Teorema Bolzano-Weierstrass. Batas titik garis bilangan urut Pembuktian uji Weierstrass dan kriteria Cauchy Teorema titik batas Bolzano-Cauchy

Definisi v.7. Suatu titik x € R pada garis bilangan disebut titik limit suatu barisan (xn) jika untuk sembarang lingkungan U (x) dan sembarang bilangan asli N, dimungkinkan untuk menemukan elemen xn yang termasuk dalam lingkungan tersebut dengan bilangan lebih besar dari LG, mis. x 6 R - titik batas jika. Dengan kata lain, suatu titik x akan menjadi titik limit (xn) jika salah satu lingkungannya mengandung unsur-unsur barisan ini dengan bilangan yang besar, meskipun mungkin tidak semua unsur dengan bilangan n > N. Oleh karena itu, pernyataan berikut ini cukup jelas . Pernyataan b.b. Jika lim(xn) = 6 6 R, maka b adalah satu-satunya titik limit barisan (xn). Memang, berdasarkan Definisi 6.3 dari limit suatu barisan, semua elemennya, mulai dari suatu bilangan tertentu, termasuk dalam lingkungan sembarang kecil di titik 6, dan oleh karena itu unsur-unsur dengan bilangan besar yang sembarang tidak dapat berada di lingkungan titik lain mana pun. . Akibatnya, kondisi definisi 6.7 dipenuhi hanya untuk satu titik 6. Namun, tidak setiap titik limit (terkadang disebut titik kental tipis) suatu barisan adalah limitnya. Jadi barisan (b.b) tidak mempunyai limit (lihat contoh 6.5), tetapi mempunyai dua titik limit x = 1 dan x = - 1. Barisan ((-1)pp) mempunyai dua titik tak terhingga +oo dan sebagai titik limit - dengan garis bilangan memanjang yang gabungannya dilambangkan dengan satu simbol oo. Itulah sebabnya kita dapat berasumsi bahwa titik-titik batas tak terhingga bertepatan, dan titik tak terhingga oo, menurut (6.29), adalah limit barisan ini. Batasi titik-titik garis bilangan urut. Bukti uji Weierstrass dan kriteria Cauchy. Misalkan barisan (jn) diberikan dan bilangan k membentuk barisan bilangan bulat positif yang bertambah. Maka barisan (Vnb dimana yn = xkn> disebut barisan barisan asal. Tentunya jika (i„) mempunyai bilangan 6 sebagai limitnya, maka barisan-barisan tersebut mempunyai limit yang sama, karena dimulai dari suatu bilangan tertentu semua elemen barisan asal dan barisan berikutnya termasuk dalam lingkungan yang dipilih dari titik 6. Pada saat yang sama, setiap titik batas barisan juga merupakan titik batas barisan tersebut titik batas, suatu barisan dapat dipilih yang mempunyai titik batas ini sebagai batasnya. Misalkan b adalah titik batas barisan (xn). 7 titik batas, untuk setiap n terdapat elemen yang termasuk dalam lingkungan U (6, 1/n) titik b berjari-jari 1/n. Barisan selanjutnya terdiri dari titik ijtj, ...1 ..., dimana zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, mempunyai limit di titik 6. Memang, untuk sembarang e > 0, kita dapat memilih N seperti yang. Kemudian semua elemen barisan berikutnya, dimulai dengan bilangan km, akan masuk ke dalam lingkungan ^ U(6, e) titik 6, yang sesuai dengan kondisi 6.3 dari definisi limit barisan tersebut. Teorema kebalikannya juga benar. Batasi titik-titik garis bilangan urut. Bukti uji Weierstrass dan kriteria Cauchy. Teorema 8.10. Jika suatu barisan mempunyai barisan yang berbatas 6, maka b adalah titik batas barisan tersebut. Dari Definisi 6.3 limit suatu barisan, dimulai dari suatu bilangan tertentu, semua elemen barisan yang berbatas b berada dalam lingkungan U(b, ​​​​e) dengan jari-jari sembarang e secara serentak merupakan unsur-unsur barisan (xn)> unsur-unsur xn berada dalam lingkungan ini dengan bilangan-bilangan besar yang sama banyaknya, dan ini, berdasarkan Definisi 6.7, berarti bahwa b adalah titik batas barisan (n). Catatan 0.2. Teorema 6.9 dan 6.10 juga berlaku dalam kasus ketika titik limit tidak terhingga, jika, ketika membuktikan lingkungan merto dari U(6, 1 /n), kita mempertimbangkan lingkungan (atau lingkungan-lingkungan). dapat diisolasi dari suatu barisan ditentukan oleh teorema berikut. Teorema 6.11 (Bolzano - Weierstrass) Setiap barisan berbatas mempunyai barisan yang konvergen sampai suatu batas berhingga. Misalkan semua anggota barisan (an) terdapat di antara bilangan a dan 6, yaitu xn € [a, b] Vn € N. Mari kita bagi segmen [a] , b] menjadi dua himpunan tak terbatas elemen-elemen barisan, karena jika tidak, seluruh segmen [a, b] akan berisi sejumlah elemen yang terbatas, yang tidak mungkin. Misalkan ] adalah setengah dari segmen [a, 6] yang berisi himpunan elemen barisan (zn) yang tak terhingga (atau jika kedua bagiannya sama, maka salah satu darinya). Demikian pula dari segmen yang berisi elemen barisan yang jumlahnya tak terbatas, dll. Melanjutkan proses ini, kita akan membangun sistem segmen tersarang dengan bn - an = (6- a)/2P. Menurut prinsip segmen bersarang, ada titik x yang menjadi milik semua segmen tersebut. Titik ini akan menjadi titik limit barisan (xn) - Faktanya, untuk setiap lingkungan e U(x, e) = (xx + e) ​​​​titik x terdapat ruas C U(x, e) (itu cukup memilih n dari pertidaksamaan (, yang memuat himpunan elemen barisan (sn) tak hingga. Menurut Definisi 6.7, x adalah titik limit barisan tersebut. Kemudian, menurut Teorema 6.9, terdapat barisan berikutnya yang konvergen ke intinya x. Metode penalaran yang digunakan dalam pembuktian teorema ini (kadang-kadang disebut lemma Bolzano-Weyer -Strass) dan dikaitkan dengan pembagian berurutan dari segmen yang dipertimbangkan menjadi dua, dikenal sebagai metode Bolzano sangat menyederhanakan pembuktian banyak teorema kompleks. Hal ini memungkinkan kita untuk membuktikan sejumlah teorema kunci dengan cara yang berbeda (terkadang lebih sederhana). Penambahan 6.2. Bukti kriteria Weierstrass dan kriteria Cauchy untuk konvergensi barisan monoton berbatas). Misalkan barisan (n) tidak menurun. Kemudian himpunan nilainya dibatasi di atas dan, menurut Teorema 2.1, mempunyai supremum yang dilambangkan dengan sup(xn) menjadi R. Karena sifat supremum (lihat 2.7) Titik batas barisan tersebut adalah bilangan baris. Bukti uji Weierstrass dan kriteria Cauchy. Menurut Definisi 6.1 untuk barisan tak menurun kita mempunyai atau Kemudian > Ny dan dengan memperhatikan (6.34) kita peroleh yang sesuai dengan Definisi 6.3 dari limit barisan tersebut, yaitu. 31im(sn) dan lim(xn) = 66R. Jika barisan (xn) tidak bertambah, maka jalannya pembuktian serupa. Sekarang mari kita beralih ke pembuktian kecukupan kriteria Kochia untuk konvergensi suatu barisan (lihat Pernyataan 6.3), karena perlunya kondisi kriteria mengikuti Teorema 6.7. Biarkan barisan (jn) menjadi fundamental. Menurut Definisi 6.4, dengan sembarang € > 0, seseorang dapat menemukan bilangan N(s) sedemikian rupa sehingga m^N dan n^N menyiratkan. Kemudian, dengan mengambil m - N, untuk Vn > N kita peroleh € £ Karena barisan yang ditinjau mempunyai jumlah anggota berhingga yang jumlahnya tidak melebihi N, maka dari (6.35) barisan fundamental tersebut dibatasi (untuk perbandingan, lihat bukti Teorema 6.2 tentang batas barisan konvergen ). Untuk himpunan nilai barisan berbatas, terdapat batas infimum dan supremum (lihat Teorema 2.1). Untuk himpunan nilai elemen n > N, kita menyatakan wajah-wajah ini masing-masing an = inf xn dan bjy = sup xn. Dengan meningkatnya N, infimum eksak tidak berkurang, dan supremum eksak tidak bertambah, mis. . Apakah saya mendapatkan sistem pendingin udara? Segmen Menurut prinsip segmen tersarang, terdapat titik umum yang dimiliki oleh semua segmen. Mari kita nyatakan dengan b. Jadi, pada Dari perbandingan (6.36) dan (6.37), kita akhirnya memperoleh yang sesuai dengan Definisi 6.3 dari limit barisan tersebut, yaitu. 31im(x„) dan lim(sn) = 6 6 R. Bolzano mulai mempelajari barisan fundamental. Namun dia tidak memiliki teori bilangan real yang ketat, dan oleh karena itu dia tidak dapat membuktikan konvergensi barisan fundamental. Cauchy melakukan ini, dengan menerima begitu saja prinsip segmen bersarang, yang kemudian dibuktikan oleh Cantor. Kriteria kekonvergenan suatu barisan tidak hanya diberi nama Cauchy, tetapi barisan fundamental sering disebut barisan Cauchy, dan prinsip segmen bersarang dinamai Cantor. Soal dan tugas 8.1. Buktikan bahwa: 6.2. Berikan contoh barisan tak konvergen yang anggotanya termasuk dalam himpunan Q dan R\Q. 0,3. Dalam kondisi apa suku-suku barisan aritmatika dan geometri membentuk barisan menurun dan barisan naik? 6.4. Buktikan hubungan berikut dari tabel. 6.1. 6.5. Buatlah contoh barisan yang cenderung ke titik tak terhingga +oo, -oo, oo, dan contoh barisan yang konvergen ke titik 6 € R. c.v. Bisakah barisan tak berbatas bukan bb? Jika ya, berikan contohnya. Pukul 7. Buatlah contoh barisan divergen yang terdiri dari unsur-unsur positif yang tidak mempunyai batas berhingga dan tidak terbatas. 6.8. Buktikan konvergensi barisan (nn) yang diberikan oleh rumus berulang sn+i = sin(xn/2) dengan syarat “1 = 1. 6.9. Buktikan bahwa lim(xn)=09 jika sn+i/xn-»g€ .

Bagilah segmen [ A 0 ,B 0 ] menjadi dua segmen yang sama. Setidaknya salah satu segmen yang dihasilkan berisi suku barisan yang jumlahnya tak terhingga. Mari kita nyatakan [ A 1 ,B 1 ] .

Pada langkah selanjutnya, kita akan mengulangi prosedur dengan segmen [ A 1 ,B 1 ]: membaginya menjadi dua segmen yang sama dan memilih salah satu segmen yang memiliki jumlah suku tak terhingga dalam barisan tersebut. Mari kita nyatakan [ A 2 ,B 2 ] .

Melanjutkan proses, kami memperoleh urutan segmen bersarang

di mana setiap suku berikutnya adalah setengah dari suku sebelumnya, dan berisi suku-suku barisan yang jumlahnya tak terhingga ( X k } .

Panjang segmen cenderung nol:

Berdasarkan prinsip Cauchy-Cantor segmen bersarang, ada satu titik ξ yang dimiliki semua segmen:

Dengan konstruksi pada setiap segmen [A M ,B M ] terdapat suku-suku barisan yang jumlahnya tak terhingga. Mari kita pilih secara berurutan

sambil memperhatikan kondisi bertambahnya jumlah:

Kemudian barisan selanjutnya konvergen ke titik ξ. Hal ini mengikuti fakta bahwa jarak dari ke ξ tidak melebihi panjang segmen yang memuatnya [A M ,B M ] , Di mana

Perluasan ke kasus ruang dengan dimensi yang berubah-ubah

Teorema Bolzano-Weierstrass dengan mudah digeneralisasikan ke kasus ruang berdimensi sembarang.

Misalkan barisan titik-titik dalam ruang diberikan:

(indeks bawah adalah nomor anggota urut, indeks atas adalah nomor koordinat). Jika barisan titik-titik dalam ruang dibatasi, maka masing-masing barisan koordinat numerik:

juga terbatas ( - nomor koordinat).

Berdasarkan versi satu dimensi teorema Bolzano-Weirstrass dari barisan ( X k) kita dapat memilih barisan titik-titik yang koordinat pertamanya membentuk barisan konvergen. Dari barisan yang dihasilkan, kita sekali lagi memilih barisan yang konvergen sepanjang koordinat kedua. Dalam hal ini, konvergensi sepanjang koordinat pertama akan dipertahankan karena setiap barisan konvergen juga konvergen. Dan seterusnya.

Setelah N kita mendapatkan urutan langkah tertentu

yang merupakan lanjutan dari , dan menyatu di sepanjang masing-masing koordinat. Oleh karena itu, barisan ini konvergen.

Cerita

Teorema Bolzano-Weierstrass (untuk kasus ini N= 1) pertama kali dibuktikan oleh ahli matematika Ceko Bolzano pada tahun 1817. Dalam karya Bolzano, ia bertindak sebagai lemma dalam pembuktian teorema nilai antara suatu fungsi kontinu, yang sekarang dikenal sebagai teorema Bolzano-Cauchy. Namun, hasil ini dan hasil lainnya, yang dibuktikan oleh Bolzano jauh sebelum Cauchy dan Weierstrass, luput dari perhatian.

Hanya setengah abad kemudian, Weierstrass, secara independen dari Bolzano, menemukan kembali dan membuktikan teorema ini. Awalnya disebut teorema Weierstrass, sebelum karya Bolzano dikenal dan diterima.

Saat ini teorema ini menyandang nama Bolzano dan Weierstrass. Teorema ini sering disebut Lemma Bolzano-Weierstrass, dan terkadang lemma titik batas.

Teorema Bolzano-Weierstrass dan konsep kekompakan

Teorema Bolzano-Weierstrass menyatakan sebagai berikut properti yang menarik himpunan berbatas : sembarang barisan titik M berisi barisan yang konvergen.

Ketika membuktikan berbagai proposisi dalam analisis, mereka sering menggunakan teknik berikut: mereka menentukan urutan poin yang memiliki beberapa properti yang diinginkan, dan kemudian barisan selanjutnya diisolasi darinya, yang juga memilikinya, tetapi sudah konvergen. Misalnya, dengan cara ini teorema Weierstrass membuktikan bahwa suatu fungsi kontinu pada suatu interval dibatasi dan mengambil nilai terbesar dan terkecil.

Efektivitas teknik tersebut secara umum, serta keinginan untuk memperluas teorema Weierstrass ke ruang metrik sembarang, mendorong matematikawan Perancis Maurice Fréchet untuk memperkenalkan konsep tersebut pada tahun 1906. kekompakan. Sifat himpunan berbatas di , yang ditetapkan oleh teorema Bolzano-Weierstrass, secara kiasan adalah bahwa titik-titik himpunan terletak cukup “dekat” atau “kompak”: setelah membuat langkah dalam jumlah tak terhingga di sepanjang himpunan ini, kita akan tentu saja datang sedekat yang kita inginkan ke suatu titik di ruang angkasa.

Frechet memperkenalkan definisi berikut: himpunan M ditelepon kompak, atau kompak, jika setiap barisan titik-titiknya mengandung barisan berikutnya yang konvergen ke suatu titik pada himpunan ini. Diasumsikan bahwa di lokasi syuting M metriknya ditentukan, yaitu memang demikian

Ingatlah bahwa kita menyebut lingkungan suatu titik sebagai interval yang memuat titik tersebut; -lingkungan titik x - interval

Definisi 4. Suatu titik disebut titik batas suatu himpunan jika setiap lingkungan titik tersebut memuat subset tak hingga dari himpunan X.

Kondisi ini jelas ekuivalen dengan fakta bahwa di setiap lingkungan suatu titik terdapat paling sedikit satu titik pada himpunan X yang tidak berimpit dengannya (Periksa!)

Mari kita berikan beberapa contoh.

Jika maka titik limit X hanyalah titik .

Untuk suatu interval, setiap titik pada ruas tersebut merupakan titik batas dan dalam hal ini tidak ada titik batas lainnya.

Untuk himpunan bilangan rasional, setiap titik E merupakan titik limit, karena seperti kita ketahui, pada setiap interval bilangan real terdapat bilangan rasional.

Lemma (Bolzano-Weierstrasse). Setiap himpunan bilangan terbatas tak terhingga mempunyai paling sedikit satu titik batas.

Misalkan X adalah himpunan bagian tertentu dari E. Dari definisi keterbatasan himpunan X maka X terdapat pada suatu segmen tertentu. Mari kita tunjukkan bahwa paling sedikit salah satu titik pada ruas I merupakan titik limit X.

Jika tidak demikian, maka setiap titik akan memiliki lingkungan di mana tidak ada titik dari himpunan X sama sekali, atau jumlah titik tersebut terbatas di sana. Himpunan lingkungan yang dibangun untuk setiap titik membentuk penutup segmen I dengan interval yang darinya, dengan menggunakan lemma pada cakupan berhingga, kita dapat mengekstrak sistem interval berhingga yang mencakup segmen I. Namun, karena sistem yang sama ini mencakup keseluruhan himpunan X. Namun, pada setiap interval hanya terdapat sejumlah titik berhingga dari himpunan X, yang berarti bahwa dalam penyatuannya juga terdapat sejumlah titik X yang berhingga, yaitu X adalah himpunan berhingga. Kontradiksi yang dihasilkan melengkapi pembuktiannya.

Definisi 1. Suatu titik x pada suatu garis tak hingga disebut titik batas barisan (x n) jika di sembarang lingkungan e titik tersebut terdapat banyak sekali elemen barisan (x n).

Lemma 1. Jika x adalah titik limit suatu barisan (x k ), maka dari barisan tersebut kita dapat memilih barisan berikutnya (x n k ), yang konvergen ke bilangan x.

Komentar. Pernyataan sebaliknya juga benar. Jika dari barisan (x k) dapat dipilih barisan yang konvergen dengan bilangan x, maka bilangan x tersebut adalah titik limit barisan (x k). Memang, di lingkungan e mana pun dari titik x terdapat banyak sekali elemen barisan berikutnya, dan oleh karena itu, barisan itu sendiri (x k ).

Dari Lemma 1 dapat disimpulkan bahwa kita dapat memberikan definisi lain tentang titik limit suatu barisan, yang setara dengan Definisi 1.

Definisi 2. Suatu titik x pada suatu garis tak hingga disebut titik limit suatu barisan (x k ), jika dari barisan tersebut dapat dipilih barisan berikutnya yang konvergen ke x.

Lemma 2. Setiap barisan konvergen hanya mempunyai satu titik limit yang berimpit dengan limit barisan tersebut.

Komentar. Jika barisan tersebut konvergen, maka menurut Lema 2 barisan tersebut hanya mempunyai satu titik limit. Namun, jika (xn) tidak konvergen, maka ia dapat mempunyai beberapa titik batas (dan, secara umum, banyak titik batasnya yang tak terhingga). Mari kita tunjukkan, misalnya, bahwa (1+(-1) n ) mempunyai dua titik limit.

Memang, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... mempunyai dua titik batas 0 dan 2, karena barisan (0)=0,0,0,... dan (2)=2,2,2,... barisan ini berturut-turut mempunyai limit bilangan 0 dan 2. Misalkan x adalah sembarang titik pada sumbu bilangan selain titik 0 dan 2. Misalkan e >0 jadi

kecil sehingga e - lingkungan titik 0, x dan 2 tidak berpotongan. Lingkungan e dari titik 0 dan 2 memuat semua elemen barisan tersebut dan oleh karena itu lingkungan e dari titik x tidak dapat memuat banyak elemen tak terhingga (1+(-1) n ) dan oleh karena itu bukan merupakan titik limit barisan ini.

Dalil. Setiap barisan berbatas mempunyai paling sedikit satu titik batas.

Komentar. Tidak ada bilangan x yang melebihi , yang merupakan titik batas barisan (x n), yaitu - titik limit terbesar barisan (x n).

Misalkan x adalah bilangan apa pun yang lebih besar dari . Mari kita pilih e>0 yang sangat kecil

dan x 1 О(x), di sebelah kanan x 1 terdapat sejumlah anggota barisan (x n) yang jumlahnya terbatas atau tidak ada sama sekali, yaitu x bukan merupakan titik limit barisan (x n ).

Definisi. Titik batas terbesar barisan (x n) disebut batas atas barisan dan dilambangkan dengan simbol. Dari pernyataan tersebut dapat disimpulkan bahwa setiap barisan berbatas mempunyai batas atas.

Demikian pula, konsep batas bawah diperkenalkan (sebagai titik batas terkecil dari barisan (x n )).

Jadi, kami telah membuktikan pernyataan berikut. Setiap barisan berbatas mempunyai batas atas dan batas bawah.

Mari kita rumuskan teorema berikut tanpa pembuktian.

Dalil. Agar barisan (x n) konvergen, barisan tersebut perlu dan cukup dibatasi serta batas atas dan batas bawahnya bertepatan.

Hasil dari bagian ini mengarah pada teorema utama Bolzano-Weierstrass berikut ini.

Teorema Bolzano-Weierstrass. Dari barisan berbatas mana pun, seseorang dapat memilih barisan yang konvergen.

Bukti. Karena barisan (x n ) dibatasi, maka barisan tersebut mempunyai paling sedikit satu titik batas x. Kemudian dari barisan tersebut kita dapat memilih barisan berikutnya yang konvergen ke titik x (mengikuti Definisi 2 titik batas).

Komentar. Dari barisan berbatas mana pun seseorang dapat mengisolasi barisan konvergen monotonik.