Jumlah angka dari 1 hingga 30 inklusif. Menghibur matematika: aturan Gauss. Tugas untuk menggunakan aturan Gauss

tolong bantu aku!! menghitung jumlah bilangan asli dari 1+2+3+4+...+97+98+99+100. dan mendapat jawaban terbaik

Balas dari Alexander Heinonen[guru]
Ahli matematika Jerman terkemuka Carl Friedrich Gauss (1777-1855) disebut oleh orang-orang sezamannya sebagai "raja matematika".
Bahkan di masa kanak-kanak, dia menunjukkan kemampuan matematika yang luar biasa. Pada usia tiga tahun, Gauss sudah mengoreksi catatan ayahnya.
Mereka mengatakan itu di sekolah dasar dimana Gauss (umur 6) belajar, seorang guru menjaga kelas untuk waktu yang lama kerja mandiri, memberikan tugas kepada siswa - menghitung jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100. Gauss kecil menjawab pertanyaan itu hampir seketika, yang sangat mengejutkan semua orang dan, terutama, gurunya.
Mari kita coba memecahkan masalah menemukan jumlah dari angka-angka di atas secara verbal. Pertama, mari kita jumlahkan angka dari 1 sampai 10: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + +7 + 8 + 9 + 10.
Gauss menemukan bahwa 1 + 10 = 11, dan 2 + 9 = 11, dan seterusnya. Dia menentukan bahwa ketika menjumlahkan bilangan asli dari 1 sampai 10, diperoleh 5 pasangan seperti itu, dan 5 kali 11 sama dengan 55.
Gauss melihat bahwa penambahan angka dari seluruh rangkaian harus dilakukan berpasangan, dan dia menyusun algoritme untuk menambahkan angka dengan cepat dari 1 hingga 100.
1 2 3 4 5 6 7 8 …49 50 51 52 …94 95 96 97 98 99 100
1. Perlu untuk menghitung jumlah pasangan angka dalam urutan dari 1 sampai 100. Kami mendapatkan 50 pasang.
2. Tambahkan angka pertama dan terakhir dari seluruh deret. Dalam kasus kita, ini adalah 1 dan 100. Kita mendapatkan 101.
3. Kami mengalikan jumlah pasangan angka dalam urutan dengan jumlah yang diperoleh pada paragraf 2. Kami mendapatkan 5050.
Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 sampai 100 adalah 5050.
Rumus sederhana: jumlah bilangan dari 1 sampai n = n * (n+1) : 2. Ganti n dengan bilangan terakhir dan hitung.
Coba lihat! Berhasil!

Jawaban dari Ianya Fertikova[anak baru]
5050

Jawaban dari Michael Medvedev[aktif]
5050

Jawaban dari Pavel Solomennikov[anak baru]
5050

Jawaban dari Alevtina bashkova[anak baru]
5050

Jawaban dari Ђigr Tikhomirova[aktif]
5050

Jawaban dari Maria Dubrovina[anak baru]
5050

Jawaban dari Aavil Badirov[anak baru]
5050

Jawaban dari Dmitry[aktif]
5050

Jawaban dari Evgeny Sayapov[aktif]
5050

Jawaban dari 2 jawaban[guru]

Siklus "Menghibur Matematika" didedikasikan untuk anak-anak yang menyukai matematika dan orang tua yang mencurahkan waktu untuk perkembangan anak-anak mereka, "melempar" mereka dengan tugas-tugas yang menarik dan menghibur, teka-teki.

Artikel pertama dalam seri ini dikhususkan untuk aturan Gauss.

Sedikit sejarah

Ahli matematika Jerman terkenal Carl Friedrich Gauss (1777-1855) berbeda dari teman-temannya sejak masa kanak-kanak. Terlepas dari kenyataan bahwa dia berasal dari keluarga miskin, dia belajar membaca, menulis, dan berhitung sejak dini. Dalam biografinya bahkan disebutkan bahwa pada usia 4-5 tahun ia mampu mengoreksi kesalahan perhitungan ayahnya yang salah, cukup dengan mengawasinya.

Salah satu penemuan pertamanya dibuat pada usia 6 tahun di kelas matematika. Guru perlu memikat anak-anak untuk waktu yang lama dan dia mengajukan masalah berikut:

Temukan jumlah semua bilangan asli dari 1 hingga 100.

Gauss muda mengatasi tugas ini dengan cukup cepat, setelah menemukan pola yang menarik, yang tersebar luas dan masih digunakan dalam perhitungan mental.

Mari kita coba selesaikan masalah ini secara lisan. Tapi pertama-tama, mari kita ambil angka dari 1 sampai 10:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Perhatikan baik-baik jumlah ini dan coba tebak apa yang tidak biasa tentang Gauss? Untuk menjawabnya, Anda harus memiliki pemahaman yang baik tentang komposisi angka.

Gauss mengelompokkan angka-angka tersebut sebagai berikut:

(1+10) + (2+9) + (3+8) + (4+7) + (5+6)

Jadi, Karl kecil menerima 5 pasang angka, yang masing-masing memberikan total 11. Kemudian, untuk menghitung jumlah bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu

Mari kita kembali ke masalah awal. Gauss memperhatikan bahwa sebelum menjumlahkan, perlu mengelompokkan angka menjadi pasangan, dan dengan demikian menemukan algoritme yang dengannya Anda dapat dengan cepat menambahkan angka dari 1 hingga 100:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Temukan jumlah pasangan dalam deret bilangan asli. Dalam hal ini, ada 50.

Jumlahkan angka pertama dan terakhir dari deret ini. Dalam contoh kita, ini adalah 1 dan 100. Kita mendapatkan 101.

Kami mengalikan jumlah yang dihasilkan dari anggota seri pertama dan terakhir dengan jumlah pasangan seri ini. Kami mendapatkan 101 * 50 = 5050

Jadi, jumlah bilangan asli dari 1 sampai 100 adalah 5050.

Tugas untuk menggunakan aturan Gauss

Dan sekarang perhatian Anda diundang ke masalah di mana aturan Gauss digunakan sampai tingkat tertentu. Teka-teki ini cukup mampu dipahami dan dipecahkan oleh siswa kelas empat.

Anda dapat memberi anak kesempatan untuk bernalar untuk dirinya sendiri, sehingga dia sendiri yang "menciptakan" aturan ini. Dan Anda dapat memisahkannya dan melihat bagaimana dia dapat menggunakannya. Di antara tugas di bawah ini adalah contoh di mana Anda perlu memahami cara memodifikasi aturan Gauss untuk menerapkannya pada urutan tertentu.

Bagaimanapun, agar anak dapat mengoperasikan ini dalam perhitungannya, perlu untuk memahami algoritma Gaussian, yaitu kemampuan untuk membagi dengan benar menjadi berpasangan dan menghitung.

Penting! Jika suatu rumus dihafal tanpa pemahaman, maka akan cepat sekali terlupakan.

Tugas 1

Temukan jumlah angka:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100.

Larutan.

Pada awalnya, Anda dapat memberi anak kesempatan untuk menyelesaikan sendiri contoh pertama dan menawarkan untuk menemukan cara yang mudah dilakukan dalam pikiran. Selanjutnya, analisis contoh ini dengan anak tersebut dan tunjukkan bagaimana Gauss melakukannya. Untuk kejelasan, yang terbaik adalah menuliskan deret dan menghubungkan pasangan angka dengan garis yang jumlahnya sama. Penting bagi anak untuk memahami bagaimana pasangan terbentuk - kita mengambil bilangan terkecil dan terbesar dari sisa bilangan, asalkan jumlah bilangan dalam barisan itu genap.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = (1 + 10) + (2 + 9) + (3 + 8) + (4 + 7) + (5 + 6) = (1 + 10) * 5;
1 + 2 + 3 + … + 14 + 15 + 16 = (1 + 16) + (2 + 15) + (3 + 14) + (4 + 13) + (5 + 12) + (6 + 11) + (7 + 10) + (8 + 9) = (1 + 16) * 8 = 136;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) + (2 + 7) + (3 + 6) + (4 + 5) + 9 = (1+ 8) * 4 + 9 = 45;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 48 + 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + … + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = (1 + 100) * 50 = 5050

Tugas2

Ada 9 bobot dengan berat 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g. Bisakah bobot ini dibagi menjadi tiga tumpukan dengan berat yang sama?

Larutan.

Menggunakan aturan Gauss, kami menemukan jumlah semua bobot:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = (1 + 8) * 4 + 9 = 45 (g)

Jadi, jika kita dapat mengelompokkan bobot sehingga setiap tumpukan berisi bobot dengan total bobot 15g, maka masalah terpecahkan.

Salah satu opsi:

9g, 6g
8g, 7g
5g, 4g, 3g, 2g, 1g

Lainnya opsi yang memungkinkan menemukan diri Anda dengan seorang anak.

Perhatikan anak bahwa ketika masalah seperti itu diselesaikan, lebih baik selalu mulai mengelompokkan dengan bobot (angka) yang lebih besar.

Tugas 3

Apakah mungkin untuk membagi tampilan jam menjadi dua bagian dengan garis lurus sehingga jumlah angka di setiap bagian sama?

Larutan.

Untuk mulai dengan, terapkan aturan Gauss ke deret angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: temukan jumlahnya dan lihat apakah itu habis dibagi 2:

Jadi Anda bisa berbagi. Sekarang mari kita lihat caranya.

Oleh karena itu, perlu menggambar garis pada dial sehingga 3 pasang jatuh ke satu bagian, dan tiga pasang ke bagian lainnya.

Jawab: garis akan melewati antara angka 3 dan 4, lalu antara angka 9 dan 10.

Tugas4

Apakah mungkin menggambar dua garis lurus pada permukaan jam sehingga jumlah angka di setiap bagiannya sama?

Larutan.

Untuk mulai dengan, kami menerapkan aturan Gauss ke deret angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: temukan jumlahnya dan lihat apakah itu habis dibagi 3:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78

78 habis dibagi 3 tanpa sisa, jadi kamu bisa membaginya. Sekarang mari kita lihat caranya.

Menurut aturan Gauss, kami mendapatkan 6 pasang angka, yang masing-masing berjumlah 13:

1 dan 12, 2 dan 11, 3 dan 10, 4 dan 9, 5 dan 8, 6 dan 7.

Oleh karena itu, perlu menggambar garis pada dial agar 2 pasang jatuh ke setiap bagian.

Jawab: baris pertama akan melewati antara angka 2 dan 3, lalu antara angka 10 dan 11; baris kedua antara angka 4 dan 5, lalu antara 8 dan 9.

Tugas 5

Sekawanan burung terbang. Di depan ada satu burung (pemimpin), diikuti oleh dua, lalu tiga, empat, dst. Berapa banyak burung dalam kawanan jika ada 20 ekor di baris terakhir?

Larutan.

Kita mendapatkan bahwa kita perlu menjumlahkan angka dari 1 sampai 20. Dan untuk menghitung jumlah tersebut, kita dapat menerapkan aturan Gauss:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 = (20 + 1) * 10 = 210.

Tugas 6

Bagaimana cara menempatkan 45 kelinci dalam 9 kandang sehingga semua kandang memiliki jumlah kelinci yang berbeda?

Larutan.

Jika anak sudah memutuskan dan memahami contoh dari tugas 1 dengan pengertian, maka langsung teringat bahwa 45 adalah penjumlahan angka dari 1 sampai 9. Oleh karena itu, kelinci kita taruh seperti ini:

sel pertama - 1,
kedua - 2,
ketiga - 3,
kedelapan - 8,
kesembilan - 9.

Tetapi jika anak tidak dapat langsung mengetahuinya, cobalah untuk memberinya gagasan bahwa masalah seperti itu dapat diselesaikan dengan kekerasan dan Anda harus mulai dengan jumlah minimum.

Tugas 7

Hitung jumlahnya menggunakan trik Gauss:

31 + 32 + 33 + … + 40;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14;
4 + 6 + 8 + 10 + 12;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11.

Larutan.

31 + 32 + 33 + … + 40 = (31 + 40) * 5 = 355;
5 + 10 + 15 + 20 + … + 100 = (5 + 100) * 10 = 1050;
91 + 81 + … + 21 + 11 + 1 = (91 + 1) * 5 = 460;
1 + 2 + 3 + 4 + … + 18 + 19 + 20 = (1 + 20) * 10 =210;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = (1 + 6) * 3 = 21;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = (4 + 14) * 3 = 54;
4 + 6 + 8 + 10 + 12 = (4 + 10) * 2 + 12 = 40;
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = (1 + 10) * 5 + 11 = 66.

Tugas 8

Terdapat satu set berisi 12 buah timbangan dengan berat 1g, 2g, 3g, 4g, 5g, 6g, 7g, 8g, 9g, 10g, 11g, 12g. 4 bobot dikeluarkan dari set, yang massa totalnya sama dengan sepertiga dari total massa seluruh set bobot. Apakah anak timbangan yang tersisa dapat ditempatkan pada dua baki timbangan, masing-masing baki 4 buah, agar seimbang?

Larutan.

Kami menerapkan aturan Gauss untuk menemukan massa total bobot:

1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = (1 + 12) * 6 = 78 (g)

Kami menghitung massa bobot yang telah dihapus:

Oleh karena itu, bobot yang tersisa (dengan massa total 78-26 \u003d 52 g) harus ditempatkan 26 g pada setiap loyang timbangan agar seimbang.

Kami tidak tahu bobot mana yang telah dihapus, jadi kami harus mempertimbangkan semua opsi yang memungkinkan.

Menerapkan aturan Gauss, Anda dapat membagi bobot menjadi 6 pasang dengan bobot yang sama (masing-masing 13g):

1g dan 12g, 2g dan 11g, 3g dan 10, 4g dan 9g, 5g dan 8g, 6g dan 7g.

Kemudian pilihan terbaik ketika, saat melepas 4 bobot, dua pasang di atas dilepas. Dalam hal ini, kita akan memiliki 4 pasang tersisa: 2 pasang pada satu skala dan 2 pasang pada skala lainnya.

Kasus terburuk adalah ketika 4 bobot yang dilepas akan mematahkan 4 pasang. Kami akan memiliki 2 pasang yang tidak terputus dengan berat total 26g, yang berarti kami menempatkannya di satu timbangan, dan sisa timbangan dapat ditempatkan di timbangan lainnya dan juga akan menjadi 26g.

Good luck dengan perkembangan anak-anak Anda.

Isi:

Bilangan bulat adalah angka yang tidak mengandung bagian pecahan atau desimal. Jika tugas memerlukan penambahan bilangan bulat tertentu dari 1 ke nilai tertentu N, maka bilangan bulat tersebut tidak perlu ditambahkan secara manual. Sebagai gantinya, gunakan rumus (N(N+1))/2, dengan N adalah jumlah terbesar baris.

Langkah

1 Tentukan bilangan bulat terbesar (N). Dengan menjumlahkan bilangan bulat dari 1 ke sembarang angka N, Anda harus menentukan nilai N (N tidak boleh berupa angka desimal atau pecahan atau angka negatif).
- Contoh. Temukan jumlah semua bilangan bulat dari 1 sampai 100. Dalam kasus ini, N=100, karena ini adalah bilangan terbesar (dan terakhir) dari deret bilangan yang diberikan kepada Anda.
2 Kalikan N dengan (N + 1) dan bagi dengan 2. Ketika Anda telah menentukan nilai bilangan bulat N, gantikan ke dalam rumus (N(N+1))/2 dan Anda akan menemukan jumlah semua bilangan bulat dari 1 sampai N.
- Contoh. Gantikan N=100 dan dapatkan (100(100+1))/2.
3 Tuliskan jawabannya. Jawaban terakhir adalah jumlah semua bilangan bulat dari 1 sampai N yang diberikan.
- Contoh.
  - (100(100+1))/2 =
  - (100(101))/2 =
  - (10100)/2 = 5050
  - Jumlah semua bilangan bulat dari 1 sampai 100 adalah 5050.
4 Penurunan rumus (N(N+1))/2. Perhatikan kembali contoh di atas. Bagilah baris 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 secara mental menjadi dua baris - yang pertama dari 1 hingga 50, dan yang kedua dari 51 hingga 100. Jika Anda menambahkan angka pertama (1) dari yang pertama baris dan angka terakhir (100 ) dari baris kedua, Anda mendapatkan 101. Anda juga mendapatkan 101 jika menambahkan 2 dan 99, 3 dan 98, 4 dan 97, dan seterusnya. Jika setiap angka dari kelompok pertama ditambahkan ke nomor yang sesuai dari kelompok kedua, maka pada akhirnya kita mendapatkan 50 angka yang masing-masing sama dengan 101. Oleh karena itu, 50 * 101 \u003d 5050 adalah jumlah angka dari 1 hingga 100. Perhatikan bahwa 50 \u003d 100/2 dan 101 = 100 + 1. Faktanya, ini berlaku untuk jumlah bilangan bulat positif: penjumlahannya dapat dipecah menjadi dua tahap dengan dua baris angka, dan angka yang sesuai di setiap baris dapat dijumlahkan satu sama lain, dan hasil penambahannya akan sama.
- Kita dapat mengatakan bahwa jumlah bilangan bulat dari 1 sampai N adalah (N/2)(N+1). Versi sederhana dari rumus ini adalah rumus (N(N+1))/2.

Menghitung jumlah angka yang terletak di antara dua angka, menggunakan jumlah dari 1 hingga N

1 Tentukan opsi penjumlahan (inklusif atau tidak). Seringkali dalam tugas, alih-alih menemukan jumlah angka dari 1 ke angka yang diberikan N, mereka diminta untuk menemukan jumlah bilangan bulat dari N 1 hingga N 2, di mana N 2 > N 1 dan kedua angka > 1. Menghitung seperti itu penjumlahannya cukup sederhana, tetapi sebelumnya Sebelum melanjutkan dengan perhitungan, Anda harus menentukan apakah bilangan yang diberikan dalam N 1 dan N 2 termasuk dalam penjumlahan akhir atau tidak.
2 Untuk menemukan jumlah bilangan bulat antara dua bilangan N 1 dan N 2 , carilah secara terpisah jumlah hingga N 1 , temukan secara terpisah jumlah hingga N 2 dan kurangi satu sama lain (kurangi jumlah hingga N yang lebih kecil dari jumlahkan ke N yang lebih besar). Dalam hal ini, penting untuk mengetahui apakah meringkas secara inklusif atau tidak. Saat menjumlahkan secara inklusif, Anda harus mengurangi 1 dari nilai yang diberikan N 1 ; jika tidak, Anda harus mengurangkan 1 dari nilai yang diberikan N 2 .
- Contoh. Temukan jumlah ("inklusif") bilangan bulat dari N 1 = 75 hingga N 2 = 100. Dengan kata lain, kita harus mencari 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Untuk menyelesaikan soal, kita harus mencari jumlah bilangan bulat dari 1 sampai N 1 -1, lalu kurangi dari jumlah bilangan dari 1 sampai N 2 (ingat: saat menjumlahkan inklusif, kita kurangi 1 dari N 1):
  - (N 2 (N 2 + 1))/2 - ((N 1 -1)((N 1 -1) + 1))/2 =
  - (100(100 + 1))/2 - (74(74 + 1))/2 =
  - 5050 - (74(75))/2 =
  - 5050 - 5550/2 =
  - 5050 - 2775 = 2275. Jumlah angka dari 75 sampai 100 ("inklusif") adalah 2275.
- Sekarang mari kita cari jumlah angkanya tanpa menyertakan angka yang diberikan (dengan kata lain, kita harus mencari 76 + 77 + ... + 99). Dalam hal ini, kita kurangi 1 dari N 2:
  - ((N 2 -1)((N 2 -1) + 1))/2 - (N 1 (N 1 + 1))/2 =
  - (99(99 +1))/2 - (75(75 + 1))/2 =
  - (99(100))/2 - (75(76))/2 =
  - 9900/2 - 5700/2 =
  - 4950 - 2850 \u003d 2100. Jumlah angka dari 75 sampai 100 (tanpa menyertakan angka tersebut) adalah 2100.
3 Pahami prosesnya. Pikirkan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 100 sebagai 1 + 2 + 3 +... + 98 + 99 + 100 dan jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 75 sebagai 1 + 2 + 3 + ... + 73 + 74 + 75. Jumlah bilangan bulat dari 75 hingga 100 ("inklusif") adalah perhitungannya: 75 + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Jumlah angka dari 1 hingga 75 dan jumlah angka dari 1 sampai 100 sama dengan angka 75, tetapi jumlah angka dari 1 sampai 100 setelah angka 75 berlanjut: ... + 76 + 77 + ... + 99 + 100. Jadi, kurangi jumlah angka dari 1 hingga 75 dari jumlah angka dari 1 hingga 100, kami "mengisolasi" jumlah bilangan bulat dari 75 hingga 100.
- Jika kita menjumlahkan secara inklusif, kita harus menggunakan penjumlahan dari 1 sampai 74, bukan penjumlahan dari 1 sampai 75, untuk memasukkan angka 75 ke dalam penjumlahan akhir.
- Demikian pula, jika kita menjumlahkan tanpa memasukkan angka-angka ini, kita harus menggunakan penjumlahan dari 1 sampai 99, bukan penjumlahan dari 1 sampai 100, untuk mengecualikan angka 100 dari penjumlahan akhir. Kita dapat menggunakan penjumlahan dari 1 sampai 75, karena mengurangkannya dari penjumlahan dari 1 sampai 99 akan menghilangkan angka 75 dari penjumlahan akhir.

Hasil penjumlahan selalu bilangan bulat, karena N atau N + 1 adalah bilangan genap yang habis dibagi 2 tanpa sisa.
Jumlah = Jumlah - Jumlah.
Dengan kata lain: Jumlah = n(n+1)/2

Peringatan

Meskipun tidak terlalu sulit untuk memperluas metode ini ke bilangan negatif, artikel ini hanya menganggap bilangan bulat positif N mana N lebih besar dari atau sama dengan 1.