Kecepatan maksimum sebuah balok pada rumus pegas. Getaran bebas. Pendulum pegas. Dengan analogi dengan beban pada pegas, Anda bisa mendapatkannya
Getaran bebas dilakukan di bawah pengaruh gaya dalam sistem setelah sistem dipindahkan dari posisi setimbangnya.
Untuk getaran bebas terjadi menurut hukum harmonik, gaya yang cenderung mengembalikan benda ke posisi setimbang harus sebanding dengan perpindahan benda dari posisi setimbang dan diarahkan ke arah yang berlawanan dengan perpindahan (lihat §2.1 ):
Gaya-gaya yang bersifat fisik lainnya yang memenuhi kondisi ini disebut kuasi-elastis .
Jadi, suatu beban bermassa M, dipasang pada pegas yang kaku k, ujung kedua yang dipasang secara tetap (Gbr. 2.2.1), merupakan suatu sistem yang mampu melakukan osilasi harmonik bebas tanpa adanya gesekan. Beban pada pegas disebut harmonik linier osilator.
Frekuensi melingkar ω 0 osilasi bebas beban pada pegas ditentukan oleh hukum kedua Newton:
Ketika sistem beban pegas ditempatkan secara horizontal, gaya gravitasi yang diterapkan pada beban dikompensasi oleh gaya reaksi tumpuan. Jika beban digantung pada pegas, maka gaya gravitasi diarahkan sepanjang garis pergerakan beban. Pada posisi setimbang, pegas diregangkan sebesar tertentu X 0 sama
Oleh karena itu, hukum kedua Newton untuk beban pada pegas dapat dituliskan sebagai
Persamaan (*) disebut persamaan getaran bebas . Perlu dicatat bahwa properti fisik sistem osilasi tentukan hanya frekuensi alami osilasi ω 0 atau periodenya T . Parameter proses osilasi seperti amplitudo X m dan fase awal φ 0 ditentukan oleh cara sistem dikeluarkan dari kesetimbangan pada saat awal.
Jika, misalnya, beban dipindahkan dari posisi setimbang sejauh Δ aku dan kemudian pada suatu saat T= 0 dilepaskan tanpa kecepatan awal, lalu X m = Δ aku, φ 0 = 0.
Jika beban yang berada pada posisi setimbang diberi kecepatan awal ± υ 0 dengan bantuan gaya dorong yang tajam, maka,
Jadi, amplitudonya X m osilasi bebas dan fase awalnya φ 0 ditentukan kondisi awal .
Ada banyak jenis sistem osilasi mekanis yang menggunakan gaya deformasi elastis. Pada Gambar. Gambar 2.2.2 menunjukkan analog sudut dari osilator harmonik linier. Sebuah piringan mendatar digantung pada seutas benang elastis yang diikatkan pada pusat massanya. Ketika piringan diputar membentuk sudut θ, terjadi momen gaya M kontrol deformasi torsi elastis:
Di mana SAYA = SAYA C adalah momen inersia piringan terhadap sumbu yang melewati pusat massa, dan adalah percepatan sudut.
Dengan analogi beban pada pegas, kita dapat memperoleh:
Getaran bebas. pendulum matematika
Pendulum matematika disebut benda kecil yang digantung pada seutas benang tipis yang tidak dapat diperpanjang, yang massanya dapat diabaikan dibandingkan dengan massa benda. Pada posisi setimbang, ketika bandul digantung tegak lurus, gaya gravitasi seimbang dengan gaya tegangan benang. Ketika pendulum menyimpang dari posisi setimbang dengan sudut tertentu φ, muncul komponen tangensial gravitasi F τ = - mg dosa φ (Gbr. 2.3.1). Tanda minus pada rumus ini berarti komponen tangensial arahnya berlawanan dengan simpangan pendulum.
Jika kita dilambangkan dengan X perpindahan linier pendulum dari posisi setimbang sepanjang busur jari-jari lingkaran aku, maka perpindahan sudutnya akan sama dengan φ = X / aku. Hukum kedua Newton, yang ditulis untuk proyeksi vektor percepatan dan gaya ke arah garis singgung, memberikan:
 |
Hubungan ini menunjukkan bahwa pendulum matematika merupakan suatu kompleks nonlinier sistem, karena gaya yang cenderung mengembalikan bandul ke posisi setimbang tidak sebanding dengan perpindahan X, A
Hanya untuk berjaga-jaga fluktuasi kecil, kapan kira-kira dapat diganti dengan pendulum matematika yaitu osilator harmonik, yaitu suatu sistem yang mampu melakukan osilasi harmonik. Dalam praktiknya, perkiraan ini berlaku untuk sudut dengan orde 15-20°; dalam hal ini, perbedaan nilainya tidak lebih dari 2%. Getaran bandul dengan amplitudo besar tidak harmonis.
Untuk osilasi kecil pendulum matematika, hukum kedua Newton ditulis dalam bentuk
Rumus ini mengungkapkan frekuensi alami osilasi kecil pendulum matematika .
Karena itu,
|
Setiap benda yang dipasang pada sumbu rotasi horizontal mampu melakukan osilasi bebas dalam medan gravitasi dan, oleh karena itu, juga merupakan pendulum. Pendulum seperti itu biasa disebut fisik (Gbr. 2.3.2). Ini berbeda dari matematika hanya pada distribusi massa. Dalam posisi setimbang stabil, pusat massa C bandul fisis terletak di bawah sumbu rotasi O pada garis vertikal yang melalui sumbu tersebut. Ketika bandul dibelokkan dengan sudut φ, timbul momen gravitasi yang cenderung mengembalikan bandul ke posisi setimbang:
dan hukum kedua Newton untuk pendulum fisik berbentuk (lihat §1.23)
Di sini ω 0 - frekuensi alami osilasi kecil pendulum fisik .
Karena itu,
Oleh karena itu, persamaan yang menyatakan hukum kedua Newton untuk bandul fisika dapat ditulis dalam bentuk
Akhirnya, untuk frekuensi melingkar ω 0 osilasi bebas pendulum fisik, diperoleh ekspresi berikut:
|
Transformasi energi selama getaran mekanis bebas
Selama getaran mekanis bebas, energi kinetik dan energi potensial berubah secara berkala. Pada deviasi maksimum suatu benda dari posisi setimbangnya, kecepatannya, dan energi kinetiknya, lenyap. Pada posisi ini, energi potensial benda yang berosilasi mencapai nilai maksimumnya. Untuk beban pada pegas, energi potensial adalah energi deformasi elastis pegas. Untuk pendulum matematika, ini adalah energi dalam medan gravitasi bumi.
Ketika suatu benda yang bergerak melewati posisi setimbang, kecepatannya maksimum. Benda melampaui posisi setimbang menurut hukum inersia. Pada saat ini ia mempunyai energi kinetik maksimum dan energi potensial minimum. Peningkatan energi kinetik terjadi karena penurunan energi potensial. Dengan pergerakan selanjutnya, energi potensial mulai meningkat karena penurunan energi kinetik, dll.
Jadi, pada osilasi harmonik, terjadi transformasi periodik energi kinetik menjadi energi potensial dan sebaliknya.
Jika tidak ada gesekan pada sistem osilasi, maka energi mekanik total selama osilasi bebas tetap tidak berubah.
Untuk beban pegas(lihat §2.2):
Dalam kondisi nyata, setiap sistem osilasi berada di bawah pengaruh gaya gesekan (resistansi). Dalam hal ini, sebagian energi mekanik diubah menjadi energi internal gerak termal atom dan molekul, dan getaran menjadi kabur (Gbr. 2.4.2).
Kecepatan peluruhan getaran bergantung pada besarnya gaya gesekan. Interval waktu τ selama amplitudo osilasi berkurang e≈ 2,7 kali, dipanggil waktu peluruhan .
Frekuensi osilasi bebas bergantung pada laju peluruhan osilasi. Ketika gaya gesekan meningkat, frekuensi alami berkurang. Namun, perubahan frekuensi alami menjadi nyata hanya dengan gaya gesekan yang cukup besar, ketika getaran alami dengan cepat meluruh.
Ciri penting dari sistem osilasi yang melakukan osilasi teredam bebas adalah faktor kualitas Q. Parameter ini didefinisikan sebagai angka N total osilasi yang dilakukan oleh sistem selama waktu redaman τ, dikalikan dengan π:
Dengan demikian, faktor kualitas mencirikan hilangnya energi relatif dalam sistem osilasi karena adanya gesekan selama selang waktu yang sama dengan satu periode osilasi.
Getaran paksa. Resonansi. Osilasi diri
Osilasi yang terjadi di bawah pengaruh gaya periodik eksternal disebut dipaksa.
Gaya eksternal melakukan kerja positif dan memberikan aliran energi ke sistem osilasi. Itu tidak membiarkan getaran padam, meskipun ada gaya gesekan.
Kekuatan eksternal periodik dapat berubah seiring waktu menurut berbagai hukum. Yang menarik adalah kasus ketika gaya eksternal, yang bervariasi menurut hukum harmonik dengan frekuensi ω, bekerja pada sistem osilasi yang mampu melakukan osilasinya sendiri pada frekuensi tertentu ω 0.
Jika osilasi bebas terjadi pada frekuensi ω 0, yang ditentukan oleh parameter sistem, maka osilasi paksa yang stabil selalu terjadi pada frekuensi ω gaya luar.
Setelah gaya luar mulai bekerja pada sistem osilasi, beberapa waktu Δ T untuk membangun osilasi paksa. Waktu pembentukan, dalam urutan besarnya, sama dengan waktu redaman osilasi bebas dalam sistem osilasi.
Pada saat awal, kedua proses tereksitasi dalam sistem osilasi - osilasi paksa pada frekuensi ω dan osilasi bebas pada frekuensi alami ω 0. Namun getaran bebas teredam karena adanya gaya gesekan yang tak terhindarkan. Oleh karena itu, setelah beberapa waktu, hanya osilasi stasioner pada frekuensi gaya penggerak eksternal yang tersisa dalam sistem osilasi.
Mari kita perhatikan, sebagai contoh, osilasi paksa suatu benda pada pegas (Gbr. 2.5.1). Gaya luar diterapkan pada ujung bebas pegas. Ini memaksa ujung pegas yang bebas (kiri pada Gambar 2.5.1) untuk bergerak sesuai hukum
Jika ujung kiri pegas mengalami pergeseran sejauh tertentu kamu, dan yang kanan - ke kejauhan X dari posisi semula, ketika pegas tidak berubah bentuk, maka terjadi perpanjangan pegas Δ aku sama dengan:
Dalam persamaan ini, gaya yang bekerja pada suatu benda direpresentasikan sebagai dua suku. Suku pertama pada ruas kanan adalah gaya elastis yang cenderung mengembalikan benda pada posisi setimbang ( X= 0). Istilah kedua adalah efek periodik eksternal pada tubuh. Istilah ini disebut kekuatan koersif.
Persamaan yang menyatakan hukum kedua Newton untuk benda pada pegas dengan adanya pengaruh periodik eksternal dapat diberikan bentuk matematika yang ketat jika kita memperhitungkan hubungan antara percepatan benda dan koordinatnya: Maka akan ditulis dalam formulir
Persamaan (**) tidak memperhitungkan aksi gaya gesekan. Berbeda dengan persamaan getaran bebas(*) (lihat §2.2) persamaan osilasi paksa(**) berisi dua frekuensi - frekuensi ω 0 osilasi bebas dan frekuensi ω gaya penggerak.
Osilasi paksa beban pada pegas dalam keadaan tunak terjadi pada frekuensi pengaruh eksternal menurut hukum
|
Amplitudo osilasi paksa X m dan fase awal θ bergantung pada rasio frekuensi ω 0 dan ω dan pada amplitudo kamu m kekuatan eksternal.
Sangat frekuensi rendah, ketika ω<< ω 0 , движение тела массой M, menempel pada ujung kanan pegas, mengulangi gerakan ujung kiri pegas. Di mana X(T) = kamu(T), dan pegas tetap tidak berubah bentuk. Gaya luar yang diterapkan pada ujung kiri pegas tidak menghasilkan usaha apa pun, karena modulus gaya ini pada ω<< ω 0 стремится к нулю.
Jika frekuensi gaya luar mendekati frekuensi alami ω 0, terjadi peningkatan tajam dalam amplitudo osilasi paksa. Fenomena ini disebut resonansi . Ketergantungan amplitudo X m osilasi paksa dari frekuensi gaya penggerak disebut karakteristik resonansi atau kurva resonansi(Gbr. 2.5.2).
Pada resonansi, amplitudonya X m osilasi beban bisa berkali-kali lebih besar dari amplitudonya kamu m getaran ujung bebas (kiri) pegas yang disebabkan oleh pengaruh luar. Dengan tidak adanya gesekan, amplitudo osilasi paksa selama resonansi akan meningkat tanpa batas. Dalam kondisi nyata, amplitudo osilasi paksa dalam keadaan tunak ditentukan oleh kondisi: kerja gaya eksternal selama periode osilasi harus sama dengan hilangnya energi mekanik selama waktu yang sama akibat gesekan. Semakin sedikit gesekan (yaitu semakin tinggi faktor kualitasnya Q sistem osilasi), semakin besar amplitudo osilasi paksa pada resonansi.
Dalam sistem osilasi dengan faktor kualitas yang tidak terlalu tinggi (< 10) резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2.
Fenomena resonansi dapat menyebabkan hancurnya jembatan, bangunan, dan bangunan lainnya jika frekuensi alami osilasinya bertepatan dengan frekuensi gaya yang bekerja secara periodik, yang timbul, misalnya, akibat putaran motor yang tidak seimbang.
Getaran paksa adalah tidak teredam fluktuasi. Hilangnya energi yang tak terhindarkan akibat gesekan dikompensasi oleh pasokan energi dari sumber eksternal yang bekerja secara berkala. Ada sistem di mana osilasi yang tidak teredam terjadi bukan karena pengaruh eksternal secara berkala, tetapi karena kemampuan sistem tersebut untuk mengatur pasokan energi dari sumber yang konstan. Sistem seperti ini disebut berosilasi sendiri, dan proses osilasi yang tidak teredam dalam sistem tersebut adalah osilasi diri . Dalam sistem osilasi mandiri, tiga elemen karakteristik dapat dibedakan - sistem osilasi, sumber energi, dan perangkat umpan balik antara sistem osilasi dan sumber. Sistem mekanis apa pun yang mampu melakukan osilasi teredamnya sendiri (misalnya pendulum jam dinding) dapat digunakan sebagai sistem osilasi.
Sumber energi dapat berupa energi deformasi pegas atau energi potensial suatu beban dalam medan gravitasi. Perangkat umpan balik adalah mekanisme dimana sistem berosilasi sendiri mengatur aliran energi dari suatu sumber. Pada Gambar. 2.5.3 menunjukkan diagram interaksi berbagai elemen sistem osilasi mandiri.
Contoh sistem osilasi mandiri mekanis adalah mekanisme jam dengan jangkar kemajuan (Gbr. 2.5.4). Roda lari dengan gigi miring dipasang secara kaku pada drum bergigi, di mana rantai dengan beban dilemparkan. Di ujung atas pendulum dipasang jangkar(jangkar) dengan dua pelat bahan padat, ditekuk membentuk busur lingkaran dengan pusat pada sumbu pendulum. Pada jam tangan, beban digantikan oleh pegas, dan pendulum digantikan oleh penyeimbang - roda tangan yang dihubungkan ke pegas spiral. Penyeimbang melakukan getaran puntir di sekitar porosnya. Sistem osilasi pada jam adalah pendulum atau penyeimbang.
Sumber energinya adalah beban yang diangkat atau pegas yang luka. Alat yang digunakan untuk memberikan umpan balik adalah jangkar, yang memungkinkan roda berjalan memutar satu gigi dalam satu setengah siklus. Umpan balik diberikan melalui interaksi jangkar dengan roda yang sedang berjalan. Dengan setiap osilasi pendulum, gigi roda yang sedang berjalan mendorong garpu jangkar ke arah pergerakan pendulum, mentransfer sejumlah energi tertentu ke sana, yang mengkompensasi kehilangan energi akibat gesekan. Dengan demikian, energi potensial dari beban (atau pegas yang dipelintir) secara bertahap, dalam bagian-bagian terpisah, dipindahkan ke pendulum.
Sistem osilasi mandiri mekanis tersebar luas dalam kehidupan di sekitar kita dan dalam teknologi. Osilasi sendiri terjadi pada mesin uap, mesin pembakaran dalam, bel listrik, dawai alat musik membungkuk, kolom udara pada pipa alat musik tiup, pita suara saat berbicara atau bernyanyi, dll.
 |
| Gambar 2.5.4. Mekanisme jam dengan pendulum. |
Soal Fisika - 4424
2017-10-21
Sebuah pegas ringan dengan kekakuan $k$ diikatkan pada sebuah balok bermassa $m$ yang terletak pada bidang mendatar, ujung kedua pegas tersebut dipasang sedemikian rupa sehingga pegas tidak berubah bentuk dan sumbunya mendatar serta melewati pusat pegas. massa balok. Balok dicampur sepanjang sumbu pegas pada jarak $ \Delta L$ dan dilepaskan tanpa kecepatan awal. Tentukan kecepatan maksimum balok jika koefisien gesekannya terhadap bidang adalah $\mu$.
Larutan:
Kita asumsikan bahwa untuk perpindahan balok tertentu, deformasi pegas bersifat elastis sempurna. Kemudian, berdasarkan hukum Hooke, kita dapat berasumsi bahwa balok dari sisi pegas pada saat pelepasan dikenai gaya $F_(pr) = k \Delta L$, yang diarahkan secara horizontal sepanjang sumbu pegas . Gaya reaksi bidang yang bekerja pada balok dapat direpresentasikan sebagai dua komponen: tegak lurus dan sejajar dengan bidang tersebut. Besarnya komponen normal gaya reaksi $N$ dapat ditentukan berdasarkan hukum kedua Newton, dengan asumsi bahwa kerangka acuan yang diam terhadap bidang ini adalah inersia, dan balok hanya dapat bergerak sepanjang bidang ini. Dengan mengabaikan aksi udara pada balok, diperoleh: $N - mg = 0$, dengan $g$ adalah besar percepatan gravitasi. Menurut hukum Coulomb, dengan balok diam, nilai maksimum komponen paralel adalah gaya reaksi - gaya gesekan statis kering - sama dengan $\mu N $. Oleh karena itu, untuk $k \Delta L \leq \mu mg$, balok harus tetap tidak bergerak setelah dilepaskan > \mu mg$, maka setelah dilepaskan balok akan mulai bergerak dengan percepatan tertentu karena garis kerja gaya dengan sisi pegas melalui pusat massa balok, dan gaya geseknya berlawanan arah dengan kecepatannya, balok akan bergerak secara translasi. Dalam hal ini, deformasi pegas akan berkurang, dan oleh karena itu, percepatan balok juga akan berkurang pada saat jumlah gaya yang bekerja pada balok menjadi nol , kecepatan balok akan menjadi maksimum. Jika, seperti biasa, kita asumsikan bahwa besarnya gaya gesek geser kering tidak bergantung pada kecepatan dan sama dengan nilai maksimum gaya gesek statis kering, maka sesuai dengan itu. dengan kondisi soal, massa pegas, besarnya deformasi $\Delta x $ pegas pada momen yang kita minati dapat dengan mudah dihitung dari relasi $k \Delta x = \mu mg$. Mengingat ekspresi untuk menghitung energi kinetik benda padat yang bergerak translasi, energi potensial pegas yang mengalami deformasi elastis, dan memperhitungkan bahwa perpindahan balok pada saat ini akan menjadi sama dengan $\Delta L - \Delta x$ , berdasarkan hukum perubahan energi mekanik, kita dapat menyatakan bahwa kecepatan maksimum $ v_(max)$ balok harus memenuhi persamaan:
$\frac(k \Delta L^(2))(2) = \frac(k \Delta x^(2))(2) + \frac(mv_(max)^(2))(2) + \ mu mg (\Delta L - \Delta x)$.
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa kecepatan maksimum balok berdasarkan asumsi yang dibuat harus sama dengan
$v_(max) = \begin(cases) 0, & \text(at) k \Delta L \leq \mu mg \\ \sqrt( \frac(k)(m)) \left (\Delta L - \ frac( \mu mg)(k) \kanan) & \text(at) k \Delta L > \mu mg \end(kasus)$.
Calon Ilmu Fisika dan Matematika V. POGOZHEV.
(Akhir. Awal lihat "Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan" No.)
Kami menerbitkan bagian terakhir dari soal dengan topik "Mekanika". Artikel selanjutnya akan membahas tentang fluktuasi dan gelombang.
Soal 4 (1994). Dari bukit yang mulus berubah menjadi bidang horizontal, dari ketinggian H mesin cuci kecil yang halus dengan massa terlepas M. Perosotan halus yang dapat digerakkan dengan massa M dan tinggi badan N> H. Bagian-bagian perosotan pada bidang vertikal yang melalui pusat massa keping dan perosotan bergerak mempunyai bentuk seperti ditunjukkan pada gambar. Berapa tinggi maksimumnya X Bisakah keping memanjat perosotan yang tidak bergerak setelah meluncur dari perosotan yang bergerak untuk pertama kalinya?
Larutan. Perosotan tempat keping awalnya berada, menurut kondisi soal, tidak bergerak dan, oleh karena itu, melekat erat ke Bumi. Jika, seperti yang biasa dilakukan ketika menyelesaikan soal seperti itu, kita hanya memperhitungkan gaya interaksi antara keping dan geser serta gaya gravitasi, maka soal yang diajukan dapat diselesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan energi mekanik dan momentum. Sistem referensi laboratorium, sebagaimana telah disebutkan dalam memecahkan masalah sebelumnya (lihat “Ilmu Pengetahuan dan Kehidupan” No.), dapat dianggap inersia. Kami akan membagi solusi masalah menjadi tiga tahap. Pada tahap pertama, keping mulai meluncur dari perosotan yang tidak bergerak, pada tahap kedua, ia berinteraksi dengan perosotan yang dapat digerakkan, dan pada tahap terakhir, ia naik ke atas perosotan yang tidak bergerak. Dari kondisi soal dan asumsi yang dibuat, maka keping dan benda bergerak hanya dapat bergerak secara translasi sehingga pusat massanya selalu berada pada bidang vertikal yang sama.
Mempertimbangkan hal di atas dan fakta bahwa kepingnya mulus, sistem "Bumi dengan keping geser stasioner" selama tahap pertama harus dianggap terisolasi dan konservatif. Oleh karena itu, menurut hukum kekekalan energi mekanik, energi kinetik mesin cuci W k = mv 1 2 /2 ketika bergerak sepanjang bidang horizontal setelah meluncur menuruni bukit harus sama dengan mgh, Di mana G- besarnya percepatan jatuh bebas.
Selama tahap kedua, keping pertama-tama akan mulai naik di sepanjang perosotan yang bergerak, dan kemudian, setelah mencapai ketinggian tertentu, meluncur turun. Pernyataan ini mengikuti fakta bahwa sebagai hasil interaksi keping dengan perosotan yang dapat digerakkan, perosotan yang dapat digerakkan, sebagaimana telah disebutkan, pada akhir tahap kedua harus bergerak maju dengan kecepatan tertentu. kamu, menjauh dari perosotan stasioner, yaitu searah dengan kecepatan ay 1 keping di akhir tahap pertama. Oleh karena itu, meskipun ketinggian perosotan yang dapat digerakkan sama H, keping itu tidak akan bisa melewatinya. Mengingat gaya reaksi dari bidang horizontal pada slide yang bergerak, serta gaya gravitasi yang bekerja pada slide dan keping tersebut, diarahkan secara vertikal, berdasarkan hukum kekekalan momentum, maka dapat dikatakan bahwa proyeksi ay 2 kecepatan keping di akhir tahap kedua per arah kecepatan ay 1 keping di akhir tahap pertama harus memenuhi persamaan
mυ 1 = mυ 2 + M Dan (1)
Sebaliknya, menurut hukum kekekalan energi mekanik, kecepatan yang ditunjukkan berhubungan dengan hubungan
, (2)
karena sistem “Bumi - pergerakan slide - keping” ternyata terisolasi dan konservatif berdasarkan asumsi yang dibuat, dan energi potensialnya pada awal dan akhir tahap kedua adalah sama. Mengingat bahwa setelah berinteraksi dengan perosotan yang bergerak, kecepatan keping secara umum harus berubah ( ay 1 - ay 2 ≠ 0), dan dengan menggunakan rumus selisih kuadrat dua besaran, dari relasi (1) dan (2) kita peroleh
υ 1 + υ 2 = Dan (3)
dan kemudian dari (3) dan (1) kita menentukan proyeksi kecepatan keping pada akhir tahap kedua ke arah kecepatannya sebelum dimulainya interaksi dengan perosotan yang bergerak
Dari hubungan (4) jelas bahwa ay 1 ≠ ay jam 2 M≠ M dan keping akan berpindah ke perosotan tetap setelah meluncur dari perosotan bergerak hanya jika M< M.
Menerapkan kembali hukum kekekalan energi mekanik untuk sistem “Bumi dengan luncuran stasioner - keping”, kami menentukan ketinggian maksimum keping yang terangkat sepanjang luncuran stasioner X =ay 2 2 /2G. Setelah transformasi aljabar sederhana, jawaban akhirnya dapat direpresentasikan sebagai
Masalah 5(1996). Sebuah balok bermassa licin yang terletak pada bidang mendatar M dilekatkan pada dinding vertikal dengan pegas yang sedikit kaku k. Dengan pegas yang tidak berbentuk, ujung balok menyentuh permukaan kubus, yaitu massa M yang jumlahnya jauh lebih sedikit M. Sumbu pegas berbentuk horizontal dan terletak pada bidang vertikal yang melalui pusat massa kubus dan balok. Dengan menggerakkan balok, pegas dikompresi sepanjang sumbunya sebesar ∆ X, setelah itu balok dilepaskan tanpa kecepatan awal. Berapa jauh kubus akan bergerak setelah tumbukan elastik ideal jika koefisien gesekan kubus pada bidang cukup kecil dan sama dengan μ?
Larutan. Kami akan berasumsi bahwa asumsi standar terpenuhi: kerangka acuan laboratorium, relatif terhadap semua benda yang awalnya diam, adalah inersia, dan benda yang dipertimbangkan hanya dipengaruhi oleh gaya interaksi antara benda tersebut dan gaya gravitasi. , dan, sebagai tambahan, bidang kontak antara balok dan kubus tegak lurus terhadap sumbu pegas. Kemudian, dengan memperhatikan posisi sumbu pegas dan pusat massa balok dan kubus yang ditentukan dalam kondisi, kita dapat berasumsi bahwa benda-benda tersebut hanya dapat bergerak secara translasi.
Setelah dilepaskan, balok mulai bergerak di bawah aksi pegas terkompresi. Pada saat balok menyentuh kubus, sesuai dengan kondisi soal, pegas seharusnya tidak berubah bentuk. Karena balok licin dan bergerak sepanjang bidang horizontal, gaya gravitasi dan reaksi bidang tidak melakukan usaha pada balok. Dengan syarat, massa pegas (dan energi kinetik bagian yang bergerak) dapat diabaikan. Oleh karena itu, energi kinetik balok yang bergerak translasi pada saat menyentuh kubus harus sama dengan energi potensial pegas pada saat balok dilepaskan, dan oleh karena itu kecepatan balok pada saat itu harus sama dengan .
Ketika balok menyentuh kubus, keduanya bertumbukan. Dalam hal ini, gaya gesekan yang bekerja pada kubus bervariasi dari nol hingga m mg, Di mana G- besarnya percepatan jatuh bebas. Dengan asumsi, seperti biasa, waktu tumbukan antara balok dan kubus adalah singkat, kita dapat mengabaikan impuls gaya gesek yang bekerja pada kubus dari sisi bidang dibandingkan dengan impuls gaya yang bekerja pada kubus dari sisi bidang. sisi blok selama tumbukan. Karena perpindahan balok selama tumbukan kecil, dan pada saat bersentuhan dengan kubus pegas, sesuai dengan kondisi soal, tidak berubah bentuk, kita asumsikan pegas tidak bekerja pada balok selama tumbukan. . Oleh karena itu, sistem “blok-kubus” dapat diasumsikan tertutup selama tumbukan. Maka menurut hukum kekekalan momentum, hubungan tersebut harus dipenuhi
May= M kamu + M kamu, (1)
Di mana kamu Dan kamu- masing-masing, kecepatan balok dan kubus segera setelah tumbukan. Usaha yang dilakukan oleh gaya gravitasi dan komponen normal gaya reaksi bidang yang bekerja pada kubus dan balok sama dengan nol (gaya-gaya ini tegak lurus terhadap kemungkinan perpindahannya), tumbukan balok pada kubus adalah idealnya elastis, dan karena durasi tumbukan yang singkat, perpindahan kubus dan balok (dan oleh karena itu gaya gesek dan deformasi pegas) dapat diabaikan. Oleh karena itu, energi mekanik dari sistem yang dipertimbangkan harus tetap tidak berubah dan kesetaraan tetap berlaku
M υ 2 /2 = MU 2 /2 + mi 2 /2 (2)
Setelah ditentukan dari (1) kecepatan balok kamu dan mensubstitusikannya ke (2), kita mendapatkan 2 Mvu=(M+M)kamu 2 , dan sejak sesuai dengan kondisi permasalahan M << M, lalu 2 vu=kamu 2. Oleh karena itu, dengan mempertimbangkan kemungkinan arah pergerakan, maka setelah tumbukan kubus memperoleh kecepatan yang besarnya
(3)
dan kecepatan balok akan tetap tidak berubah dan sama ay. Oleh karena itu, setelah tumbukan, kecepatan kubus harus dua kali kecepatan balok. Oleh karena itu, setelah kubus ditumbuk dalam arah mendatar hingga berhenti, yang bekerja hanyalah gaya gesek geser μ mg dan, oleh karena itu, kubus akan bergerak sama lambatnya dengan percepatan μ G. Setelah tumbukan, balok hanya terpengaruh pada arah mendatar oleh gaya elastis pegas (balok licin). Akibatnya, kecepatan balok berubah menurut hukum harmonik, dan ketika kubus bergerak, ia berada di depan balok. Dari persamaan di atas dapat disimpulkan bahwa balok dari posisi setimbangnya dapat berpindah sejauh ∆ X. Jika koefisien gesekan μ cukup kecil, balok tidak akan bertumbukan dengan kubus lagi, oleh karena itu perpindahan kubus yang diinginkan adalah
L = Dan 2 / 2μg = 2 k(∆x)2/μ M G.
Membandingkan jarak ini dengan ∆ X, kami menemukan bahwa jawaban yang diberikan benar untuk μ ≤ 2 k ∆X/ Mg
Masalah 6(2000). Di tepi papan yang terletak pada bidang horizontal licin, letakkan mesin cuci kecil yang massanya adalah k kali lebih kecil dari massa papan. Dengan sekali klik, keping diberi kecepatan yang diarahkan ke tengah papan. Jika kecepatan ini lebih besar kamu, lalu keping meluncur dari papan. Pada kecepatan berapa papan akan bergerak jika kecepatan kepingnya adalah N kali lebih banyak kamu (N> 1)?
Larutan. Saat menyelesaikan soal, seperti biasa, kita akan mengabaikan pengaruh udara dan berasumsi bahwa kerangka acuan yang terkait dengan tabel adalah inersia, dan keping bergerak secara translasi setelah tumbukan. Perhatikan bahwa hal ini hanya mungkin terjadi jika garis kerja impuls gaya eksternal dan pusat massa keping terletak pada bidang vertikal yang sama. Karena, menurut kondisi soal, keping pada kecepatan awal kurang dari kamu, tidak tergelincir dari papan, harus diasumsikan bahwa ketika mesin cuci meluncur di sepanjang papan, gaya gesekan bekerja di antara keduanya. Mengingat bahwa setelah klik, keping bergerak sepanjang papan menuju pusatnya, dan gaya gesekan geser diarahkan antiparalel dengan kecepatan, dapat dikatakan bahwa papan harus mulai bergerak maju sepanjang meja. Dari apa yang dikatakan sebelumnya dan hukum kekekalan momentum (karena papan berada pada bidang horizontal licin) maka kecepatan keping segera setelah klik kamu w, kecepatannya ay w dan kecepatan papan V d pada saat tergelincir mesin cuci harus memenuhi rasio
Mkamu w = M V d+ May w,(1)
Di mana M- massa mesin cuci, dan M- massa papan, jika kamu w> kamu. Jika kamu w ≤ kamu, kemudian, sesuai dengan kondisi soal, keping tidak terlepas dari papan, dan oleh karena itu, setelah jangka waktu yang cukup lama, kecepatan papan dan keping akan menjadi sama. Dengan asumsi, seperti biasa, besarnya gaya gesekan geser kering tidak bergantung pada kecepatan, mengabaikan ukuran mesin cuci dan memperhitungkan bahwa pergerakan mesin cuci relatif terhadap papan pada saat meluncur tidak bergantung pada awalnya. kecepatan, dengan memperhatikan apa yang telah dikatakan sebelumnya dan berdasarkan hukum perubahan energi mekanik, kita dapat menyatakan, bagaimana dengan kamu w ≥ kamu
mu w 2 / 2 = MV d 2 / 2 + Mυ w 2 / 2 + A,(2)
Di mana A- bekerja melawan gaya gesekan, dan dengan kamu w> kamu V D< ay w, dan di kamu w = kamu V d = ay w. Mengingat itu dengan syarat M/M=k, dari (1) dan (2) di kamu w = kamu setelah transformasi aljabar kita dapatkan
dan sejak pukul kamu w = tidak dari (1) berikut ini
kamu w 2 = N 2 Dan 2 + k 2 V d 2 - 2 nki V d (4)
kecepatan papan yang diinginkan harus memenuhi persamaan
k(k + 1) V hari 2 - 2 nk dan V d+ ki 2 /(k + 1) = 0. (5)
Jelas sekali kapan N→∞ waktu interaksi keping dengan papan harus cenderung nol dan, oleh karena itu, kecepatan papan yang diinginkan seiring bertambahnya N(setelah melebihi nilai kritis tertentu) seharusnya menurun (dalam batas nol). Oleh karena itu, dari dua kemungkinan solusi persamaan (5), kondisi masalahnya terpenuhi
