Samostalan rad je Mordkovicheva eksponencijalna funkcija. Svojstva eksponencijalne funkcije. Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Samostalan rad na ovu temu"Eksponencijalna funkcija". Samostalni rad sadrži 2 opcije s po tri zadatka. Tekstovi za samostalno učenje podijeljeni su u tri razine težine. Svaki opcijski zadatak odgovara vlastitoj razini težine. Samostalni rad izradio u uređivaču teksta Microsoft Word. Radi lakšeg snalaženja, navedeni su točni odgovori.

Pogledajte sadržaj dokumenta
“Samostalni rad “Eksponencijalna funkcija””

Republika Bjelorusija

Državna obrazovna ustanova "Lyceum of Novopolotsk"

Samostalni rad iz matematike, algebarska sekcija

Tema: Eksponencijalna funkcija

Pripremio: Konovalyonok

Olga Vladimirovna,

viši nastavnik matematike

opcija 1

1. Usporedite:

1) i

2)
I

a) vrijednost a;

b) domena definiranja;

Opcija2

1. Usporedite:

1) I

2)
I

2. Na slici je prikazan graf funkcije zadane formulom
na skupu D. Navedite za njega:

a) vrijednost a;

b) domena definiranja;

c) skup (područje) vrijednosti;

d) intervali porasta (smanjenja);

e) koordinate točaka presjeka grafa s osi Oy;

e) vrijednost u točkama x1= -1 i x2= 1;

g) najveća i najmanja vrijednost.

3. Označite prirodnu domenu definicije izraza (a1):

opcija 1

1. 1) ; 2)

Pruža referentne podatke o eksponencijalnoj funkciji - osnovna svojstva, grafikone i formule. Razmatraju se sljedeće teme: domena definicije, skup vrijednosti, monotonost, inverzna funkcija, derivacija, integral, proširenje u potencijski niz i reprezentacija kompleksnim brojevima.

Sadržaj

Svojstva eksponencijalne funkcije

Eksponencijalna funkcija y = a x ima sljedeća svojstva na skupu realnih brojeva ():
(1.1) definiran i kontinuiran, za , za sve ;
(1.2) za ≠ 1 ima mnogo značenja;
(1.3) striktno raste na , striktno opada na ,
je konstantna na ;
(1.4) u ;
u ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Druge korisne formule.
.
Formula za pretvorbu u eksponencijalnu funkciju s drugom bazom eksponenata:

Kada je b = e, dobivamo izraz eksponencijalne funkcije preko eksponencijala:

Privatne vrijednosti

, , , , .

y = a x za različite vrijednosti baze a.

Na slici su prikazani grafovi eksponencijalne funkcije
g (x) = a x
za četiri vrijednosti baze stupnjeva: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 i a = 1/8 . Vidi se da za a > 1 eksponencijalna funkcija monotono raste. Što je baza stupnja a veća, to je rast jači. Na 0 < a < 1 eksponencijalna funkcija monotono opada. Što je eksponent a manji, smanjenje je jače.

Uzlazno, silazno

Eksponencijalna funkcija za je strogo monotona i stoga nema ekstrema. Njegova glavna svojstva prikazana su u tablici.

	y = a x , a > 1	y = sjekira, 0 < a < 1
Domena	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Raspon vrijednosti	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Monotonija	monotono raste	monotono opada
Nule, y = 0	Ne	Ne
Točke presjeka s osi ordinata, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Inverzna funkcija

Inverz eksponencijalne funkcije s bazom a je logaritam s bazom a.

Ako tada
.
Ako tada
.

Diferenciranje eksponencijalne funkcije

Za diferenciranje eksponencijalne funkcije potrebno je njezinu bazu svesti na broj e, primijeniti tablicu derivacija i pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Da biste to učinili, morate koristiti svojstvo logaritama
i formula iz tablice izvedenica:
.

Neka je dana eksponencijalna funkcija:
.
Donosimo ga u bazu e:

Primijenimo pravilo diferenciranja složenih funkcija. Da biste to učinili, uvedite varijablu

Zatim

Iz tablice izvedenica imamo (varijablu x zamijenimo z):
.
Budući da je konstanta, derivacija od z u odnosu na x jednaka je
.
Prema pravilu diferenciranja složene funkcije:
.

Derivacija eksponencijalne funkcije

.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula >>>

Primjer diferenciranja eksponencijalne funkcije

Pronađite izvod funkcije
y = 3 5 x

Riješenje

Izrazimo bazu eksponencijalne funkcije kroz broj e.
3 = e ln 3
Zatim
.
Unesite varijablu
.
Zatim

Iz tablice izvedenica nalazimo:
.
Jer 5ln 3 je konstanta, tada je derivacija od z u odnosu na x jednaka:
.
Prema pravilu diferenciranja složene funkcije imamo:
.

Odgovor

Sastavni

Izrazi koji koriste složene brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
f (z) = a z
gdje je z = x + iy; ja 2 = - 1 .
Izrazimo kompleksnu konstantu a kroz modul r i argument φ:
a = r e i φ
Zatim


.
Argument φ nije jednoznačno definiran. U opći pogled
φ = φ 0 + 2 πn,
gdje je n cijeli broj. Stoga funkcija f (z) također nije jasno. Često se razmatra njegovo glavno značenje
.

y=3 x

Funkcija snage

g

x

y=x2

y=x 4

g

x

y=x 3

y=x 5

Odlučite sami.

Vježbajte. Konstruirajte grafove funkcija: y = ; y = ; y=-1

oblik kontrole: provjera bilježaka i usmeno ispitivanje.

Samostalni rad br.13

Tema 4.3. Logaritamska funkcija. Svojstva i raspored.

Samostalan rad (2 sata)

· proučavati svojstva logaritamske funkcije.

· crtanje logaritamskih funkcija.

Logaritamska funkcija

Funkcija y=, (x) naziva se logaritamska funkcija.

Logaritamska funkcija y= je inverzna eksponencijalnoj funkciji y = (x). Stoga su njihovi grafikoni simetrični u odnosu na simetralu koordinatnih kutova I i III (slika 8).

g

x

y=log 2 x

y=log 0,4x

y=log 4x

g

x

a>1

a<1

Ovdje su glavna svojstva logaritamske funkcije:

1) Domena definicije: D(y) =R + .

2) Raspon funkcije: E(y) =R.

3) Logaritam jedinice jednak je nuli, logaritam baze jednak je jedinici: =0, =0, .

4) Funkcija y= raste u intervalu (slika 8 a). U tom slučaju logaritmi brojeva većih od jedan su pozitivni, a onih manjih od jedan negativni.

5) Funkcija y=, (x, smanjenje intervala. U ovom slučaju logaritmi brojeva manjih od jedan su pozitivni, a onih većih od jedan negativni.

4. Odredi domenu definicije funkcije: y=

Riješenje. Kako je logaritamska funkcija definirana samo za pozitivne brojeve, a kvadratni korijen za nenegativne brojeve, problem se svodi na rješavanje sustava nejednadžbi:

Rastavimo lijevu stranu prve nejednakosti, au drugoj zamijenimo 1 sa:

Kako je baza logaritma8 >1, onda prema svojstvima logaritma prelazimo na sustav: oni.

Zadnji sustav je ekvivalentan nejednakosti: ,

koja se rješava metodom intervala (i x≠3, i x ≠ 1). Pomoću sl. 9 dobivamo odgovor: [-1;1) (3;5].

Kontrolna pitanja.

1. Definirajte logaritamsku funkciju.

2. Koja je domena definicije i domena vrijednosti funkcije y = log a x?

3. U kojem slučaju je funkcija y = log a x rastuća, a u kojem padajuća?

4. Pri kojim vrijednostima x funkcija y = log a x poprima pozitivne vrijednosti, a pri kojim vrijednostima negativne vrijednosti?

Samotestiranje. (Mogućnosti odgovora: da ne)

1. Logaritamska funkcija y = log a x definirana je za bilo koji x

2. Funkcija y = log a x definirana je za a > 0, a =/= 1, x > 0.

3. Područje definiranja logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

4. Raspon vrijednosti logaritamske funkcije je skup realnih brojeva.

5. Logaritamska funkcija – parna.

6. Logaritamska funkcija – nepar.

7. Funkcija y = log a x – raste kada je a >1.

8. Funkcija y = log a x s pozitivnom bazom manjom od jedinice je rastuća.

9. Logaritamska funkcija ima ekstrem u točki (1; 0).

10. Graf funkcije y = log a x siječe os OX.

11. Graf logaritamske funkcije nalazi se u gornjoj poluravnini.

12. Graf logaritamske funkcije je simetričan u odnosu na OX.

13. Graf logaritamske funkcije siječe OX u točki (1; 0).

14. Graf logaritamske funkcije nalazi se u 1. i 4. četvrtini.

15. Postoji logaritam negativnog broja.

16. Postoji logaritam razlomljenog pozitivnog broja.

17. Graf logaritamske funkcije prolazi točkom (0; 0).

Samostalni rad br.14

10. razred" width="271" height="129 src="/>

Samostalan rad na temu “Rješavanje jednadžbi i sustava jednadžbi (ponavljanje).”

Opcija 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=" >.gif" width="99" height="51 src=">

Samostalan rad na temu “Rješavanje nejednakosti”. Ponavljanje.

Opcija 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=" >.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Opcija 1.

Funkcija je dana https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="171" height="51 src=">

a) Pronađite https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

Samostalni rad na temu “Funkcija”. Ponavljanje.

Opcija 3.

Funkcija je dana https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >.gif" width="156" height="51 src=">

a) Pronađite https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src= ">.

b) Nacrtajte graf ove funkcije.

c) Označite za ovu funkciju D(y), E(y), intervale porasta i opadanja.

Samostalni rad na temu “Funkcija”. Ponavljanje.

Opcija 5.

Funkcija je dana https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src =" >, DIV_ADBLOCK535">

Samostalni rad na temu “Funkcija”. Ponavljanje.

Opcija 6.

Funkcija je dana https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src =" >.gif" width="131" height="24">.

2. Pronađite domenu definicije funkcije https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Riješite skup nejednakosti:

Dodatni zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

VII - IX razredi"

opcija 2.

1. Riješite jednadžbu .

2. Pronađite domenu definicije funkcije https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Riješite sustav nejednadžbi:

Dodatni zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Test na temu „Ponavljanje gradiva iz algebre VII - IX razredi"

Opcija 3.

1. Riješite jednadžbu .

2. Pronađite domenu definicije funkcije https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Riješite skup nejednakosti: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Test na temu „Ponavljanje gradiva algebre VII - IX razredi"

Opcija 4.

1. Riješite jednadžbu .

2. Pronađite domenu definicije funkcije https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Riješite sustav nejednadžbi:

Dodatni zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Opcija 1.

1. Usporedi brojeve: a) i ; bend ; c) i https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

Samostalan rad na temu “Eksponencijalna funkcija”

opcija 2.

1. Usporedi brojeve: a) i ; bend ; c) i https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src= ">.

3. Konstruirajte grafove funkcija: a); b); V).

Samostalan rad na temu “Eksponencijalne jednadžbe”

Opcija 1.

Riješite jednadžbe:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=" >.gif" width="161" height="24 src="> .

Samostalni rad na temu “Eksponencijalne nejednakosti”

Opcija 1.

Riješite nejednadžbe:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=" >.gif" width="88" height="28 src=">.

Opcija 1.

1. Konstruirajte graf funkcije.

2. Riješite jednadžbe: a), b).

3. Riješite nejednadžbe: a); b) .

4. Riješite sustav jednadžbi:

Test na temu “Eksponencijalna funkcija”

opcija 2.

1. Konstruirajte graf funkcije.

2. Riješite jednadžbe: a), b).

3. Riješite nejednadžbe: a) ; b) .

4. Riješite sustav jednadžbi:

Opcija 1.

1. Izračunajte: a); b); V); G).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Samostalni rad na temu “Pojam logaritma”

opcija 2.

1. Izračunajte: a); b); V); G).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Opcija 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Samostalan rad na temu “Osnovna svojstva logaritma”

opcija 2.

1. Pronađi je li poznato da .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Samostalan rad na temu “Logaritamska funkcija”

Opcija 1.

Pronađite domenu definicije svake funkcije:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=" >.gif" width="192" height="31 src=">.

Opcija 1.

Grafički nacrtajte funkciju:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=" >.

Samostalan rad na temu “Graf logaritamske funkcije”

opcija 2.

Grafički nacrtajte funkciju:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=" >.

Opcija 1.

Samostalni rad na temu “Inverzna funkcija”

opcija 2.

a) Nađite inverznu funkciju zadane,

b) Naznačiti domenu definicije i područje vrijednosti inverzne funkcije,

c) Konstruirajte grafove te funkcije i njezinog inverza u istom koordinatnom sustavu.

Samostalni rad na temu “Inverzna funkcija”

Opcija 3.

a) Nađite inverznu funkciju zadane,

b) Naznačiti domenu definicije i područje vrijednosti inverzne funkcije,

c) Konstruirajte grafove te funkcije i njezinog inverza u istom koordinatnom sustavu.

Samostalni rad na temu “Inverzna funkcija”

Opcija 4.

a) Nađite inverznu funkciju zadane,

b) Naznačiti domenu definicije i područje vrijednosti inverzne funkcije,

c) Konstruirajte grafove te funkcije i njezinog inverza u istom koordinatnom sustavu.

Opcija 1.

1. Izračunajte: a); b) ; V) ; G); d) ; e).

2. Pronađite x, Ako .

3..gif" width="93" height="27">.

Test na temu: "Logaritam".

opcija 2.

1. Izračunajte: a); b) ; V) ; G); d) ; e).

2. Pronađite x, Ako .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Pronađite funkciju inverznu funkciji , . Navedite domenu definicije i raspon vrijednosti inverzne funkcije.

Opcija 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=" >.

Samostalan rad na temu “Logaritamske jednadžbe”

opcija 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=" >.

Opcija 1.

1), 2), 3),

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Samostalan rad na temu “Logaritamske nejednakosti”

opcija 2.

4) https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Test na temu “logaritamske jednadžbe i nejednadžbe”

Opcija 1.

1. Riješite jednadžbe: a); b); V) .

2. Riješite sustav jednadžbi:

3. Riješite nejednadžbe: a) ; b) .

4..gif" width="159" height="29">; b); c) .

2. Riješite sustav jednadžbi:

3. Riješite nejednadžbe: a) ; b) .

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; b).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

opcija 2.

1. Veličinu kutova 560 izrazite u radijanskoj mjeri; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Označi predznak broja: a); b).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Samostalan rad na temu “Osnove trigonometrije”

Opcija 3.

1. Veličinu kutova 720 izrazite u radijanskoj mjeri; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Označi predznak broja: a) ; b).

4..gif" width="29" height="19 src=">, ako je poznato da https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" visina ="41 src=">.gif" width="123" height="48">; b).

4..gif" width="36" height="19 src=">, ako je poznato da https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" visina ="24">.

2. Pojednostavite izraz: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Pojednostavite izraz: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Pojednostavite izraz: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Pojednostavite izraz: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Dokažite identitet: .

opcija 2.

1. Izračunajte: .

2. Dokažite identitet:.

3. Pretvorite u proizvod:.

Samostalan rad na temu “Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija”

Opcija 3.

1. Izračunaj: .

2. Dokažite identitet: .

3. Pretvoriti u proizvod: .

Samostalan rad na temu “Zbroj i razlika trigonometrijskih funkcija”

Opcija 4.

1. Izračunajte: .

2. Dokažite identitet:.

3. Pretvoriti u proizvod: .

Opcija 1.

1. Pojednostavite izraz: .

2. Izračunati .

3. Izračunati .

4. Izračunati.

5. Pretvori u djelo https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height = "13">.

2. Nacrtajte graf funkcije .

Test na temu "Trigonometrijske transformacije"

opcija 2.

1. Pojednostavite izraz: .

2. Pojednostavite izraz: .

3. Izračunati .

4. Izračunati.

5. Pretvori u posao .

Izborni zadatak.

1..gif" width="43" height="17 src=">i najmanju vrijednost.

2. Nacrtajte graf funkcije .

Test na temu "Trigonometrijske transformacije"

Opcija 3.

1. Izračunati.

2. Izračunati.

3. Izračunati .

4. Izračunati.

5. Pretvori u posao .

Izborni zadatak.

1..gif" width="43" height="17 src=">i najveću vrijednost.

2. Nacrtajte graf funkcije .

Test na temu "Trigonometrijske transformacije"

Opcija 4.

1. Izračunati.

2. Pojednostavite izraz: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Izračunati.

5. Pretvori u posao: .

Izborni zadatak.

1..gif" width="43" height="17 src=">i najmanju vrijednost.

2. Nacrtajte graf funkcije .

Opcija 1.

Riješite jednadžbe:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=" >.gif" width="284" height="48 src=">

Samostalan rad na temu “Jednadžba cosx=a”

Opcija 3.

Riješite jednadžbe: , periodički s glavnim periodom 6. Štoviše, pripada intervalu

5. Zapiši sva rješenja jednadžbe , koji pripada intervalu.

6. Zapiši sva rješenja nejednadžbe , koji pripada intervalu.

Lekcija br.2

Tema: Eksponencijalna funkcija, njezina svojstva i graf.

Cilj: Provjeriti kvalitetu savladanosti pojma „eksponencijalne funkcije”; razvijati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njezinih svojstava i grafova, osposobljavanje učenika za korištenje analitičkih i grafičkih oblika zapisivanja eksponencijalne funkcije; osigurati radno okruženje u učionici.

Oprema: ploča, plakati

Obrazac lekcije: sat razrednika

Vrsta lekcije: praktična nastava

Vrsta lekcije: sat u nastavi vještina i sposobnosti

Plan učenja

1. Organizacijski trenutak

2. Samostalan rad i provjera znanja domaća zadaća

3. Rješavanje problema

4. Sažimanje

5. Domaća zadaća

Tijekom nastave.

1. Organizacijski trenutak :

Zdravo. Otvorite svoje bilježnice, zapišite današnji datum i temu lekcije “Eksponencijalna funkcija”. Danas ćemo nastaviti proučavati eksponencijalnu funkciju, njena svojstva i graf.

2. Samostalan rad i provjera domaće zadaće .

Cilj: provjeriti kvalitetu svladanosti pojma “eksponencijalne funkcije” i provjeriti ispunjenost teorijskog dijela domaće zadaće

metoda: ispitni zadatak, frontalna anketa

Kao domaću zadaću dobili ste brojeve iz zadataka i odlomak iz udžbenika. Nećemo sada provjeravati vaše izvođenje brojeva iz udžbenika, ali ćete svoje bilježnice predati na kraju sata. Sada će se teorija testirati u obliku malog testa. Zadatak je isti za sve: dan vam je popis funkcija, morate saznati koje su od njih indikativne (podcrtajte ih). A uz eksponencijalnu funkciju treba napisati je li ona rastuća ili opadajuća.

opcija 1 Odgovor B) D) - eksponencijalni, opadajući	opcija 2 Odgovor D) - eksponencijalni, opadajući D) - eksponencijalno, rastuće
Opcija 3 Odgovor A) - eksponencijalno, rastuće B) - eksponencijalni, opadajući	Opcija 4 Odgovor A) - eksponencijalni, opadajući U) - eksponencijalno, rastuće

Sada se zajedno prisjetimo koja se funkcija naziva eksponencijalnom?

Funkcija oblika , gdje je i , naziva se eksponencijalnom funkcijom.

Koji je opseg ove funkcije?

Sve realni brojevi.

Koliki je raspon eksponencijalne funkcije?

Svi pozitivni realni brojevi.

Smanjuje se ako je baza potencije veća od nule, ali manja od jedan.

U kojem slučaju eksponencijalna funkcija opada u svojoj domeni definicije?

Povećanje ako je baza potencije veća od jedan.

3. Rješavanje problema

Cilj: razvijati vještine prepoznavanja eksponencijalne funkcije, korištenja njezinih svojstava i grafova, naučiti učenike koristiti se analitičkim i grafičkim oblicima zapisivanja eksponencijalne funkcije.

metoda: demonstracija rješavanja tipičnih zadataka od strane nastavnika, usmeni rad, rad na ploči, rad u bilježnici, razgovor između nastavnika i učenika.

Svojstva eksponencijalne funkcije mogu se koristiti pri usporedbi 2 ili više brojeva. Na primjer: br. 000. Usporedite vrijednosti i ako a) ..gif" width="37" height="20 src=">, onda je ovo prilično kompliciran posao: morali bismo izvaditi kubni korijen iz 3 i 9 i usporediti ih. Ali znamo da se povećava, ovo na svoj način znači da kako se argument povećava, vrijednost funkcije raste, odnosno samo trebamo usporediti vrijednosti argumenta i , očito je da (može se demonstrirati na posteru koji prikazuje rastuću eksponencijalnu funkciju). I uvijek, kada rješavate takve primjere, prvo odredite bazu eksponencijalne funkcije, usporedite je s 1, odredite monotonost i prijeđite na usporedbu argumenata. U slučaju opadajuće funkcije: kada argument raste, vrijednost funkcije opada, dakle, mijenjamo predznak nejednakosti kada prelazimo s nejednakosti argumenata na nejednakost funkcija. Zatim usmeno rješavamo: b)

-

U)

-

G)

-

- Broj 000. Usporedi brojeve: a) i

Dakle, funkcija se tada povećava

Zašto?

Povećanje funkcije i

Dakle, funkcija je opadajuća

Obje funkcije rastu kroz cijelo područje definicije, budući da su eksponencijalne s bazom snage većom od jedan.

Koje je značenje iza toga?

Gradimo grafikone:

Koja se funkcija brže povećava kada teži https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Koja se funkcija brže smanjuje pri težnji https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">

Na intervalu, koja od funkcija ima veću vrijednost u određenoj točki?

D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Prvo, saznajmo opseg definicije ovih funkcija. Poklapaju li se?

Da, domena ovih funkcija su svi realni brojevi.

Imenujte opseg svake od ovih funkcija.

Rasponi ovih funkcija se podudaraju: svi pozitivni realni brojevi.

Odredite vrstu monotonosti svake funkcije.

Sve tri funkcije opadaju kroz cijelo područje definiranja, budući da su eksponencijalne s bazom potencija manjih od jedan i većih od nule.

Koja posebna točka postoji na grafu eksponencijalne funkcije?

Koje je značenje iza toga?

Bez obzira na osnovu stupnja eksponencijalne funkcije, ako eksponent sadrži 0, tada je vrijednost ove funkcije 1.

Gradimo grafikone:

Analizirajmo grafove. Koliko presječnih točaka imaju grafovi funkcija?

Koja se funkcija brže smanjuje pri pokušaju https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Koja se funkcija brže povećava kada teži https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">

Na intervalu, koja od funkcija ima veću vrijednost u određenoj točki?

Na intervalu, koja od funkcija ima veću vrijednost u određenoj točki?

Zašto eksponencijalne funkcije s različitim bazama imaju samo jednu sjecišnu točku?

Eksponencijalne funkcije su strogo monotone kroz cijelo područje definicije, tako da se mogu presijecati samo u jednoj točki.

Sljedeći zadatak će se fokusirati na korištenje ovog svojstva. Broj 000. Odredi najveću i najmanju vrijednost zadane funkcije na zadanom intervalu a) . Podsjetimo se da strogo monotona funkcija poprima svoje minimalne i maksimalne vrijednosti na krajevima danog segmenta. A ako je funkcija rastuća, tada će njena najveća vrijednost biti na desnom kraju segmenta, a najmanja na lijevom kraju segmenta (demonstracija na plakatu, na primjeru eksponencijalne funkcije). Ako je funkcija padajuća, tada će njena najveća vrijednost biti na lijevom kraju segmenta, a najmanja na desnom kraju segmenta (demonstracija na plakatu, na primjeru eksponencijalne funkcije). Funkcija raste, jer će, dakle, najmanja vrijednost funkcije biti u točki https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Bodovi b) , V) d) sami riješite bilježnice, usmeno ćemo ih provjeriti.

Učenici rješavaju zadatak u svojim bilježnicama

Opadajuća funkcija

Opadajuća funkcija najveća vrijednost funkcije na segmentu najmanja vrijednost funkcije na segmentu

Povećanje funkcije najmanja vrijednost funkcije na segmentu najveća vrijednost funkcije na segmentu

- br. 000. Pronađite najveću i najmanju vrijednost zadane funkcije na zadanom intervalu a) . Ovaj zadatak je gotovo isti kao i prethodni. Ali ono što je ovdje dano nije segment, već zraka. Znamo da je funkcija rastuća, a nema ni najveću ni najmanju vrijednost na cijelom brojevnom pravcu https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, i teži k , tj. na zraci funkcija pri teži k 0, ali nema najmanju vrijednost, ali ima najveću vrijednost u točki . Bodovi b) , V) , G) Riješite sami bilježnice, usmeno ćemo ih provjeriti.