Rješavanje sustava drugog reda. Primjeri rješenja diferencijalnih jednadžbi drugog reda Lagrangeovom metodom. Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom
Diferencijalni sustav jednadžbi nazivamo sustavom oblika
gdje je x nezavisni argument,
y i - ovisna funkcija, ,
y i | x=x0 =y i0 - početni uvjeti.
Funkcije yi(x), supstitucijom se sustav jednadžbi pretvara u identitet tzv rješavanje sustava diferencijalnih jednadžbi.
Numeričke metode rješavanja sustava diferencijalnih jednadžbi.
Diferencijalna jednadžba drugog reda naziva jednadžba oblika
Naziva se funkcija y(x) čijom zamjenom jednadžba postaje identitet rješavanje diferencijalne jednadžbe.
Numerički se traži određeno rješenje jednadžbe (2) koje zadovoljava zadane početne uvjete, odnosno rješava se Cauchyjev problem.
Za numeričko rješenje, diferencijalna jednadžba drugog reda se transformira u sustav dviju diferencijalnih jednadžbi prvog reda i reducira na prikaz stroja (3). Da bi se to postiglo, uvodi se nova nepoznata funkcija, s lijeve strane u svakoj jednadžbi sustava ostaju samo prve derivacije nepoznatih funkcija, a na desnim stranama ne bi trebalo biti derivacija
 .
| (3) |
Funkcija f 2 (x, y 1 , y) je formalno uvedena u sustav (3) tako da se metode koje će biti prikazane u nastavku mogu koristiti za rješavanje proizvoljnog sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda. Razmotrimo nekoliko numeričkih metoda za rješavanje sustava (3). Izračunate ovisnosti za i+1 korak integracije imaju sljedeći oblik. Za rješavanje sustava od n jednadžbi gore su dane formule za izračun. Za rješavanje sustava dviju jednadžbi zgodno je zapisati formule za izračun bez dvostrukih indeksa u sljedećem obliku:
- Eulerova metoda.
y 1,i+1 =y 1,i +hf 1 (x i, y 1,i, y i),
y i+1 =y i +hf 2 (x i, y 1,i, y i),
- Runge-Kutta metoda četvrtog reda.
y 1,i+1 =y 1,i +(m 1 +2m 2 +2m 3 +m 4)/6,
y i+1 =y i +(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)/6,
m 1 =hf 1 (x i , y 1,i , y i),
k 1 =hf 2 (x i , y 1,i , y i),
m 2 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
k 2 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 1 /2, y i +k 1 /2),
m 3 =hf 1 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
k 3 =hf 2 (x i +h/2, y 1,i +m 2 /2, y i +k 2 /2),
m 4 =hf 1 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3),
k 4 =hf 2 (x i +h, y 1,i +m 3, y i +k 3),
gdje je h korak integracije. Početni uvjeti tijekom numeričke integracije uzimaju se u obzir pri nultom koraku: i=0, x=x 0, y 1 =y 10, y=y 0.
Testni zadatak za ispitni rad.
Oscilacije s jednim stupnjem slobode
Cilj. Proučavanje numeričkih metoda za rješavanje diferencijalnih jednadžbi drugog reda i sustava diferencijalnih jednadžbi prvog reda.
Vježbajte. Nađi numerički i analitički:
- zakon gibanja materijalne točke na opruzi x(t),
- zakon promjene struje I(t) u oscilatornom krugu (RLC krug) za modove navedene u tablici 1 i 2. Konstruirajte grafove traženih funkcija.
Mogućnosti za zadatke.
Tablica načina rada
Opcije zadataka i brojevi načina:
- kretanje točke
- RLC - krug
Razmotrimo detaljnije postupak za sastavljanje diferencijalnih jednadžbi i njihovo dovođenje u strojni oblik za opisivanje gibanja tijela na opruzi i RLC krugu.
- Naziv, svrha rada i zadatak.
- Matematički opis, algoritam (strukturogram) i tekst programa.
- Šest grafikona ovisnosti (tri točna i tri približna) x(t) ili I(t), zaključci o radu.
Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda
Diferencijalna jednadžba drugog reda ima oblik .
Definicija. Opće rješenje jednadžbe drugog reda je funkcija koja je, za bilo koju vrijednost, rješenje te jednadžbe.
Definicija. Linearna homogena jednadžba drugog reda naziva se jednadžba. Ako su koeficijenti konstantni, tj. ne ovise o , tada se ova jednadžba naziva jednadžba s konstantnim koeficijentima i piše se na sljedeći način: .
Jednadžbu ćemo nazvati linearnom nehomogenom jednadžbom.
Definicija. Jednadžba koja se dobije iz linearne homogene jednadžbe zamjenom funkcije jedinicama i i odgovarajućim potencijama naziva se karakteristična jednadžba.
Poznato je da kvadratna jednadžba ima rješenje ovisno o diskriminanti: , tj. ako , tada su korijeni i različiti realni brojevi. Ako tada. Ako, tj. , tada će biti imaginaran broj, a korijeni i bit će kompleksni brojevi. U ovom slučaju, slažemo se da označimo .
Primjer 4. Riješite jednadžbu.
Riješenje. Diskriminant ove kvadratne jednadžbe je dakle .
Pokazat ćemo kako pronaći opće rješenje homogene linearne jednadžbe drugog reda pomoću oblika korijena karakteristične jednadžbe.
Ako su pravi korijeni karakteristične jednadžbe, tada je .
Ako su korijeni karakteristične jednadžbe isti, tj. , tada se opće rješenje diferencijalne jednadžbe traži pomoću formule ili .
Ako karakteristična jednadžba ima kompleksne korijene, tada.
Primjer 5. Pronađite opće rješenje jednadžbe.
Riješenje. Napravimo karakterističnu jednadžbu za ovu diferencijalnu jednadžbu: . Njegovi su korijeni valjani i drugačiji. Stoga je opće rješenje .
Fundamentalni sustav rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Teorem o strukturi općeg rješenja rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. U ovom odjeljku ćemo dokazati da baza linearnog prostora parcijalnih rješenja homogene jednadžbe može biti bilo koji skup n
njegova linearno nezavisna rješenja.
Def. 14.5.5.1. temeljni sustav rješenja. Temeljni sustav rješenja linearna homogena diferencijalna jednadžba n
-ti red je svaki linearno nezavisan sustav g
1 (x
), g
2 (x
), …, y n
(x
) njegov n
privatna rješenja.
Teorem 14.5.5.1.1 o strukturi općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Zajednička odluka g
(x
) linearne homogene diferencijalne jednadžbe je linearna kombinacija funkcija iz temeljnog sustava rješenja ove jednadžbe:
g
(x
) = C
1 g
1 (x
) + C
2 g
2 (x
) + …+ C n y n
(x
).
Dokument. Neka g
1 (x
), g
2 (x
), …, y n
(x
) je temeljni sustav rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Potrebno je dokazati da svako posebno rješenje g
što ( x
) ove jednadžbe sadržan je u formuli g
(x
) = C
1 g
1 (x
) + C
2 g
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) za određeni skup konstanti C
1 , C
2 , …, Cn
. Uzmimo bilo koju točku, izračunajmo brojeve u ovoj točki i pronađimo konstante C
1 , C
2 , …, Cn
kao rješenje linearnog nehomogenog sustava algebarskih jednadžbi
Takvo rješenje postoji i jedinstveno je jer je determinanta ovog sustava jednaka . Razmotrimo linearnu kombinaciju g
(x
) = C
1 g
1 (x
) + C
2 g
2 (x
) + …+ C n y n
(x
) funkcije iz temeljnog sustava rješenja s ovim vrijednostima konstanti C
1 , C
2 , …, Cn
i usporedite ga s funkcijom g
što ( x
). Funkcije g
(x
) I g
što ( x
) zadovoljavaju istu jednadžbu i iste početne uvjete u točki x
0, pa se zbog jedinstvenosti rješenja Cauchyjevog problema poklapaju: g
što ( x
) = C
1 g
1 (x
) + C
2 g
2 (x
) + … + C n y n
(x
). Teorem je dokazan.
Iz ovog teorema slijedi da dimenzija linearnog prostora parcijalnih rješenja homogene jednadžbe s kontinuiranim koeficijentima ne prelazi n
. Ostaje dokazati da ta dimenzija nije manja od n
.
Teorem 14.5.5.1.2 o postojanju temeljnog sustava rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe. Bilo koja linearna homogena diferencijalna jednadžba n
reda s kontinuiranim koeficijentima ima temeljni sustav rješenja, tj. sustav iz n
linearno neovisna rješenja.
Dokument. Uzmimo bilo koju brojčanu determinantu n
-tog reda, nije jednak nuli
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Definicija. Odrednica drugog reda
(*)
; 
; 
Sljedeća tri slučaja su teoretski moguća.
1. Ako je , tada sustav (*) ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula koje se nazivaju Cramerove formule: , .
2. Ako je , a (onda i ), tada sustav (*) nema rješenja.
3. Ako je i (onda i ), tada sustav (*) ima beskonačno mnogo rješenja (naime, svako rješenje jedne jednadžbe sustava je ujedno i rješenje njegove druge jednadžbe).
Komentar. Determinanta se naziva glavna determinanta sustava (*). Sustav se može riješiti pomoću Cramerovih formula samo pod uvjetom . U suprotnom, morate koristiti druge metode, kao što je Gaussova metoda.
Odrednica trećeg reda. Rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe s tri varijable pomoću Cramerovih formula
Definicija. Odrednica trećeg reda je broj koji se piše i izračunava na sljedeći način:
Neka nam je dan sustav jednadžbi oblika 
(*)
Uvedimo u razmatranje sljedeće odrednice:
– glavna odrednica sustava (*);
; 
; 
.
Pri rješavanju sustava mogući su sljedeći slučajevi.
1. Ako je , tada sustav (*) ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći pomoću formula koje se nazivaju Cramerove formule: 
.
2. Ako je , tada se sustav (1) ne može riješiti Cramerovom metodom.
Napomena 1. U slučaju, sustav možda nema rješenja ili ima beskonačan broj rješenja. Za detaljniju studiju i pronalaženje općeg sustava rješenja možete koristiti, na primjer, Gaussovu metodu.
Rješavanje sustava od tri linearne jednadžbe u tri varijable
Gaussova metoda
Pogledajmo suštinu Gaussove metode na konkretnom primjeru.
Primjer. Riješite sustav jednadžbi: 
(*)
Izravan potez. Ovaj sustav se korak po korak reducira na trokutasti oblik metodom algebarskog zbrajanja.
U prvoj fazi iz druge i treće jednadžbe sustava isključujemo članove koji sadrže varijablu . Bolje je koristiti istu jednadžbu u oba slučaja (uzet ćemo prvu).
Dobivamo:
 |  |
Prepisujemo prvu jednadžbu sustava bez promjena, a drugu i treću jednadžbu zamijenimo dobivenim jednadžbama.
Sustav će imati oblik: 
U drugoj fazi isključujemo član koji sadrži varijablu iz treće jednadžbe sustava. Upotrijebimo drugu jednadžbu za ovo.
Prepisujemo prve dvije jednadžbe sustava bez promjene, a treću jednadžbu zamijenimo dobivenom jednadžbom.
Dobivamo trokutasti sustav: 
Obrnuti potez. Nepoznanice nalazimo redom, počevši od treće jednadžbe.
Iz treće jednadžbe sustava nalazimo vrijednost varijable: .
Zamjenom pronađene vrijednosti u drugu jednadžbu sustava dobivamo , iz čega nalazimo vrijednost varijable: 
.
Zamjenom pronađenih vrijednosti i u prvu jednadžbu sustava dobivamo , odakle nalazimo vrijednost varijable: 
.
Odgovor: .
22. Rješavanje linearne nejednadžbe
| Primjeri | |
| 1. Ako je , tada . | |
| 2. Ako je , tada . | |
| 3. Ako je , , tada . | |
| 4. Ako je , tada nejednadžba nema rješenja. | Nejednadžbe nemaju rješenja. |
23. Rješavanje linearne nejednadžbe
| Pri rješavanju nejednadžbe mogući su sljedeći slučajevi: | Primjeri |
| 1. Ako je , tada . | |
| 2. Ako je , tada . | |
| 3. Ako je , tada nejednadžba nema rješenja. | Nejednakost nema rješenja. |
| 4. Ako je , , tada . |
24. Rješavanje sustava linearnih nejednadžbi s jednom varijablom
Sustav nejednakosti– to su dvije ili više nejednadžbi za koje se traže opća rješenja.
Rješavanje sustava nejednadžbi je opće rješenje svih nejednadžbi u sustavu.
Postoji mnogo teoretski mogućih slučajeva čak i za sustav dviju nejednakosti, pa razmotrimo glavne slučajeve za sustav dviju jednostavnih nejednakosti.
Primjer 1. Riješite sustav nejednadžbi:
Odgovor: .
Primjer 2. Riješite sustav nejednadžbi:
Rješenja nejednadžbi prikažimo grafički.
Odgovor: .
Primjer 3.
Riješite sustav nejednadžbi:
Rješenja nejednadžbi prikažimo grafički.
Odgovor: .
Primjer 4. Riješite sustav nejednadžbi:
Rješenja nejednadžbi prikažimo grafički.
Odgovor: sustav nema rješenja.
25. Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi , ,
Kvadratna jednadžba naziva jednadžba oblika 
, i.
Kvadratna jednadžba se zove nepotpun, ako je barem jedan od koeficijenata ili jednak nuli.
Svaka od nepotpunih jednadžbi može se riješiti općom formulom. Ali prikladnije je koristiti privatne metode.
Slučaj 1.
Njegova se lijeva strana može faktorizirati: . Poznato je da je umnožak jednak nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dobivamo: ili , iz čega, zbog uvjeta, slijedi da je .
Zaključak: jednadžba uvijek ima dva realna korijena, .
Primjer 1. Riješite jednadžbu.
Riješenje: ili , .
Slučaj 2. Ako , tada jednadžba ima oblik .
Zatim . Jer dakle .
Ako je , ova jednadžba nema pravih korijena (jer ).
Ako je , tada jednadžba ima dva stvarna korijena.
Primjer 2. Riješite jednadžbu.
Riješenje: . Budući da je , , tada ova jednadžba nema pravih korijena.
Primjer 3. Riješite jednadžbu.
Riješenje: .
Slučaj 3. Ako je i , tada jednadžba ima oblik .
Od , onda , ili , Stoga jednadžba ima dva jednaka korijen
Primjer 4. Riješite jednadžbu.
Riješenje: .
26. Rješavanje reducirane kvadratne jednadžbe 
Reducirana kvadratna jednadžba je kvadratna jednadžba 
, čiji je vodeći koeficijent .
Da biste pronašli njegove korijene, odaberite cijeli kvadrat s varijablom x. Dobivamo:
.
Broj se naziva diskriminanta reducirane kvadratne jednadžbe. Broj realnih korijena jednadžbe ovisi o predznaku diskriminante.
Ako , onda jednadžba nema prave korijene, jer .
Ako tada 
, 
,
odnosno ova jednadžba ima dva realna korijena 
I 
.
Komentar. Formula 
Posebno je pogodan za korištenje ako je koeficijent p paran broj.
Primjer. Riješite jednadžbu 
.
Riješenje. pošto, dakle, dakle 
.
Zatim 
, 
.
Odgovor: , .
27. Vieta formule za reduciranu kvadratnu jednadžbu
pod uvjetom da ima dva prava korijena i .
Zatim ,
Time je dokazan teorem koji se naziva Vietin teorem.
Teorema. Ako su i korijeni reducirane kvadratne jednadžbe , zatim jednakosti , .
Te se jednakosti nazivaju Vietinim formulama.
Komentar. Vietine formule vrijede i ako jednadžba ima složene konjugirane korijene.
Primjer. Prethodni paragraf pokazuje da je jednadžba ima korijene , . Zatim , .
Od tad , .
28. Rješavanje kvadratne jednadžbe 
Budući da je, prema definiciji kvadratne jednadžbe, , tada se obje strane jednadžbe mogu podijeliti s a. Dobivamo reduciranu kvadratnu jednadžbu 
, u kojem , . Zatim se pomoću formule mogu pronaći njegovi korijeni .
Dobivamo:
Broj se naziva diskriminanta kvadratne jednadžbe (i diskriminant kvadratnog trinoma). Diskriminant pokazuje koliko stvarnih korijena ima data jednadžba.
Ako je , onda jednadžba Ima dva nejednaka reala korijen 
I 
().
Ako je , onda jednadžba Ima dva jednaka prava korijen
Ako je , onda jednadžba nema pravi korijeni.
Komentar. U ovom slučaju, jednadžba ima dva kompleksna konjugirana korijena
I 
.
Primjer 1. Riješite jednadžbu 
.
Riješenje. Od , (tada), , tada
Od tad 
.
Zatim 
, 
.
Odgovor: , .
Primjer 2. Riješite jednadžbu 
.
Riješenje. Od tad .
Budući da , tada ova jednadžba nema pravih korijena.
29. Rješavanje kvadratnih nejednadžbi
, 
, 
, 
s pozitivnom diskriminantom
svođenje na sustav dviju linearnih nejednadžbi
Diskriminant kvadratnog trinoma je broj.
Korijeni kvadratnog trinoma su korijeni jednadžbe .
I , i (znači ).
Tada se može rastaviti na linearne faktore: .
Budući da , tada možemo podijeliti s a obje strane svake od razmatranih nejednakosti (ako je , znak nejednakosti (to jest, znak > ili<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: 
, 
, 
, 
. Razmotrimo rješenje ovih nejednakosti.
1) Umnožak dva faktora je pozitivan ako su oba faktora pozitivna ili su oba faktora negativna, dakle 
, ja za .
Rješenja oba sustava su rješenja ove kvadratne nejednadžbe.
Jer , pa onda ).
Od tada (onda).
Odgovor: nejednakost
ima skup rješenja koja se mogu napisati u obliku ili ili u obliku .
3) Umnožak dva faktora je negativan ako je jedan od faktora pozitivan, a drugi negativan. Zato , ja za .
Od tad.
Ovaj sustav nejednadžbi nema rješenja, jer broj x ne može biti istovremeno manji od dva broja i veći od većeg od njih.
Odgovor: nejednakost
2) Slično nalazimo da je nejednakost ima skup rješenja koja se mogu napisati u obliku ili u obliku .
Primjer. Riješite nejednadžbu 
.
Riješenje. Nađimo korijene kvadratnog trinoma, odnosno korijene jednadžbe 
: ,
, 
.
Proširujući lijevu stranu ove nejednadžbe prema formuli, dobivamo nejednadžbu 
.
Budući da , zatim dijeljenjem obje strane posljednje nejednadžbe s 3, dobivamo ekvivalentnu nejednadžbu 
.
Umnožak dva faktora je negativan ako je jedan od faktora pozitivan, a drugi negativan. Stoga su rješenja posljednje nejednadžbe rješenja svakog od sustava nejednadžbi ako je ili . Zatim ili
Grafičko rješenje sustava prikazano je na slikama (za prvi sustav slika je lijevo, za drugi desno). Vidi se da drugi sustav nema rješenja, stoga su rješenja ove nejednadžbe samo rješenja prvog sustava.
Odgovor:
30. Rješavanje kvadratnih nejednadžbi
, , ,
pomoću grafa kvadratne funkcije
Komentar. Možemo pretpostaviti da u svim ovim nejednakostima. U suprotnom, množenjem obje strane nejednadžbe s i promjenom predznaka nejednadžbe u suprotan, dobit ćemo nejednadžbu jedne od četiri navedene vrste, koja je ekvivalentna ovoj.
Zatim graf funkcije 
bit će parabola, čija je grana usmjerena prema gore. Položaj ove parabole u odnosu na x-os ovisi o predznaku diskriminante kvadratnog trinoma. Postoje 3 moguća slučaja.
Riža. 1 sl. 2 sl. 3
Slučaj 1. Ako , tada kvadratni trinom ima dva realna korijena I , i .
Tada parabola siječe apscisnu os u točkama s apscisama i . Za stroge nejednakosti 
I 
brojevima i prikazani su kao otvoreni krugovi (kao na slici 1). Za nestriktne nejednakosti 
I brojevi su prikazani popunjenim kružićima. U ovom slučaju: i nema pravih korijena. Tada parabola nema zajedničkih točaka s osi x (vidi sliku 3). U ovom slučaju: x dijeli x-os u 3 intervala (vidi sliku 1). I
U teoriji sustava linearnih jednadžbi iu nekim drugim pitanjima zgodno je koristiti pojam determinante, odnosno determinante.
Promotrimo bilo koja četiri broja zapisana u obliku kvadratne tablice (matrice), dva u redovima i dva u stupcima. Odrednica ili determinanta, sastavljena od brojeva u ovoj tablici, je broj, označen na sljedeći način:
Takva se determinanta naziva determinanta drugog reda, jer se za njeno sastavljanje uzima tablica od dva retka i dva stupca. Brojeve koji čine determinantu nazivamo njezinim elementima, a kažu da elementi čine glavnu dijagonalu determinante, a elementi njezinu sporednu dijagonalu. Vidi se da je determinanta jednaka razlici umnožaka parova elemenata koji se nalaze na njegovoj glavnoj i sporednoj dijagonali.
Primjer 1. Izračunajte sljedeće determinante drugog reda:
Rješenje, a) Po definiciji imamo
Koristeći determinante, jednakosti (66.6), (66.7) i (66.8) mogu se prepisati zamjenom njihovih dijelova, ovako:
Imajte na umu da se determinante prilično jednostavno sastavljaju iz koeficijenata sustava (66.2).
Doista, determinanta se sastoji od koeficijenata za nepoznanice u ovom sustavu. Naziva se glavnom determinantom sustava (66.2). Nazovimo ih determinantama za nepoznanice x odnosno y. Možemo formulirati sljedeće pravilo za njihov sastav: determinanta za svaku od nepoznanica dobiva se iz glavne determinante ako se u njoj stupac koeficijenata za tu nepoznanicu zamijeni stupcem slobodnih članova (preuzetih s desne strane jednadžbe sustava).
Primjer 2. Riješite sustav (66.12) pomoću determinanti.
Riješenje. Sastavljamo i izračunavamo glavnu odrednicu ovog sustava:
Sada u njemu stupac koeficijenata za x (prvi stupac) zamijenimo slobodnim članovima. Dobivamo determinantu za x:
Na isti način nalazimo
Odavde, koristeći formule (66.11), dobivamo
Došli smo do rješenja koje već znamo (1, -1).
Proučimo sada sustav linearnih jednadžbi (66.2). Da bismo to učinili, vratimo se na jednakosti (66.9) i (66.10) i razlikujemo dva slučaja:
Neka Tada, kao što je već navedeno, formule (66.11) daju jedinstveno rješenje sustava (66.2). Dakle, ako je glavna determinanta sustava različita od nule, tada sustav ima jedinstveno rješenje određeno formulama (66.11); takav sustav nazivamo definitivnim.
2) Neka sada . Ovisno o vrijednostima, razlikovat ćemo dva slučaja.
a) Barem jedna od determinanti je različita od nule; tada sustav (66.2) nema rješenja. Doista, neka, na primjer,. Jednakost (66.9) ne može biti zadovoljena ni za jednu vrijednost jer je ova jednakost dobivena kao posljedica sustava (66.2), tada sustav nema rješenja. Takav sustav nazivamo nekonzistentnim.
b) Obje determinante jednake su nuli; jednakosti (66.9) i (66.10) su identično zadovoljene i ne mogu se koristiti za proučavanje sustava (66.2).
Dokažimo da ako je barem jedan od koeficijenata za nepoznanice u sustavu (66.2) različit od nule, tada sustav ima beskonačan broj rješenja. Da vidimo ovo, recimo, na primjer, da . Iz odnosa
i iz snimanja druge jednadžbe sustava (66.2), zamjenjujući u nju izraze koeficijenata
ustanovit ćemo da se ona razlikuje od prve jednadžbe samo faktorom, tj. bitno se s njom podudara (ekvivalentna joj). Sustav (66.2) svodi se samo na prvu jednadžbu i određuje beskonačan broj rješenja (takav sustav nazivamo neodređenim). U načelu je moguć i takav ekstremni slučaj kao što je jednakost svih koeficijenata za nepoznanice nuli (to se može dogoditi pri proučavanju sustava sa slovnim koeficijentima). Takav sustav
sve determinante su jednake nuli: međutim, nedosljedno je za ili .
Sažmimo rezultate proučavanja sustava linearnih jednadžbi (66.2). Postoje tri vrste takvih sustava:
1) Ako je , tada je sustav definiran i ima jedinstveno rješenje (66.11).
2) Ako je , ali tada je sustav nekonzistentan i nema rješenja.
3) Ako je barem jedan od koeficijenata nepoznanica različit od nule), tada je sustav nesiguran i ima beskonačan broj rješenja (sveden na jednu jednadžbu).
Determinanta je jednaka nuli,
znači proporcionalnost elemenata u svojim linijama (i obrnuto):
Zbog toga se karakteristike koje razlikuju linearne sustave različitih tipova (određeni, neodređeni, nekonzistentni) mogu formulirati u smislu omjera između koeficijenata sustava (bez korištenja determinanti).
Uvjet se stoga zamjenjuje zahtjevom proporcionalnosti (neproporcionalnosti) koeficijenata za nepoznanice:
U ovom slučaju ne samo da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, već i slobodni članovi:
(ovi se omjeri dobivaju, na primjer, iz (67.6)). Ako je npr. DO, tada iz (66.6) vidimo da slobodni članovi nisu proporcionalni koeficijentima nepoznanica. Tako:
1) Ako koeficijenti za nepoznanice nisu proporcionalni:
onda je sustav određen.
2) Ako su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, ali im slobodni članovi nisu proporcionalni:
onda je sustav nedosljedan.
3) Ako su koeficijenti nepoznanica i slobodnih članova proporcionalni:
tada je sustav nesiguran.
Provedeno proučavanje sustava linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice omogućuje jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Bilo koja linearna jednadžba oblika (38.4) definira ravnu liniju na koordinatnoj ravnini. Jednadžbe sustava (66.2) se stoga mogu tumačiti kao jednadžbe dvaju pravaca na ravnini, a problem rješavanja sustava kao problem nalaženja točke presjeka tih pravaca.
Jasno je da su moguća tri slučaja: 1) ove dvije linije se sijeku (slika 61, a); ovaj slučaj odgovara određenom sustavu; 2) ove dvije ravne linije su paralelne (slika 61, b); ovaj slučaj odgovara nekompatibilnom sustavu;
3) ove se ravne linije podudaraju (slika 61, c); ovaj slučaj odgovara neodređenom sustavu: svaka točka "dvaput danog" pravca bit će rješenje sustava.
Primjer 3. Istražite linearne sustave:
Rješenje, a) Sastavimo i izračunajmo glavnu determinantu ovog sustava.
