Djelitelji i višekratnici. Djelitelji i višekratnici Prirodni brojevi višekratnici broja 15

Znakovi djeljivosti brojeva o 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 i drugim brojevima korisno je znati za brzo rješavanje zadataka o digitalnom zapisu broja. Umjesto dijeljenja jednog broja s drugim, dovoljno je provjeriti niz znakova, na temelju kojih se može nedvosmisleno utvrditi je li jedan broj djeljiv s drugim u potpunosti (je li višekratnik) ili ne.

Glavni znakovi djeljivosti

Donesimo glavni znakovi djeljivosti brojeva:

• Znak djeljivosti broja sa "2" Broj je ravnomjerno djeljiv s 2 ako je broj paran (zadnja znamenka je 0, 2, 4, 6 ili 8)
  Primjer: Broj 1256 je višekratnik 2 jer završava s 6. A broj 49603 nije djeljiv s 2 jer završava s 3.
• Znak djeljivosti broja sa "3" Broj je djeljiv s 3 ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 3
  Primjer: Broj 4761 djeljiv je s 3 jer je zbroj njegovih znamenki 18 i djeljiv je s 3. A broj 143 nije višekratnik broja 3 jer je zbroj njegovih znamenki 8 i nije djeljiv s 3.
• Znak djeljivosti broja sa "4" Broj je djeljiv s 4 ako su posljednje dvije znamenke broja nula ili ako je broj sastavljen od posljednje dvije znamenke djeljiv s 4
  Primjer: Broj 2344 je višekratnik broja 4 jer je 44 / 4 = 11. A broj 3951 nije djeljiv s 4 jer 51 nije djeljivo s 4.
• Znak djeljivosti broja sa "5" Broj je djeljiv s 5 ako je zadnja znamenka broja 0 ili 5
  Primjer: Broj 5830 djeljiv je s 5 jer završava s 0. Ali broj 4921 nije djeljiv s 5 jer završava s 1.
• Znak djeljivosti broja sa "6" Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv sa 2 i 3
  Primjer: Broj 3504 je višekratnik broja 6 jer završava na 4 (znak djeljivosti s 2), a zbroj znamenki broja je 12 i djeljiv je s 3 (znak djeljivosti s 3). I broj 5432 nije potpuno djeljiv sa 6, iako broj završava s 2 (uočava se znak djeljivosti s 2), ali je zbroj znamenki 14 i nije potpuno djeljiv s 3.
• Znak djeljivosti broja sa "8" Broj je djeljiv s 8 ako su posljednje tri znamenke broja nula ili ako je broj sastavljen od posljednje tri znamenke broja djeljiv s 8
  Primjer: Broj 93112 djeljiv je s 8 jer je 112 / 8 = 14. A broj 9212 nije višekratnik broja 8 jer 212 nije djeljivo s 8.
• Znak djeljivosti broja sa "9" Broj je djeljiv s 9 ako je zbroj njegovih znamenki djeljiv s 9
  Primjer: Broj 2916 je višekratnik broja 9, jer je zbroj znamenki 18 i djeljiv je s 9. A broj 831 nije djeljiv ni s 9, jer je zbroj znamenki broja 12 i to nije djeljiv sa 9.
• Znak djeljivosti broja sa "10" Broj je djeljiv s 10 ako završava na 0
  Primjer: Broj 39590 djeljiv je s 10 jer završava s 0. A broj 5964 nije djeljiv s 10 jer ne završava s 0.
• Znak djeljivosti broja sa "11" Broj je djeljiv s 11 ako je zbroj znamenki na neparnim mjestima jednak zbroju znamenki na parnim mjestima ili se zbrojevi moraju razlikovati za 11
  Primjer: Broj 3762 djeljiv je s 11 jer je 3 + 6 = 7 + 2 = 9. A broj 2374 nije djeljiv s 11 jer je 2 + 7 = 9 i 3 + 4 = 7.
• Znak djeljivosti broja sa "25" Broj je djeljiv s 25 ako završava na 00, 25, 50 ili 75
  Primjer: Broj 4950 je višekratnik broja 25 jer završava s 50. A 4935 nije djeljiv s 25 jer završava s 35.

Kriteriji djeljivosti složenog broja

Da biste saznali je li dati broj djeljiv sa složenim brojem, morate ovo proširiti složeni broj na relativno primarni faktori, čiji su kriteriji djeljivosti poznati. Koprosti brojevi su brojevi koji nemaju zajedničkih djelitelja osim 1. Na primjer, broj je djeljiv s 15 ako je djeljiv s 3 i 5.

Razmotrimo još jedan primjer složenog djelitelja: broj je djeljiv s 18 ako je djeljiv s 2 i 9. U ovom slučaju, ne možete rastaviti 18 na 3 i 6, budući da oni nisu međusobno prosti, jer imaju zajednički djelitelj 3 To ćemo provjeriti primjerom.

Broj 456 djeljiv je s 3, jer je zbroj njegovih znamenki 15, i djeljiv sa 6, jer je djeljiv i s 3 i s 2. Ali ako ručno podijelite 456 s 18, dobit ćete ostatak. Ako za broj 456 provjerimo predznake djeljivosti s 2 i 9, odmah je jasno da je djeljiv s 2, ali ne i s 9, jer je zbroj znamenki broja 15, a nije djeljiv sa 9.

Pojam "višestrukost" odnosi se na područje matematike: sa stajališta ove znanosti, to znači koliko puta je određeni broj dio drugog broja.

Koncept višestrukosti

Pojednostavljeno rečeno, možemo reći da višestrukost jednog broja u odnosu na drugi pokazuje koliko je puta prvi broj veći od drugog. Dakle, činjenica da je jedan broj višekratnik drugog zapravo znači da se veći od njih može podijeliti s manjim bez ostatka. Na primjer, višekratnik broja 3 je 6.

Ovakvo shvaćanje pojma "višestrukost" povlači iz njega izvođenje nekoliko važnih posljedica. Prvi od njih je da svaki broj može imati neograničen broj višekratnika. To je zbog činjenice da da bi se dobio drugi broj koji je višekratnik nekog broja, potrebno je prvi od njih pomnožiti s bilo kojom pozitivnom cjelobrojnom vrijednošću, koja zauzvrat ima beskonačan skup. Na primjer, višekratnici broja 3 su brojevi 6, 9, 12, 15 i drugi koji se dobiju množenjem broja 3 bilo kojim pozitivnim cijelim brojem.

Drugo važno svojstvo odnosi se na definiciju najmanjeg cijelog broja koji je višekratnik onog koji se razmatra. Dakle, najmanji višekratnik bilo kojeg broja je sam broj. To je zbog činjenice da je najmanji cijeli rezultat dijeljenja jednog broja drugim jedan, a taj rezultat daje dijeljenje broja samim sobom. Prema tome, broj koji je višekratnik onog koji se razmatra ne može biti manji od samog tog broja. Na primjer, za broj 3 najmanji višekratnik bit će 3. U ovom slučaju odredite najveći broj, višekratnik razmatranog, zapravo je nemoguće.

Brojevi koji su višekratnici broja 10

Brojevi koji su višekratnici broja 10 imaju sva ova svojstva zajedno s drugim višekratnicima. Dakle, iz navedenih svojstava proizlazi da je najmanji broj koji je višekratnik broja 10 sam broj 10. Istovremeno, budući da je broj 10 dvoznamenkasti, možemo zaključiti da samo brojevi koji se sastoje od najmanje dva znaka može biti višekratnik 10.

Da biste dobili druge brojeve koji su višekratnici broja 10, morate broj 10 pomnožiti s bilo kojim pozitivnim cijelim brojem. Tako će popis višekratnika broja 10 uključivati ​​brojeve 20, 30, 40, 50 i tako dalje. Treba napomenuti da svi dobiveni brojevi moraju biti bez ostatka djeljivi s 10. U ovom slučaju nemoguće je odrediti najveći višekratnik broja 10, kao u slučajevima s drugim brojevima.

Također imajte na umu da postoji jednostavan, praktičan način da odredite je li određeni broj višekratnik broja 10. Da biste to učinili, saznajte koja mu je zadnja znamenka. Dakle, ako je jednak 0, dotični broj će biti višekratnik broja 10, odnosno može se bez ostatka podijeliti s 10. Inače, broj nije višekratnik broja 10.

Tema "Više brojeva" obrađuje se u 5. razredu opće škole. Cilj mu je poboljšati pismene i usmene vještine matematičkih izračuna. U ovoj lekciji uvode se novi pojmovi - "više brojeva" i "djelitelja", tehnika pronalaženja djelitelja i višekratnika prirodnog broja, razrađuje se sposobnost pronalaženja LCM na različite načine.

Ova tema je vrlo važna. Znanje o njemu može se primijeniti pri rješavanju primjera s razlomcima. Da biste to učinili, morate pronaći zajednički nazivnik izračunavanjem najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

Višekratnik A je cijeli broj koji je djeljiv s A bez ostatka.

Svaki prirodni broj ima beskonačan broj svojih višekratnika. Smatra se da je najmanje. Višekratnik ne može biti manji od samog broja.

Potrebno je dokazati da je broj 125 višekratnik broja 5. Da biste to učinili, potrebno je prvi broj podijeliti s drugim. Ako je 125 djeljivo s 5 bez ostatka, tada je odgovor da.

Ova metoda je primjenjiva za male brojeve.

Pri izračunavanju LCM postoje posebni slučajevi.

1. Ako trebate pronaći zajednički višekratnik za 2 broja (na primjer, 80 i 20), pri čemu je jedan od njih (80) djeljiv bez ostatka s drugim (20), tada je ovaj broj (80) najmanji višekratnik ova dva broja.

LCM (80, 20) = 80.

2. Ako dva nemaju zajednički djelitelj, onda možemo reći da je njihov LCM produkt ta dva broja.

LCM (6, 7) = 42.

Razmotrimo posljednji primjer. 6 i 7 u odnosu na 42 su djelitelji. Dijele višekratnik bez ostatka.

U ovom primjeru, 6 i 7 su parovi djelitelja. Njihov umnožak jednak je najvećem višestrukom broju (42).

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo sa sobom ili s 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostali se nazivaju kompozitni.

U drugom primjeru, morate odrediti je li 9 djelitelj u odnosu na 42.

42:9=4 (ostatak 6)

Odgovor: 9 nije djelitelj broja 42 jer odgovor ima ostatak.

Djelitelj se razlikuje od višekratnika po tome što je djelitelj broj kojim se dijele prirodni brojevi, a višekratnik je sam po sebi djeljiv tim brojem.

Najveći zajednički djelitelj brojeva a I b, pomnoženo njihovim najmanjim višekratnikom, dat će proizvod samih brojeva a I b.

Naime: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.

Zajednički višekratnici za složenije brojeve nalaze se na sljedeći način.

Na primjer, pronađite LCM za 168, 180, 3024.

Rastavljamo te brojeve na proste faktore, zapisujemo ih kao produkt potencija:

168=2³x3¹x7¹

2⁴h3³h5¹h7¹=15120

LCM (168, 180, 3024) = 15120.