ___________________________________________________ | 4 |
| - | |
| Aturan produk _____________________________________________ | 4 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Himpunan berpotongan ____________________________ | 5 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Lingkaran Euler _________________________________________ | - |
| Penempatan tanpa pengulangan ___________________________ | 6 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Permutasi tanpa pengulangan __________________________ | 7 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Kombinasi tanpa pengulangan _____________________________ | 8 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Penempatan dan kombinasi tanpa pengulangan ______________________________ | 9 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Permutasi dengan pengulangan ____________________________ | 9 |
| Contoh tugas ______________________________________________________ | - |
| Tugas untuk solusi independen ________________________________ | 10 |
| Bibliografi___________________________________ | 11 |
Dari sejarah kombinatorika
Kombinatorik berurusan dengan dari berbagai jenis senyawa yang dapat dibentuk dari unsur-unsur himpunan berhingga. Beberapa elemen teori kombinatorial telah dikenal di India pada awal abad ke-2. SM NS. Orang Nidian tahu cara menghitung angka, yang sekarang disebut "kombinasi". Pada abad XII. Bhaskara menghitung beberapa jenis kombinasi dan permutasi. Diyakini bahwa para sarjana India mempelajari senyawa sehubungan dengan penerapannya dalam puisi, ilmu tentang struktur syair dan puisi. Misalnya, sehubungan dengan perhitungan kemungkinan kombinasi suku kata kaki yang tertekan (panjang) dan tidak bertekanan (pendek) dari n suku kata. Sebagai disiplin ilmu, kombinatorik mulai terbentuk pada abad ke-17. Dalam buku "Teori dan Praktik Aritmatika" (1656), penulis Prancis A. Juga mencurahkan seluruh bab untuk kombinasi dan permutasi.
B. Pascal dalam "Risalah tentang Segitiga Aritmatika" dan dalam "Risalah tentang Urutan Numerik" (1665) menguraikan doktrin koefisien binomial. P. Fermat mengetahui hubungan matematika kuadrat dan bilangan keriting dengan teori senyawa. Istilah "kombinatorik" mulai digunakan setelah Leibniz menerbitkan karyanya "Discourse on Combinatorial Art" pada tahun 1665, yang untuk pertama kalinya memberikan dasar ilmiah bagi teori kombinasi dan permutasi. Studi tentang penempatan pertama kali dipelajari oleh J. Bernoulli di bagian kedua dari bukunya "Ars conjectandi" (seni prediksi) pada tahun 1713. Simbolisme modern dari kombinasi diusulkan oleh berbagai penulis buku teks hanya pada abad ke-19.
Seluruh variasi formula kombinatorial dapat dideduksi dari dua pernyataan utama mengenai himpunan hingga - aturan penjumlahan dan aturan perkalian.
Aturan penjumlahan
Jika himpunan hingga tidak berpotongan, maka banyaknya anggota X U Y (atau) sama dengan jumlah banyaknya anggota himpunan X dan banyaknya anggota himpunan Y.
Artinya, jika ada X buku di rak pertama, dan Y di rak kedua, maka Anda dapat memilih buku dari rak pertama atau kedua dengan cara X + Y.
Contoh tugas
Siswa harus menyelesaikan kerja praktek dalam matematika. Dia ditawari pilihan 17 topik dalam aljabar dan 13 topik dalam geometri. Dalam berapa cara dia dapat memilih satu tema untuk kerja praktek?
Solusi: X = 17, Y = 13
Menurut aturan penjumlahan X U Y = 17 + 13 = 30 topik.
Ada 5 tiket lotre tunai, 6 tiket lotre olahraga, dan 10 tiket lotre otomatis. Berapa banyak cara Anda dapat memilih satu tiket dari lotre olahraga atau lotre otomatis?
Solusi: Karena lotere tunai tidak berpartisipasi dalam pemilihan, hanya ada 6 + 10 = 16 opsi.
Aturan produk
Jika elemen X dapat dipilih dalam k cara, dan elemen Y-m cara, maka pasangan (X,Y) dapat dipilih dalam k*m cara.
Artinya, jika ada 5 buku di rak pertama, dan 10 di rak kedua, maka Anda dapat memilih satu buku dari rak pertama dan satu dari rak kedua dengan 5 * 10 = 50 cara.
Contoh tugas
Pengikat harus mengikat 12 buku berbeda dengan warna merah, hijau dan coklat. Dalam berapa cara dia dapat melakukannya?
Solusi: Ada 12 buku dan 3 warna, jadi, menurut aturan kerja, 12 * 3 = 36 opsi penjilidan dimungkinkan.
Berapa banyak bilangan lima angka yang dibaca sama dari kiri ke kanan dan kanan ke kiri?
Solusi: Dalam angka seperti itu, digit terakhir akan sama dengan yang pertama, dan yang kedua dari belakang - sebagai yang kedua. Digit ketiga akan berupa apa saja. Ini dapat direpresentasikan sebagai XYZYX di mana Y dan Z adalah sembarang digit dan X bukan nol. Jadi, menurut aturan perkalian, jumlah digit yang sama-sama terbaca baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri adalah 9 * 10 * 10 = 900 opsi.
Set berpotongan
Tetapi kebetulan himpunan X dan Y berpotongan, maka gunakan rumus
, di mana X dan Y adalah himpunan, dan merupakan luas perpotongan. Contoh tugas20 orang tahu bahasa Inggris dan 10 - Jerman, 5 di antaranya tahu bahasa Inggris, dan Jerman. Berapa orang seluruhnya?
Jawaban: 10 + 20-5 = 25 orang.
Juga, lingkaran Euler sering digunakan untuk memecahkan masalah secara visual. Sebagai contoh:
Dari 100 wisatawan yang melakukan perjalanan ke luar negeri, Jerman 30 orang berbicara, Inggris - 28, Prancis - 42. 8 orang berbicara bahasa Inggris dan Jerman secara bersamaan, Inggris dan Prancis - 10, Jerman dan Prancis - 5, ketiga bahasa - 3. Berapa banyak turis yang tidak berbicara bahasa?Larutan: Mari kita nyatakan kondisi masalah ini secara grafis. Mari kita tunjuk mereka yang tahu bahasa Inggris sebagai lingkaran, mereka yang tahu bahasa Prancis sebagai lingkaran lain, dan mereka yang tahu bahasa Jerman sebagai lingkaran ketiga.
Tiga turis berbicara ketiga bahasa, yang berarti bahwa di bagian umum lingkaran kita memasukkan angka 3. Bahasa Inggris dan Prancis dituturkan oleh 10 orang, dan 3 di antaranya juga berbicara bahasa Jerman. Oleh karena itu, hanya bahasa Inggris dan Prancis yang dituturkan oleh 10-3 = 7 orang.Demikian pula, kami mendapatkan bahwa 8-3 = 5 orang hanya berbicara bahasa Inggris dan Jerman, dan 5-3 = 2 wisatawan berbicara bahasa Jerman dan Prancis. Kami memasukkan data ini di bagian yang sesuai.
Sekarang mari kita tentukan berapa banyak orang yang hanya berbicara satu bahasa yang terdaftar. 30 orang tahu bahasa Jerman, tetapi 5 + 3 + 2 = 10 dari mereka berbicara bahasa lain, oleh karena itu, hanya 20 orang yang tahu bahasa Jerman. Demikian pula, kami menemukan bahwa 13 orang berbicara satu bahasa Inggris, dan 30 orang berbicara bahasa Prancis.Menurut masalah, hanya ada 100 wisatawan. 20 + 13 + 30 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80 wisatawan tahu setidaknya satu bahasa, oleh karena itu, 20 orang tidak berbicara bahasa ini.
Penempatan tanpa pengulangan.
Berapa banyak nomor telepon yang masing-masing terdiri dari 6 angka sehingga semua nomornya berbeda?
Ini adalah contoh masalah bersarang tanpa pengulangan. Ditempatkan di sini 10 digit dari 6. Dan opsi di mana digit yang sama berada dalam urutan yang berbeda dianggap berbeda.
Jika suatu himpunan X terdiri dari n unsur, m≤n, maka suatu himpunan terurut X yang memuat m unsur disebut himpunan terurut X yang memuat m unsur dengan suatu susunan tanpa pengulangan n unsur himpunan X sebanyak m.
Jumlah semua penempatan n elemen dengan m menunjukkan
n! - n-faktorial (faktorial) hasil kali bilangan asli dari 1 ke sembarang bilangan n Tugas
Dalam berapa cara 4 anak laki-laki dapat mengundang empat dari enam anak perempuan untuk menari?
Larutan: dua anak laki-laki tidak dapat mengundang gadis yang sama pada waktu yang sama. Dan opsi di mana gadis yang sama menari dengan anak laki-laki yang berbeda dianggap berbeda, oleh karena itu:
360 opsi dimungkinkan.
Permutasi tanpa pengulangan
Dalam kasus n = m (lihat susunan tanpa pengulangan) dari n elemen dalam m masing-masing disebut permutasi dari himpunan x.
Jumlah semua permutasi dari n elemen dilambangkan dengan P n.
Berlaku untuk n = m:
Contoh tugas
Berapa banyak bilangan enam angka berbeda yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4,5 jika angka-angka dalam angka tersebut tidak diulang?
1) Temukan jumlah semua permutasi dari angka-angka ini: P 6 = 6! = 720
2) 0 tidak boleh di depan angka, jadi dari angka ini perlu dikurangi jumlah permutasi di mana 0 di depan. Dan ini adalah P 5 = 5! = 120.
P 6 -P 5 = 720-120 = 600
Monyet nakal
Ya kaki pengkor Teddy bear
Mulai bermain kuartet
Berhenti, saudara, berhenti! -
Monyet berteriak, - tunggu!
Bagaimana musiknya?
Lagi pula, Anda tidak duduk seperti itu ...
Jadi, dan dengan cara itu mereka berubah - sekali lagi musiknya tidak berjalan dengan baik.
KOMBINATORIKA
Kombinatorik adalah cabang matematika yang mempelajari masalah memilih dan menyusun elemen dari himpunan dasar tertentu sesuai dengan aturan yang diberikan. Rumus dan prinsip kombinatorial digunakan dalam teori probabilitas untuk menghitung probabilitas kejadian acak dan, karenanya, memperoleh hukum distribusi variabel acak. Ini, pada gilirannya, memungkinkan untuk mempelajari pola fenomena acak massa, yang sangat penting untuk pemahaman yang benar tentang pola statistik yang dimanifestasikan di alam dan teknologi.
Aturan penjumlahan dan perkalian dalam kombinatorika
Aturan jumlah. Jika dua aksi A dan B saling lepas, dan aksi A dapat dilakukan dengan m cara, dan B dengan n cara, maka salah satu aksi ini (A atau B) dapat dilakukan dengan n + m cara.
Contoh 1.
Di dalam kelas terdapat 16 anak laki-laki dan 10 anak perempuan. Dalam berapa cara seorang petugas dapat ditugaskan?
Larutan
Baik anak laki-laki atau perempuan dapat ditugaskan untuk tugas, mis. petugas jaga bisa salah satu dari 16 anak laki-laki atau 10 anak perempuan.
Menurut aturan penjumlahan, kita menemukan bahwa satu petugas dapat ditugaskan dalam 16 + 10 = 26 cara.
Aturan produk. Biarkan diperlukan untuk melakukan k tindakan secara berurutan. Jika tindakan pertama dapat dilakukan dalam n 1 cara, tindakan kedua dalam n 2 cara, ketiga dalam n 3 cara, dan seterusnya sampai tindakan ke-k, yang dapat dilakukan dengan nk cara, maka semua k tindakan bersama-sama dapat dilakukan dilakukan:
cara.
Contoh 2.
Di dalam kelas terdapat 16 anak laki-laki dan 10 anak perempuan. Dalam berapa cara dua petugas dapat ditugaskan?
Larutan
Baik laki-laki atau perempuan dapat ditugaskan sebagai penjaga pertama. Karena 16 anak laki-laki dan 10 anak perempuan belajar di kelas, maka Anda dapat menunjuk petugas jaga pertama dalam 16 + 10 = 26 cara.
Setelah kami memilih petugas pertama, kami dapat memilih yang kedua dari 25 orang yang tersisa, yaitu. Dalam 25 cara.
Menurut teorema perkalian, dua petugas dapat dipilih dalam 26 * 25 = 650 cara.
Kombinasi tanpa pengulangan. Kombinasi dengan pengulangan
Masalah klasik kombinatorik adalah masalah jumlah kombinasi tanpa pengulangan, yang isinya dapat dinyatakan dengan pertanyaan: berapa banyak cara bisa Pilih saya dari n berbagai mata pelajaran ?
Contoh 3.
Anda harus memilih 4 dari 10 buku berbeda yang tersedia sebagai hadiah. Berapa banyak cara Anda dapat melakukan ini?
Larutan
Kita harus memilih 4 dari 10 buku, dan urutan pemilihan tidak masalah. Jadi, Anda perlu menemukan jumlah kombinasi 10 elemen dari 4:
.
Pertimbangkan masalah jumlah kombinasi dengan pengulangan: ada r objek identik dari masing-masing n jenis yang berbeda; berapa banyak cara bisa Pilih saya dari ini (n * r) item?
.
Contoh 4.
Toko kembang gula menjual 4 jenis kue: napoleon, eclair, shortbread, dan puff pastry. Berapa banyak cara Anda dapat membeli 7 kue?
Larutan
Karena di antara 7 kue mungkin ada kue dengan jenis yang sama, maka jumlah cara Anda dapat membeli 7 kue ditentukan oleh jumlah kombinasi dengan pengulangan dari 7 hingga 4.
.
Penempatan tanpa pengulangan. Penempatan dengan pengulangan
Masalah klasik kombinatorik adalah masalah jumlah penempatan tanpa pengulangan, yang isinya dapat dinyatakan dengan pertanyaan: berapa banyak cara bisa Pilih dan tempat pada aku berbeda tempat saya dari n berbeda item?
Contoh 5.
Beberapa surat kabar memiliki 12 halaman. Perlu menempatkan empat foto di halaman surat kabar ini. Berapa banyak cara Anda dapat melakukan ini jika tidak ada halaman surat kabar yang memuat lebih dari satu foto?
Larutan.
Dalam tugas ini, kami tidak hanya memilih foto, tetapi menempatkannya di halaman surat kabar tertentu, dan setiap halaman surat kabar tidak boleh berisi lebih dari satu foto. Dengan demikian, masalahnya direduksi menjadi masalah klasik menentukan jumlah penempatan tanpa pengulangan 12 elemen, masing-masing 4 elemen:
Jadi, 4 foto dalam 12 halaman dapat disusun dalam 11880 cara.
Juga, masalah klasik kombinatorik adalah masalah jumlah penempatan dengan pengulangan, yang isinya dapat dinyatakan dengan pertanyaan: berapa banyak cara bisa AndaBtuan rumah dan tempat pada aku berbeda tempat saya dari n item,dengandi antara yang ada sama?
Contoh 6.
Anak laki-laki itu telah pergi dari lokasi syuting untuk papan permainan prangko dengan nomor 1, 3 dan 7. Dia memutuskan untuk menggunakan prangko ini untuk meletakkan nomor lima digit pada semua buku - untuk menyusun katalog. Berapa banyak bilangan lima angka berbeda yang dapat dibuat oleh seorang anak laki-laki?
Permutasi tanpa pengulangan. Permutasi dengan pengulangan
Masalah klasik kombinatorik adalah masalah jumlah permutasi tanpa pengulangan, yang isinya dapat dinyatakan dengan pertanyaan: berapa banyak cara bisa tempat n bermacam-macam item pada n berbeda tempat?
Contoh 7.
Berapa banyak "kata" empat huruf yang dapat dibuat dari huruf-huruf kata "perkawinan"?
Larutan
Populasi umum adalah 4 huruf dari kata "perkawinan" (b, p, a, k). Jumlah "kata" ditentukan oleh permutasi dari 4 huruf ini, yaitu.
Untuk kasus ketika ada elemen yang identik di antara n elemen yang dipilih (seleksi dengan pengembalian), masalah jumlah permutasi dengan pengulangan dapat dinyatakan dengan pertanyaan: dalam berapa cara n benda yang terletak di n tempat yang berbeda dapat disusun kembali jika di antara n benda terdapat k jenis yang berbeda (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.
Contoh 8.
Berapa banyak kombinasi huruf berbeda yang dapat Anda buat dari huruf-huruf kata "Mississippi"?
Larutan
Ada 1 huruf "m", 4 huruf "i", 3 huruf "c" dan 1 huruf "p", total 9 huruf. Oleh karena itu, banyaknya permutasi dengan pengulangan adalah
LATAR BELAKANG BAGIAN "KOMBINATORIK"
pelajaran matematika kelas 5
«
Bertemu Kombinatorik "
Topik pelajaran:
Tujuan pelajaran
:
merumuskan keterampilan awal masalah kombinatorial menggunakan enumerasi opsi yang memungkinkan.
Tujuan Pelajaran:
Pendidikan:
Pengembangan kemampuan untuk memecahkan masalah kombinatorial dengan enumerasi penuh pilihan;
Mengembangkan kemampuan untuk menerapkan teori matematika dalam situasi tertentu;
Perkenalan siswa dengan unsur-unsur pengetahuan kemanusiaan yang berkaitan dengan matematika.
Pengembangan kemampuan untuk secara mandiri memilih cara penyelesaian dan kemampuan untuk membenarkan pilihan;
Pengembangan kemampuan untuk memecahkan masalah hanya dengan penalaran logis;
Pengembangan kemampuan untuk membuat pilihan metode pengkodean yang rasional;
Pengembangan komunikasi dan kreativitas siswa.
- Untuk menumbuhkan rasa tanggung jawab atas kualitas dan hasil pekerjaan yang dilakukan; Menanamkan sikap teliti dalam bekerja;
- Bentuk tanggung jawab untuk hasil akhir.
- papan interaktif; selebaran (garis-garis berwarna: putih, biru, merah); kartu tugas.
- Mengatur waktu. Mempelajari materi baru. Bagian praktis. Cerminan Menandai Pekerjaan rumah
- Mengatur waktu.
- Aktualisasi topik dan motivasi.
- 50 rubel, 100 rubel, 50 rubel, 100 rubel; 50 rubel, 50 rubel, 100 rubel, 100 rubel (slide No. 2 dan No. 3).
- Mempelajari materi baru
.
Kombinatorik - ini adalah bagian matematika yang ditujukan untuk memecahkan masalah memilih dan mengatur elemen yang diberikan sesuai dengan aturan yang diberikan
Pertanyaan umum dalam masalah kombinatorial adalah “ Dalam banyak hal ...? " atau
« Berapa banyak pilihan? …?»
Guru : Mari kita kembali ke masalah flag sekali lagi, selesaikan dengan enumerasi opsi yang memungkinkan: (slide 7) KBS KSB BSK BCS SBK SKBJawaban: 6 pilihan. Jadi, dalam memecahkan masalah ini, kami mencari cara untuk menghitung opsi yang mungkin. Di dalamDalam banyak kasus, ternyata menjadi teknik yang berguna untuk membangun gambar - skema untuk menghitung opsi. Ini, pertama, jelas, Kedua, memungkinkan kita untuk mempertimbangkan semuanya, tidak melewatkan apa pun.Bendera Solusi
Varian BSK, BKS, SBK, SKB, KBS, KSB.
Jawaban: 6 pilihan.
Pertanyaannya, jawaban yang harus diketahui semua orang, opsi bendera mana yang disajikan adalah bendera negara Federasi Rusia (Slide # 7)Ternyata tidak hanya bendera Rusia yang memiliki tiga warna tersebut. Ada negara bagian yang benderanya memiliki warna yang sama.
KBS - Luksemburg,
Belanda.
SKB Prancis
Guru: Mari kita temukan aturan untuk memecahkan masalah seperti itu dengan penalaran logis.
Mari kita lihat contoh garis-garis berwarna. Mari kita ambil strip putih - dapat diatur ulang 3 kali, mari kita strip biru - dapat diatur ulang hanya 2 kali, karena salah satu tempat sudah ditempati oleh yang putih, ambil strip merah - hanya bisa diletakkan 1 kali.
JUMLAH: 3 x 2 x 1 = 6
Aturan dasar dari karya tersebut :
Aturan perkalian: jika elemen pertama dalam kombinasi dapat dipilih dengan cara, setelah elemen kedua dalam b cara, maka jumlah kombinasi akan sama dengan a x b . (slide nomor 8)
Pendidikan jasmani untuk mata. (slide nomor 9)
Latihan "Bentuk".
Gambarlah dengan mata Anda persegi, lingkaran, segitiga, oval, belah ketupat searah jarum jam, lalu berlawanan arah jarum jam.
Bagian praktis
Guru: Sekarang mari kita beralih ke masalah matematika. (kami membagikan kartu dengan tugas)
Salah satu Musketeer yang agak terkenal memiliki 3 topi elegan, 4 jubah indah dan 2 pasang sepatu bot luar biasa di lemari pakaiannya. Berapa banyak pilihan kostum yang bisa dia buat? (Kami memilih satu elemen dari tiga set, yaitu, kami membuat "tiga", yang berarti, menurut aturan perkalian, kami mendapatkan 3 4 2 = 24 opsi untuk setelan.)
Tim sepak bola memiliki 11 orang. Penting untuk memilih kapten dan wakilnya. Berapa banyak cara Anda dapat melakukan ini? (Total ada 11 orang, yang berarti kapten dapat dipilih dalam 11 cara, ada 10 pemain tersisa, dari mana Anda dapat memilih wakil kapten. Jadi, sepasang kapten dan wakilnya dapat dipilih dalam 11 10 = 110 cara.)
Berapa banyak bilangan dua angka berbeda yang dapat kamu buat dengan menggunakan angka 1, 4, 7, dengan asumsi angka-angka tersebut berulang? (Anda harus mendapatkan nomor dua digit - hanya dua posisi. Anda dapat menempatkan salah satu nomor yang diusulkan pada posisi pertama - 3 opsi pilihan, pada posisi kedua, dengan mempertimbangkan kemungkinan pengulangan digit, ada juga 3 pilihan Jadi, kita membuat pasangan angka dalam 3 3 = 9 cara , yaitu akan ada 9 angka.
Berapa banyak bilangan tiga angka berbeda yang dapat dibuat dari angka 1, 2, 3, 4, 5, asalkan tidak ada angka yang diulang? (Angka tiga digit: posisi pertama - 5 opsi untuk angka, posisi kedua, dengan mempertimbangkan pengecualian pengulangan angka - 4 opsi, posisi ketiga - 3 opsi. Kami mendapatkan 5 4 3 = 60 angka.)
Berapa banyak bilangan dua angka berbeda yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, jika angka-angkanya: a) dapat diulang; b) tidak dapat diulang? (A) Nomor dua digit, seperti polisemi mana pun, tidak dapat dimulai dengan 0, oleh karena itu, hanya 3 dari 4 digit yang tersedia, 3 opsi pilihan, yang dapat diletakkan di posisi pertama, dan salah satu angka dapat diletakkan di posisi kedua, dengan mempertimbangkan pengulangan, - 4 opsi untuk memilih. Oleh karena itu, ternyata 3 4 = 12 angka; b) Posisi pertama - 3 opsi, posisi kedua - 3 opsi, karena pengulangan dikecualikan. Kami mendapatkan 3 3 = 9 angka.)
Kunci brankas terdiri dari lima angka berbeda. berapa banyak pilihan yang berbeda menyusun sandi? (5 4 3 2 1 = 120 pilihan.) Berapa banyak cara 6 orang dapat duduk di meja dengan 6 peralatan makan? (6 5 4 3 2 1 = 720 cara.)
6 perangkat?(6 5 4 3 2 1 = 720 cara.)
(8 7 6 5 4 = 6720 opsi.)
(Angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 digunakan - total 10 digit, tidak termasuk kondisi 0 dan 9 di awal angka, dengan mempertimbangkan kemungkinan pengulangan , kita mendapatkan 8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000 angka.)
- Cerminan
Guru: Teman-teman, pelajaran kita akan segera berakhir. Apakah Anda pikir kami telah mencapai tujuan kami hari ini, mengapa? Apa yang sulit dalam pelajaran, bagaimana Anda bisa melawan ini? Pikirkan dan beri diri Anda tanda untuk pekerjaan dan pekerjaan Anda, letakkan sendiri, tidak ada pria yang akan melihat tanda ini, cobalah jujur pada diri sendiri. Apakah Anda berpartisipasi penuh dalam pelajaran? Apa yang perlu dilakukan agar hasilnya lebih baik?
Selain itu, siswa diajak untuk menjawab 3 blitz - pertanyaan:
Dalam pelajaran hari ini saya ... (mudah, biasanya, sulit)
Materi baru saya… (dipelajari dan dapat diterapkan, dipelajari dan sulit diterapkan, tidak dipelajari)
Harga diri saya untuk pelajaran ...
Jawaban atas pertanyaan di atas tidak perlu ditandatangani, karena fungsi utamanya adalah membantu guru menganalisis pelajaran dan hasilnya
Meringkas ... Menandai
Guru: Saya sangat senang bahwa banyak dari Anda melakukan pekerjaan dengan baik hari ini, belajar banyak hal baru, tetapi saya sangat ingin Anda semua melakukan pekerjaan dengan baik di rumah dan tidak mendapatkan dua dalam pelajaran berikutnya.
7. Pekerjaan rumah :
1) Buat masalah tentang kelas Anda
2) Beberapa negara telah memutuskan untuk menggunakan simbol untuk bendera nasional mereka dalam bentuk 3 garis horizontal dengan lebar berbeda, warna berbeda - putih, biru, merah. Berapa banyak negara yang dapat menggunakan simbol seperti itu, asalkan masing-masing negara memiliki benderanya sendiri?
3) a) Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari bilangan 1, 3, 5, 7, 9?
b. Berapa banyak bilangan dua angka yang dapat dibuat dari angka-angka 1, 3, 5, 7, 9, asalkan bilangan-bilangan itu tidak boleh diulang?
Guru : Jadi, saya senang bertemu dengan Anda, tertarik pada matematika, ini pasti akan tercermin secara positif dalam pikiran dan tindakan Anda. Pelajaran sudah berakhir. Terimakasih untuk semua. Selamat tinggal.
Literatur:
E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Probabilitas dan statistik dalam kursus matematika sekolah yang komprehensif: kuliah 1-4, 5-8. - M .: Universitas Pedagogis"1 September", 2006.
Vilenkin N.Ya. Matematika. Kelas 5: buku teks untuk pendidikan umum. institusi / N.Ya. Vilenkin et al. - M.: Mnemozina, 2009.
Smykalova E.V. Bab matematika tambahan untuk siswa kelas 5. SPb: SMIO. Pers, 2006.
Kelas 5. "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
Tugas (kartu)
Berapa banyak variasi nomor telepon tujuh digit yang dapat Anda buat jika Anda mengecualikan nomor yang dimulai dengan 0 dan 9?
Salah satu Musketeer yang agak terkenal memiliki 3 topi elegan, 4 jubah indah dan 2 pasang sepatu bot luar biasa di lemari pakaiannya. Berapa banyak pilihan kostum yang bisa dia buat?
Tim sepak bola memiliki 11 orang. Penting untuk memilih kapten dan wakilnya. Berapa banyak cara Anda dapat melakukan ini?
Berapa banyak bilangan dua angka berbeda yang dapat dibuat dengan menggunakan bilangan 1, 4, 7, dengan asumsi pengulangan angka?
Berapa banyak bilangan tiga angka berbeda yang dapat dibuat dari angka 1, 2, 3, 4, 5, asalkan tidak ada angka yang diulang?
Berapa banyak bilangan dua angka berbeda yang dapat dibuat dari angka-angka 0, 1, 2, 3, jika angka-angkanya: a) dapat diulang; b) tidak dapat diulang?
Kunci brankas terdiri dari lima angka berbeda. Berapa banyak varian kompilasi cipher yang berbeda?
Dalam berapa cara 6 orang dapat ditempatkan pada meja yang 6 perangkat?
Di kelas lima, 8 mata pelajaran dipelajari. Berapa banyak pilihan jadwal yang berbeda yang dapat kamu buat untuk hari Senin jika ada 5 pelajaran pada hari itu dan semua pelajaran berbeda?Jawaban
6 5 4 3 2 1 = 720 cara
8 7 6 5 4 = 6720 opsi
Digit 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 digunakan - total 10 digit, tidak termasuk kondisi 0 dan 9 di awal angka, dengan mempertimbangkan kemungkinan pengulangan, kami dapatkan 8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000 kamar.
Kami memilih satu elemen dari tiga set, yaitu, kami membuat "tiga", yang berarti, menurut aturan perkalian, kami mendapatkan 3 4 2 = 24 opsi untuk setelan.
Hanya ada 11 orang, yang berarti kapten dapat dipilih dengan 11 cara, ada 10 pemain yang tersisa, dari mana Anda dapat memilih wakil kapten. Jadi, pasangan, kapten dan wakilnya, Anda dapat memilih 11 10 = 110 cara.
Anda harus mendapatkan nomor dua digit - hanya dua posisi. Pada posisi pertama, Anda dapat menempatkan salah satu nomor yang diusulkan - 3 opsi untuk memilih, pada posisi kedua, dengan mempertimbangkan kemungkinan pengulangan angka, ada juga 3 opsi untuk memilih. Ini berarti bahwa kita menyusun pasangan angka dalam 3 3 = 9 cara, yaitu. akan ada 9 angka.
Angka tiga digit: posisi pertama - 5 varian angka, posisi kedua, dengan mempertimbangkan pengecualian pengulangan angka, - 4 opsi, posisi ketiga - 3 opsi. Kami mendapatkan 5 4 3 = 60 angka.
(a) Angka dua digit, seperti nomor multi-digit lainnya, tidak dapat dimulai dengan 0, oleh karena itu, hanya 3 dari 4 digit yang tersedia, 3 opsi pilihan dapat ditempatkan di posisi pertama, di posisi kedua, dengan mempertimbangkan memperhitungkan pengulangan, Anda dapat memasukkan salah satu digit - 4 opsi untuk dipilih. Oleh karena itu, ternyata 3 4 = 12 angka; b) Posisi pertama - 3 opsi, posisi kedua - 3 opsi, karena pengulangan dikecualikan. Kami mendapatkan 3 3 = 9 angka.
5 4 3 2 1 = 120 pilihan.Kombinatorika adalah cabang matematika yang mempelajari pertanyaan tentang berapa banyak kombinasi jenis tertentu yang dapat dibuat dari objek (elemen) yang diberikan.
Aturan perkalian (rumus dasar untuk kombinatorik)
Banyaknya cara Anda dapat memilih satu elemen dari setiap grup dan menyusunnya dalam urutan tertentu (yaitu, mendapatkan himpunan terurut) sama dengan:
Contoh 1
Uang logam dilempar 3 kali. Berapa banyak hasil lemparan berbeda yang dapat Anda harapkan?
Larutan
Koin pertama memiliki alternatif - baik kepala atau ekor. Ada juga alternatif untuk koin kedua, dll., yaitu. ...
Banyaknya cara yang diperlukan :
Aturan penambahan
Jika ada dua kelompok yang tidak memiliki elemen umum, maka pemilihan salah satu elemen baik dari, atau dari, ... atau dari dapat dilakukan dengan cara.
Contoh 2
Ada 30 buku di rak, 20 di antaranya matematika, 6 teknis, dan 4 ekonomi. Ada berapa cara untuk memilih satu buku matematika atau satu buku ekonomi.
Larutan
Buku matematika dapat dipilih dengan cara, buku ekonomi dengan cara.
Menurut aturan penjumlahan, ada cara untuk memilih buku matematika atau ekonomi.
Penempatan dan permutasi
Akomodasi Adalah kumpulan unsur-unsur yang berurut yang berbeda satu sama lain baik dalam susunan maupun urutan unsur-unsurnya.
Penempatan tanpa pengulangan ketika elemen yang dipilih tidak dikembalikan ke populasi umum sebelum memilih yang berikutnya. Pemilihan seperti itu disebut pemilihan berurutan tanpa kembali, dan hasilnya adalah penempatan yang tidak berulang dari elemen ke.
Banyaknya cara yang berbeda di mana Anda dapat membuat pilihan berurutan tanpa mengembalikan item dari populasi volume adalah:
Contoh 3
Jadwal hari itu terdiri dari 5 pelajaran yang berbeda. Tentukan jumlah pilihan jadwal ketika memilih dari 11 disiplin ilmu.
Larutan
Setiap versi jadwal mewakili satu set 5 disiplin ilmu dari 11, berbeda dari opsi lain dalam komposisi dan urutan. karena itu:
Permutasi Adalah koleksi terurut yang berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemen. Banyaknya permutasi dari himpunan elemen adalah
Contoh 4
Berapa banyak cara 4 orang dapat duduk dalam satu meja?
Larutan
Setiap pilihan tempat duduk hanya berbeda dalam urutan peserta, yaitu permutasi dari 4 elemen:
Penempatan dengan pengulangan ketika elemen yang dipilih dikembalikan ke populasi sebelum memilih yang berikutnya. Seleksi ini disebut sekuensial backtracking, dan hasilnya adalah penempatan berulang dari elemen ke.
Banyaknya cara yang berbeda di mana pemilihan dapat dilakukan untuk mengembalikan item dari populasi volume adalah
Contoh 5
Lift berhenti di 7 lantai. Dalam berapa cara 6 penumpang dalam lift dapat keluar dari lantai ini?
Larutan
Masing-masing metode pendistribusian penumpang di lantai merupakan kombinasi 6 penumpang di 7 lantai, yang berbeda dengan kombinasi lainnya baik dalam komposisi maupun urutannya. Karena satu dan beberapa penumpang dapat keluar di lantai yang sama, penumpang yang sama dapat mengulangi diri mereka sendiri. Oleh karena itu, jumlah kombinasi tersebut sama dengan jumlah penempatan dengan pengulangan 7 elemen dengan 6:
kombinasi
kombinasi dari n elemen oleh k disebut koleksi tak berurutan yang berbeda satu sama lain oleh setidaknya satu elemen.
Biarkan beberapa elemen diambil dari populasi umum sekaligus (atau elemen diambil secara berurutan, tetapi urutan penampilannya tidak diperhitungkan). Sebagai hasil dari pemilihan acak simultan elemen-elemen dari populasi umum volume, diperoleh kombinasi yang disebut kombinasi tanpa pengulangan dari item oleh.
Banyaknya kombinasi elemen sama dengan:
Contoh 6
Ada 9 apel di dalam kotak. Berapa banyak cara Anda dapat mengambil 3 apel dari sebuah kotak?
Larutan
Setiap pilihan terdiri dari 3 apel dan berbeda dari yang lain hanya dalam komposisi, yaitu kombinasi tanpa pengulangan 9 elemen:
Banyaknya cara memilih 3 apel dari 9 :
Biarkan elemen dipilih dari populasi umum volume, satu demi satu, dan setiap elemen yang dipilih, sebelum memilih yang berikutnya, dikembalikan ke populasi umum. Dalam hal ini, catatan disimpan tentang elemen mana yang muncul dan berapa kali, tetapi urutan kemunculannya tidak diperhitungkan. Koleksi yang dihasilkan disebut kombinasi dengan pengulangan dari item oleh.
Jumlah kombinasi dengan pengulangan dari elemen oleh:
Contoh 7
Kantor pos menjual 3 jenis kartu pos. Berapa banyak cara Anda dapat membeli 6 kartu pos?
Ini adalah tugas untuk menemukan jumlah kombinasi dengan pengulangan dari 3 hingga 6:
Mempartisi himpunan menjadi grup
Biarkan himpunan elemen yang berbeda dibagi menjadi beberapa grup sehingga grup pertama mencakup elemen, elemen kedua, di grup ke - elemen, apalagi. Situasi ini disebut membagi himpunan menjadi kelompok-kelompok.
Jumlah partisi menjadi grup, ketika yang pertama berisi elemen, yang kedua - elemen, grup ke-k- elemen sama dengan:
Contoh 8
Sekelompok 16 orang perlu dibagi menjadi tiga subkelompok, yang pertama harus 5 orang, yang kedua - 7 orang, yang ketiga - 4 orang. Berapa banyak cara hal ini dapat dilakukan?
