Tangens je jednak 0, poseban slučaj. Trigonometrijske jednadžbe - formule, rješenja, primjeri. Razlomljene racionalne trigonometrijske jednadžbe
Glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (pomoću trigonometrijskih formula), uvođenje novih varijabli i rastavljanje na faktore. Pogledajmo njihovu upotrebu s primjerima. Obratiti pozornost na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednadžbi.
Nužan uvjet za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).
Primjeri.
1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije.
1) Riješite jednadžbu
Riješenje:
Odgovor:
2) Pronađite korijene jednadžbe
(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.
Riješenje:
Odgovor:
2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.
1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
Riješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobivamo
Odgovor:
2) Riješite jednadžbu cos 2x = 1 + 4 cosx.
Riješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobivamo
Odgovor:
3) Riješite jednadžbu tgx – 2ctgx + 1 = 0
Riješenje:
Odgovor:
3. Homogene jednadžbe
1) Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0
Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači da je cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx. Dobivamo
Odgovor:
2) Riješite jednadžbu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x
Riješenje:
Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobivamo
sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0
Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i možemo podijeliti jednadžbu s cos 2 x .
Dobivamo
tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .
Odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k
4. Jednadžbe oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.
1) Riješite jednadžbu.
Riješenje:
Odgovor:
5. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem.
1) Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.
Korijen jednadžbe f (x) = φ ( x) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:
cos 0 = 0 + 1 – jednakost je istinita.
Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.
Odgovor: 0.
Video tečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!
Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.
Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.
Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.
Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a
Jednadžba cos(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Na intervalu funkcija y = cos x opada od 1 do -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo u jednoj točki svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x = a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, koji je, prema definiciji arkosinusa, jednak: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x = A).
Kosinus je parna funkcija, pa na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj nasuprot x 1, tj
x 2 = -arccos a.
Dakle, na intervalu [-n; p] (duljina 2p) jednadžba cos x = a s | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Funkcija y = cos x je periodična s periodom 2n, stoga se svi ostali korijeni razlikuju od onih koji se nalaze s 2n (n € Z). Dobivamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.
Korisno je zapamtiti posebne oznake za korijene jednadžbe cos x = a kada
a = 0, a = -1, a = 1, što se lako može dobiti korištenjem jedinične kružnice kao reference.
Budući da je kosinus jednak apscisi odgovarajuće točke jedinične kružnice, dobivamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka A ili točka B.
Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka C, dakle,
x = 2πp, k € Z.
Također cos x = -1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka D, dakle x = n + 2n,
Jednadžba sin(x) = a
Obrazloženje i obrazloženje
- Korijeni jednadžbe sinx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe rješavaju se u pravilu pomoću formula. Podsjećam vas da su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je kut koji treba pronaći,
a je bilo koji broj.
A evo i formula s kojima možete odmah zapisati rješenja ovih najjednostavnijih jednadžbi.
Za sinus:
Za kosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Za tangentu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Za kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Štoviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj pogrešaka na ovu temu jednostavno je izvan tablica. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?
Da, jer puno ljudi piše ova pisma, a da uopće ne razumije njihovo značenje! Oprezno zapisuje, da se nešto ne dogodi...) Ovo treba srediti. Trigonometrija za ljude, ili ipak ljudi za trigonometriju!?)
Idemo to shvatiti?
Jedan kut će biti jednak arccos a, drugi: -arccos a.
I uvijek će tako ispasti. Za bilo koje A.
Ako mi ne vjerujete, prijeđite mišem preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj A na nešto negativno. U svakom slučaju, imamo jedan kut arccos a, drugi: -arccos a.
Stoga se odgovor uvijek može napisati kao dva niza korijena:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Spojimo ove dvije serije u jednu:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I to je sve. Dobili smo opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.
Ako shvatite da to nije nekakva nadznanstvena mudrost, ali samo skraćena verzija dva niza odgovora, Također ćete moći rješavati zadatke "C". S nejednakostima, s odabiranjem korijena iz zadanog intervala... Tu odgovor s plus/minusom ne funkcionira. Ali ako se prema odgovoru odnosite poslovno i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve će biti riješeno.) Zapravo, to je razlog zašto to istražujemo. Što, kako i gdje.
U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi
sinx = a
također dobivamo dva niza korijena. Stalno. A mogu se i ove dvije serije snimiti u jednom redu. Samo će ovaj redak biti složeniji:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno osmislili formulu kako bi napravili jedan umjesto dva unosa za niz korijena. To je sve!
Provjerimo matematičare? I nikad se ne zna...)
U prethodnoj lekciji detaljno je obrađeno rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:
Odgovor je rezultirao s dva niza korijena:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ako riješimo istu jednadžbu pomoću formule, dobit ćemo odgovor:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π /6. Kompletan odgovor bi bio:
x = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z
Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (ovo je točan odgovor!) i kroz lonely x (i ovo je točan odgovor!) - jesu li to ista stvar ili ne? Sada ćemo saznati.)
Zamjenjujemo u odgovoru sa x 1 vrijednosti n =0; 1; 2; itd., brojimo, dobivamo niz korijena:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 i tako dalje.
S istom zamjenom u odgovoru sa x 2 , dobivamo:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 i tako dalje.
Sada zamijenimo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4...) u opću formulu za jednostruku x . Odnosno, dižemo minus jedan na nultu potenciju, zatim na prvu, drugu itd. Pa, naravno, zamijenit ćemo 0 u drugi član; 1; 2 3; 4, itd. I brojimo. Dobijamo seriju:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 i tako dalje.
To je sve što možete vidjeti.) Opća formula nam daje potpuno iste rezultate kao što su dva odgovora zasebno. Samo sve odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)
Također se mogu provjeriti formule za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s tangensom i kotangensom. Ali nećemo.) Već su jednostavni.
Posebno sam napisao sve ove zamjene i provjere. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednadžbi, samo kratak sažetak odgovora. Radi ove sažetosti, morali smo umetnuti plus/minus u rješenje kosinusa i (-1) n u rješenje sinusa.
Ovi umeci ni na koji način ne smetaju u zadacima u kojima samo trebate napisati odgovor na elementarnu jednadžbu. Ali ako trebate riješiti nejednadžbu ili trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ itd., ovi umetci mogu lako uznemiriti osobu.
Što bih trebao napraviti? Da, ili napiši odgovor u dvije serije, ili riješi jednadžbu/nejednadžbu pomoću trigonometrijske kružnice. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)
Možemo sažeti.
Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi postoje gotove formule odgovora. Četiri komada. Dobri su za trenutno zapisivanje rješenja jednadžbe. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:
sinx = 0,3
Lako: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nema problema: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lako: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Jedan ostao: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ako ti, sjajeći znanjem, odmah napišeš odgovor:
x= ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ Z
onda već blistaš, ovo je... ono... iz lokve.) Točan odgovor: nema rješenja. Ne razumijem zašto? Pročitajte što je ark kosinus. Osim toga, ako na desnoj strani izvorne jednadžbe postoje tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 i tako dalje. - nedorečen će odgovor kroz lukove. Lukovi se moraju pretvoriti u radijane.
A ako naiđete na nejednakost, npr
onda je odgovor:
x πn, n ∈ Z
ima rijetkih gluposti, da...) Ovdje trebate riješiti pomoću trigonometrijske kružnice. Što ćemo učiniti u odgovarajućoj temi.
Za one koji herojski čitaju ove retke. Jednostavno ne mogu ne cijeniti vaš golemi trud. Bonus za vas.)
Bonus:
Kada zapisuju formule u alarmantnoj borbenoj situaciji, čak i iskusni štreberi često se zbune gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika za vas. U svatko formule vrijedan πn. Osim jedine formule s ark kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva peen. ključna riječ - dva. U ovoj istoj formuli postoje dva znak na početku. Plus i minus. Tu i tamo - dva.
Pa ako ste napisali dva znak ispred ark kosinusa, lakše je zapamtiti što će se dogoditi na kraju dva peen. A događa se i obrnuto. Osoba će propustiti znak ± , dolazi do kraja, piše ispravno dva Pien, i doći će k sebi. Nešto je naprijed dva znak! Osoba će se vratiti na početak i ispraviti grešku! Kao ovo.)
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učimo - sa zanimanjem!)
Možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!
Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.
Najjednostavnije jednadžbe su `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo formule korijena za svaku od njih.
1. Jednadžba `sin x=a`.
Za `|a|>1` nema rješenja.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Jednadžba `cos x=a`
Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.
Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.
Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima. 
3. Jednadžba `tg x=a`
Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Jednadžba `ctg x=a`
Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.
Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici
Za sinus: 
Za kosinus: 
Za tangens i kotangens: 
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:
Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi
Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:
- uz pomoć pretvaranja u najjednostavnije;
- riješiti najjednostavniju jednadžbu dobivenu korištenjem korijenskih formula i gore napisanih tablica.
Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.
Algebarska metoda.
Ova metoda uključuje zamjenu varijable i njezinu zamjenu u jednakost.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,
nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizacija.
Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.
Riješenje. Pomaknimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Svođenje na homogenu jednadžbu
Prvo, trebate reducirati ovu trigonometrijsku jednadžbu na jedan od dva oblika:
`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).
Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i s `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.
Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Riješenje. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijemo:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.
Prelazak na polukut
Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Riješenje. Primijenimo formule dvostrukog kuta, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.
Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Uvođenje pomoćnog kuta
U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:
Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.
Riješenje. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tada uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Razlomljene racionalne trigonometrijske jednadžbe
To su jednakosti s razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.
Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Riješenje. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti s "(1+cos x)". Kao rezultat dobivamo:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
S obzirom da nazivnik ne može biti jednak nuli, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Izjednačimo brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.
Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.
Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Studij počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam biti od koristi!
Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći je izvesti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.
