Faktorijel broja 1. Zašto je faktorijel nule jednak jedan? Što su faktorijeli i kako ih riješiti

Što su faktorijeli i kako ih riješiti

Faktorijel broja n, koji se u matematici označava latiničnim slovom n iza kojeg slijedi uskličnik!. Ovaj izraz se izgovara glasom kao "n faktorijel". Faktorijel je rezultat sekvencijalnog množenja niza prirodni brojevi od 1 do željenog broja n. Na primjer, 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 720 Faktorijel broja n označavamo latiničnim slovom n! a izgovara se en factorial. Predstavlja sekvencijalno množenje (umnožak) svih prirodnih brojeva počevši od 1 do broja n. Na primjer: 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 720

Faktorijel ima matematičko značenje samo ako je broj cijeli i pozitivan (prirodan). Ovo značenje proizlazi iz same definicije faktorijela, jer Svi prirodni brojevi su nenegativni i cijeli brojevi. Vrijednosti faktorijela, odnosno rezultat množenja niza od jedan do broja n, mogu se vidjeti u tablici faktorijela. Takva tablica je moguća jer je vrijednost faktorijela svakog cijelog broja unaprijed poznata i takoreći je tablična vrijednost.

Po definiciji 0! = 1. Odnosno, ako postoji nula faktorijel, tada ne množimo ništa i rezultat će biti prvi prirodni broj koji postoji, odnosno jedan.

Rast funkcije faktorijela može se prikazati na grafu. To će biti luk sličan funkciji x-kvadrat, koji će brzo težiti prema gore.

Faktorijel je brzo rastuća funkcija. Raste prema grafu brže od polinomske funkcije bilo kojeg stupnja, pa čak i od eksponencijalne funkcije. Faktorijel raste brže od polinoma bilo kojeg stupnja i eksponencijalne funkcije (ali u isto vrijeme sporije od dvostruke eksponencijalne funkcije). Zbog toga može biti teško ručno izračunati faktorijel, jer rezultat može biti vrlo velik broj. Kako biste izbjegli ručno izračunavanje faktorijela, možete se poslužiti kalkulatorom faktorijela s kojim možete brzo doći do odgovora. Faktorijel se koristi u funkcionalnoj analizi, teoriji brojeva i kombinatorici, u kojoj ima veliko matematičko značenje povezano s brojem svih mogućih nesređenih kombinacija objekata (brojeva).

Besplatni online kalkulator faktorijela

Naš besplatni alat za rješavanje omogućuje vam online izračunavanje faktorijela bilo koje složenosti u nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u kalkulator. Također možete saznati kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako još uvijek imate pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi VKontakte.

Kombinatorika - ovo je, kao što i samo ime kaže, grana matematike koja proučava različite postavlja ili kombinacije bilo koji objekti (elementi) - brojevi, predmeti, slova u riječima itd. Vrlo zanimljiv odjeljak.) Ali iz ovog ili onog razloga, teško razumjeti. Zašto? Budući da često sadrži izraze i oznake teže za vizualnu percepciju. Ako su znakovi 10, 2, 3/4 i parni, ili log 2 5 su nam vizualno jasni, tj. možemo ih nekako “osjetiti”, onda s oznakama poput 15!,P 9 .počinju problemi. Osim toga, u većini udžbenika ova je tema predstavljena prilično suhoparno i teško razumljiva. Nada, ovaj materijal barem malo će pomoći u rješavanju ovih problema i svidjet će vam se kombinatorika.)

Svatko se od nas svakodnevno suočava s problemima kombinatorike. Kad ujutro odlučimo kako ćemo se obući, mi kombinirati određene vrste odjeće. Kada pripremamo salatu, sjedinimo sastojke. Rezultat ovisi o odabranoj kombinaciji proizvoda - ukusnoj ili neukusnoj. Istina, pitanjima okusa više se ne bavi matematika, nego kuhanje, ali ipak.) Kada se igramo “riječima”, slažući male riječi od jedne dugačke, spajamo slova. Kada otvorimo šifru ili biramo telefonski broj, spajamo brojeve.) Ravnatelj škole izrađuje rasporede sati, kombinirajući predmete. Nogometne reprezentacije na Svjetskom ili Europskom prvenstvu podijeljene su u skupine, formirajući kombinacije. I tako dalje.)

Ljudi su kombinatorne probleme rješavali još u antičko doba (magični kvadrati, šah), a pravi procvat kombinatorike dogodio se u 6.–7. stoljeću, u vrijeme raširenosti kockanja (karte, kocka), kada su igrači morali smišljati razne poteze i na taj način zapravo i odlučiti kombinatorni problemi.) Uz kombinatoriku, u isto vrijeme nastala je još jedna grana matematike - teorija vjerojatnosti . Ova dva odjeljka su vrlo bliski srodnici i idu ruku pod ruku.) A kada proučavamo teoriju vjerojatnosti, više ćemo se puta susresti s problemima kombinatorike.

A mi ćemo započeti proučavanje kombinatorike s takvim temeljnim konceptom kao što je faktorijel .

Što je faktorijel?

Riječ faktorijal je lijepa riječ, ali mnoge plaši i zbunjuje. Ali uzalud. U ovoj lekciji ćemo razumjeti i dobro raditi s ovim jednostavnim konceptom.) Ova riječ dolazi od latinske riječi "factorialis", što znači "množenje". I to s dobrim razlogom: izračun bilo kojeg faktorijela temelji se na običnom množenje.)) Dakle, što je faktorijel.

Uzmimo malo prirodni broj n . Potpuno proizvoljno: želimo 2, želimo 10, kako god, sve dok je to prirodno.) Dakle, faktorijel prirodnog broja n je proizvod svih prirodnih brojeva iz 1 do n uključivo. Označava se ovako: n! To je,

Kako ne bismo svaki put opisivali ovaj dugi posao, jednostavno smo smislili kratku notaciju. :) Piše malo neobično: “en factorial” (a ne obrnuto, “factorial en”, kako bi se moglo činiti).

To je sve! Na primjer,

Shvaćate li?)) Super! Zatim razmatramo primjere:

Odgovori (u neredu): 30; 0,1; 144; 6; 720; 2; 5040.

Je li sve uspjelo? Predivno! Već znamo izračunati faktorijele i s njima rješavati jednostavne primjere. Samo naprijed. :)

Svojstva faktorijela

Razmotrimo izraz 0, koji nije baš jasan sa stajališta određivanja faktorijela. Tako je u matematici bilo dogovoreno da

Da da! Ovo je zanimljiva jednadžba. I od jedan i od nule faktorijel je isti - jedan.)) Uzmimo za sada ovu jednakost kao dogmu, ali zašto je to baš tako bit će jasno malo kasnije, uz primjere.))

Sljedeća dva su vrlo slična svojstva:

Mogu se dokazati na elementaran način. Izravno u značenju faktorijela.)

Ove dvije formule omogućuju, prvo, jednostavno izračunavanje faktorijela trenutnog prirodnog broja kroz faktorijel prethodni brojevima. Ili sljedeći kroz trenutni.) Takve se formule u matematici nazivaju ponavljajući.

Drugo, uz pomoć ovih formula možete pojednostaviti i izračunati neke škakljive izraze s faktorijelima. Kao ovi.

Izračunati:

Kako ćemo postupiti? Dosljedno množiti sve prirodne brojeve od 1 do 1999 i od 1 do 2000? Ovo će vas zaprepastiti! Ali svojstva primjera rješavaju se doslovno u jednom retku:

Ili ovako:

Ili takav zadatak. Pojednostaviti:

Opet radimo izravno na svojstvima:

Zašto su faktorijeli potrebni i odakle su došli? Pa, zašto su oni potrebni? Ovo je filozofsko pitanje. U matematici se ništa ne događa samo radi ljepote.)) Zapravo, faktorijel ima mnogo primjena. Ovo je Newtonov binom, i teorija vjerojatnosti, i niz, i Taylorova formula, pa čak i slavni broje , što je zanimljiva beskonačna suma:

Što više tražiten , oni veći brojčlanova u zbroju i što će taj zbroj biti bliži brojue . I u ograničiti kada postane jednak točno tom brojue . :) Ali o ovom nevjerojatnom broju ćemo govoriti u odgovarajućoj temi. A ovdje imamo faktorijele i kombinatoriku.)

Odakle su došli? Došli su iz kombinatorike, iz proučavanja skupova elemenata.) Najjednostavniji takav skup je preslagivanje bez ponavljanja. Počnimo s njim. :)

Prearanžiranje bez ponavljanja

Neka nam budu dva razne objekt. Ili element. Apsolutno bilo koji. Dvije jabuke (crvena i zelena), dvije bombone (čokolada i karamela), dvije knjige, dva broja, dva slova - bilo što. Da barem jesu razne.) Nazovimo ihA IB odnosno.

Što možete učiniti s njima? Ako su ovo bomboni, onda ih, naravno, možete jesti.)) Za sada ćemo ih tolerirati i jesti poredati različitim redoslijedom.

Svako takvo mjesto naziva se preslagivanje bez ponavljanja. Zašto "bez ponavljanja"? Budući da su svi elementi uključeni u permutaciju drugačiji. Radi jednostavnosti, do sada smo to odlučili. Ima li još permutacija s ponavljanjima, gdje neki elementi mogu biti isti. Ali takve su permutacije malo kompliciranije. Više o njima kasnije.)

Dakle, ako se uzmu u obzir dva različita elementa, moguće su sljedeće opcije:

AB , B A .

Postoje samo dvije opcije, tj. dvije permutacije. Ne mnogo.)

Dodajmo sada još jedan element našem skupuC . U ovom slučaju bit će šest permutacija:

ABC , ACB , BAC , B.C.A. , TAKSI , C.B.A. .

Konstruirat ćemo permutacije od četiri elementa na sljedeći način. Prvo, stavimo element na prvo mjestoA . Istovremeno, preostali tri elementi se mogu preuređivati, kao što već znamo, šest načini:

To znači da broj permutacija s prvim elementomA jednako 6.

Ali ista će priča ispasti ako stavimo na prvo mjesto bilo koji od ova četiri elementa. Imaju jednaka prava i svaki zaslužuje biti na prvom mjestu.) To znači da će ukupan broj permutacija četiri elementa biti jednak . Evo ih:

Dakle, da rezimiramo: permutacija iz n elementi se nazivaju bilo koji naredio skup ovih nelementi.

Ovdje je ključna riječ "uređeno": svaka se permutacija razlikuje samo poredak elemenata, a sami elementi u skupu ostaju isti.

Ostaje samo saznati iz čega proizlazi broj takvih permutacija bilo koji broj elemenata: nismo mazohisti da svaki put ispisujemo svi razne opcije i prebrojite ih. :) Za 4 elementa dobili smo 24 permutacije - to je već dosta za vizualnu percepciju. Što ako ima 10 elemenata? ili 100? Bilo bi lijepo konstruirati formulu koja bi jednim potezom brojala sve takve permutacije za bilo koji broj elemenata. I postoji takva formula! Sada ćemo to izvesti.) Ali prvo, formulirajmo jednu vrlo važnu stvar u cijeloj kombinatorici pomoćno pravilo, nazvao pravilo proizvoda .

Pravilo proizvoda: ako je uključen u set n razne opcije odabirom prvog elementa i za svaki od njih postoji m različite opcije za odabir drugog elementa, zatim ukupno n·m različite parove ovih elemenata.

A sada, neka sada bude skupn raznih elemenata

,

gdje, naravno,. Moramo izbrojati sve moguće permutacije elemenata ovog skupa. Mi razmišljamo na potpuno isti način.)) Možete staviti bilo koji od ovih na prvo mjeston elementi. To znači da broj načina odabira prvog elementa je n .

Sada zamislite da imamo odabran prvi element (n načina, koliko se sjećamo). Koliko je neizabranih elemenata ostalo u skupu? Pravo,n-1 . :) To znači da se drugi element može samo odabratin-1 načine. treće -n-2 načine (budući da su 2 elementa već odabrana). I tako dalje, k-ti element može biratin-(k-1) načina, pretposljednji - na dva načina, i posljednji element- samo na jedan način, budući da su svi ostali elementi već odabrani na ovaj ili onaj način. :)

Pa, sada konstruirajmo formulu.

Dakle, broj načina odabira prvog elementa iz skupa jen . Na svaki od ovihn načina preman-1 način odabira drugog. To znači da ukupan broj načina odabira 1. i 2. elementa, prema pravilo proizvoda, bit će jednakin(n-1) . Nadalje, svaki od njih, zauzvrat, računen-2 način odabira trećeg elementa. Sredstva, tri element se već može odabratin(n-1)(n-2) načine. I tako dalje:

4 elementa - načini,

k elemenata na načine,

n elemenata na načine.

Sredstva, nelementi mogu se odabrati (ili u našem slučaju rasporediti) na različite načine.

Broj takvih metoda naveden je kako slijedi:P n . Piše: "pe od en." s francuskog" P ermutacija – preuređivanje." Prevedeno na ruski to znači: "permutacija iz n elementi".

Sredstva,

Sada pogledajmo izraz, koji stoji s desne strane formule. Ne podsjeća te ni na što? Što ako ga prepišete s desna na lijevo, ovako?

Pa naravno! Faktorijel, osobno. :) Sada možete ukratko zapisati:

Sredstva, broj svatko moguće permutacije iz n različiti elementi su jednaki n! .

Ovo je glavno praktično značenje faktorijela.))

Sada možemo jednostavno odgovoriti na mnoga pitanja vezana uz kombinacije i permutacije.)

Na koliko se načina na policu može staviti 7 različitih knjiga?

P 7 = 7! = 1 2·3·4·5·6·7 = 5040 načine.)

Na koliko načina možete napraviti raspored (za jedan dan) iz 6 različitih predmeta?

P6 = 6! = 1 2·3·4·5·6 = 720 načine.

Na koliko se načina može 12 ljudi rasporediti u kolonu?

Nema problema! P 12 = 12! = 1 2·3·...·12 = 479001600 načine. :)

Sjajno, zar ne?

Postoji jedan vrlo poznat problem šale na temu permutacija:

Jednog dana, 8 prijatelja je ušlo u restoran u kojem je bio veliki okrugli stol i dugo su se međusobno raspravljali o tome kako najbolje sjesti za ovaj stol. Svađali su se i svađali dok im na kraju vlasnik restorana nije ponudio dogovor: “Zašto se svađate? Ionako nitko od vas neće ostati gladan :) Prvo, sjednite nekako! Zapamtite dobro današnji raspored sjedenja. Onda dođi sutra i sjedni drugačije. Sljedeći dan dođite i ponovno sjednite na novi način! I tako dalje... Čim prođete kroz sve moguće mogućnosti sjedenja i dođe vrijeme da ponovno sjednete kao danas, neka tako i bude, obećavam da ću vas besplatno nahraniti u svom restoranu!“ Tko će pobijediti – vlasnik ili posjetitelji? :)

Pa dobro, prebrojimo sve moguće opcije raspored sjedenja. U našem slučaju, ovo je broj permutacija od 8 elemenata:

P 8 = 8! = 40320 načina.

Recimo da imamo 365 dana u godini (nećemo uzimati u obzir prijestupne dane radi jednostavnosti). To znači da čak i uzimajući u obzir ovu pretpostavku, broj godina koje će trebati da se sve isproba moguće načine slijetanja će biti:

Više od 110 godina! Odnosno, čak i ako naše heroje u invalidskim kolicima majke dovezu u restoran ravno iz rodilišta, besplatne ručkove moći će dobiti tek u dobi vrlo starih stogodišnjaka. Ako, naravno, svih osam preživi tu dob.))

To je zato što je faktorijel vrlo brzo rastuća funkcija! Pogledajte sami:

Usput, kako jednakosti i1! = 1 ? Evo kako: iz praznog skupa (0 elemenata) možemo samo kreirati jedan permutacija – prazan skup. :) Kao što od seta koji se sastoji od samo jednog elementa, možemo napraviti samo jedan permutacija - sam ovaj element.

Je li sve jasno s prestrojavanjem? Super, onda idemo raditi zadatke.)

Vježba 1

Izračunati:

A)P 3 b)P5

U)P 9:P 8 G)P2000:P1999

Zadatak 2

Je li istina da

Zadatak 3

Koliko se različitih četveroznamenkastih brojeva može sastaviti?

a) od brojeva 1, 2, 3, 4

b) od brojeva 0, 5, 6, 7?

Savjet za točku b): broj ne može započeti brojem 0!

Zadatak 4

Pozivaju se riječi i izrazi s preuređenim slovima anagrami. Koliko se anagrama može napraviti od riječi "hipotenuza"?

Zadatak 5

Koliko se peteroznamenkastih brojeva djeljivih s 4 može dobiti zamjenom znamenki u broju 61135?

Savjet: zapamtite test djeljivosti s 4 (na temelju posljednje dvije znamenke)!

Odgovori u rasulu: 2000; 3628800; 9; 24; 120; 18; 12; 6.

Pa, sve je uspjelo! Čestitamo! Razina 1 je završena, idemo na sljedeću. pod nazivom " Plasmani bez ponavljanja."

FAKTORIJEL.

Faktorijel – to je naziv funkcije koja se često susreće u praksi, definirana za nenegativne cijele brojeve. Naziv funkcije dolazi od engleskog matematičkog izraza faktor- “multiplikator”. Određen je n!. Faktorski znak " ! "uveden je 1808. u francuski udžbenik Chr. Krump.

Za svaki pozitivni cijeli broj n funkcija n! jednak umnošku svih cijelih brojeva iz 1 prije n.

Na primjer:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Radi praktičnosti, pretpostavljamo po definiciji 0! = 1 . Činjenicu da nulti faktorijel mora, po definiciji, biti jednak jedinici, napisao je 1656. godine J. Wallis u "Aritmetici beskonačnog".

Funkcija n! raste s povećanjem n vrlo brzo. Tako,

(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)! (1)

engleski matematičar J. Stirling 1970. godine ponudio vrlo povoljno formula za približan izračun funkcije n!:

Gdje e = 2,7182... je baza prirodnih logaritama.

Relativna pogreška pri korištenju ove formule je vrlo mala i brzo pada kako se broj n povećava.

Pogledajmo načine rješavanja izraza koji sadrže faktorijel koristeći primjere.

Primjer 1. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .

Primjer 2. Izračunati 10! 8!

Riješenje. Upotrijebimo formulu (1):

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

Primjer 3. Riješite jednadžbu (n + 3)! = 90 (n+1)!

Riješenje. Prema formuli (1) imamo

= (n + 3)(n + 2) = 90.

(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n+1)!(n+1)! (n+1)!

Otvaranjem zagrada u proizvodu dobivamo kvadratnu jednadžbu

n 2 + 5n - 84 = 0, čiji su korijeni brojevi n = 7 i n = -12. Međutim, faktorijel je definiran samo za nenegativne cijele brojeve, odnosno za sve cijele brojeve n ≥ 0. Dakle, broj n = -12 ne zadovoljava uvjete problema. Dakle, n = 7.

Primjer 4. Nađi barem jednu trojku prirodnih brojeva x, y i z, za koje vrijedi jednakost x! = y! z!.

Riješenje. Iz definicije faktorijela prirodnog broja n proizlazi da

(n+1)! = (n + 1) n!

Stavimo n + 1 = y u ovu jednakost! = x, Gdje na je proizvoljan prirodan broj, dobivamo

Sada vidimo da se tražene trojke brojeva mogu specificirati u obrascu

(y!;y;y!-1) (2)

gdje je y prirodan broj veći od 1.

Na primjer, jednakosti su istinite

Primjer 5. Odredi koliko nula završava u decimalnom zapisu broja 32!.

Riješenje. Ako decimalni zapis broja R= 32! završava k nule, zatim broj R može se prikazati u obliku

P = q 10 tisuća,

gdje je broj q nije djeljiv s 10. To znači da rastavljanje broja q prosti faktori ne sadrže i 2 i 5.

Stoga, da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, pokušajmo utvrditi s kojim pokazateljima su brojevi 2 i 5 uključeni u proizvod 1 2 3 4 ... 30 31 32. Ako je broj k- najmanji od pronađenih indikatora, tada će broj P završiti k nule.

Dakle, odredimo koliko je brojeva među prirodnim brojevima od 1 do 32 djeljivih s 2. Očito je njihov broj 32/2 = 16. Zatim ćemo odrediti koliko je od 16 pronađenih brojeva djeljivo s 4; zatim - koliko ih je djeljivo s 8 itd. Kao rezultat toga dobivamo da je među prva trideset i dva prirodna broja 16 brojeva djeljivo s 2,

od kojih je 32/4 = 8 brojeva djeljivo sa 4, od toga je 32/8 = 4 broja djeljivo sa 8, od toga je 32/16 = 2 broja djeljivo sa 16, i konačno, od ovih 32/32 = 1 su djeljiv sa 32, one. jedan broj. Jasno je da je zbroj primljenih količina:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

jednak eksponentu s kojim je broj 2 uvršten u 32!.

Slično tome, odredimo koliko je brojeva među prirodnim brojevima od 1 do 32 djeljivo s 5, a od pronađenog broja s 10. Podijelimo 32 s 5.

Dobivamo 32/5 = 6,4. Dakle, među prirodnim brojevima od 1 do 32

postoji 6 brojeva koji su djeljivi sa 5. Jedan od njih je djeljiv sa 25

broj, od 32./25 = 1,28. Kao rezultat toga, broj 5 je uključen u broj 32! s pokazateljem jednakim zbroju 6+1 = 7.

Iz dobivenih rezultata proizlazi da je 32!= 2 31 5 7 T, gdje je broj T nije djeljiv ni s 2 ni s 5. Dakle, broj je 32! sadrži množitelj

10 7 i, prema tome, završava sa 7 nula.

Dakle, u ovom sažetku je definiran koncept faktorijela.

Dana je formula engleskog matematičara J. Stirlinga za približan izračun funkcije n!

Kada transformiramo izraze koji sadrže faktorijel, korisno je koristiti jednakost

(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)!

Metode rješavanja problema s faktorijelom detaljno su razmotrene na primjerima.

Faktorijel se koristi u raznim formulama u kombinatorika, u redovima itd.

Na primjer, broj načina izgradnje nškolarci u jednom redu jednako n!.

Broj n! jednak je, primjerice, broju načina na koji se n različitih knjiga može posložiti na polici ili, primjerice, broju 5! jednak broju načina na koji se pet ljudi može smjestiti na jednu klupu. Ili, na primjer, broj 27! jednak broju načina na koji se naš razred od 27 učenika može poredati na satu tjelesnog odgoja.

Književnost.

Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A.

Matematika. 5-11 razredi: Dodatni materijali za sat matematike. –M.: Bustard, 2001.- (Knjižnica za učitelje).

Enciklopedijski rječnik mladog matematičara. / Comp. A.P.Savin.-M.: Pedagogija, 1985

Matematika. Priručnik za školarce. / Comp. G.M. Yakusheva.- M.: Filolog. Društvo "Slovo", 1996.

Upit podsjeća zašto je broj podignut na nultu potenciju jedan, upit koji sam riješio u ranijem članku. Štoviše, dopustite mi da uvjerim ono što sam prethodno uvjeravao objašnjavajući ovu očitu, besramno prihvaćenu, ali neobjašnjivu činjenicu - odnos nije proizvoljan.

Postoje tri načina da odredimo zašto je faktor nula jednak jedan.

Kompletan predložak

1! = 1 * 1 = 1

2! = 1 * 2 = 2

3! = 1 * 2 * 3 = 6

4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Ako, (n-1)! = 1 * 2 * 3 * 4

,

(P-3) * (n-2) * (N-1)

Tada, logično, n! = 1 * 2 * 3 * 4

,

(P-3) * (p-2) * (p-1) * str

Ili, n! = n * (n-1)! - (i)

Ako pažljivo pogledate ove staze, slika se sama otkriva. Zaustavimo ga dok ne uspije proizvesti legitimne rezultate:

4! / 4 = 3!

3! / 3 = 2!

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

Ili, 0! = 1

Do ovog se rezultata može doći jednostavnim uključivanjem 1 za "n" u (i) kako bi se dobilo:

1! = 1 * (1-1)!

1 = 1 * 0!

Ili, 0! = 1

Međutim, ovo objašnjenje ne govori ništa o tome zašto faktorijeli negativnih brojeva ne mogu postojati. Pogledajmo ponovo naš obrazac da saznamo zašto.

2! / 2 = 1!

1! / 1 = 0!

0! / 0 =

,

Složio bih se da su ove metode pomalo sumnjive; čini se da su lukavi, implicitni načini definiranja faktorijela nule. Kao da se svađaš za slamku. No, objašnjenje se može naći u polju čije cjelokupno postojanje ovisi o računanju faktorijela - kombinatorici.

Dogovori

Razmotrite 4 stolice u kojima moraju sjediti 4 osobe. Prvu stolicu može zauzeti bilo koja od ove četiri osobe, tako da bi rezultirajući broj izbora bio 4. Sada kada je jedna stolica zauzeta, imamo 3 mogućnosti koje bi potencijalno mogle biti zauzete za sljedeću stolicu. Isto tako, sljedeća stolica predstavlja dvije mogućnosti, a zadnja stolica predstavlja jedan izbor; njega zauzima posljednja osoba. Dakle, ukupan broj odabira koje imamo je 4x3x2x1 ili 4!. Ili bi se moglo reći da ih ima 4! načina organiziranja 4 različite stolice.

Dakle, kada je vrijednost "n" nula, pitanje se okreće tome što su razne načine organizacija nultih objekata? Jedan, naravno! Postoji samo jedna permutacija ili jedan način da se ništa ne uredi, jer se nema što urediti. ŠTO? Da budemo pošteni, to pripada grani filozofije, iako je jedna od gadnih ili lažnih ideja kojima brucoši vjeruju nakon što pročitaju Nietzscheove citate na Pinterestu.

Pogledajmo primjer koji uključuje fizičke objekte jer to može poboljšati razumijevanje. Faktorijeli su također ključni za računalne kombinacije, proces koji također određuje mehanizme, ali za razliku od permutacije, poredak stvari nije bitan. Razlika između permutacije i kombinacije je razlika između brave s kombinacijom i zdjele s kockicama voća. Kombinirane brave često se pogrešno nazivaju " kombinirane brave" kada se zapravo zovu permutacije jer ih 123 i 321 ne mogu otključati.

Opća formula za određivanje broja putanja "k" objekata može se rasporediti na "n" mjesta:

Dok, za određivanje broja načina za odabir ili kombiniranje "k" objekata od "n" objekata:

To nam omogućuje da, recimo, odredimo broj načina na koji se mogu odabrati dvije kuglice iz vrećice koja sadrži pet kuglica različite boje. Budući da redoslijed odabranih kuglica nije bitan, koristimo drugu formulu za izračun privlačnih kombinacija.

Pa što ako su vrijednosti "n" i "k" potpuno iste? Zamijenimo ove vrijednosti i saznajmo. Imajte na umu da se faktorijel nule dobiva u nazivniku.

Ali kako vizualno shvatiti ovaj matematički izračun, sa stajališta našeg primjera? Izračun je u biti rješenje za pitanje koje glasi: Koji su različiti načini na koje možemo odabrati tri lopte iz vrećice koja sadrži samo tri lopte? Pa naravno! Njihov odabir bilo kojim redoslijedom neće imati učinka! Izračunska jednadžba s jedinicom i faktorijelom nula ispada da je *bubanj*

..

FAKTORIJEL.

Faktorijel – to je naziv funkcije koja se često susreće u praksi, definirana za nenegativne cijele brojeve. Naziv funkcije dolazi od engleskog matematičkog izraza faktor- “multiplikator”. Određen je n!. Faktorski znak " ! "uveden je 1808. u francuski udžbenik Chr. Krump.

Za svaki pozitivni cijeli broj n funkcija n! jednak umnošku svih cijelih brojeva iz 1 prije n.

Na primjer:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Radi praktičnosti, pretpostavljamo po definiciji 0! = 1 . Činjenicu da nulti faktorijel mora, po definiciji, biti jednak jedinici, napisao je 1656. godine J. Wallis u "Aritmetici beskonačnog".

Funkcija n! raste s povećanjem n vrlo brzo. Tako,

(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)! (1)

engleski matematičar J. Stirling 1970. godine ponudio vrlo povoljno formula za približan izračun funkcije n!:

Gdje e = 2,7182... je baza prirodnih logaritama.

Relativna pogreška pri korištenju ove formule je vrlo mala i brzo pada kako se broj n povećava.

Pogledajmo načine rješavanja izraza koji sadrže faktorijel koristeći primjere.

Primjer 1. (n! + 1)! = (n! + 1) n! .

Primjer 2. Izračunati 10! 8!

Riješenje. Upotrijebimo formulu (1):

10! = 10*9*8! = 10*9=90 8! 8!

Primjer 3. Riješite jednadžbu (n + 3)! = 90 (n+1)!

Riješenje. Prema formuli (1) imamo

= (n + 3)(n + 2) = 90.

(n + 3)! = (n + 3)(n + 2)(n+1)!(n+1)! (n+1)!

Otvaranjem zagrada u proizvodu dobivamo kvadratnu jednadžbu

n 2 + 5n - 84 = 0, čiji su korijeni brojevi n = 7 i n = -12. Međutim, faktorijel je definiran samo za nenegativne cijele brojeve, odnosno za sve cijele brojeve n ≥ 0. Dakle, broj n = -12 ne zadovoljava uvjete problema. Dakle, n = 7.

Primjer 4. Nađi barem jednu trojku prirodnih brojeva x, y i z, za koje vrijedi jednakost x! = y! z!.

Riješenje. Iz definicije faktorijela prirodnog broja n proizlazi da

(n+1)! = (n + 1) n!

Stavimo n + 1 = y u ovu jednakost! = x, Gdje na je proizvoljan prirodan broj, dobivamo

Sada vidimo da se tražene trojke brojeva mogu specificirati u obrascu

(y!;y;y!-1) (2)

gdje je y prirodan broj veći od 1.

Na primjer, jednakosti su istinite

Primjer 5. Odredi koliko nula završava u decimalnom zapisu broja 32!.

Riješenje. Ako decimalni zapis broja R= 32! završava k nule, zatim broj R može se prikazati u obliku

P = q 10 tisuća,

gdje je broj q nije djeljiv s 10. To znači da rastavljanje broja q prosti faktori ne sadrže i 2 i 5.

Stoga, da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, pokušajmo utvrditi s kojim pokazateljima su brojevi 2 i 5 uključeni u proizvod 1 2 3 4 ... 30 31 32. Ako je broj k- najmanji od pronađenih indikatora, tada će broj P završiti k nule.

Dakle, odredimo koliko je brojeva među prirodnim brojevima od 1 do 32 djeljivih s 2. Očito je njihov broj 32/2 = 16. Zatim ćemo odrediti koliko je od 16 pronađenih brojeva djeljivo s 4; zatim - koliko ih je djeljivo s 8 itd. Kao rezultat toga dobivamo da je među prva trideset i dva prirodna broja 16 brojeva djeljivo s 2,

od kojih je 32/4 = 8 brojeva djeljivo sa 4, od toga je 32/8 = 4 broja djeljivo sa 8, od toga je 32/16 = 2 broja djeljivo sa 16, i konačno, od ovih 32/32 = 1 su djeljiv sa 32, one. jedan broj. Jasno je da je zbroj primljenih količina:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

jednak eksponentu s kojim je broj 2 uvršten u 32!.

Slično tome, odredimo koliko je brojeva među prirodnim brojevima od 1 do 32 djeljivo s 5, a od pronađenog broja s 10. Podijelimo 32 s 5.

Dobivamo 32/5 = 6,4. Dakle, među prirodnim brojevima od 1 do 32

postoji 6 brojeva koji su djeljivi sa 5. Jedan od njih je djeljiv sa 25

broj, od 32./25 = 1,28. Kao rezultat toga, broj 5 je uključen u broj 32! s pokazateljem jednakim zbroju 6+1 = 7.

Iz dobivenih rezultata proizlazi da je 32!= 2 31 5 7 T, gdje je broj T nije djeljiv ni s 2 ni s 5. Dakle, broj je 32! sadrži množitelj

10 7 i, prema tome, završava sa 7 nula.

Dakle, u ovom sažetku je definiran koncept faktorijela.

Dana je formula engleskog matematičara J. Stirlinga za približan izračun funkcije n!

Kada transformiramo izraze koji sadrže faktorijel, korisno je koristiti jednakost

(n+1)! = (n + 1) n! = (n + 1) n (n – 1)!

Metode rješavanja problema s faktorijelom detaljno su razmotrene na primjerima.

Faktorijel se koristi u raznim formulama u kombinatorika, u redovima itd.

Na primjer, broj načina izgradnje nškolarci u jednom redu jednako n!.

Broj n! jednak je, primjerice, broju načina na koji se n različitih knjiga može posložiti na polici ili, primjerice, broju 5! jednak broju načina na koji se pet ljudi može smjestiti na jednu klupu. Ili, na primjer, broj 27! jednak broju načina na koji se naš razred od 27 učenika može poredati na satu tjelesnog odgoja.

Književnost.

Ryazanovsky A.R., Zaitsev E.A.

Matematika. 5-11 razredi: Dodatni materijali za sat matematike. –M.: Bustard, 2001.- (Knjižnica za učitelje).

Enciklopedijski rječnik mladog matematičara. / Comp. A.P.Savin.-M.: Pedagogija, 1985

Matematika. Priručnik za školarce. / Comp. G.M. Yakusheva.- M.: Filolog. Društvo "Slovo", 1996.